16031 Trigonometrie Trainingsaufgaben ohne Sinussatz / Kosinussatz - Lösungen 19

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1 603 Trignmetrie Trainingaufgaen ne Sinuatz / Kinuatz - Löungen 9

2 603 Trignmetrie Trainingaufgaen ne Sinuatz / Kinuatz - Löungen 0 ufgae uf dem Eineitkrei liegen diee Punkte ( 0,7 y ) und ( 0,65) erecne die felenden Krdinaten mit Frmeln und creie diee an.. ecreie aufürlic, wa diee Krdinaten mit Sinu un Kinu zu tun aen. Löung er Eineitkrei at die Gleicung + y =. urc Einetzen einer Krdinate flgt darau die andere: = 0,7 y = ± ± 0,69 Ergeni: ie Gerade = 0,7 cneidet den Krei in den zwei Punkten ( 0,7 0,69) ( 0,7 0,69) und y = 0,65 =± y ± 0,76 Ergeni: ie Gerade y = 0,7 cneidet den Krei in den zwei Punkten ( ) und ( 0,76 0,65) 0,76 0,65. m Eineitkrei tellt die y-krdinate eine Punkte den Sinu de Steigungwinkel der Strecke dar, und die -Krdinate den Kinu. S edeutet = 0,7 c = 0,7 : 43,9 zw. und y = -0,67 eißt in = 0,67 : u in = 0,67 flgt im. Feld negativ. l flgt au in = 0,67 : 360 4, = 37,9 = , ' 4,. ie Sinuwerte ind im 3. und 4. Feld = + und 80 ',

3 603 Trignmetrie Trainingaufgaen ne Sinuatz / Kinuatz - Löungen ufgae Zeicne einen Eineitkrei (Längeneineit 4 cm). Trage darauf die Punkte ein, zu denen die flgenden rewinkel geören (eginnend im Punkt R0 ( ). erecne die Krdinaten dieer Punkte.(eakte Werte, kein TR) a) ei = π ) ei = π c) ei γ= π Löung Punkt y 5 π = in50 = in30 =, c50 = c30 = 3 ( ) 3 0 Punkt π= π+ π = in5 = in45 = R c5 = c45 = ( ) Punkt π= π π in300 = in60 = 3 c300 ( ) 3 = c60 =

4 603 Trignmetrie Trainingaufgaen ne Sinuatz / Kinuatz - Löungen ufgae 4 0 Gi die zugeörigen Winkel au dem Intervall 0 < 360 an: a) in = 0,4 ) c = 0,83 c) tan = 3,6 Löung a) in= 0,4 : im. Feld: im. Feld: 3,9 = 80 66, ) c= 0,83 Hilfrecnung: Zu c = 0,83 geört im. Feld 33,9 arau flgt im. Feld: = 80 46, im 3. Feld: = ,9 c) tan= 3,6 im. Feld: im 3. Feld: 74, 5 = ,5

5 603 Trignmetrie Trainingaufgaen ne Sinuatz / Kinuatz - Löungen 3 ufgae In einem reieck ei erecne der Reie nac (ne den Satz de Pytagra), c,, c, q und p γ = 90, a= 8cm und = 5 cm. c a Löung a tan= 58,0 a a in= c = 9,4 cm c in q E p = = 90 3 c in= c = in 4, cm q c= q = c,6 cm p = c q 6,8cm

6 603 Trignmetrie Trainingaufgaen ne Sinuatz / Kinuatz - Löungen 4 Löung reieck MES: tan = = a tan 5,7 cm a Strecke M: M = = a 7,0 cm reieck MS: = M tan 56,5 56,5 in = k = 30,8 cm k in reieck MES: reieck ES: in = S = 8,4 cm in S γ a γ 0 in = =,9 γ 45,8. k

7 603 Trignmetrie Trainingaufgaen ne Sinuatz / Kinuatz - Löungen 5 Löung 3 Gegeen: G = 6km, = km, = 8 km = 48 und = 3 a) Geuct it und γ. γ E F reieck E: E c = E = c 8,030 km l it E = E,030 km. E in= E = in 8,98 km reieck E: und E tan γ= γ 77, E E E c γ= = 9,63 km c γ ) reieck F: F c= F = c 5,65 km l it EF = F E = 3,35 km F in= F = in 9,539 km reieck G: G = F + E 8,457 km G = EF 3,35 km Nac Pytagra flgt: = G + G = G + G,7 km

8 603 Trignmetrie Trainingaufgaen ne Sinuatz / Kinuatz - Löungen 6 Löung 35 Gegeen: = 75 ; = 50, d = 4,0 cm und e = 5,0 cm. a) Teildreieck : e e tan= = = 4, cm tan e e in= a = = 6,5 cm a in d δ δ e δ c e E e γ γ γ = = Teildreieck E: a = = 35 und δ = = 55 e c = e = d c = 3,3 cm d in = = d in =,3 cm d Teildreieck E: e = e e =,7cm e tanδ = δ = 36,5 γ = 90 δ = 53,5 l wird δ=δ +δ = 9,5 und γ=γ +γ = ,5 = 43,5. in γ = c = =,9 cm c inγ ) Fläceninalt Man zerlegt da Viereck durc die iagnale e in zwei reiecke mit der Grundeite e. ann ind und die eiden Höen: V ( ) ( ) = e + e = e + =,5,3+ 4, cm = 6,5cm

9 603 Trignmetrie Trainingaufgaen ne Sinuatz / Kinuatz - Löungen 7 Löung 40 Löung 9 a) Mit = 4 und = 3,5 m flgt tan= = = = 5,7 m tan tan ) ei = 4 und = m flgt im reieck ZE: E E tan= = E = tan=,67 m E Im reieck Z gilt: in= = = in=,44 m = m Z und Z Z c= = Z = c4 = 5,48 m amit können wir jetzt im reieck Z die Strecke erecnen: in= = Z in4 =,3 m Z

10 603 Trignmetrie Trainingaufgaen ne Sinuatz / Kinuatz - Löungen 8 Löung 40 Gegeen: = 6 km δ = 50 und = 60 a) Teildreieck : in= = in= 3,856km Teildreieck : c= = c= 8,0 km Geamte Wegtrecke: = + + = 6 km + 8 km + 3,8 km = 37,8 km ) Zweite Wegtrecke: erecnung de Winkel im reieck : δ= 80 = 70 Teildreieck : tanδ= = = 5,043 km tanδ und inδ= = = 4,745 km inδ = 4,745 km + 5,043 km + 8,0 km + 6,0 km = 43,788 km Untercied: 6 km c) Zaun um den ampingplatz. a linke Teildreieck it gleiccenklig und rectwinklig, al ind die aiwinkel 45 grß: δ = 45. l flgt δ =δ δ = 30 Im recten reieck können wir daer recnen: 00 m cδ = y = = 5,5 m y cδ tanδ = = 00 m tan30 = 57,7 m. amit flgt im linken Teildreieck: Umfang: U= a+ + = 3,m a y inδ = a = y in 45 = 8,7 m a δ δ δ a = 00 m y

11 603 Trignmetrie Trainingaufgaen ne Sinuatz / Kinuatz - Löungen 9 Löung 403 r 3dm,5 dm er Mat it 5 dm lang, kann im ereic zwicen 30 und 70 liegen. a) In welcer Entfernung vm Punkt kein eine Lat öcten liegen, damit ie vm Kran cgezgen werden kann? c30 = = r c30 = 4,33 dm r ) Welce maimale Höe erreict die Spitze de Mate? r in70 = = r in 70 = 4,70 dm r Geamtöe: = +,5dm= 7,0dm c) Welce Werte kann der Winkel annemen? Wenn = 30 it, dann it = 4,33 dm und r in30 = = r in30 =,5 dm l flgt für den uleger: t, tan = t +, r,, R 30 r 70 R R Für = 30 war = 4,33 dm, al flgt: R = 3 dm + 4,33 dm = 7,33 dm.,5 Und wegen =,5 dm flgt tan = = 8,8. 7,33 Entprecend gilt für = 70 : = 4,7 dm und au c70 = = 5 m c 70 =,7m r 4,7 4,7 aer flgt: tan = = ,7 4,7

12 603 Trignmetrie Trainingaufgaen ne Sinuatz / Kinuatz - Löungen 30 Löung 404 Gegeen: = 4, = 7 cm, 5 Stufen F a) Wenn man der Zeicnung entnimmt, da die 5 Stufen ic nict üerlappen, dann aen ie die Geamtreite = F = 5 = 5 7 cm = 405 cm. amit kann man die Treppenöe erecnen: tan= = tan4 = 35 cm. 35 uf eine Stufe entfällt daer = cm= 3,5cm. 5 ie kann man auc nur an einer Stufe erecnen: tan= = tan4 = 3,5 cm ) ie neue Treppe erält = 5. u tan= F = = 755 cm F tan er tand der Fußpunkte und it daer = 755 cm 405 cm = 350 cm c) ie neue Treppe at Stufen, d.. für eine Stufe ergit ic 755 al reite: = cm= 34,3cm und 35 al Höe: = cm= 6cm

13 603 Trignmetrie Trainingaufgaen ne Sinuatz / Kinuatz - Löungen 3 Löung 405 a) Gegeen ind = S = 5m und a = = 7m ann flgt mit de Satz de Pytagra: S = + S S = + S = m = 74 m 8,60 m Und für den Winkel γ= S flgt: ) Im Grunddreieck it der Winkel = mit 70 gegeen, ferner kennt man au a) a = = 7m. a reieck it ferner laut ufgae gleiccenklig. S 5 tan γ= = γ= 35,5 7 S l liegt ei M ein recter Winkel. M M l gilt: c= = M = c=,39 m M Flglic wird = M= 4,78m (zw. 4,79 m ei öerer Genauigkeit). ie reiecköe M: M in= M = in= in= 6,58 m S amit ergit ic al reieckinalt: = M=,39m 6,58m= 7,86m. c) E it = MS, = S und γ= S. egründe, da gilt MS in= S a reieck S it gleiccenklig und da die ai it und M deren Mittelpunkt, liegt ei M ein M recter Winkel. l it S die Hyptenue und MS die Gegenkatete. γ reieck MS: arau flgt: S. S MS in= ; reieck MS: in= MS S S MS S in in= = und die it gerade inγ im reieck MS S S l gilt in in= inγ. Weil für alle Winkel gilt in, wird die linke Seite der Gleicung größer, wenn man in durc eretzt. l flgt in in γ, und flglic it auc γ.

14 603 Trignmetrie Trainingaufgaen ne Sinuatz / Kinuatz - Löungen 3 Löung 4 a) reieck : ) Vrplanung: in= = in=,94 m Zielrictung Um die ifferenz zu erecnen, enötigt man M, denn = M r.. Scritt: erecnung vn im reieck : c= = c= 3,77 m. Scritt: Üergang zum reieck : M = + r = 3,77 m +,5 m = 34,0 m 3. Scritt: erecnung de Winkel : *) tan= = 34,0 M 4. Scritt: erecnung der Hyptenue M im reieck M: in= M = = 4,0 m M in 5. Scritt: Verkürzen um den Radiu: = M r= 4,0m,5m= 39,77m 6. Scritt: erecnung der geucten ifferenz: = 40m 39,77m= 0,3 m d M emerkung: Eine wundercöne ufgae, die nur mit rectwinkligen reiecken aukmmt. *) Man ätte den 3. und 4. Scritt durc den Satz de Pytagra eretzen können: M = + M = 4,0 m uw.

15 603 Trignmetrie Trainingaufgaen ne Sinuatz / Kinuatz - Löungen 33 Löung 4 Vrplanung: F ie geucte Höe erecnen wir al Summe der Turmöe und der Streckenlänge =. Ferner müen wir aunützen, da al Spiegelild vn an der Seeerfläce zu denelen tand at wie, al it auc ' = +. reieck S: Gegeen: FS = 34 m Geuct: tan = () e = 73 ; = 75 S e Seeerfläce ' reieck S : ' + ' + ( + ) + tan= = = = () e e e e Zwicenemerkung ie ufgae wird dadurc zunäct unüerictlic und cwer, da ier mit und e zwei Unekannte vrliegen. a wir jedc zwei reiecke vrliegen aen, kmmen wir auf zwei Gleicungen, da wir durc Eliminatin einer der eiden Unekannten der Reie nac eide erecnen können. Scaut man ic die eiden Gleicungen an, dann tellt man fet, da e leicter zu eliminieren it, weil wl in einem ruc, al auc nc in einer Summe eingeunden it. In dieem Fall git e eine raffinierte Löung, die etwa kürzer, aer er effektiv it: Wir dividieren () durc () - iviintrick - d.. wir erecnen tan e tan = = tan e + tan + Wegmultiplizieren der Nenner (üer Kreuz multiplizieren): ( + ) tan = tan tan+ tan = tan tan = tan tan tan = ( tan tan ) tan = = 48,3m tan tan l flgt: = + = 48,3m+ 34m= 56,3m Ergeni: er alln fliegt in etwa 56 m üer der Seeerfläce.

16 603 Trignmetrie Trainingaufgaen ne Sinuatz / Kinuatz - Löungen 34 Löung 43 Gegeen: = = = 5 m Geuct: 0 ; 65. Metde nac dem Prinzip der gecactelten rectwinkligen reiecke: y a reieck it recwinklig, een da reieck. eide verknüpfen wir durc diee Gleicungen:. Scritt: reieck : + tan= y tan= + = y tan () y. Scritt: erecnung vn und y au dem Teildreieck : in= = in=,7m () y c= y = c= 4,70 m (3) 3. Scritt: () und (3) in () einetzen: = y tan = 4,70 m tan65,7m = 8,40 m. Metde wird mit dem Sinuatz im reieck erecnet. in( ) = = in inδ inδ ( ) (4) azu mu man zuert den Winkel δ erecnen: y ε δ γ ε= 90 = 70, γ= 80 ε= 0. l wird δ= 80 γ ( ) = 5. Nun flgt au (4) frt ( ) 5 in45 in = = = 8,40m inδ in5

17 603 Trignmetrie Trainingaufgaen ne Sinuatz / Kinuatz - Löungen 35 Löung 44 Gegeen: = 3 m, = 3,7 m. Maimaler Winkel = 3. Sciffmaße: reite 6 m, Höe 4,5 m W P F Q V a) erecnung der Höe de Punkte P (zw. Q) üer der Waererfläce: PW Im reieck WP gilt: in= PW = P in= in= 3,35 m P Geamtöe: FP = + PW = 7,05 m Ferner flgt: W c= W = P c= 5,57 m P a V = W, flgt PQ = W = 3 m 5,57 m =,86 m ) S P Q T R a Sciff, da unter der Zugrücke durcfaren ll, at die reite = 6 m. Nemen wir an, e färt genau in der Mitte de Flue, dann leit link und rect nc eine Strecke frei: ( ) ( ) = = 3m 6m = 3,5m Wir erecnen nun, wie c da Sciff am linken Rand ein darf, wie c al S üer der Waerfläce liegen kann, wenn R = 3,5m und = 3 etragen. amit flgt für die zuläige Scifföe: SR tan= SR = R tan=,0 m R ST= + SR= 3,70m+,0m= 5,80m a da Sciff tatäclic nur 4,5 m au dem Waer erauragt, kann da Sciff unter der Zugrücke indurc faren.

18 603 Trignmetrie Trainingaufgaen ne Sinuatz / Kinuatz - Löungen 36 Löung 45 a) Für die erecnung de Scatten S verwendet man einen Trick. Weil da ac en einen recten Winkel eitzt, it die acneigung 45 grß. aer it da reieck EFS und auc S gleiccenklig rectwinklig. l ind die Strecken und S gleic lang, ic nenne ie. Nun können wir in dem rectwinkligen reieck ganz kmfrtael mit der Tangenfunktin areiten: E S F + tan= = l flgt: tan = + a die einzige Unekannte in dieer Gleicung it, können wir ie erecnen. azu mu ie nac link geract werden: Gegeen: S = = 4 m = 70 EF = 0 m tan = d.. ( tan ) = = =,9m. tan Nac Pytagra flgt nun = + = = = 3,4m. Löungweg zu a) Im reieck S können wir alle Winkel erecnen. Zuert flgt ei ' = 0, dann ei = 5, und damit ei S γ= = 35. Nun können wir den Sinuatz anwenden: in ' = = = 3,4m in ' in in E ) Nun ll der Scatten i zum Punkt E reicen. u den meungen de ace mit EF = 0 m = 45 = 5 γ = = ' 90 0 S F = 5 m und mit wird = + = 9 m. amit flgt im reieck E: 9 tan,8 60,9 E 5 = = = =. S E F

19 603 Trignmetrie Trainingaufgaen ne Sinuatz / Kinuatz - Löungen 37 Löung 46 γ e z E F y Gegeen ind = 36,5 und = 9 wie = 48 m und e = = 80 m a) Im rectwinkligen reieck F gilt: tan= = = 64,9 m tan amit flgt: y = e = 5,m. ) Im rectwinkligen reieck F gilt: tan= = y tan= 63,8 m y z c) Im rectwinkligen reieck E gilt: e e amit flgt c γ= = = 80,7 m. c γ ie gelingt auc mit dem Satz de Pytagra: tan γ= = γ= 5 = + z = + z = 80,7 m mit z = = 3,8m. a die Länge de durcängenden Seile um 5 % größer it, flgt für diee Länge: L =,5 = 07,8m.

20 603 Trignmetrie Trainingaufgaen ne Sinuatz / Kinuatz - Löungen 38 Löung 40 a) Han markiert eine Stelle auf der direkten Linie und teckt rectwinklig zu eine Standlinie = a, die 44, m lang wird. ie Entfernung it 34,3 m grß. Scließlic mit er nc den Winkel = 3,0. erecne die reite = de Flue. Teildreieck : u den gegeenen Größen und können wir den Winkel erecnen: 34,3 m tan= = = 37,8 44, m Teildreieck : tan( + ) = = tan( + ) reite de Flue: ( ) = = = tan + = 44,8m 60,8 ) Sylvia etimmt een wie Han eine Stelle E auf der Linie. Ire Standlinie = it eenfall E enkrect zu und at die Länge 0,0 m. Sie etimmt drei Winkel = 59,5, = 7,4 und γ= 5, erecne die reite = de Flue. γ Teildreieck E: Teildreieck E: E tan= E () E tan= E () urc iviin enttet: tan = tan E E E E E = E arau flgt ne rüce: E tan= E tan

21 603 Trignmetrie Trainingaufgaen ne Sinuatz / Kinuatz - Löungen 39 Wegen E = + E flgt nun ( + E) tan = E tan tan+ E tan = E tan tan = E tan E tan tan = E ( tan tan ) tan E = = 6,6 m tan tan (3) u () E tan= flgt: E der al Frmel mittel (3) : E = E tan= 79, m tan tan tan E = tan= tan tan tan tan Und cließlic erält man die Flureite durc Sutraktin vn E. Im Teildreieck E kennen wir E und γ al flgt E tan γ= E = E tanγ= 34,3 m E reite de Flue: = E E = 79, m 34,3 m = 44,9 m

22 603 Trignmetrie Trainingaufgaen ne Sinuatz / Kinuatz - Löungen 40 Löung 4 Gegeen: = a = 9,00m = 8,7 ; = 58,4 und γ = 4,3 Geuct:. Teildreieck Teildreieck Teildreieck F: F: F: γ a y F + tan= a + y () + tan= y () tan γ= y (3) erecnung vn y au () und () (iviintrick): tan + y y = = tan a + y + a + y Ergit: ( a+ y) tan = y tan d.. a tan+ y tan = y tan a tan = y ( tan tan ) a tan y = = 4,57m tan tan erecnung vn au (3): = y tanγ = 4,6m erecnung vn au (): + = y tan = y tan = 3,6 m