Q12 * Mathematik m4 * Klausur am * Gruppe A

Transkript

1 Q * Mthemti m4 * Klusur m..0 * Gruppe A. Berechnen Sie die beiden bestimmten Integrle. ) d b) 0,5 d. Ds Bild zeigt den Grphen der Funtion f mit 5 f () ; R. ) Zeigen Sie, dss der Grph von f genu drei Wendepunte besitzt, wobei der Punt P im Bild einer dieser Wendepunte ist. [Teilergebnis: P( ;...) ] b) Die Ursprungsgerde durch den Wendepunt P schließt mit dem Grphen von f die grün schrffierte Fläche mit dem Inhlt A ein.. Ds Bild zeigt den Grphen der Funtion f mit f () ( ) e ; R. (Der Grph ist uch nochmls uf dem Arbeitsbltt ngegeben.) ) Zeigen Sie, dss f ist und dss für gilt: F() ( ) e eine Stmmfuntion von f () d ( ) e e. b) Der Grph von f und die -Achse schließen eine sich ins Unendliche erstrecende, im Bild grün schrffierte Fläche mit dem endlichen Inhlt A ein. (Hinweis: lim ( e ) 0 drf verwendet werden.) c) Begründen Sie, dss es genu ein mit der folgenden Eigenschft gibt: f () d 0. Schätzen Sie den Wert von b. Erläutern Sie Ihre Abschätzung uf dem Arbeitsbltt durch geeignete Eintrgungen. d) Berechnen Sie den Wert von f () d. Begründen Sie nun, ob oder gilt. Aufgbe b b b c d Summe Punte Gutes Gelingen! G.R.

2 Q * Mthemti m4 * Arbeitsbltt zur Klusur m..0 * Gruppe A/B Nme: Bild zur Aufgbe

3 Q * Mthemti m4 * Klusur m..0 * Gruppe B. Berechnen Sie die beiden bestimmten Integrle. ) d b) 4 0,5 d. Ds Bild zeigt den Grphen der Funtion f mit f () ; R. ) Zeigen Sie, dss der Grph von f genu drei Wendepunte besitzt, wobei der Punt P im Bild einer dieser Wendepunte ist. [Teilergebnis: P( ;...) ] b) Die Ursprungsgerde durch den Wendepunt P schließt mit dem Grphen von f die grün schrffierte Fläche mit dem Inhlt A ein.. Ds Bild zeigt den Grphen der Funtion f mit f () ( ) e ; R. (Der Grph ist uch nochmls uf dem Arbeitsbltt ngegeben.) ) Zeigen Sie, dss f ist und dss für gilt: F() ( ) e eine Stmmfuntion von f () d ( ) e e. b) Der Grph von f und die -Achse schließen eine sich ins Unendliche erstrecende, im Bild grün schrffierte Fläche mit dem endlichen Inhlt A ein. (Hinweis: lim ( e ) 0 drf verwendet werden.) c) Begründen Sie, dss es genu ein mit der folgenden Eigenschft gibt: f () d 0. Schätzen Sie den Wert von b. Erläutern Sie Ihre Abschätzung uf dem Arbeitsbltt durch geeignete Eintrgungen. d) Berechnen Sie den Wert von f () d. Begründen Sie nun, ob oder gilt. Aufgbe b b b c d Summe Punte Gutes Gelingen! G.R.

4 Q * Mthemti m4 * Klusur m..0 * Gruppe A * Lösung 4 4 d ) b),5,5 0,5 6 0,5 d 0,5 d 0,5,5. ) 5 5 ( ) f () f () und ( ) ( ). ) ( ) ( 0) (5 5 ) ( ) ( ) ( 0) (5 5 ) f () 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 (0 0 ) ( ) f () 0 0 ( ) 0 0 ; / D f () n llen drei Stellen ds Vorzeichen wechselt, besitzt G f n diesen drei Stellen jeweils einen Wendepunt. P( ; f ( )).. b) Ursprungsgerde: 5 5 P( ; f ( )) P( ; ) g() A f () g() d d ln ( ) ln ( ) ( 5ln () 0 ) 5ln (4) 0 5ln (4), F() ( ) e F () e ( ) e ( ) e f (), lso ist F Stmmfuntion von f. f () d ( ) e e (( ) e ) ( ) e e b) A lim f () d lim ( ) e e lim e e e c) d) (0 0 e) e f () d 0 und f () d ist für streng monoton wchsend, d.h. es gibt ein mit f () d 0 Grüne und lil Flächen hben etw gleichen Inhlt. f () d ( ) e 0 ( e ) e A us Aufgbe b. Die lil Fläche ist lso größer ls die grüne und dmit.

5 Q * Mthemti m4 * Klusur m..0 * Gruppe B * Lösung 4 4 d ) b),5,5 0,5 8 0,5 d 0,5 d 0,5, ) ( ) f () f () und ( ) ( ). ) ( ) ( 6) ( ) ( ) ( ) ( 6) ( ) f () 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 ( ) ( ) f () 0 6 ( ) 0 0 ; / D f () n llen drei Stellen ds Vorzeichen wechselt, besitzt G f n diesen drei Stellen jeweils einen Wendepunt. P( ; f ( )).. b) Ursprungsgerde: P( ; f ( )) P( ; ) g() A f () g() d d ln ( ) ln ( ) ( ln () 0 ) ln (4) 0 ln (4), F() ( ) e F () e ( ) e ( ) e f (), lso ist F Stmmfuntion von f. f () d ( ) e e (( ) e ) ( ) e e b) A lim f () d lim ( ) e e lim e e e c) (0 0 e) e f () d 0 und f () d ist für streng monoton wchsend, d.h. es gibt ein mit f () d 0 Grüne und lil Flächen hben etw gleichen Inhlt. d) f () d ( ) e 0 ( e ) e A us Aufgbe b. Die lil Fläche ist lso größer ls die grüne und dmit.