Kinetische Gastheorie

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1 Prof. Dr. Norbert Hampp /4. Kinetische Gastheorie Kinetische Gastheorie In der kinetischen Gastheorie sind die Gasteilchen - massebehaftet - kugelförmig mit Durchmesser d (mit Ausdehnung) - haben keine Wechselwirkungen, außer elastische Stöße - alle Energie liegt als kinetische Energie der Teilchen or - keine Bewegungsrichtung ist beorzugt (isotrop) Es wird weiter angenommen, dass die Teilchen stark erdünnt orliegen, dass also der Durchmesser d klein ist gegen die freie Weglänge, d.h. die zurückgelegte Distanz zwischen zwei Stößen. Das bedeutet, dass ausschließlich Zweierstöße zu betrachten sind. Die Stöße sind Elastische Stöße, d.h. Impuls und Energie bleiben erhalten. Die Bindung der Energie des Gases an die Gasteilchen erfolgt in der kinetischen Gastheorie erstmals eplizit. Keine andere Energieform (z.b. Anziehung) außer der kinetischen Energie der Teilchen wird angenommen/zugelassen.

2 Prof. Dr. Norbert Hampp /4. Kinetische Gastheorie Geschwindigkeitserteilung on Gasteilchen Beim elastischen Stoß bleiben Energie und Impuls erhalten. Zwei Teilchen der asse m führen einen elastischen Stoß aus mit den Geschwindigkeitsektoren r r r r r r a und b or dem Stoß und a und b nach dem Stoß. Die Winkel zwischen a und b r a r b und und sind n und n. Aus der Energieerhaltung folgt: E = E = m + m = m + m + = + kin a b a b a b a b

3 Prof. Dr. Norbert Hampp /4. Kinetische Gastheorie Aus der Impulserhaltung folgt: r r r r r p= ma+ mb = ma + mb r r r r a+ b = a + b r r r r r r r r + + = + + r r r r wegen + = + a b a b a b a b a b a b cosϕ = cosϕ a b a b Betrachten wir den Spezialfall, dass a = b = (die beiden Teilchen besitzen or dem Stoß die gleiche Geschwindigkeit, die wir o.e.d.a. gleich setzen). Selbst dann ergeben sich unendlich iele öglichkeiten für die Geschwindigkeiten und den Winkel nach dem Stoß in Abhängigkeit des Überlappungsgrades bei dem Stoß. Es kommt also während des elastischen Stoßes zur Änderung der Geschwindigkeiten (und damit der kinetischen Energien) und der Richtungen (und damit der Impulse) der Teilchen. Es kann also keinesfalls eine Gleicherteilung der Gesamtenergie auf die einzelnen Teilchen des Gases angenommen werden. Vielmehr befindet sich der Gesamtimpuls und die Gesamtenergie des Teilchenensembles in einer ständigen Umerteilung durch die elastischen Stöße. Die statistische Verteilung der Energien und Impulse, und damit der Geschwindigkeiten, kann allerdings berechnet werden.

4 Prof. Dr. Norbert Hampp 4/4. Kinetische Gastheorie Berechnung der Geschwindigkeitserteilung on Gasen (awell-boltzmann-geschwindigkeitserteilung). Teil der Lösung: Auswahl des Funktionstyps, Normierung der Funktion Die Zahl N der Teilchen mit einer Geschwindigkeit ist: Berücksichtigt man dass und dass die Geschwindigkeitserteilung der einzelnen Komponenten jeweils gleich sein muss, folgt: Die Funktion F bzw. f muss eine Eponentialfunktion sein, denn nur diese hat die Eigenschaft r dn( r ) = N Fd ( r ) r = + + y z F( ) = F( + + ) = F( ) y z [ ] = f ( ) f ( ) f ( ) = f ( ) y z ep( + + ) = ep( ) ep( ) ep( ) y z y z

5 Prof. Dr. Norbert Hampp 5/4. Kinetische Gastheorie Wir erwenden als Ansatz f ( ) = a ep( b ) f ( ) Das inus ergibt sich aus der Forderung, dass für die Funktion gehen muss, d.h. beliebig hohe Geschwindigkeiten sind nicht möglich. Weiter sind auch nicht beliebig niedrige Geschwindigkeiten möglich, es muss also auch gelten, dass für die Funktion f ( ) geht. Dies muss durch den Vorfaktor a erreicht werden. Integriert man über alle Wahrscheinlichkeiten für die möglichen -Geschwindigkeiten, so ist diese gleich (Normierung). + + = : ( ) = ep( ) = ep( ) f d a b d a b d = a = b a b ep( a) d= für a > a (siehe Formelsammlung: ) Daraus folgt: a b = bzw. a = b

6 Prof. Dr. Norbert Hampp 6/4. Kinetische Gastheorie. Teil der Lösung: Zusammenhang mit Druck des Gases In einem Gasolumen erreichen alle die Teilchen während der Zeit )t die Wand an der + -Seite mit der Fläche A und führen dort einen elastischen Stoß durch, die sich im Volumen befinden. Die nn V A t Teilchenzahldichte ist und der Impulsübertrag pro Stoß ist. Da on den Teilchen mit A / m einer Komponente nur die Hälfte in die Richtung der Testfläche A fliegen, ist ein Faktor / beim Impulsübertrag zu berücksichtigen. Die Impulsänderung pro Zeit ergibt sich damit zu Impulsübertrag Zeit nn A = A t m / t = V na V olmasse = N m (Hierbei wurde erwendet: ) A Der Druck p ist definiert als Kraft pro Fläche. Nach dem Newtonschen Gesetz ist Kraft die zeitliche Ableitung des Impulses. p Druck F dpimpuls na = = = = A A dt A V n V

7 Prof. Dr. Norbert Hampp 7/4. Kinetische Gastheorie Da die Geschwindigkeitserteilung in alle Richtung gleich ist, gilt dies auch für das Quadrat der Geschwindigkeiten. = + + = = y z p Druck n V mn V mn = = = V Nehmen wir den obigen Ansatz für die Funktion f( ) f ( ) = a ep( b ) und den bereits ermittelten Zusammenhang zwischen den Werten für a und b, a b = so ergibt sich: + = f ( ) d = a ep( b ) d = + + b b b = ep( ) d = = 4b b

8 Prof. Dr. Norbert Hampp 8/4. Kinetische Gastheorie Verwendete Formeln: n b e d= Γ b n ( ) + n+ Γ( n) = ( n )! für ganzzahlig posities n ; Γ( n) = ( n ) Γ( n ) ; Γ() = und Γ() = Durch Vergleich mit dem idealen Gasgesetz (!) findet man: Daraus folgt: = RT = b = = b RT it folgt dann. Für a ergibt sich: pv = n nrt = V V = n = n a b = = RT

9 Prof. Dr. Norbert Hampp 9/4. Kinetische Gastheorie Aufstellen der Geschwindigkeitserteilungsfunktion Damit lässt sich die gewünschte Verteilungsfunktion angeben: f ( a b RT RT ) = ep( ) = ep( ) Für die Funktion F() = [f( )] (siehe oben) ergibt sich mit : = F ( ) = ep RT RT = ep RT RT Die Geschwindigkeitserteilung ist kugelsymmetrisch. Daher ergibt sich die Zahl der Teilchen N mit einer Geschwindigkeit on, d.h. N(), als das Volumenelement in der Geschwindigkeitserteilung das sich aus der zu gehörigen Oberfläche 4B und der Dicke d des Volumenelements ergibt. dn() = N F () d dn () N = 4 RT RT d ep = 4 ep RT RT d

10 Prof. Dr. Norbert Hampp /4. Kinetische Gastheorie Die awell-boltzmann-geschwindigkeitserteilung für Gase ergibt sich zu: F ( ) = e 4 RT RT Die Geschwindigkeitserteilung hängt nur on der asse m (bzw. olmasse ) der Gasteilchen und on der Temperatur T ab, genau betrachtet sogar nur auf das Verhältnis /T. (Und sonst on nichts!) Geschwindigkeitserteilung on N in Abhängigkeit on T,5,5 Geschwindigkeitserteilung,, F() [s/m],5, N, C N, C N, C N, 5 C N, C F() [s/m],5, N, C N, C Cl, C H, -8 C N, 9 C,5,5 [m/s] [m/s]

11 Prof. Dr. Norbert Hampp /4. Kinetische Gastheorie Drei für die Geschwindigkeitserteilung charakteristische Geschwindigkeiten lassen sich errechnen:. ittlere Geschwindigkeit RT = F d = e d= () 4 RT 4 RT RT 4 4R T = R T = 8RT. Wahrscheinlichste Geschwindigkeit, d.h. df ( $)/ d = = 4 + RT e RT e RT RT = RT e $ = RT RT. ittlere quadratische Geschwindigkeit R T 4 ( ) RT F d e d 4 = = = Γ () 5 5 RT = = RT ( RT ) RT RT

12 Prof. Dr. Norbert Hampp /4. Kinetische Gastheorie 8 Die drei charakteristischen Geschwindigkeiten stehen im Verhältnis: : :$ = : : Charakteristische Geschwindigkeiten für N bei 5 C,4,, F() [s/m],8,6,4, [m/s] <²> <> * N, 5 C

13 Prof. Dr. Norbert Hampp /4. Kinetische Gastheorie Berechnung der Stoßzahl Das Volumen das ein Teilchen pro Zeiteinheit durchfliegt nennt man Kollisionszylinder. Er ergibt sich aus dem Durchmesser der Teilchen d und der mittleren Geschwindigkeit +, zu d t = σ t Der Radius des Stoßzylinders ist der Durchmesser der Teilchen. Da sich auch die anderen Teilchen bewegen, muss durch die Relatigeschwindigkeit ersetzt werden. In dem Kollisionszylinder ist die Teilchenzahldichte Z = σ N V N / V, so dass es zu Stößen pro Zeit und pro Teilchen kommt. Da nicht nur das eine Teilchen Stöße ausführt, sondern alle, ergibt sich die Gesamtstoßzahl pro Zeiteinheit und Volumen Z durch ultiplikation mit N/V. Z = σ N V = d N V 8RT

14 Prof. Dr. Norbert Hampp 4/4. Kinetische Gastheorie Die mittlere freie Weglänge 8 ergibt sich indem der pro Zeit zurückgelegte Weg eines Teilchens durch die Zahl der während dieser Zeit erfolgenden Stöße diidiert wird: V V kt λ = = = = Z σ N σ N σ p pv N = nrt = N kn T NkT bzw V A =. = N kt p (Es gilt: ) A F [m²] +, [m s - ] Z [s - ] Z [m - s - ] 8 [m] H,7C C 9 C 4 C -8 N 4,C C 9 8,5C 4 6,8C -8