matheskript Analysis Teil II GEBROCHENRATIONALE und EXPONENTIALFUNKTIONEN 12. Klasse 2014 Jens Möller

Transkript

1 6 5 matheskript 5 Analsis 6 Teil II GEBROCHENRATIONALE nd EXPONENTIALFUNKTIONEN. Klasse 0 Jens Möller

2 Ator: Jens Möller Owingen Tel Aflage Owingen 0 Bestellng bei folgender Adresse matheskript Simon Geiger Sonnenhalde FRICKINGEN-LEUSTETTEN Fa + Tel: Skript@Lestetten.de

3 VORWORT Dies ist die Fortsetzng der Thematik Krvendiskssion für gebrochenrationale Fnktionen. Seit 0 werden in der FHR-Abschlssprüfng in BW ach einfache E-Fnktionen verlangt. Somit enthält dieses Skript im zweiten Teil eine elementare Einführng in dieses nee Gebiet mit entsprechenden prüfngsähnlichen Msterafgaben. Das vorliegende Skript ist wie das vorhergehende - ganz af die Unterrichtsprais abgestimmt nd bietet dem Schüler eine Fülle von Möglichkeiten selbstständig z üben. Der Lehrer mss eigentlich immer nr den nächsten Schritt erklären nd dem Schüler bei Fragen helfend nd antwortend zr Seite stehen. Eine optimale Vorassetzng besteht, wenn zvor in der. Klasse das Skript über ganz rationale Fnktionen drchgearbeitet worden ist. Die Inhalte werden in kleinen Schritten entwickelt nd regen afgrnd der vielen Übngen z selbstständigem Lernen an. Der Stoff kann in einer Epoche veranlagt nd dann in einzelnen Fachstnden erfolgreich weiter vertieft werden. Vom Nivea her orientieren sich die Inhalte an der Fachhochschl-Reife-Prüfng in BW. Wer das Abitr anstrebt, mss darüber hinas in späteren Klassen noch weitere Kenntnisse erwerben, die in diesem Skript znächst einmal nicht behandelt werden. Am Ende sollte der Schüler allein mit Hilfe der FORMELSAMMLUNG ähnliche Afgaben bewältigen können. Viel Erfolg nd Spaß beim selbstständigen Lernen. Jens Möller, Owingen im Feb. 0

4 INHALT Seiten GEBROCHENRATIONALE FUNKTIONEN. Tp nd Variationen 0. Tp nd Variationen 0 Verschiebngen von Krven 0 Msterafgabe A 05 Msterafgabe B 08 Afgabe C 0 Afgabe D Übersicht über die wichtigsten Ableitngsregeln Herleitng der Kettenregel 5 Afgabe E, Fnktionen mit Smmen im Nenner 6 Herleitng der Prodktregel 8 Herleitng der Qotientenregel 9 Fnktionen mit Smmen im Nenner 0 Afgabe F Afgabe G 5 Afgabe H 7 Afgabe I 9 MINI-MAX-AUFGABEN mit Nebenbedingngen EXPONENTIALFUNKTIONEN 5 Spiegelngen, Verschiebngen 7 INTEGRALE EXPONENTIALGLEICHUNGEN Msterafgaben 6 FORMELSAMMLUNG 58

5 GEBROCHENRATIONALE FUNKTIONEN Eine Fnktion heißt gebrochenrational, wenn man sie in folgender Form schreiben kann: f( ) Z( ) N( ) dabei sind der Zähler Z() nd der Nenner N() ganzrationale Fnktionen..TYP: Wertetabelle: 0 Ableitngen: UEIGENSCHAFTENU Die Krve besitzt im Endlichen keine Nllstellen, keine Etrem- nd Wendepnkte. Sie ist pnktsmmetrisch zm Ursprng. Die -Achse nd die -Achse berühren die Krve im Unendlichen. Man nennt die - Achse eine waagerechte Asmptote nd die -Achse eine senkrechte Asmptote [= Polstelle]. Eine Asmptote ist eine Tangente, die die Krve im Unendlichen berührt. Varianten: UEIGENSCHAFTENU Keine Nllstellen Keine Etrempnkte Keine Wendepnkte waagerechte Asmptote: = 0 [-Achse] senkrechte Asmptote: = [Parallele zr -Achse] (= Polstelle) = - -

6 EIGENSCHAFTEN Keine Etrempnkte Keine Wendepnkte waagerechte Asmptote: = = senkrechte Asmptote: = 0 Nllstellen: + = 0 0 N( /0) AUFGABE Zeichne die Krve mit der Gleichng, 5 Berechne die Nllstellen nd die Etrempnkte. Ableitngen: ² ³ = / +,5 schiefe Asmptote:, 5 [= ganzrationaler Anteil der Fnktion] senkrechte Asmptote: = 0 [= Nllstelle des Nenners] [= Polstelle] Beim Schabild zeichnet man zerst die beiden Asmptoten. Von der schiefen Asmptote asgehend trägt man anschließend die gebrochenrationalen Anteile ab nd erhält so die geschte Krve. Nllstellen: +,5 + = 0 ² + + = 0 N( /0) nd N( /0) UEtrempnkteU: ² ² 0 / ² 0 HP( /0,08) nd 0 TP( /,9) ( ) ( ) - -

7 AUFGABE Zeichne die Krve mit der Gleichng. Berechne die Nllstellen. UNllstellen: = 0 -² = 0 :(-) ² - -,5 = 0 N (-0,6/0) nd N (,6/0) schiefe Asmptote: = - / + Senkrechte Asmptote: = 0 [Polstelle mit Zeichenwechsel]. TYP: ² UEIGENSCHAFTEN Keine Nllstellen, Etrem- oder Wendepnkte. Smmetrie zr -Achse Asmptoten: = 0 nd = 0, [Polstelle ohne Zeichenwechsel] Varianten: Zeichne die Krve mit der Gleichng ² Berechne den Tiefpnkt. ³ 0, TP(,587/-0,809) = / - - -

8 AUFGABE Zeichne die Krve mit der Gleichng. ² Bestimme den Hochpnkt. Berechne die Fläche, die im. Qadranten von der -Achse, der -Achse, der schiefen Asmptote, der Krve nd der Geraden = (mit > ) eingeschlossen wird. Wie groß ist diese Fläche für? Hochpnkt: 8 ³ ³ ³ ³ 8 8 HP( /0) = + Flächenberechnng: A ( ) ATrapez d A d ² ² Trapez - = ( ),5 : ( ),5,5 A d A ( ),5 7,5 Grenzwert: limes A( ) 7,5FE krz lim A() 7,5FE Verschiebng von Krven Für die Verschiebng von Krven gilt folgendes allgemeines Prinzip: Verschiebng in -Richtng m die Strecke a: ersetze drch ( a) Verschiebng in -Richtng m die Strecke b: ersetze drch ( b) Beispiel: Verschiebe die Parabel mit der Gleichng m Einheiten nach rechts nd m Einheiten nach nten: ² ( )² ² 0,5 ² - -

9 MUSTERAUFGABE A [FHR - /995] a) Gegeben ist die Fnktion f drch f( ) = + +, mit 0. Unterschen Sie ihr Schabild K f af Asmptoten, Hoch-, Tief- nd Wendepnkte. b) Zeichnen Sie K f sowie seine Asmptoten mit LE = cm für 0,5. c) Eine Tangente t an K f geht drch P(/ 9 ). Stellen Sie die Gleichng dieser Tangente af. t schneidet K f noch einmal im Pnkt Q nd die schiefe Asmptote im Pnkt R. Berechnen Sie die Koordinaten von Q nd R. Zeichnen Sie die Tangente t in das vorhandene Koordinatensstem ein. 7 d) K f nd die Geraden mit den Gleichngen =- +, = + nd = mit > schließen eine Fläche ein. Berechnen Sie allgemein den Term A() für ihren Flächeninhalt. Bestimmen Sie lim A(). e) Eine Fnktionenschar f t ist gegeben drch t ft ( ), mit 0 nd t > 0. t Bestimmen Sie den geometrischen Ort aller Tiefpnkte der zgehörigen Scharkrven

10 LÖSUNGEN ³ ² f ( ) oder f ( ) ² 6 f( ) f( ) f( ) ( ) ³ Asmptoten: a) schiefe Asmptote (= ganzrationaler Anteil der Fkt.): b) senkrechte Asmptote (= Nllstelle des Nenners): N 0 / 0 Die senkrechte Asmptote heißt ach Polstelle. Regel: einfach zählende Polstelle Polstelle mit Zeichenwechsel doppelt zählende Polstelle Polstelle ohne Zeichenwechsel Hoch- nd Tiefpnkte bestimmen: f( ) 0 0 ³ 80 ³ 8 Regel: Ein Brch hat den Wert Nll, wenn sein Zähler gleich Nll ist. Daher genügt es, den Zähler gleich Nll z setzen. 6 Nachweis für TP: f() 0 TP(/,75) 8 6 Wendepnkt: keiner, da f( ) 0, der Brch kann nicht Nll werden, weil der Zähler stets ngleich Nll ist. b) Q 5 Hinweis: Zerst die schiefe Asmptote zeichnen. Von dort asgehend K f P = / + die Werte für ² ab- R tragen. -,5 = - 6 -

11 c) 9 7 Tangentengleichng: m( ) mit P(/ ) nd m f () t: 7 t K f : ² ² ³ ² 7 ³ 6 ² Polnomdivision: 7 8³ ² 0 : ( ) / bekannt ist Linearfaktor ( ³ ² ) : ( ² ) 0 Q( /,875) t Asmptote : R (,5/,75) d) Flächenberechnng: Die Fläche setzt sich as zwei Teilen zsammen.,5,5, ² ² ( ) A d d,5 A ²... FE A d... d ²,5,5,5,5 A A A ges Grenzwert: lim A ( ) 0,75 FE e) allg. Tiefpnkt / Ortslinie: t ³ t² ft ( ) t t² t² t (Zm Ableiten mss der Brch afgesplittet nd mgeformt werden.) ft ( ) t t t t ³ 8 f t( ) f t ( ) t t t³ t t Tiefpnkt: ³ 80 f t () t t t f() 0 TP( / ) Alle Tiefpnkte liegen af der Geraden =. t 6 t t t - 7 -

12 MUSTERAUFGABE B [FHR - /988] a) Gegeben ist die Fnktion f drch f( ) mit 0. Unterschen Sie ihr Schabild K f af Smmetrie, Asmptoten, Schnittpnkte mit der Achse, Hoch-, Tief- nd Wendepnkte. b) Zeichnen Sie die Krve K sowie ihre Asmptoten für 5. (Wählen Sie LE = cm.) c) Stellen Sie die Gleichng der Tangente t an K im Krvenpnkt B( / B ) af. Berechnen Sie den Schnittpnkt von t mit der schiefen Asmptote. Berechnen Sie ebenso den Schnittpnkt von t mit der Krve K. Zeichnen Sie t in das vorhandene Koordinatensstem ein. d) Eine Gerade mit der Gleichng = +, die schiefe Asmptote, die Gerade mit der Gleichng = (mit > ) sowie die Krve K mschließen ein Flächenstück. Berechnen Sie allgemein den Term A() für den Flächeninhalt. Bestimmen Sie lim A(). e) Vom Pnkt T(0/) as kann man zwei Tangenten an die Krve K legen. Bestimmen Sie die Koordinaten der beiden Berührpnkte. Wie laten die beiden Tangentengleichngen? - 8 -

13 LÖSUNGEN a) Smmetrie: ( ) f( ) ( ) f ( ) f ( ) keine Smmetrie Schiefe Asmptote: f( ) afsplitten Senkrechte Asmptote: N (Polstelle) 0 0 / 0 Ableitngen: f( ) 8 8 f( ) 8 f( ) Nllstellen: Etrempnkte: Z N 0 0,59 (,59/0) Z Drehsinn: f() 0 TP(/) 6 D b) A Zeichnng: zerst die schiefe Asmptote, A dann die Krvenpnkte B = c) f B( / ) m m( ) t: B ( ) ( ) B B tasmptote: C( / ) t K D(/ 5) [mit Polnomdivision] d) Fläche: f C A ( ) A A ( ) d ( ) d ( ) d d... Grenzwert: lim A( ) lim FE e) B( /5) t: 7 f( ) f ( ) ( ) T(0 /) / B( /) t : 9 T( / ) - 9 -

14 AUFGABE C [FHR /995] a) Gegeben ist die Fnktion f drch ( ) f( ) mit 0. Ihr Schabild sei K. Unterschen Sie K af Smmetrie, Asmptoten nd Schnittpnkte mit der -Achse. Zeichnen Sie K nd die Asmptoten mit LE = cm für 0,75. b) Die Tangente t im Pnkt P( / P ) schneidet K nochmals im Pnkt Q. Stellen Sie die Gleichng von t af nd berechnen Sie die Koordinaten von Q. c) Die Geraden mit den Gleichngen = nd = mit >, die -Achse nd die waagerechte Asmptote bilden ein Rechteck. Die Krve K teilt dieses Rechteck in zwei Teilflächen A nd A. Stellen Sie zr Berechnng der Flächeninhalte dieser Teilflächen allgemein die Terme A ( ) nd A ( ) af. Bestimmen Sie anschließend so, dass A ( ) A( ) wird. d) Die Tangente an K drch B(b/f(b)) mit b > 0 sei t B. Stellen Sie allgemein die Gleichng von t B af. Berechnen Sie b so, dass t B drch T(0/) geht. e) Zsatzafgabe: [Mini-Ma-Afgabe] Die Pnkte C(0/5), B(/f()) nd A(-/f()) spannen ein Dreieck af. Bestimmen Sie so, dass der Inhalt des Dreieckes etremal wird. [Unterschng für > 0] Von welcher Art ist das Etremm? - 0 -

15 LÖSUNGEN 5 a) f( ) ( ) 8 f 8 afsplitten t A B A = ( ) f P T Smmetrie zr -Achse wegen f ( ) f( ) Asmptoten: a) (waagerechte Asmptote) b) / 0 (Polstelle ohne Zeichenwechsel) Nllstellen: Z N 0 0 / /( /0) alternativ: 0 0 sw. (siehe oben) f 0 nd m f 8 nd m( ) t : 8 8 b) P ( ) ( ) t K : / ist bekannt (Berührpnkt) Polnomdivision Q(0,5/ ) c) Flächen: A( ) d 8 ARechteck ( ) A ( ) AR. eck A Setze A A nd ( entfällt wegen ) d) allg. Tangente: 8 f( b) f ( b) ( b) ( b) b b T (0/) einsetzen e) Fläche: 8 8 (0 b) b B(/) b b b b (5 f( ) ) A ( ) 5 8 A( ) A( ) setze A( ) 0 0 Nachweis A( ) 0 Minimm - -

16 AUFGABE D [FHR /99] a) Eine Fnktionsschar ist gegeben drch a 6 fa ( ) mit a0 nd 0 Bestimmen Sie die. Ableitng. Bestimmen Sie a so, dass die Fnktion an der Stelle die Steigng m hat. Wie latet dann die Fnktionsgleichng? b) Gegeben ist die Fnktion f drch 8 f( ) mit 0 Unterschen Sie das Schabild K af Asmptoten, Schnittpnkte mit der -Achse, Hoch-, Tief- nd Wendepnkte. Zeichnen Sie K für nd mit LE = cm. Zeichnen Sie ach die Asmptoten ein. c) Stellen Sie die Gleichng der Tangente an K im Pnkte N(/ N ) af. Bestimmen Sie den Schnittpnkt Q dieser Tangente mit der Geraden g:. d) Die Gerade h: = hat mit K die Pnkte P nd N gemeinsam. Bestimmen Sie die Koordinaten von P. e) Die Gerade g, K nd zwei weitere Geraden mit den Gleichngen = nd = c (c > ) schließen eine Fläche mit dem Inhalt A(c) ein. Bestimmen Sie A(c) sowie lim A(c). c f) Vom Pnkt T(0/ ) as kann man zwei Tangenten an die Krve K legen. Bestimmen Sie die beiden Berührpnkte sowie die beiden Tangentengleichngen. - -

17 LÖSUNGEN a) Fnktion afsplitten nd ableiten: a 6 a a f ( ) a a a f a( ) 8 8 Q = c Bedingng: m f a ( ) ( ) a 8 a ( ) a B t T t N f( ) 6 8 P h b) 8 f ( ) 8 6 f( ) 8 f ( ) Asmptoten: nd / 0 ( Polstelle ohne Z. W.), N ( / 0) nd HP(,5 /,89) kein WP c) h: gh Q(/,5) d) h K 0 Polnomdivision bekannt ( ) / ( 0):( ) 0 P( /,5) e) c c c c A( c) f( ) d d d c c lim A c ( c) FE f) allg. Tangente: f( ) f ( ) ( ) T(0/ ) / B(/ 0) t : B ( / ) t : - -

18 ÜBERSICHT ÜBER DIE WICHTIGSTEN ABLEITUNGSREGELN Smmenregel: ( ) v( ) ( ) v ( ) Regel ist bekannt Prodktregel: ( ) v( ) ( ) v( ) ( ) v ( ) Beweis folgt noch Qotientenregel: v v Beweis folgt noch v ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v( ) d d Kettenregel: ( ( ) ) Beweis folgt noch d d äßereabl. innereabl. MERKE d lim sprich " d nach d" d 0 BEISPIELE FÜR DIE KETTENREGEL ) d setze innere Ableitng d 5 ( ) 5 ableiten d 5 d äßere Ableitng d d d äßere mal innere Ableitng einsetzen d d d 5( ) 0( ) ) ( ) ² ² d d d ( ² ) d d d d d ( ) ( ) - -

19 HERLEITUNG DER KETTENREGEL Znächst mss daran erinnert werden, wie die Ableitng einer Fnktion definiert ist (nachzlesen im Skript der letzten Epoche). d f ( ) f ( ) lim lim lim d 0 0 ist also nr ein Smbol für einen komplizierten Sachverhalt. d heißt Differentialqotient. d So viel zr Erinnerng. Af die oben genannte Definition mss man zrückgreifen, wenn man die Kettenregel verstehen will. ( ) ( ) ist eine äßere Fnktion, die von einer inneren Fnktion abhängt, welche wiederm von der Variablen abhängt. Beim Ableiten verfährt man so, als würde man die innere Fnktion gar nicht kennen (black bo), nd bestimmt znächst einmal die äßere Ableitng. Danach schat man af die innere Fnktion (black bo öffnen) nd bildet die innere Ableitng. Das Prodkt as äßerer nd innerer Ableitng ist die Gesamtableitng der Fnktion. äßere innere Ableitng Dass diese Regel richtig ist, ergibt sich as der Definition der. Ableitng (siehe oben): d d d d d d d d d d Weitere Beispiele: ( ) 7 ( ) 8 56 ( ) äßereabl. innereabl. e es gilt Vorblick af die nächste Epoche e e e e e äßere Abl. innere Abl. es gilt Vorblick af weitere Epochen - 5 -

20 AUFGABE E a) Gegeben ist die Fnktion f drch f( ) Bestimme die schiefe nd die senkrechten Asmptoten. Bestimme die erste Ableitng. Beachte die Kettenregel. Bestimme die Tangentengleichng im Schnittpnkt der Krve mit der -Achse. Prüfe, ob die Krve bei =,5 eine Nllstelle hat. Zeichne die Krve im Bereich 5,5 nd, 5, 5 nd,5 5 b) 8 Gegeben ist die Fnktion f drch f( ) Bestimme die Asmptote. Bestimme die Nllstellen. Bestimme die erste Ableitng. Beachte die Kettenregel. Bestimme den Etrempnkt. Af den Nachweis drch die zweite Ableitng wird hier verzichtet. Zeichne die Krve im Bereich 5 5. c) Gegeben ist die Fnktion f drch f( ) ( ) Bestimme die Asmptoten. Bestimme die Nllstellen. Bestimme die erste Ableitng. Beachte die Kettenregel. Bestimme die Gleichngen der Tangenten in den Nllstellen. Zeichne die Krve im Bereich

21 LÖSUNGEN a) Asmptoten: Polstellen: 0 / zwei einfache Polstellen UmitU Zeichenwechsel Ableitng: f( ) ( ) 8 f( ) ( ) ( ) f 0 t: (0) f (,5)... 0,008 keine Nllstelle bei =,5. b) Asmptoten: Polstellen: 0 / Lösng imaginär keine Polstelle Nllstellen: N( 6/0) nd N( 6/0) Ableitng: f( ) 8( ) ( ) 8( ) f 6 ( ) f ( ) 0 Z 0 0 HP (0 / ) c) f( ) ( ) Asmptoten: Polstelle: ( ) 0 / doppelt zählend UohneU Zeichenwechsel Nllstellen: N(/ 0) nd N (/ 0) ()() 8 Ableitng: f( ) ( ) ( ) Tangenten: t : 86 nd t : 8-7 -

22 HERLEITUNG DER PRODUKTREGEL v wird hier d ar gestellt als Fläche eines Rechteckes. v v v + Länge v Breite Fläche v () Fläche () = v v v () Längenzwachs v Breitenzwachs Flächenzwachs Gescht: () + d lim Definition der Ableitng d 0 Ansatz: vv v : v v v d dv d dv v d d d d d lim o (Grenzübergang) v v d v d 0 v v anders sortiert v v v PRODUKTREGEL BEISPIELE. () e v e () e ( ) e () e v v. e v e e ( ) ( ) e v v ( ) e mal die innere Ableitng - 8 -

23 HERLEITUNG DER QUOTIENTENREGEL () ( ) Der Qotient wird znächst als Prodkt geschrieben. v ( ) Für v v setzt man w ein. Damit ergibt sich: v w Jetzt findet die Prodktregel Anwendng. () w w Bestimmng von w: ( ) w w? v w v( ) Die Kettenregel anwenden nd ableiten. v w dv dv v ( ) d äßere Ableitng innere Ableitng d v = innere Ableitng () v w v () in () einsetzen v v v v vv v v v v v () v v QUOTIENTEN-REGEL v v BEISPIEL NEBENRECHNUNG ² v v v v ² vv Werte einsetzen v ( ² ) ² ² ² ² ² ² ² ² - 9 -

24 FUNKTIONEN MIT UND OHNE SUMME IM NENNER Afgabe f( ) Schabild Bestimme den Etrempnkt. Afgabe f( ) Schabild Asmptoten ( ): Polstellen: keine, da ( N 0) Bestimme die Wendepnkte nd die Wendetangenten. Wo schneiden sich die Wendetangenten? Afgabe f( ) Schabild Asmptoten ( ): Polstellen ( N 0) : nd Bestimme den Schnittpnkt S mit der -Achse nd die Tangente in S

25 RECHNUNGEN (z Afgabe ) f( ) f( ) 6 8 f( ) 0 Etrempnkte: 0, 9 f (, 9),5, 77..., 9 8 Nachweis: f(,9) 0,65 0 T(,9 /,77), 9 (z Afgabe ) f( ) Ableitng mit Kettenregel / Qotientenregel 0( ) f( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Wendepnkte: / 0 W( /,5) nd W (/,5) Wendetangenten: m f( )... 5,5 Schnittpnkt: S w(0 / 5,5) m f( )... 5,5 (z Afgabe ) 0 S(0/ ) 6 f ( ) f (0) t: ( ² ) - -

26 AUFGABE F [FHR /996] Afgabe mit Wendepnkt a) Eine Fnktion ist gegeben drch 9 9 f( ) mit 0. Ihr Schabild ist K. Unterschen Sie K af Asmptoten, Nllstellen, Hoch-, Tief- nd Wendepnkte. b) Zeichnen Sie K für mit LE = cm. c) Bestimmen Sie die Gleichng der Tangente t an K an der Stelle =. Weisen Sie nach, dass t mit K im. Qadranten keine gemeinsamen Pnkte hat. [Verfahren: Berechnen Sie die Schnittstelle nd zeigen Sie, dass die Lösng einen imaginären Wert (d.h. keinen reellen Wert) ergibt.] d) Die Krve K, die -Achse nd die Gerade mit der Gleichng = (mit > ) schließen eine Fläche ein. Bestimmen Sie deren Inhalt A() nd lim A( ). e) Mini-Ma-Afgabe: Die Pnkte N(/0), Q(/0) nd R(/f()) mit > bilden ein Dreieck. Geben Sie dessen Inhalt A() an. Ermitteln Sie so, dass A() maimal wird. Bestimmen Sie lim A ( ). f) Zsatzübngen Bilden Sie die Ableitngen mit Hilfe von Ketten-, Prodkt- nd Qotientenregel: ) ) e e 7 ) e 7) 5) e 8) 5 0 ) e 6) e - -

27 LÖSUNGEN a) 9 9 f( ) afsplitten f( ) ableiten f( ) f( ) f( ) Nllstellen: Z N(/0) Etrempnkte: Z f( ) 0 HP( / ) Wendepnkt: Z WP(/ ) ; f () b) Zeichnng t P H R N - -

28 c) P( / ) m f t: ( ) Kt: 77 0 bekannt ( ) ( ² 6 9) / Polnomdivision: ( 0 77) : ( ² 69) / ist imaginär, daher eistiert kein weiterer S.Pkt. 6 d) 9 9 A( ) d 9 d 9 Fläche: 9 9 A ( ) 9 ( ),5 ² lim A( ),5FE e) Mini-Ma-Afgabe: 9( ) 9 ( ) ( ) A gh f ( ) ( ) ( ),5 ( ) A( ),5,5,5,5 A ( ),5,5 A ( ) 0 / A ( ),5 A 5 () 9 0 ma Grenzwert: lim A( ) lim,5,5 0 0 f) Ableitngen mit Hilfe der Ketten-, Prodkt- oder Qotientenregel: () e () e (7) ² 5 () e 7 (5) ( ) e (8) 0 () ( ) e e (6) ( ) - -

29 AUFGABE G ³ ² Gegeben ist die Fnktion f drch f( ) ² Ihr Schabild sei K. a) Unterschen Sie K af Asmptoten, Hoch- nd Tiefpnkte. Zeichnen Sie K samt Asmptoten im Bereich 0,5 nd 0,5 [ LE = cm]. Wie latet die Gleichng der Krventangente im Pnkt R(/...)? b) Eine Parabel P soll die Krve K an der Stelle = berühren nd aßerdem drch den Pnkt A (/) gehen. Stellen Sie die Gleichng der Parabel af nd zeichnen Sie Ihr Schabild in das vorhandene Koordinatensstem ein für 6. c) Berechnen Sie das Flächenstück, das die Krve K, ihre schiefe Asmptote, die Parabel P g ( ) 8 ² nd die Gerade = für > miteinander einschließen. Welcher Flächeninhalt ergibt sich für? d) Gegeben ist der Pnkt T (0/-5). Von ihm as können zwei Tangenten an die Krve K gelegt werden. Wie laten die Gleichngen der Tangenten nd welche Koordinaten haben die Berührpnkte? e) Mini-Ma-Afgabe: Af der Krve K liege ein Pnkt Q (/v) im. Qadranten. Die Parallelen drch Q z den beiden Koordinatenachsen, die -Achse nd die Gerade = spannen zsammen ein Rechteck af. Für welchen Wert von besitzt der Flächeninhalt des Rechteckes einen Etremwert? Welcher Art ist das Etremm? Wie groß ist die etremale Fläche? [Hinweis: Achten Sie daraf, dass die Seitenlängen des Rechteckes positiv sind!] f) Zsatzübngen Bilden Sie die Ableitngen mit Hilfe von Ketten-, Prodkt- nd Qotientenregel: ) ) e e ) e 7) 5) ( ) e 8) 5 ² ) () e 6) e - 5 -

30 LÖSUNGEN ³ ² a) f( ) ² ³ 8 f( ) f( ) Asmptote: für : = - - Q R t 8 = Polstelle: N 0 / 0 ohne Z. W Etr.Pkt: f ( ) 0 Z 0 ³ 8 0 Drehsinn: f( ) 0 HP( / 0,5) b) Parabel: g( ) a² bc g( ) a b T Tangente t: 0,5 Bedingngen: g, 5 g g g ² PARABEL () () () ( ) 8 c) 8 ² Fläche: ( ) ( ) Parabel Asmptote 8 8 A g f d... 0, FE A f d d 0, 707 ( ) 8 8 d) ( ) ( ) A ( ) A A 0,78 lim A( ) 0,78 FE f f ( ) T(0/ 5) B(/ 0,5) B ( /,5) t :,55 t :,5 5 e) A( ) ( ) ( f( ) ) ² [ ist negativ, daher ist ( ) eine positive Strecke.] A 0 A 0 Minimm A,8FE ( ) ( ) 8 min f) Ableitngen mit Hilfe der Ketten-, Prodkt- oder Qotientenregel: () e () ( ) () e () e e (5) ( ) e (6) ( ) e (7) (8) ² 5 0 ² ²

31 AUFGABE H Gegeben ist die Fnktion f drch f( ) mit 0. Ihr Schabild sei K. a) Unterschen Sie K af Smmetrie, Asmptoten, Nllstellen nd Hoch-, Tief- nd Wendepnkte. Zeichnen Sie K samt Asmptoten im Bereich nd [ LE = cm]. Wie latet die Gleichng der Krventangente im Pnkt R(/...)? b) Eine Parabel P soll die Krve K an der Stelle = berühren, aßerdem soll ihr Scheitel af der -Achse liegen. Stellen Sie die Gleichng der Parabel af nd zeichnen Sie Ihr Schabild in das vorhandene Koordinatensstem ein für. c) Berechnen Sie das Flächenstück, das von der Krve K, ihrer waagerechten Asmptote, der - Achse, der Parabel P g ( ) nd der Geraden = für > eingeschlossen wird. Welcher Flächeninhalt ergibt sich für? d) Gegeben ist der Pnkt T (0/-). Von ihm as können zwei Tangenten an die Krve K gelegt werden. Wie laten die Gleichngen der Tangenten nd welche Koordinaten haben die Berührpnkte? e) Mini-Ma-Afgabe: Af der Krve K liegt ein Pnkt A(/v) mit > 0, ebenso liegt der Pnkt B(-/v) af der Krve K. Ein weiterer Pnkt hat die Koordinaten C(0/). Für welchen Wert von besitzt der Flächeninhalt des Dreieckes ABC einen Etremwert? Welcher Art ist das Etremm? Wie groß ist die etremale Fläche? f) Bilden Sie die Ableitngen mit Hilfe von Ketten-, Prodkt- nd Qotientenregel: ) e ) e 7) ( ) e ) e 5) ² e 8) e Vorsicht Falle! ) ² e 6) ( ) e 9) ² LÖSUNGEN - 7 -

32 a) ² 8 f( ) f( ) ² ² Smmetrie zr -Achse wegen f ( ) f( ) Asmptote: Polstelle: / 0 ohne ZW. = R = N ( /0) N (/0) kein Etrempnkt Tangente: t: t b) Parabel: g( ) a² b c c) I : g 0 II : g f III : g 0 g ² () () () (0) ( ) Fläche: Grenzwert: ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) 5 0 A g d f d lim A 5 ( ) FE d) allg. Tangente: f( ) f ( ) ( ) T(0/ ) B ( / ) nd B (/ ) t : 8 nd t : 8 e) Mini-Ma-Afgabe: A gh ( f ) ( ) ( ) ( ) ² A 0 ( ) ² ² A () 0 Minimm A A FE min () f) ) e ) ( ) e 7) () e ) 5) ( ²) e e 8) e ² e 6) ( ) e 9) ) ( ) ( ² ) ² ( ) ( ) - 8 -

33 AUFGABE I Gegeben ist die Fnktion f drch Ihr Schabild sei K. f( ) mit 0. a) Unterschen Sie K af Asmptoten, Nllstellen, Hoch-, Tief- nd Wendepnkte. Berechnen Sie den Schnittpnkt S der Krve mit der waagerechten Asmptote. Zeichnen Sie K samt Asmptoten im Bereich -6 - nd 0,5 [ LE = cm]. Wie latet die Gleichng der Krventangente im Pnkt S? b) Eine Parabel P soll die Krve K an der Stelle nd an der Stelle berühren. Stellen Sie die Gleichng der Parabel af nd zeichnen Sie Ihr Schabild in das vorhandene Koordinatensstem ein für, 5, 5. c) Gegeben ist eine weitere Krve C mit der Gleichng h ( ). Zeichnen Sie C für 5. Berechnen Sie das Flächenstück, das von der Krve K, der Krve C nd der Geraden = ( > ) im. Qadranten eingeschlossen wird. Welcher Flächeninhalt ergibt sich für? d) Gegeben ist der Pnkt T (0/-). Von ihm as können zwei Tangenten an die Krve K gelegt werden. Wie laten die Gleichngen der Tangenten nd welche Koordinaten haben die Berührpnkte? e) Mini-Ma-Afgabe: Af der Krve C liegt im. Qadranten ein Pnkt Q(/v) mit > 0. Drch Q nd die beiden Koordinatenachsen wird ein Rechteck festgelegt. Bestimmen Sie so, dass der Umfang des Rechteckes minimal wird

34 LÖSUNGEN a) f( ) ² 8 8 f( ) H W K C 8 8 f( ) = f( ) 5 5 Asmptote: Polstelle: / 0 ohne ZW. N(,8/0) N(0,8/0) HP( / ) mit f 0 WP(/,88) mit f 0 () () Schnittpnkt: S(/) t: b) Parabel: g( ) a² bc nd g( ) a² b I : g II : g f III : g f g ² () () () ( ) ( ) ( ) c) Fläche: Schnittstelle berechnen für f( ) h( ) A( ) Grenzwert: lim A( ) 0 d d d) allg. Tangente: f( ) f ( ) ( ) T(0/ ) e) Mini-Ma-Afgabe: B ( / ) nd B ( / ) t : nd t : U( ) h( ) U ( ) U ( ) 8 U ( ) U () 0 Minimm entfällt - 0 -

35 MINI-MAX-AUFGABEN Beispiel: Bei einem Bch ist für den bedrckbaren Teil einer Seite eine rechteckige Fläche mit dem Inhalt 60cm² festgelegt. Die Ränder sollen oben nd nten je cm, links nd rechts je l cm breit werden (siehe Skizze). Bei welchen Seitenmaßen ist der Papierverbrach am kleinsten? Lösng: Breite: + (in cm) Höhe: + (in cm) Fläche: A cm cm cm mit > nd >. 60 cm² cm cm cm Nebenbedingng: Einsetzen: 70 Ableitng: A ( ) Minimm: A A ( ) : -Wert 80,6 cm min Breite: 5,cm -Wert min 60 6,8 cm, 6 Höhe: 0,8cm Fläche: Amin 5,60,8 75, cm² Ergebnis: Für eine Breite von ngefähr 5, cm nd eine Höhe von ngefähr 0,8cm ergibt sich eine Seite mit optimaler Asntzng, d.h. mit kleinstem Papierverbrach. Dieser beträgt ngefähr 75cm². Für das innere Rechteck ergibt sich eine Seitenverhältnis von :. - -

36 DIE IDEALE KONSERVENDOSE Es soll eine zlindrische Blechdose so hergestellt werden, dass das Volmen 850 ml beträgt nd der Materialverbrach minimal ist. Wie groß müssen Radis, Drchmesser nd Höhe der Dose gewählt werden? r U = r Mantel = rh h r² Znächst mss die Flächenfnktion afgestellt werden: F Kreisflächen Mantelfläche Fr² r h Nebenbedingng: Vr² h h V r² Drch Einsetzen für h erhält man: V V V F r² r r² ( r² ) r² r r setze V = 850 ml F ( r² 850 r ) 850 r F ( r² ) r² 700 r Ableitngen F r 700 ( ) r r 700 r² F 700 ( ) r 00 r³ - -

37 F r² r 0 r³ r³ r 5,.. cm 00 5,³ F (5,) 7, 7 0 Minimm optimaler Drchmesser: dmin rmin 5, 0,7 cm 850 optimale Höhe: h min r² 5,² 0,7cm Ergebnis: Bei einer optimalen Blechdose sind Drchmesser nd Höhe gleich groß Fläche F Schabild der Fnktion: Minimm Radis r r = 5, reale Dosen im Spermarkt: Flüssiger Inhalt: V = 850 ml Abmessngen: d 0 cm nd h cm V 86,9 ml = Flüssigkeit + Lft Ideale Werte: r 5,6cm 86,9 min min min 86,9 rmin F r 50,8cm² Reale Werte: r 5 cm F r h r² 55² 50,65 cm² Die Abweichng vom Idealwert ist sehr gering ( 0,% ), so dass bei der Herstellng einer Blechdose keine großen Mehrkosten entstehen. Der Grnd dafür, dass der Drchmesser mit 0 cm gewählt wird (etwas z klein), liegt bei der menschlichen Hand, deren Spannweite zwischen Damen nd Zeigefinger eben gerade 0 cm beträgt. - -

38 Afgabe: In einem Zoo beträgt der Platzbedarf für ein rechteckiges Gehege (in Fig. gra) einschließlich der Streifen m das Gehege insgesamt 6000m². Die Streifen sind Abgrenzngen z den Beschern bzw. z anderen Bereichen des Zoos. Sie sind versicherngsrechtlich vorgeschrieben nd haben die angegebenen Maße (in m). Wie groß kann der Flächeninhalt des Geheges höchstens werden? m m m m Bescher Afgabe: Der Qerschnitt eines nterirdischen Entwässerngskanals ist ein Rechteck mit afgesetztem Halbkreis. Wie sind Breite nd Höhe des Rechteckes z wählen, damit die Qerschnittsfläche 8m² groß ist nd zr Asmaerng des Kanals möglichst wenig Material benötigt wird? Lösngen: Fläche: A Nebenbedingng: ( ) ( ) 6000 Ergebnisse: ma 6, 5 m ma 9,86 m Ama 566,5 m² Umfang: U = halbe Breite Nebenbedingng: A Rechteck Halbkreis ² 8 nach aflösen Fnktion: 8 U( ) 0,5 Ergebnisse: min,5 m min,5 m Umin 0, 7 m - -

39 ELEMENTARE EINFÜHRUNG IN DAS GEBIET DER E-FUNKTIONEN - 5 -

40 GRUNDTYP 5 = e e e =,7 P - - EIGENSCHAFTEN Der Steigngswert ist immer so groß wie der dazgehörige Fnktionswert. Die E-Fnktion bleibt beim Ableiten invariant. E - Fnktion bleibt E - Fnktion. MERKE FUNKTION ABLEITUNG INTEGRAL : ( ) ( ) ( ) ( ) e e e e e de c ASYMPTOTE für 0 ( negative Achse) MERKE e WERTEBEREICH 0 -Werte, die die Fnktion annehmen kann. e e e 0 e e e 0 MERKE e oder e ist für alle Werte positiv kann daher nicht Nll werden. - : -, HAT KEINE Nllstellen, Etrempnkte oder Wendepnkte - 6 -

41 SPIEGELUNGEN AN DER Y-ACHSE 5 ersetze drch (- ) e - AN DER X-ACHSE ersetze drch (- ) - - e e 5-7 -

42 SENKRECHTE VERSCHIEBUNGEN DER KURVE e a sind DRAUFHOCKER e a ist die Asmptote wegen lim e 0 BEISPIELE = + e - Asmptote - - = - + e Asmptote e a sind DRANHÄNGER e a ist die Asmptote wegen lim e 0 BEISPIELE Asmptote = - e Asmptote = - e

43 ALLGEMEINER FUNKTIONSTYP k ab e a = Lage der waagerechten Asmptote. b = Abstand zwischen Asmptote nd Krvenschnittpnkt mit der -Achse. k = Maß für Krvenanstieg bzw. abstieg. Alle Parameter können sowohl positiv als ach negativ sein. ZEICHNUNG Fürs Darstellen der Krve im Koordinatensstem beginnt man mit dem Zeichnen der Asmptote ( = a). Das Vorzeichen von b sagt einem dann, ob es sich m eine Krve handelt, die af der Asmptote hockt (b > 0) oder eine Krve, die an der Asmptote hängt (b <0). WEITERE BEISPIELE 5 Asmptote = - e - 0,5 = e - 0, Asmptote = - + e - = - e - 9 -

44 VERSCHIEBUNG DER KURVE IN X-RICHTUNG c = waagrechte Verschiebng ersetze drch ( - c ) e 05, ( ) e 05, e 05, ( 5) BEISPIELE 5 c = - c = DIFFERENZIATION VON E-FUNKTIONEN Welche Regeln sind anzwenden? a) b) Grndregel (E-Fkt bleibt E-Fkt) e e Konstantenregel a e a e c) d) k c k c e e k äßere Abl. innere Abl. e e e äßere Abl. innere Abl. Kettenregel Kettenregel e) v v v Prodktregel EINFACHE BEISPIELE f) e 0, 5e e 05, 05, 05, g) e ( ) e e - 0 -

45 EINFACHE ÜBUNGEN Ergebnisse: a) f ( ) e f ( ) e b) f ( ) e f ( ) e c) f ( ) e f ( ) e d) f ( ) e f ( ) e WEITERE BEISPIELE e) e e e ( ) e f) e e e ( ) ( ) e g) ( ) e e ( ) e ( ) e h) i) ( ) e e ( ) e () e e keine Prodktregel e WEITERE ÜBUNGEN j) ( ) e (, 5 ) e k) ( ) e e l) m) n) keke e ( ) e k e ( ) e e o) ( ) e ( ) e p) q) r) 0, 5( e ) e e 0, e (8 ) e e - -

46 INTEGRATION VON E-FUNKTIONEN a) e d e c Grndintegral (E-Fkt bleibt E-Fkt) b) ( e k ) d e k c add. Konstante neben der FKt wird integriert c) d) e) k k e de c add. Konstante im Eponenten bleibt erhalten k e c konstanter Faktor vor der Fkt. bleibt erhalten k k e d e c Lineare Sbstittion k UMKEHRUNG DER KETTENREGEL Steht im Eponenten einer E-Fnktion eine lineare Fnktion, so integriert man ganz normal die E-Fnktion (äßere Integration) nd teilt das Ergebnis anschließend drch die innere Ableitng. ACHTUNG Diese Regel gilt nr für lineare Fnktionen im Eponenten. EINFACHE BEISPIELE f) e d e c 5 5 g) e d e c e c h) e d e c6e c - -

47 ÜBUNGEN ZUM INTEGRAL Ergebnisse:. e d F( ) e c. k k e d F( ) k e c t ee d F( ) e t e c t. tte d F( ) tte c e e e 0,5 8 d d e d 0,5 F( ) 6e c 8 F( ) e c F( ) e e ce c a a e d F( ) a e c 9. k e e d ( ) 0. e d. e d. t. e e d e t d F k ee c ( ) F e c F( ) e c F e t c t ( ) F e e c ( ) re d F( ) re c e e d d F( ) e c F( ) e c - -

48 STAMMFUNKTIONEN Geben Sie jeweils eine Stammfnktion an. f ( ) e F( ) e d e, 5e c.. ( ) ( ) f e F e d e c Stammfnktionen mit bestimmten Eigenschaften. f ( ) e nd F( 0) F( ) e c 0 F0 ( ) e 0c c F ( ) e BESTIMMTE INTEGRALE Eponentialfnktionen e d e e e e , 05, 05, 05, e d e e e ln e d e e 0 e ln ln ln e d e e e Merke e a e Vermischte Afgaben ln a ln : e d e e 0 e 9. 0 e d e 0 e e - -

49 WIE LÖST MAN EINFACHE EXPONENTIALGLEICHUNGEN BEISPIEL 05, 6 e 0 6 Zerst mss e 05, isoliert werden. 05, e 6 ( ) 05, e 6 ln... " Hochzahl hernterschießen " 05, ln6 ( ) oder :( 0, 5) ln6 58, MERKE : Der Logarithms ist das Gewehr, mit dem man die Hochzahl hernterschießt. WEITERE ÜBUNGEN Gegeben ist die Fnktion f( ) 0 e 05,. Berechnen Sie die Schnittpnkte mit den Koordinatenachsen. 0,5 0 e 0 ln5 N(, / 0) nd Y(0 / 8) Gegeben ist die Fnktion f ( ) e. Berechnen Sie die Schnittpnkte mit den Koordinatenachsen. e 0 ln N(,6/0) nd Y(0/) Gegeben ist die Fnktion f( ) e. Berechnen Sie die Schnittpnkte mit den Koordinatenachsen. ln e 0 N(0,56 / 0) nd Y(0 /,6) - 5 -

50 WEITERE EXPONENTIALGLEICHUNGEN. e 7 0, ,5 e, ,5 6 e e, ,56... e 0,5 ( ) 0 e 0 0, e ( e ) 0, e 0, e a e ln a 0. e. ln /,77...,77... e ln ANMERKUNG : Bei den Afgaben 5 nd 7 handelt es sich m ein sogenanntes Nllprodnkt AB 0, wobei nr der Klammerasdrck Nll werden kann. LOGARITHMENGESETZE I : ln a b ln a ln b II : ln a: b lnalnb n III: lna nlna n IV : ln a lna n lna V : ln lna lna a n e a lna ln a BEZIEHUNGEN e a nd ln e Potenzieren nd Logarithmieren netralisieren sich gegenseitig. SPEZIELLE WERTE n ln = 0, ln e =, ln e =, ln e = n - 6 -

51 KURVENDISKUSSIONEN AUF FHR-NIVEAU AUFGABE. Gegeben ist die Fnktion f drch f ( ) 8. Das Schabild ist K. 6 Bestimmen Sie die Nllstellen. Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten der Etrempnkte nd des Wendepnktes von K.. Zeichnen Sie K.. k Das Schabild G der Fnktion g mit g ( ) e bschneidet K im Ursprng orthogonal. Ermitteln Sie die Parameter k nd b. (Teilergebnis: k = 0,5 nd b = - ). Zeichnen Sie G. Die Gerade mit der Gleichng = nd die Schabilder K nd G begrenzen eine Fläche. Berechnen Sie deren Inhalt. 5. Das Schabild G wird parallel zr -Achse verschoben, so dass sich das verschobene Schabild nd K bei = schneiden. Welche Gleichng hat die verschobene Krve? Berechnen Sie den Schnittwinkel der beiden Schabilder in diesem gemeinsamen Pnkt

52 LÖSUNGEN. Nllstellen ablesen N 0/ 0 N / 0 N 8/ 0 Fnktion ( ) 6 6 f 8 f ( ) f( ) 6 8 Etrempnkte f ( ) HP 6, /, 5 TP, 69 /, 5 Nachweis mit f " 8 Wendepnkte f ( ) 0 0 WP/ 0. ZEICHNUNG. orthogonal schneiden im Ursprng g( ) e k b g( ) k e k 8 6 Bedingngen g0 () f() 0 b0 b g( 0) k k f ( 0) ( ) 5 ( ) 05, g e. 6 FLÄCHE 05, 05, A e d e d78fe, Krve nach nten verschieben m 05, g ( ) ( e ) e 689,,,, *( ) 05 ( ) *( ) 05 05, g e e g e e e 7 89 WINKEL m m 05e, tan 0, 570 9, 85 m m 0, 5e g( ) 0, 5e m f( ) 6 m - 8 -

53 AUFGABE. k Das Schabild der Fnktion g mit g ( ) a e geht drch die beiden Pnkte A (0/-5) nd B (5/0). Ermitteln Sie den Fnktionsterm von g.. Gegeben ist die Fnktion f mit f ( ) e e. Ihr Schabild ist K. Unterschen Sie K af Achsenschnittpnkte nd Etrempnkte.. Zeichnen Sie K.. Gegeben ist eine weitere Fnktion h drch h ( ) e 5,. Ihr Schabild ist H. Zeichnen Sie H in das vorhandene Koordinatensstem ein. Die Schabilder K nd H schließen zwischen = 0 nd ln 7 eine Fläche ein. Berechnen Sie deren Inhalt eakt. 5. Die Gerade ist parallel zr Geraden mit der Gleichng = +. Die Gerade berührt das Schabild H in einem Pnkt P. Wie latet die Gleichng der Normalen n im Pnkt P von H? - 9 -

54 LÖSUNGEN. g ( ) a e k A 0/ 5 5a a 6 B50 / 06 e 5k B 5k e 6 ln 5 k ln 6 : 5 k ln6 0, , 58 g ( ) e 6 P. f ( ) e e f( ) e e f( ) e e f ( ) 0 e e 0 e e 0 Nllprodkt / nd Y0/, 5 e 0 ln 6 N ln A EXTREMPUNKT f ( ) 0 e e 0 e e 0 ln TP ln/, 5. ZEICHNUNG. h ( ) e 5, h( ) e FLÄCHE ln7 ln 7 A e, 5 e e d e, 5 e d e, 5 e 0 0 lna 7 5ln7, 7 59FE, Merke: e a 5. h( ) e ln P ln /, 5 NORMALE im Pnkt P, 5 ( ln) n:, 5 ln

55 AUFGABE. b Gegeben ist eine Fnktion drch f ( ) ab e. Für welche Werte von a nd b schneidet das zgehörige Schabild die -Achse bei nd hat in diesem Schnittpnkt eine Tangente, die parallel zr Geraden g mit der Gleichng verläft?. Gegeben ist die Fnktion f drch f ( ) e. Ihr Schabild ist K. Zeichnen Sie K. Das Schabild K schließt mit den Koordinatenachsen eine Fläche ein. Berechnen Sie deren Inhalt.. Mini-Ma-Afgabe Die Gerade mit der Gleichng = schneidet g mit in P nd K in Q. Für welches ist die Strecke PQ am längsten, wenn vorasgesetzt wird, dass P höher liegt als Q?. Gegeben ist die Fnktion h drch h ( ). Ihr Schabild ist H. 8 Zeichnen Sie H in das vorhandene Koordinatensstem ein. Das Schabild H begrenzt nterhalb der -Achse mit der -Achse eine Fläche. Berechnen Sie deren Inhalt. 5. Zeigen Sie, dass sich K nd H in einem Pnkt af der -Achse berühren

56 LÖSUNGEN. ( ) b b f abe f ( ) b e Y 0/ ab f b b nd b (0) a b a b a nd a f ( ) e oder f ( ) e 6. f ( ) e f( ) e f( ) 0 e 0 N ln/0 FLÄCHE 0, A e d 96 FE ln 5. Mini-Ma-Afgabe d ( ) ( ) f( ) e d( ) e d( ) e P Q d( ) 0 e 0 0 nd d( 0) 0 0 ma. h ( ) A 7 86 d 6 5FE, 5. f () 0 nd h() 0 f () 0 nd h() Berührpnkt B( 0 / ) - 5 -

57 AUFGABE. Das Schabild der Fnktion p mit Ermitteln Sie die Parameter b nd c. ( ) hat den Hochpnkt H(/,5). 8 p b c. Das Schabild der Fnktion g mit g ( ) 0,5 5 berührt das Schabild K der Fnk- 8 k tion f mit f ( ) a e in einem Pnkt af der -Achse. Berechnen Sie die Parameter a nd k.. Zeichnen Sie K.. Die Normale an K im Pnkt Q(0/ Q ), das Schabild K nd die -Achse begrenzen ein Flächenstück. Berechnen Sie dessen Inhalt. 5. Die Gerade mit der Gleichng = 6, das Schabild K, die -Achse nd die Gerade mit der Gleichng = begrenzen eine Fläche mit dem Inhalt A(). Ermitteln Sie A() nd geben Sie den Grenzwert lim A( ) an

58 LÖSUNGEN. p( ) b c p( ) b 8 H /, 5, 5 0, 5 b c nd 0 0, 5 b b 0, 5 b0, 5, 50, 5c c p 8 ( ). g 8 ( ) 0,5 5 f ( ) ae k f( ) k e g( ) 0,5 g(0) 5 f(0) 5 a a 6 k g(0) 0,5 f(0) 0,5 k k 0,5 = 6 6 K f( ) 6 0,5 e 5 =. ZEICHNUNG H. NORMALE , 5, 5 A 6 e d 7, 75 FE 5. 58, A ( ) , 05, 05, 05, e d e e e 0 lim A( ) - 5 -

59 AUFGABE 5. Gegeben ist die Fnktion f mit e f ( ). Ihr Schabild ist K. Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpnkte von K mit den Koordinatenachsen. Zeigen Sie, dass K keine Etrem- nd Wendepnkte hat. Zeichnen Sie K.. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die begrenzt wird von K, der -Achse nd der Geraden h:.. Das Schabild der Fnktion g mit g ( ) a b c schneidet die -Achse bei = nd = 5. Aßerdem schneidet das Schabild von g das Schabild K af der -Achse. Ermitteln Sie den Fnktionsterm g(). Zeichnen Sie das Schabild von g.. Das Schabild K nd das Schabild von g begrenzen eine Fläche. Die obere Schnittstelle liegt bei 8,58. Berechnen Sie deren Inhalt. 5. Mini-Ma-Afgabe Die Gerade mit der Gleichng = (mit 0 ) schneidet die Gerade h im Pnkt P nd das Schabild von g im Pnkt R. Berechnen Sie so, dass der Abstand zwischen P nd R maimal wird. Berechnen Sie den maimalen Abstand

60 LÖSUNGEN 5. f ( ) e f( ) 0,5 e f( ) 0,5e f ( ) 0 e 0 ln N(,77/0) nd Y(0/) ( ) 0,5 0 f e keine Etrempnkte ( ) 0,5 0 f e keine Wendepnkte. 0 A f( ) d 9, 59 FE 77, K h g. gabca ( ) 5 6 Y(0/) a005 5a a 5 8 g ( ) , 0 A f g d FE ( ) ( ), 5. Mini-Ma-Afgabe 8 d ( ) h ( ) g ( ) d( ) d( ) d( ) 0 0, 5 nd d(, 5) 0 ma, d d(, 5) 0, 5 LE ma

61 AUFGABE 6. Gegeben ist die Fnktion f mit f ( ) e. Ihr Schabild ist K. Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpnkte von K mit den Koordinatenachsen. Zeigen Sie, dass K keine Etrem- nd Wendepnkte hat. Zeichnen Sie K.. Zeigen Sie, dass die Gerade t: das Schabild K im Schnittpnkt mit der -Achse berührt. Zeichnen Sie t in das vorhandene Koordinatensstem ein. Begründen Sie, dass t nd K keine weiteren gemeinsamen Pnkte haben.. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die begrenzt wird von K, der -Achse nd der Geraden t.. Gegeben ist die Fnktion g drch g ( ). Ihr Schabild ist G. Unterschen Sie G af Etrem- nd Wendepnkte. Zeichnen Sie das Schabild G. Zeigen Sie, dass sich K nd G af der -Achse rechtwinklig schneiden. 5. Die Gerade mit der Gleichng = (mit 0 < < ) schneidet G im Pnkt P nd die Gerade t: im Pnkt R. Berechnen Sie so, dass der Abstand zwischen P nd R maimal wird. Weisen Sie nach, dass es sich m ein Maimm handelt. Wie groß ist der maimale Abstand?

62 LÖSUNGEN 6. f ( ) e f( ) e f( ) e f( ) 0 e ln0,5 N(,77 / 0) nd Y (0 / ) ( ) 0 f e keine Etrempnkte ( ) 0 f e keine Wendepnkte G K. ( 0) nd f( 0) ( 0) nd f ( 0) Berührpnkt t f ( ) e 0 Linkskrve keine weiteren Schnittpnkte mit Tangente.. 77, A f d f d0 55 FE ( ) ( ) ( ), 0. g ( ) g ( ) / ; / 8 ; / TP HP WP 0 g() 0 nd f () 0 g() 0 f () 0 ist erfüllt. 5. Mini-Ma-Afgabe d ( ) g ( ) ( ) d( ) d( ) d( ) 0 0, nd d(, ), 0, d d(, ), 89 LE ma / ma

63 DIE LOGARITHMUSFUNKTION Die Logarithmsfnktion erhält man als Umkehrfnktion der E-Fnktion e =. Vertaschen = e ¾¾¾¾ = e Aflösen nach der Variablen = log = ln MERKE: Der Logarithms zr Basis e heißt natürlicher Logarithms. e = e e = e = ln e e Eigenschaften der Ln-Fnktion: Definitionsbereich > 0 (nr positive -Werte, man setzt Betragsstriche) Senkrechte Asmptote: = 0 (-Achse) Nllstelle: N(/0) n ln= 0, lne=, lne =, lne = n Steigng an der Nllstelle: m= () = (5 -Winkel zr -Achse)

64 WIE DIFFERENZIERT MAN DIE Ln-FUNKTION? Drch eine Gegenüberstellng soll die Lösng gefnden werden. FUNKTION ¾ ¾ ¾¾ UMKEHRFUNKTION = e ¾¾ ¾¾ ln = nach aflösen differenzieren = e = differenzieren d e d = e ersetzen d = Kehrwert bilden d d = d = e integrieren = integrieren ò = + ed e c ò d = ln + c MERKE: Die Potenzregel fürs Integrieren latet: n n ò d = n c mit n + ¹ 0 Diese Regel gilt also nr für n ¹- ò ò ist drch die Regel nicht bestimmbar. d.h. das Integral d = d Damit besteht in der Regel eine Lücke, die af andere Weise geschlossen werden mss. - Das Integral ò d = ln + c schließt diese Lücke

65 FORMELSAMMLUNG MITTE einer Strecke: M SCHWERPUNKT eines Dreieckes: S LÄNGE einer Strecke: STEIGUNG einer Geraden: AB ( ) ( ) m GERADENGLEICHUNGEN Koordinatenform: A B C 0 Achsenabschnittsform: a b Zwei-Pnkte-Form: Pnkt-Richtngs-Form: m Normalform b = 6 Steigng = 5 m b m Steigng b Schnittstelle mit der Achse 5 5 Gerade drch den Ursprng: m Gleichng der -Achse: 0 Parallele zr -Achse: b Gleichng der -Achse: 0 Parallele zr -Achse: a. Winkelhalbierende: [Steigngswinkel = 5 ]. Winkelhalbierende: [Steigngswinkel = 5 ] - 6 -

66 NORMALE (orthogonal) SENKRECHT STEHEN mm oder m m WINKEL DREIECKSFLÄCHE TRAPEZFLÄCHE MITTELPUNKT DES UMKREISES m m tan m m Gerade mit Gerade tan m Gerade mit der - Achse A A A [ ( ) ( ) ( )] gh Sonderfall, wenn g nd h bekannt sind. Trapez a c h Schnittpnkt der Mittellote NORMALPARABELN nach oben geöffnet ² p q mit Faktor nach nten geöffnet ² p q mit Faktor SCHEITELFORM ALLGEMEINE PARABELN a( ) oder S a( S) S S Scheitel bei / S. S S Scheitel ist nicht ablesbar. a ² b c Scheitel bei S(0 / c ). a ² c mit Scheitel af der Achse PRODUKTFORM a wobei nd Nst. sind. M r KREISGLEICHUNG M BINOMISCHE FORMELN ab a abb ab ab a b - 6 -

67 P-Q-FORMEL MITTERNACHTSFORMEL NULLPRODUKTE / / p p q a b b ac AB 0 A 0 oder B 0 Drch Asklammern wird eine Smme bzw. Differenz in ein Prodkt verwandelt. BEISPIELE Bei qadratischen Gleichngen ohne konstantes Glied kann man asklammern: ( ) 0 Im folgenden Beispiel kann man (sin ) asklammern: sin sin 0 sin ( sin ) 0 π sin 0 oder sin 0 oder 0 oder 0 METHODEN PUNKTPROBE MACHEN Pnkt in Fnktionsgleichng einsetzen nd prüfen, ob die Gleichng erfüllt ist. TANGENTENGLEICHUNGEN mit festen Krvenpnkt B( 0 / 0) : f ( ) 0 ( 0) 0 mit beweglichen Krvenpnkt B ( / f ( ) ): f( ) f ( ) ( ) Znächst den geschten Pnkt allgemein ORTSKURVEN bestimmen, anschließend den Parameter eliminieren

68 GEBROCHENRATIONALE FUNKTIONEN ASYMPTOTEN Tangenten, die die Krve im Unendlichen berühren. waagerechte : schiefe : ganzrationaler Anteil der Fnktion ganzrationaler Anteil der Fnktion senkrechte N = 0: Polstellen = Nllstellen des Nenners POLSTELLEN einfach zählend Polstelle mit Zeichenwechsel doppelt zählend Polstelle ohne Zeichenwechsel DEF.BEREICH \ Nllstellen des Nenners E-FUNKTIONEN - e oder e ist für alle Werte positiv -, kann daher nicht Nll werden. ln e, ln e a, ln e a b, ln 0 a a b LOGARITHMUS Mit dem Logarithms schießt man die Hochzahl hernter. MERKE Logarithms bedetet Hochzahl. Logarithmieren ist eine Umkehrng des Potenzierens. Beide Prozesse netralisieren sich daher. SINUS-FKT = sin π π π π MERKE COSINUS-FKT MERKE sin 0 0 sin sin 0 sin sin 0 = cos π π π π cos 0 cos 0 cos cos 0 cos - 6 -

69 GRUNDREGELN DES DIFFERENZIERENS PRODUKTREGEL ( ) v( ) ( ) v( ) ( ) v( ) QUOTIENTENREGEL v v v ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v( ) d KETTENREGEL ( ( ) ) d d d äßereabl. innereabl. GEBROCHENRAT. FKT. WURZELFUNKTION f( ) f( ) f( ) f( ) E-FUNKTION LN-FUNKTION f ( ) e f ( ) e f ( ) ln f( ) SINUS-COSINUS-FKT f( ) sin f ( ) cos f ( ) sin f ( ) cos IV f ( ) sin

70 GRUNDINTEGRALE n n d n für n d d d ln d d d d e de cos d sin sin d cos LINEARE SUBSTITUTION = UMKEHRUNG DER KETTENREGEL Steht im Argment einer Fnktion eine lineare Fnktion, so integriert man zerst ganz normal die Fnktion, als würde man das Argment gar nicht kennen (black bo). Das nennt man die äßere Integration. Anschließend teilt man noch drch die innere Ableitng. BEISPIELE e e d e cos ( ) sin ( ) d cos ( ) d () ( ) () 6 () ACHTUNG: Die lineare Sbstittion gilt nr für lineare Argmente