Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik

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1 Universität Heielberg Mathematischer Vorkurs zum Stuium er Physik Übungen Aufgaben zu Kapitel 5 aus: K. Hefft, Mathematischer Vorkurs zum Stuium er Physik, sowie Ergänzungen Aufgabe 5.: Differenzierbarkeit Untersuchen Sie folgene Funktionen fx auf Differenzierbarkeit bei x = 0 a R: a fx = x 2 b fx = x c fx = sinx x fx = e x e Θx + a a Ja. b Nein. Bei x = 0 nicht efiniert. c Ja. Zum Beispiel urch ie Reihenentwicklung es sinusx erklärbar. Nein. Anschaulich klar, wenn man sich en Graphen vorstellt. e Ja. Die Steigung ist 0. Aufgabe 5.2: Leiten Sie en Diffrentialquotienten es Cosinus her! Nutze cosx cosy = 2 sin x+y 2 sinx y 2 A = cosx+ x cosx x = sin 2x+ x 2 = 2 x sinx+ x+x 2 sin x+ x x 2 sin x 2 x 2 lim x 0 A = sinx

2 Aufgabe 5.3: Kettenregel Berechnen Sie folgene Differentialquotienten nach er Kettenregel: a cosx = sin π 2 x b sinx 2 csin 2 x e x e e x2 f ax+b g 2x 2 x + 3 i 5 3 7x 2 3 h 4 5 2x 2 j 2x + 7 4x 2 k x 4 x 2 für x 4 > x 2 a f x = cos π 2 x = sinx b f x = cosx 2 2x c f x = 2 sinx cosx f x = exp x e f x = 2x exp x 2 f f x = a ax+b 2 g f x = 3 2x 2 x + 2 4x h f x = 8 5 2x 2 i f x = 5 3 7x 2 2 4x j f x = x 4 k f x = 4x3 2x 2 x 4 x 2 Die Umkehrfunktionsregel lautet: f x = f fx Setzen Sie einfach folgene Ableitungen in ie obige Formel ein. Aufgabe 5.4: Zeigen Sie mit er Umkehrfunktionsregel: arccotx = +x 2 cot x = cot 2 x arccot x = cot 2 arccotx = +x 2

3 Aufgabe 5.5: Zeigen Sie mit er Umkehrfunktionsregel: arccosx = x 2 für x < cos x = cosx 2 arccos x = cos = 2 arccosx x 2 Aufgabe 5.6: Zeigen Sie mit er Umkehrfunktionsregel: artanhx = x 2 für x < arcothx = x 2 für x > tanh x = tanhx 2 artanh x = tanh 2 artanhx = x 2 coth x = cothx 2 arcoth x = coth 2 arcothx = x 2 Aufgabe 5.7: Zeigen Sie mit er Umkehrfunktionsregel: arsinhx = +x 2 für x R arcoshx = x 2 für x > sinh x = + sinhx 2 arsinh x = +sinh = 2 arsinhx +x 2 cosh x = coshx 2 arcosh x = +cosh 2 arcoshx = x 2

4 Aufgabe 5.8: Bestimmen Sie ie erste Ableitung für ie folgenen Funktionen y = fx mit en Konstanten a,b,c un : [ a y = sin 3 4x b y = exp x a y = ln 3e 2x e y = a cosh [ x b a g y = cosax + bsincx + h y = j y = arctan x + x 2 [lnx2 lnx 2 + ] 2 ] ] +x/a 2 i y = c y = ax 2 +b f y = ax 2 e bx [ sinx/a x/a ] 2 a f x = 3 sin4x 2 4 cos4 b f x = exp x2 2x a 2 a 2 c f x = ax a x 2 +b 3/2 f x = 2 e f x = sinh x b a f f x = a exp bx 2x bx 2 g f x = sinax + b sincx + a + cosax + b coscx + c h f x = 2x x2 a2 + a 2 i f x = 5 3 7x 2 2 4x j f x = x 4

5 Berechnen Sie ie ersten fünf Ableitungen folgener Funktionen fx: k fx = sinx l fx = tanx m fx = e x n fx = x 2 k f x = cosx f 2 x = sinx f 4 x = sinx f 3 x = cosx f 5 x = cosx l f x = + tanx 2 f 2 x = 2 tanx + 2tanx 3 f 3 x = 2 + 4tanx 2 + 6tanx 4 f 4 x = 6 tanx + 40tanx tanx 5 f 5 x = tanx tanx tanx 6 m f x = expx f 2 x = expx f 4 x = expx f 3 x = expx f 5 x = expx n f x = 2x x 2 2 f 2 x = 23x 2 + x 2 3 f 3 x = 24x x 2 + x 2 4 f 4 x = x 2 + 5x 4 x 2 5 f 5 x = x2 + x 4 x 2 6

6 Aufgabe 5.9: Physikalische Differentiationen, Differentialgleichungen Bilen Sie ie erste ẋt un ie zweite ẍt Ableitung folgener Funktionen xt er Zeit t mit en Konstanten x 0,v 0,g,ω,ω 0,γ,ρ,b 0,w,m 0,µ: Der Vergleich von ẍt mit Kombinationen von xt un ẋt führt auf Differentialgleichungen. Erkennen Sie ie aurch beschriebenen physikalischen Systeme? Was haben ie Konstanten für eine physikalische Beeutung? a xt = x 0 + v 0 t b xt = x 0 + v 0 t 2 gt2 c xt = x 0 cosωt + v 0 ω sinωt xt = x 0 + v 0 ρ e ρt e xt = x 0 v gt + ρ 0 + g e ρt ρ ρ f xt = ln cosh grt r g xt = x 0 coshγt + v 0 γ sinhγt [ h xt = e ρt x 0 cost ] ω 2 ρ 2 + v 0+ρx 0 ω 2 ρ 2sint ω 2 ρ 2 [ i xt = e ρt x 0 cosht ] ρ 2 ω 2 + v 0+ρx 0 ρ 2 ω 2sinht ρ 2 ω 2 [ ] b j xt = 0 ω0 2 ω2 2 +4ω 2 ρ 2cos 2ωρ ωt arctan ω0 2 ω2 k xt = x 0 tanhωt l xt = wm 0 µt µ m 0 ln µt m 0 2 gt2 + wt

7 a ẍ = 0 kräftefreie Bewegung b ẍ = g Freier Fall FF im Schwerefel er Ere c ẍ = ω x Klassischer Harmonischer Oszillator HO ẍ = ρ ẋ geämpfte freie Bewegung, Stokesreibung e ẍ = ρ ẋ g geämpfter freier Fall, Stokesreibung f ẍ = r ẋ 2 g geämpfter freier Fall, Newtonreibung g ẍ = γ 2 x ieal biegsames Seil, as reibungslos eine Tischkante hinuntergleitet h ẍ = 2ρ ẋ ω 2 x HO, schwach geämpft, Schwingfall i ẍ = 2ρ ẋ ω 2 x HO, stark geämpft, Kriechfall j ẍ = 2ρ ẋ ω 0 x + b 0 cosωt HO, geämpft un urch externe Kraft zu Schwingungen angeregt k ẍ = 2ω x 0 x ẋ Bewegung in einer quartischen Potientalmule l ẍ = ω µ m 0 µtm 0 g Bewegung einer Rakete, ie aus em Stan von einer, mit er relativen Geschwinigkeit ω zum Raketenkörper er Masse m 0, sekunlich ausgestoßenen Treibstoffmasse µ unter Vernachlässigung er Luftreibung im homogen angenommenen Schwerefel er Ere senkrecht nach oben getrieben wir.

8 Aufgabe 5.0: Partielle Ableitungen Berechnen Sie a x x + x 2 + x 3 = b x x 2 + x x 2 3 = 2 x c x x x 2 x 3 = x 2 x 3 e 2x x 2 x x 2 +x2 2 x x 2 +x2 2 +x2 3 = 2 x 2 x 2 2 x 2 x 2 2 +x 2 2 = 2x x 2 +x2 2 +x2 3 2 Aufgabe 5.: Extrema a Ein rechtwinkliges Viereck habe en Umfang L. Man soll ie Seiten es Rechtecks mit em grössten Flächeninhalt bei iesem Umfang bestimmen. b Bestimmen Sie ie Extrema er Funktionen fx = x 2 4x + fx = ax + b x a,b,> 0 2 c In welchem Punkt hat as elektrische Potential Ux = U 0 e x x mit U 0 > 0 en kleinsten Wert? a L = 2a+2b Fläche A = a b = L 2bb 2 maximum A b = 0 b = a = L 4 b Maximum bei x = 2 b b2 Maximum bei x = un Minimum bei x = a c kleinster Wert bei x = 0 b a

9 Aufgabe 5.2: Regel von l Hospital Bestimmen Sie folgene Grenzwerte: a lim lnx x + x α lnx b lim β x + x α c lim x o sinx x a lim x + lnx x α = für α 0 lim x + lnx x α = 0 für α > 0 b lim x + lnx β x α = für α 0, β > 0 lim x + lnx β c lim x o = 0 für α > 0, β > 0 x α sinx x = lim x sinx x o sinx x = lim cosx x o cosx x+sinx sinx = lim x o = 0 2 cosx sinx