Wir untersuchen die Bewegungsleichung des mathematischen (gedämpften) Fadenpendels in einer Dimension. = 0, ϕ (0)

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1 3.1 Beispiel: mathematisches Pendel Wir untersuchen die Bewegungsleichung des mathematischen (gedämpften) Fadenpendels in einer Dimension ϕ+α ϕ+ω 2 0 sinϕ = 0, Ω2 0 = g/l (1) Das äquivalente System 1. Ordnung: ϕ = ω ω = αω Ω 2 0 sinϕ (2) + Anfangsbedingungen ϕ(0) = ϕ 0, ω(0) = ω 0. Zwei Fixpunkte (Ruhelagen) ϕ = ω = 0: ϕ (0) 0 ϕ (0) 0 = 0, ϕ (0) 1 = π : stabiler Fokus, ϕ(0) : instabiler Sattelpunkt. 1

2 Energiesatz Multiplikation von (1) mit ϕ und Integration über t: 1 2 ϕ2 Ω 2 0 cosϕ = E 0 E W (t) (3) E 0 : Integrationskonstante. Wärmeenergie (Reibung) E W (t) = α dt ϕ 2 Im reibungsfreien Fall (α = 0) gilt Energieerhatlung E = E 0 und das Pendel kommt nie zur Ruhe.

3 Euler-Vorwärts-Verfahren C PROGRAM PENDEL CHARACTER*1 c INTEGER PGCURS REAL, DIMENSION(2) :: fipg,ompg pi= omega=1.; alpha! Eigenfrequenz, Daempfung tper=2.*pi/omega! Priodenlaenge WRITE(6,*) dt? READ(5,*) dt CALL PGBEGIN(0, /xwin,1,1): CALL PGPAP(6.,1.) CALL PGENV(-pi,pi,-pi,pi,0,1) 1 fi=0.; om=0. K=PGCURS(fi,om,c)! Startpunkt mit Cursor waehlen IF(C.EQ. L ) THEN! Bildschirm loeschen durch L CALL PGERAS CALL PGBOX( ABCNT,0.,0, ABCNT,0.,0) GOTO 1 ENDIF

4 IF(C.EQ. ) GOTO 999! Programm beenden durch <blank> C C t=0.; n=0 10 CONTINUE! Zeitschleife t=t+dt fip=om omp=-alpha*om-omega**2*sin(fi) fi=fi+fip*dt om=om+omp*dt fipg(1)=fipg(2); ompg(1)=ompg(2) fipg(2)=fi; ompg(2)=om IF(fi.GT.pi) THEN fi=fi-2.*pi fipg=fi ELSE IF(n.NE.0) CALL PGLINE(2,fipg,ompg) ENDIF IF(fi.LT.-pi) THEN fi=fi+2.*pi fipg=fi ELSE IF(n.NE.0) CALL PGLINE(2,fipg,ompg) ENDIF! Euler Vorwaerts

5 n=n+1 IF(n.EQ.50) THEN E=.5*fip**2-omega**2*cos(FI)! Gesamtenergie n=1 WRITE(6,*) t,fi,e ENDIF IF(t.LT.50.*tper) GOTO 10 GOTO CALL PGEND END Programm

6 Phasenraum und Gesamtenergie Pendel, Euler-Vorwärts-Verfahren α = 0, t = 0.05

7 Phasenraum und Gesamtenergie Pendel, Euler-Vorwärts-Verfahren α = 0.1, t = 0.05

8 Phasenraum und Gesamtenergie Pendel, Euler-Vorwärts-Verfahren α = 0.1, t = 0.15

9 Vorläufiges Fazit (Euler-Vorwärts): Die Ergebnisse für α = 0 sind alle falsch (negative numerische Dämpfung) Für α > 0 erhält man qualitativ richtige Resultate für kleine t Auch im gedämpften Fall wächst die Energie an und die Trajektorien entfernen sich vom stabilen (!) Fixpunkt, wenn t zu groß wird.

10 Phasenraum und Gesamtenergie Pendel, Euler-Rückwärts-Verfahren Harmonischer Oszillator, implizites Verfahren 1. Ordnung, α = 0 t = 0.05 (schwarz), t = 0.1 (rot)

11 3.3 Verfahren höherer Ordnung Euler-Verfahren konvergiert schlecht, liefert ungenaue, (unphysikalische) Ergebnisse. Bei konservativen Systemen qualitativ falsches Verhalten. Ausweg: Verfahren höherer Ordnung in t Verfahren von Heun Zunächst eindimensionales System dx = f(t,x), (4) dt Integriere (4) über t t+ t dt dx t+ t t dt = x(t+ t) x(t) = dt f(t,x(t )) (5) t Ergibt exakte Iterationsvorschrift x(t+ t) = x(t)+ t+ t t dt f(t,x(t )). (6)

12 Euler-Methode, wenn Integral durch Rechteckregel genähert: t+ t dt f(t,x) f(t,x(t)) t. t durch genauere Trapezregel t+ t ( ) dt f(t t,x) f(t,x(t))+f(t+ t,x(t+ t)) t 2, ergibt sich in (6) ( ) t x(t+ t) = x(t)+ f(t,x(t))+f(t+ t,x(t+ t)) 2. (7) Rechte Seite enthält x(t + t), deshalb implizite Vorschrift. Berechnet man x(t + t) rechts aus einem Euler-Verfahren x(t+ t) = x(t)+f(t,x(t)) t ergibt sich ( ) t x(t+ t) = x(t)+ f(t,x(t))+f(t+ t,x(t)+f(t,x(t)) t) 2, (8) das Verfahren von Heun.

13 Genauigkeit Von welcher Ordnung ist der Fehler beim Verfahren von Heun? ( ) t x(t+ t) x(t) = f(x(t))+f(x(t)+f(x(t)) t) 2 Entwickeln der linken Seite nach t L.S. = dx dt t+ 1 d 2 x 2dt 2 t2 + 1 d 3 x 6dt 3 t = f t+ 1 df 2dx f t2 + 1 ( ( ) ) f 2d2 f df 2 6 dx 2 +f t , dx der rechten nach f t: R.S. = t 2 ( 2f + df dx f t+ 1 d 2 ) f 2dx 2f2 t 2 wobei... Terme der Ordnung t 4 bedeuten. +..., Beide Seiten stimmen bis zur Ordnung t 2 überein. Fehler hat die Ordnung t 3

14 Numerische Stabilität Wie beim Euler-Verfahren lässt Linearisierung um stabilen Fixpunkt mit L als Jacobi-Matrix u(t+ t) = Q u(t) Q = 1+ tl+ 1 2 t2 L 2 L ij = f i x j x (0) Numerische Stabilität folgt aus ρ(q) < 1, also ρ = max i mit Eigenwerten λ i von L. 1+ tλ i t2 λ 2 i < 1. (9)

15 Beispiel harmonischer Oszillator: λ 12 = α 2 ± 1 2 i 4Ω 2 0 α2 ergibt Bedingung für die Stabilitätsgrenze (maximaler Zeitschritt): α+ 1 2 α2 t 1 2 αω2 0 t Ω4 0 t3 = 0. Maximaler Zeitschritt, der für α > 0 größer als beim Eulerverfahren ist Für ungedämpften Fall α = 0 ist Heun-Verfahren für das Pendel immer noch bedingungslos instabil.

16 Spektralradien über t, harmonischer Oszillator, Ω 0 = 1, links: gedämpft, α = 1/2, rechts: ungedämpft, α = 0. Grün: Euler, Rot: Heun, Gelb: Runge-Kutta (RK4).

17 3.3.2 Runge-Kutta-Verfahren Erhöhung der Ordnung wirkt sich positiv auf Schrittweite und Genauigkeit aus. Verfahren höherer Ordnung Runge-Kutta-Verfahren (RK). Normalerweise 4. Ordnung (RK4). Der Einfachheit halber hier nur 2. Ordnung: Sei x = x(t) gesuchte Lösung der DGL Man entwickelt x um t+ t/2 ẋ = f(t,x(t)). x(t) = x(t+ t/2) t 2 ẋ(t+ t/2)+ 1 2 x(t+ t) = x(t+ t/2)+ t 2 ẋ(t+ t/2)+ 1 2 ( ) 2 t ẍ(t+ t/2)+o( t 3 ) 2 ( ) 2 t ẍ(t+ t/2)+o( t 3 ) 2

18 Subtraktion der beiden Gleichungen x(t+ t) = x(t)+ tẋ(t+ t/2)+o( t 3 ), Iterationsvorschrift der Ordnung t 2. man muss ẋ = f für t+ t/2 kennen. Euler-Verfahren: ẋ(t+ t/2) = f(t+ t/2,x(t+ t/2)) = f(t+ t/2,x(t)+ t/2f(t,x(t)))+o( t 2 ). Ein Iterationschritt sieht so aus: k 1 = tf(t,x(t)) k 2 = tf(t+ t/2,x(t)+k 1 /2) (10) x(t+ t) = x(t)+k 2. Genauso lässt sich ein Verfahren 4. Ordnung (RK4) konstruieren: k 1 = tf(t,x(t)) k 2 = tf(t+ t/2,x(t)+k 1 /2) k 3 = tf(t+ t/2,x(t)+k 2 /2) (11) k 4 = tf(t+ t,x(t)+k 3 ) x(t+ t) = x(t)+ 1 6 (k 1 +k 2 +k 3 +k 4 ).

19 C SUBROUTINE rk4(y,t,n,dt,eq) integriert das dgl-system definiert in eq von t bis t+dt C y abh. Variablen y(n) C t unabh. Variable C n Anzahl der abh. Variablen C dt Zeitschritt C eq die rechten Seiten der dgls (subroutine) REAL, DIMENSION(n) :: y REAL, DIMENSION(size(y)) :: f1,f2,f3,f4 CALL eq(f1,y,t); f1=dt*f1 CALL eq(f2,y+.5*f1,t+dt/2.); f2=dt*f2 CALL eq(f3,y+.5*f2,t+dt/2.); f3=dt*f3 CALL eq(f4,y+f3,t+dt) y=y+(f1+2.*f2+2.*f3+f4*dt)/6. END Fehler bei RK4 O( t 5 ), die Stabilität (ohne Rechnung) ρ = max i 1+ tλ i t2 λ 2 i t3 λ 3 i t4 λ 4 i < 1. (12)

20 Beispiel: Mathematisches Pendel mit RK4 Als RK4-Anwendung wird das mathematische Pendel untersucht. RK4 liefert selbst für den problematischen ungedämpften Grenzfall α = 0 konvergierende Ergebnisse. Für kleine Zeitschritte wird Energie gut konserviert. Programmbeispiel zur Berechnung einer Trajektorie, Anfangsbedingung ϕ = 2, ω = 0: PROGRAM pendel_rk4 REAL, DIMENSION(2) :: y! Variable phi, omega y=(/2.,0./)! Anfangswert fuer phi und omega t=0.; dt=0.01! dt am Anfang DO! Beginn Zeitschleife t=t+dt CALL rk4(y,t,2,dt,pendel_dgl)! Ein Zeitschritt RK4 IF(t.GT.tend) EXIT ENDDO

21 Steht die Routine rk4 in der Programm-Library, so muss in der Datei in der das Hauptprogramm steht nur die Subroutine pendel dgl spezifiziert werden.... CONTAINS! Dadurch sind alpha, omega bekannt (globale Variable) SUBROUTINE pendel_dgl(rhside,y,t) REAL, DIMENSION(2) :: rhside,y rhside(1)=y(2) rhside(2)=-alpha*y(2)-omega**2*sin(y(1)) END SUBROUTINE pendel_dgl END PROGRAM pendel_rk4

22 Das ungedämpfte mathematische Pendel (α = 0) mit RK4 für t = 0.1 bleibt die Energie über viele Perioden in guter Näherung erhalten.

23 Das ungedämpfte mathematische Pendel (α = 0) mit RK4 Bei zu großem Zeitschritt verfälscht die numerische Dämpfung das Resultat ( t = 1) Programm