Numerische Mathematik II

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1 Numerische Mathematik II Günter Bärwolff 15. März 2010 Skript, geschrieben parallel zur Vorlesung Numerische Mathematik im WS2009/10 an der TU Berlin, Stand nach Berücksichtigung der Korrekturhinweise von K. Peisert und A. Heydt i

2 Inhaltsverzeichnis 0 Vorwort 1 1 Numerische Lösung von AWPs gewöhnlicher Dgln Methoden zur geschlossenen Lösung von Dgln Trennung der Veränderlichen Variation der Konstanten Homogene Systeme mit konstanten Koeffizienten Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen Theorie der Einschrittverfahren Spezielle Einschrittverfahren Euler-Verfahren Einschrittverfahren der Konsistenzordnung p = Verfahren höherer Ordnung Mehrstufige Runge-Kutta-Verfahren Einige konkrete Runge-Kutta-Verfahren und deren Butcher-Tabellen Asymptotische Entwicklungen Schrittweitensteuerung Einbettungsverfahren Schrittweitensteuerung durch Extrapolation Mehrschrittverfahren Technische Hilfsmittel zur Konstruktionvon linearen Mehrschrittverfahren Adams-Verfahren Konsistenzordnung linearer Mehrschrittverfahren Stabilität von Lösungsverfahren BDF-Verfahren Steife Differentialgleichungen Weitere klassische lineare Mehrschrittverfahren Zweipunkt-Randwertaufgaben Theoretische Grundlagen Einführendes Beispiel und Definitionen ii

3 2.1.2 Lösbarkeit des 1. RWP im symmetrischen Fall Maximum-Prinzip für lineare RWP Finite- Differenzen- Verfahren Definition der klassischen FDM Lösung des diskreten Problems Stabilitäts- und Konvergenzanalyse Ritz-Galerkin-Verfahren für RWP Variationsgleichungen Verallgemeinerte Ableitungen Ritz-Galerkin-Verfahren Finite-Element-Methode für Zweipunkt-RWP Weitere mögliche Basisfunktionen Kollokationsverfahren Schießverfahren Das einfache Schießverfahren für skalare Gleichungen Schießverfahren für Dgl.-Systeme Schießverfahren für lineare Randwertaufgaben Mehrzielverfahren (linearer Fall) Mehrzielverfahren (allgemeiner Fall) Partielle Differentialgleichungen und deren numerische Lösung Beispiele partieller Differentialgleichungen der math. Physik Numerische Lösungsmethoden für part. Dgln Finite-Differenzen-Methoden Finite-Volumen-Methode Matrix-Eigenwertprobleme Problembeschreibung und algebraische Grundlagen Abschätzungen und Lokalisierung von Eigenwerten Numerische Methoden zur Eigenwertberechnung Transformation auf Hessenberg- bzw. Tridiagonalform Newton-Verfahren zur Berechnung von Eigenwerten von Hessenberg-Matrizen Das Newtonverfahren für tridiagonale Matrizen Jacobi-Verfahren zur Eigenwertberechnung Von-Mises-Vektoriteration QR-Verfahren iii

4 Kapitel 0 Vorwort Diese Skript entsteht parallel zur Vorlesung im Wintersemester 2009/10 und enthält die wesentlichen Inhalte wie z.b. alle Definitionen und Sätze, wobei bei den Beweisen in der Regel nur Verweise auf Textbücher oder Beweisskizzen angegeben werden. Als Lehrbücher seien z.b. Robert Plato: Numerische Mathematik kompakt. Grundlagenwissen für Studium und Praxis Stoer/Bulirsch: Numerische Mathematik 1/2 Deuflhard/Hohmann/Bornemann: Numerische Mathematik 1/2 Hans R. Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik Günter Bärwollf: Numerik für Ingenieure, Physiker und Informatiker Walter Oevel: Einführung in die numerische Mathematik empfohlen. 1

5 Kapitel 1 Numerische Lösung von AWPs gewöhnlicher Dgln. Im Ergebnis mathematischer Modellierungen entstehen oft Differentialgleichungen, die nicht geschlossen lösbar sind. Z.B. erhält man Dgln. der Form ẋ = αx βxy ẏ = γxy δy (1.1) 1. Vorlesung am wobei x(t) z.b. eine Beutepopulation und y(t) eine Räuberpopulation beschreiben (α, β, γ, δ > 0, reelle Konstanten). Mit vorgegebenen Anfangswerten, z.b. x(0) = x 0, y(0) = y 0 (1.2) hat man mit (1.1), (1.2) ein Anfangswertproblem mit einem System von Dgln. 1. Ordnung gegeben, dass nur numerisch lösbar ist. Als weitere Beispiele von AWP seien hier mathematische Modelle für den radioaktiven Zerfall dm dt = k(t)m, m(t 0) = m 0 R, wobei k(t) eine positive vorgegebene Funktion ist, bzw. das Modell für die Abkühlung eines idealen Körpers dt dt = k(t T u), T(t 0 ) = T 0 R, mit einer positiven reellen Konstanten k und der Umgebungstemperatur T u genannt. 2

6 1.1 Methoden zur geschlossenen Lösung von Dgln. Bevor man numerische Methoden zur Lösung von Dgln. bemüht, sollte man gegebenenfalls prüfen, ob eine Lösung auf analytischem Weg bestimmt werden kann. Im Folgenden sollen einige wichtige Methoden der geschlossenen Lösung von gewöhnlichen Dgln. kurz dargestellt werden Trennung der Veränderlichen Hat man eine homogene Dgl. der Form y = g(y)h(t) (1.3) zu lösen, dann kann man unter der Voraussetzung, dass g(y) 0 ist, unter Nutzung der Substitutionsregel den folgenden Lösungsweg beschreiben: y dy = h(t) = g(y) g(y) = h(t)dt = G(y) = H(t) + c, wobei hier davon ausgegangen wurde, dass mit G(y) und H(t) Stammfunktionen von 1 und h(t) vorliegen. Vorausgesetzt, dass der Teil des Definitionsbereiches von G(y), auf dem G injektiv ist, nichtleer ist, kann man g(y) mit y(t) = G 1 [H(t) + c] die allgemeine Lösung der Differentialgleichung bestimmen. c ist hierbei eine freie Konstante, die man bei Vorgabe einer Anfangsbedingung y(t 0 ) = y 0 durch c = G(y 0 ) H(t 0 ) bestimmen kann. Als Beispiel betrachten wir das AWP y = 2ty t 2 + 1, y(0) = 1. Nach Trennung der Veränderlichen y und t erhält man y y = 2t dy t = y = 2t t dt = ln y = ln(1 + t2 ) + c, und nach Integration erhält man y(t) = ± exp(c)(1 + t 2 ) =: c (1 + t 2 ) und die Berücksichtigung des AWs ergibt mit c = 1 die Lösung des AWPs y(t) = 1 + t 2. 3

7 1.1.2 Variation der Konstanten Hat man es mit einer linearen Differentialgleichung der Form y + a(t)y = f(t) (1.4) zu tun, dann gehen wir nun davon aus, dass man mit der Methode der Trennung der Veränderlichen die allgemeine Lösung y h (t) der zugehörigen homogenen Dgl. y + a(t)y = 0 bestimmt hat. Mit y h ist auch c y h eine Lösung der homogenen Dgl. y + a(t)y = 0 und durch den Ansatz der Variation der Konstanten y p (t) = c(t)y h (t) kann nun eine partikuläre Lösung y p der Dgl. (1.4) bestimmt werden. Mit erhält man durch Einsetzen in (1.4) y p(t) = c (t)y h (t) + c(t)y h(t) c (t)y h (t) + c(t)y h(t) + a(t)c(t)y h (t) = c (t)y h (t) + c(t)[y h(t) + a(t)y h (t)] = c (t)y h (t) = f(t), da y h Lösung der homogenen Dgl. ist. Unter der Voraussetzung, dass y h 0 gilt, erhält man mit f(t) c(t) = y h (t) dt die variierte Konstante und erhält schließlich mit y(t) = c 0 y h (t) + y p (t), c 0 R, die allgemeine Lösung der Dgl. (1.4). Die freie Konstante c 0 erlaubt die Erfüllung einer Anfangsbedingung. Hat man die mit y h (t) = c 1 y 1 (t) + + c n y n (t) die allgemeine Lösung des linearen homogenen Dgl.-Systems 1. Ordnung y = A(t)y, (1.5) wobei A(t) eine (n n)-matrix stetiger Koeffizientenfunktionen ist, gegeben, dann kann man für das lineare inhomogene Dgl.-System y = A(t)y + f(t) 4

8 ebenfalls durch Variation der Konstanten eine partikuläre Lösung bestimmen. Der Ansatz ergibt nach Differentiation y p (t) = c 1 (t)y 1 (t) + + c n (t)y n (t) =: W(t)c(t) y p(t) = W (t)c(t) + W(t)c (t) = A(t)W(t) + f(t) = W(t)c (t) = f(t), da die Spalten y k der Matrix W(t) Lösungen des homogenen Systems sind. Bilden y k, k = 1,...,n, eine Lösungsbasis, handelt es sich bei der Matrix W um die Wronski-Matrix und man erhält nach Integration c(t) = W 1 (t)f(t)dt mit y(t) = c 1 y 1 (t) + + c n y n (t) + W(t)c(t) die allgemeine Lösung des linearen inhomogenen Dgl.-Systems (1.5) (W 1 (t) existiert, da y k, k = 1,...,n, eine Lösungsbasis ist) Homogene Systeme mit konstanten Koeffizienten Im vorigen Abschnitt wurde von einer allgemeinen Lösung eines homogenen Dgl.-Systems 1. Ordnung ausgegangen. Im Allg. ist die Bestimmung einer solchen allgemeinen Lösung nicht ohne Weiteres möglich. Recht einfach wird es jedoch im Fall eines Systems mit konstanten Koeffizienten, d.h. Systemen der Form y = Ay, (1.6) mit einer konstanten (n n)-matrix. Besonders einfach wird es, wenn die Matrix A diagonalisierbar ist, d.h. in der Form A = BΛB 1 mit einer Diagonalmatrix Λ darstellbar ist. Die Spalten von B bestehen dabei aus den Eigenvektoren von A und die Diagonalmatrix Λ enthält die Eigenwerte λ k, wobei auch mehrfache EW möglich sind, bei denen allerdings die algebraische und geometrische Vielfachheit im Falle der Diagonalisierbarkeit übereinstimmt. Mit der Hilfsfunktion z = B 1 y erhält man aus (1.5) y = BΛB 1 y = z = Λz 5

9 mit den Lösungen z k (t) = c k e λ k t, k = 1,...,n, c k R, für die einzelnen Komponenten von z. Für die allgemeine Lösung von (1.5) erhält man schließlich y(t) = c 1 e λ 1 t b c n e λn t b n. Die Lösung von (1.5) ist also gleichbedeutend mit der Lösung des Eigenwertproblems für die Matrix A. Etwas komplizierter ist der allgemeine Fall einer Matrix A, die nicht diagonalisierbar ist. Hier wird die Jordansche Normalform benötigt, d.h. eine reguläre Matrix B und eine Matrix D (Jordansche Normalform) D = J 1... J k, J i = mit den (n i n i )-Jordan-Kästchen J i, so dass λ i 1 λ i 1 A = BDB 1 B 1 AB = D λ i, gilt. Wie oben führen wir die Hilfsfunktion z = B 1 y ein, wobei z(t) = (z (1) (t),...,z (k) (t)) T mit z (i) (t) R n i partitioniert ist. Das Gleichungssystem (1.6) lässt sich zerlegen in die separaten Systeme [z (i) (t)] = J i z (i) (t), 1 i k. Es ist nun leicht festzustellen, dass das Gleichungssystem λ 1 w λ 1 = Jw, J = Rs s, λ also w 1 = λw 1 + w 2. w s 1 w s = λw s 1 + w s = λw s 6

10 die allgemeine Lösung w s (t) = c s e λt w s 1 (t) = (c s 1 + c s t)e λt. (1.7) w 1 (t) = (c 1 + c 2 t + + c st s 1 (s 1)! eλt hat. Die allgemeine Gestalt von z (i) entnimmt man jeweils aus (1.7) für λ = λ i und s = n i. Mit y = Bz erhält man schließlich die allgemeine Lösung des ursprünglichen Problems. Alles in allem lässt sich die Lösung eines linearen homogenen Dgl.-Systems mit konstanten Koeffizienten auf die Lösung eines EW-Problems der Koeffizientenmatrix oder allgemeiner auf die Bestimmung der Jordanschen Normalform der Koeffizientenmatrix A zurückführen (die Bestimmung der Jordanschen Normalform fällt mit der Diagonalisierung zusammen, wenn bei allen EW von A die algebraische mit der geometrischen Vielfachheit übereinstimmt) Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen Wenn man Lösungen nicht wie in den diskutierten Fällen ausrechnen kann, dann sollte vor einer evtl. numerischen Lösung klar sein, ob überhaupt eine Lösung existiert, und wenn ja, ob es die einzige ist. Im Folgenden werden die wichtigsten Aussagen zur Existenz und Einzigkeit der Lösung von Anfangswertproblemen der Form 2. Vorlesung am Die wichtigsten Anforderungen an die Funktion y = f(t,y), y(t 0 ) = y 0, (1.8) f : [t 0,T] R n R n sollen an Beispielen herausgearbeitet werden. Betrachtet man die Dgl. y = sgn(t), d.h. man hat als rechte Seite eine unstetige Funktion, dann gibt es in jedem Intervall, das Null enthält, keine Lösung, denn für t > 0 hätte man mit y(t) = t und für t < 0 mit y(t) = t eine Lösung, und das ergibt eine Funktion, die an der Stelle t = 0 nicht diff bar ist, was aber für eine Lösung einer Dgl. zutreffen sollte. Damit ist die Stetigkeit zumindest eine notwendige Voraussetzung für die Existenz einer Lösung. Diesen Sachverhalt beschreibt der 7

11 Satz 1.1 (Peano). Für das AWP (1.8) sei f : Z a,b R n stetig auf Z a,b := [t 0 a,t 0 + a] Ūn b (y 0 ) (mit Ūn b (y 0) = {y R n y y 0 b}, a,b > 0). Dann existiert mindestens eine Lösung des AWPs (1.8) auf dem Intervall [t 0 α,t 0 + α], wobei α := min{a, b M }, M := max{ f(t,y) (t,y) Z a,b}. Dieser Satz wird auch Existenzsatz von Peano genannt. Der Beweis wird unter Zuhilfenahme von Euler-Polygonen, die uns spaeter bei der numerischen Lösung von AWPs begegnen werden, unter wesentlicher Nutzung der Stetigkeitsvoraussetzung geführt. Aber nicht hier. Zum Nachlesen sei z.b. auf das Buch von B. Aulbach Gew. Dgln. verwiesen. Nach dem Satz von Peano existiert also bei Stetigkeit der rechten Seite ein Lösung. Wir werden aber mit dem folgenden Beispiel sehen, dass die Stetigkeit keine Eindeutigkeit garantiert. Wir betrachten das Beispiel y = 3 y 2, y(0) = 0. Mit der Trennung der Veränderlichen findet man die allgemeine Lösung der Form y(t) = 1 (t c)3 27 mit c R. Als Lösungen des AWPs findet man mit 1 (t 27 α)3, t α y α,β (t) = 0, t = 0 1 (t 27 β)3, t β wobei α 0 β beliebige reelle Zahlen sind. Man findet damit unendlich viele Lösungen des AWPs. Die rechte Seite f(t,y) = 3 y 2 ist offensichtlich stetig. Allerdings ist die rechte Seite in der Nähe von y = 0 nicht Lipschitzstetig. Grob gesprochen liegt das daran, dass die Ableitung f y (t,y) = 2 3y 1/3 für kleine y groß wird, d.h. man findet keine Lipschitz-Konstante L, so dass f(t,y 1 ) f(t,y 2 ) L y 1 y 2 für alle t und y 1,y 2 R gilt. Im folgenden Satz von Picard-Lindelöf wird gezeigt, dass im Falle der Lipschitz-Stetigkeit von f bezügl. y die Eindeutigkeit einer Lösung gesichert ist. 8,

12 Satz 1.2 (Picard-Lindelöf). Für das AWP (1.8) sei f : Z a,b R n stetig auf Z a,b := [t 0 a,t 0 + a] Ūn b (y 0 ) (mit Ūn b (y 0) = {y R n y y 0 b}, a,b > 0). Außerdem gebe es eine Konstante L 0 mit der Eigenschaft f(t,y) f(t,z) L y z für alle (t,y), (t,z) Z a,b. (1.9) Dann existiert genau eine Lösung des AWPs (1.8) auf dem Intervall [t 0 α,t 0 + α], wobei α := min{a, b M }, M := max{ f(t,y) (t,y) Z a,b}. Beweis. Im folgenden werden die wesentlichen Beweis-Schritte skizziert. Schritt 1: Auf [t 0 α,t 0 + α] wird die Folge der Picard-Iterierten λ 0 (t) := y 0 λ k+1 (t) := y 0 + t konstruiert, wobei mit dem Nachweis der Ungleichung t 0 f(s,λ k (s))ds, k N (1.10) λ k (t) y 0 b und damit (s,λ k (s)) Z a,b, also im Def.-Bereich von f, die Konstruktion gerechtfertigt wird. 2. Schritt: Mit vollst. Induktion wird für alle t [t 0 α,t 0 + α] und alle k N die Ungleichung λ k+1 (t) λ k (t) ML k t t 0 k+1 (k + 1)! gezeigt, wobei wesentlich die Voraussetzung (1.9) benutzt wird. 3. Schritt: Es wird die gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge (λ k (t)) k N auf dem Intervall [t 0 α,t 0 + α] gezeigt. Die Grenzfunktion wird mit λ (t) bezeichnet. 4. Schritt: Es wird gezeigt, dass die Grenzfunktion λ (t) Lösung des AWP ist, d.h. dass λ (t) = y 0 + t t 0 f(s,λ (s))ds gilt. Dazu wird gezeigt, dass mit (λ k (t)) k N auch f(t,λ k (t)) k N gleichmäßig auf [t 0 α,t 0 + α] konvergiert. 9

13 5. Schritt: Die Eindeutigkeit wird gezeigt, indem man annimmt, dass mit µ(t) eine weitere Lösung des AWP existiert. Durch vollst. Induktion zeigt man, dass λ k (t) µ(t) ML k t t 0 k+1 (k + 1)! gilt, und damit mit dem Grenzübergang k die Gleichheit von λ (t) und µ(t) gezeigt wird. Aus dem Satz 1.2 folgt für jedes n N die folgende Fehlerabschätzung für die Picard-Iterierten λ k (t) λ (t) ML k α k+1 (k + 1)! (1.11) für alle t [t 0 α,t 0 + α]. Mit dem Satz von Picard-Lindelöf liegt somit nicht nur ein qualitatives Ergebnis vor, sondern mit den Picard-Iterierten (1.10) ein Algorithmus zur Konstruktion von Näherungslösungen sowie mit (1.11) eine Fehlerabschätzung (vorausgesetzt, man kann M und L quantifizieren). 1.2 Theorie der Einschrittverfahren Definition 1.3. Unter dem Richtungsfeld der Differentialgleichung y = f(t,y) 3. Vorlesung am versteht man das Vektorfeld r(t,y) = 1 1+f 2 (t,y) f(t,y) 1+f 2 (t,y) d.h. das Vektorfeld der normierten Steigungen Betrachtet man um einen beliebigen Punkt (t 0,y 0 ) der (t,y)- Ebene, kann man Lösungskurven y(t) durch diesen Punkt annähern: Beispiel. y = y 2 + t 2, r(t,y) = 1 1+(y 2 +t 2 ) 2 y 2 +t 2 1+(y 2 +t 2 ) 2 10

14 (I) y (t 0 ) = y t 2 0, (t 0 = a entspricht Start in Anfangspunkt (a,y 0 )) t-achse wird durch t k = t 0 + hk äquidistant unterteilt (II) mit dem Schritt von Punkt (t 0,y 0 ) zu (t 0 + h,y 0 + hy (t 0 )) =: (t 1,y 1 ) bzw. allgemein vom Punkt (t k,y k ) zu (t k + h,y k + hf(t k,y k )) =: (t k+1,y k+1 ) erhält man mit h = b a N nach m Schritten mit y 0,y 1,...,y N unter günstigen Umständen eine Approximation der Lösung y(t) an den Stellen a = t 0,t 1,...,t N = b (III) D.h. man fährt das Richtungsfeld geeignet ab, um eine numerische Lösung y k,k = 0, 1,...,N zu erhalten Die Polygonzüge, die man beim durchlaufen des Richtungsfeldes erzeugt, nennt man auch Eulerpolygone. Diese Polygonzüge finden z.b. Verwendung bei dem Beweis des Existenzsatzes von Peano. Im Folgenden werden wir sie aber auch bei den numerischen Lösungsverfahren für Anfangswertprobleme (1.8) verwenden. Definition 1.4. Ein Einschrittverfahren zur näherungsweisen Bestimmung einer Lösung des AWP (1.8) hat die Form y k+1 = y k + h k Φ(t k,y k,y k+1,h k ), k = 0, 1,...,N 1 (1.12) mit einer Verfahrensfunktion Φ : [a,b] R R R + R und einem (noch nicht näher spezifizierten) Gitter bzw. Schrittweiten = {a = t 0 < t 1 <... < t N b}, h k := t k+1 t k, k = 0, 1,...,N 1 (1.13) Bemerkung. Hängt die Verfahrensfunktion nicht von y k+1 ab, ist die Berechnungsvorschrift (1.12) eine explizite Formel zur Berechnung von y k+1 und man spricht von einem expliziten Einschrittverfahren. 11

15 Zur Klassifizierung und Bewertung von numerischen Lösungsverfahren für AWP benötigen wir im Folgenden einige Begriffe (y(t) bezeichnet hier die exakte Lösung). Definition 1.5. Unter dem lokalen Diskretisierungsfehler an der Stelle t k+1 des Verfahrens (1.12) versteht man den Wert d k+1 := y(t k+1 ) y(t k ) h k Φ(t k,y(t k ),y(t k+1 ),h k ) (1.14) Bemerkung 1.6. Benutzt man die Darstellung y k+1 = y(t k ) + h k Φ(t k,y(t k ),y(t k+1 ),h k ) für die an der Stelle t = t k+1 berechnete Näherung mit einem Einschrittverfahren mit der Verfahrensfunktion Φ, dann kann man den lokalen Diskretisierungsfehler auch in der Form d k+1 := y(t k+1 ) y k+1 (1.15) darstellen. Da man t k+1 beliebig aus [a,b] durch die Wahl eines geeigneten h wählen kann, kann man den lokalen Diskretisierungsfehler an der Stelle t auch in der Form aufschreiben. τ(t,h) = y(t + h) y(t) hφ(t,y(t),y(t + h),h) Definition 1.7. Unter dem globalen Diskretisierungsfehler g k an der Stelle t k versteht man den Wert g k := y(t k ) y k Definition 1.8. Ein Einschrittverfahren (1.12) besitzt die Fehlerordnung p, falls für seinen lokalen Diskretisierungsfehler d k die Abschätzungen d k Ch p+1 k, k = 1,...,N max d k D = Ch p+1 max = O(h p+1 max) (1.16) 1 k N mit einer Konstanten C >= und h max = max k=0,...,n 1 t k+1 t k gilt. (Statt Fehlerordnung verwendet man auch den Begriff Konsistenzordnung.) Ist p 1, dann heißt das Verfahren konsistent. 12

16 Die Bedingungen Φ(t,u 1,u 2,h) Φ(t,v 1,u 2,h) L 1 u 1 v 1 Φ(t,u 1,u 2,h) Φ(t,u 1,v 2,h) L 2 u 2 v 2 (1.17) für t [a,b], 0 < h b t,u j,v j R, mit positiven Konstanten L 1,L 2 sind für die folgenden Konvergenzuntersuchungen von Einschrittverfahren von Bedeutung Satz 1.9. Ein Einschrittverfahren (1.12) zur Lösung des AWP (1.8) besitze die Konsistenzordnung p 1 und die Verfahrensfunktion erfülle die Bedinung (1.17). Dann liegt die Konvergenzordnung p vor, d.h. es gilt max k=0,...,n y k y(t k ) Kh p max Mit einer Konstanten K, die vom Intervall [a,b], Konstanten C aus der Abschätzung (1.16) und L 1,L 1 aus (1.17) herrührt. Bewiesen werden soll der Satz 1.9 für ein explizites Einschrittverfahren (Beweise von allgemeinen Einschrittverfahren in Bärwolff oder Schwarz). Benötigt wird das Lemma Für Zahlen L > 0,a k 0,h k 0 und b 0 sei a k+1 (1 + h k L)a k + h k b, k = 0, 1,...,N 1 erfüllt. Dann gelten die Abschätzungen a k elt k 1 k 1 b + e Lt k a 0 mit t k := L j=0 h j (k = 0,...,N) Beweis. (vollständige Induktion) Induktionsanfang ist für k = 0 offensichtlich gewährleistet. Der Schritt k k + 1 ergibt sich wie folgt: ( e Lt k ) 1 a k+1 (1 + h k L) b + e Lt k a 0 + h k b L ( e L(t k +h k ) ) 1 h k L + h k b + e L(t k+h k ) a 0 L = elt k+1 1 b + e Lt k+1 a 0 L 13

17 Beweis von Satz 1.9. Mit den Festlegungen e k = y k y(t k ), k = 0, 1,...,N gilt für k = 0, 1,...,N 1 und damit bzw. y(t k+1 ) = y(t k ) + h k Φ(t k,y(t k ),h k ) d k+1 y k+1 = y k + h k Φ(t k,y k,h k ) e k+1 = e k + h k (Φ(t k,y k,h k ) Φ(t k,y(t k ),h k )) + d k+1 e k+1 e k + h k Φ(t k,y k,h k ) Φ(t k,y(t k ),h k ) + d k+1 (1 + h k L 1 ) e k + h k Ch p max Die Abschätzung des Lemmas 1.10 liefert wegen e 0 = 0 die Behauptung des Satzes Spezielle Einschrittverfahren Euler-Verfahren Mit der Verfahrensfunktion erhält man mit Φ(t,y,h k ) = f(t,y) y k+1 = y k + h k f(t k,y k ), k = 0,...,N 1 (1.18) das Euler-Verfahren. Für eine stetig partiell diff bare Funktion f : [a,b] R R besitzt das Euler- Verfahren die Konsistenzordnung p = 1, denn mit der Taylorentwicklung erhält man bzw. y(t + h) = y(t) + y (t)h + h2 2 y (ξ), ξ [a,b] d k+1 = y(t k+1 ) y(t k ) h k f(t k,y(t k )) = h2 k 2 y (ξ) d k+1 Ch 2 k mit C = 1 2 max ξ [a,b] y (ξ) 14

18 1.3.2 Einschrittverfahren der Konsistenzordnung p = 2 Um ein explizites Einschrittverfahren der Konsistenzordnung p = 2 zu erhalten, machen wir den Ansatz Φ(t,y,h) = a 1 f(t,y)+a 2 f(t+b 1 h,y+b 2 hf(t,y)), t [a,b], h [0,b t], y R (1.19) mit noch festzulegenden Konstanten a j,b j R. Es gilt nun der Satz Ein Einschrittverfahren (1.12) mit einer Verfahrensfunktion der Form (1.19) ist konsistent mit der Ordnung p = 2, falls f : [a,b] R R zweimal stetig partiell diff bar ist und für die Koeffizienten a 1 + a 2 = 1, a 2 b 1 = 1 2, a 2b 2 = 1 2 (1.20) gilt. Beweis. Taylorentwicklung von Φ(t,y(t), ) im Punkt h = 0 und von der Lösung y in t ergeben Φ(t,y(t),h) = Φ(t,y(t), 0) + h dφ dh (t,y(t), 0) + O(h2 ) ( f = (a 1 + a 2 )f(t,y(t)) + h a 2 b 1 t (t,y(t)) +a 2 b 2 f(t,y(t)) f ) y (t,y(t)) + O(h 2 ) und damit folgt also p = 2 = f(t,y(t)) + h 2 f t (t,y(t)) + h 2 f(t,y(t)) f y (t,y(t)) + O(h2 ) y(t + h) = y(t) + hy (t) + h2 2 y (t) + O(h 3 ) [ = y(t) + h f(t,y(t)) + h ] 2 y (t) + O(h 3 ) [ = y(t) + h f(t,y(t)) + h { f 2 t (t,y(t)) +f(t,y(t)) f }] y (t,y(t)) + O(h 3 ) = y(t) + hφ(t,y(t),h) + O(h 3 ) d k+1 = y(t k+1 ) y(t k ) h k Φ(t k,y(t k ),h k ) = O(h 3 k) 15

19 Mit der konkreten Wahl a 1 = 0,a 2 = 1,b 1 = b 2 = 1 erhält man mit 2 ( y k+1 = y k + h k f t k + h k 2,y k + h ) k 2 f(t k,y k ), k = 0,...,N 1 (1.21) das modifizierte Euler-Verfahren (verbesserte Polygonzugmethode) mit der Konsistenzordnung p = 2 Mit der Wahl a 1 = a 2 = 1 2,b 1 = b 2 = 1 erhält man mit y k+1 = y k + h k 2 [f(t k,y k ) + f(t k + h k,y k + h k f(t k,y k ))], k = 0,...,N 1 das Verfahren von Heun mit der Konsistenzordnung p = Verfahren höherer Ordnung Mehrstufige Runge-Kutta-Verfahren (1.22) Die bisher besprochenen Methoden (Euler, Heun) haben wir weitestgehend intuitiv ermittelt. Um systematisch Einschrittverfahren höherer Ordnung zu konstruieren, betrachten wir die zum AWP y = f(t,y),y(a) = y 0 äquivalente Gleichung (nach Integration) y(t) = y 0 + t bzw. für eine Diskretisierung des Intervalls [a,b] y(t k+1 ) = y(t k ) + a f(s, y(s))ds (1.23) tk+1 t k f(s,y(s))ds (1.24) Das letzte Integral aus (1.24) approximieren wir durch eine Quadraturformel tk+1 t k f(s,y(s))ds (1.25) wobei die s l zu einer Zerlegung von [t k,t k+1 ] gehören. (1.24) und (1.25) ergeben m y(t k+1 ) y(t k ) + h k γ l f(s l,y(s l )) (1.26) wobei wir die Werte y(s l ) nicht kennen. Sie müssen näherungsweise aus y(t k ) bestimmt werden, damit (1.26) als Integrationsverfahren benutzt werden kann. 16 l=1

20 Wählt man z.b. m = 2 und γ 1 = γ 2 = 1 2 sowie s 1 = t k und s 2 = t k+1, dann bedeutet (1.26) y(t k+1 ) y(t k ) + h k 2 [f(t k,y(t k )) + f(t k+1,y(t k+1 ))] und mit der Approximation ergibt sich mit y(t k+1 ) y(t k ) + h k f(t k,y(t k )) y(t k+1 ) y(t k ) + h k 2 [f(t k,y(t k )) + f(t k+1,y(t k ) + h k f(t k,y(t k )))] die Grundlage für das Verfahren von Heun. Im Weiteren wollen wir mit y k die Verfahrenswerte zur Näherung der exakten Werte y(t k ) bezeichnen und als Näherungen von f(s l,y(s l )) f(s l,y(s l )) k l (t j,y j ) verwenden. Mit l 1 s l = t k + α l h k, α l = werden die k l rekursiv definiert: r=1 β lr 4. Vorlesung am k 1 (t k,y k ) = f(t k,y k ) k 2 (t k,y k ) = f(t k + α 2 h k,y k + h k β 21 k 1 (t k,y k )) k 3 (t k,y k ) = f(t k + α 3 h k,y k + h k (β 31 k 1 + β 32 k 2 )) (1.27). k m (t k,y k ) = f(t k + α m h k,y k + h k (β m1 k β mm 1 k m 1 )) Ausgehend von (1.26) und (1.27) wird durch y k+1 = y k + h k (γ 1 k 1 (t k,y k ) + + γ m k m (t k,y k )) (1.28) ein explizites numerisches Verfahren zu Lösung des AWP y = f(t,y),y(a) = y 0 definiert. Definition Das Verfahren (1.28) heißt m-stufiges Runge-Kutta- Verfahren mit k l aus (1.27) und die k l heißen Stufenwerte. 17

21 Bemerkung. Wir haben oben schon festgestellt, dass im Fall m = 2 mit γ 1 = γ 2 = 1 2,α 2 = 1,β 21 = 1 (1.28) gerade das Heun-Verfahren ergibt, also ein Verfahren mit der Konsistenzordnung p = 2. Wir werden nun Bedingungen für die freien Parameter im Verfahren (1.28) formulieren, sodass einmal ein konsistentes Verfahren (p 1) entsteht und andererseits eine möglichst große Konsistenzordnung erhalten wird. Aus der Verwendung der Quadraturformel m h k γ l f(s l,y(s l )) l=1 folgt die sinnvolle Forderung tk+1 t k f(s,y(s))ds 1 = γ 1 + γ γ m (1.29) also haben die γ l die Funktion von Gewichten. Fordert man vom Verfahren (1.28), dass die Dgl y integriert wird, ergibt sich die Bedingung = 1 (y linear) exakt α l = β l1 + + β ll 1 (1.30) Es ist nämlich f(t,y) 1 und damit k l 1 für alle l. Ausgangspunkt war und k l (t k,y k ) f(s l,y(s l )) k l f(t k + α l h k,y(t k ) + h k (β l1 k β ll 1 k l 1 )) Also steht das y-argument für y(s l ) = y(t k + α l h k ). Wir fordern, dass dies bei f 1 exakt ist, also y(s l ) = y(t k ) + h k (β l1 + + β ll 1 ) (1.31) da alle k r = 1 sind. Andererseits ist y als exakte Lösung linear, d.h. und aus dem Vergleich von (1.31),(1.32) folgt y(s l ) = y(t k ) + α l h k (1.32) α l = β l1 + + β ll 1 18

22 Definition Die Tabelle mit den Koeffizienten α l,β lr,γ r in der Form 0 α 2 β 21 α 3 β 31 β α m β m1 β m2... β mm 1 γ 1 γ 2... γ m 1 γ m (1.33) heißt Butcher-Tabelle und beschreibt das Verfahren (1.28). α 1 ist hier gleich 0, weil explizite Verfahren betrachtet werden. Satz Ein explizites Runge-Kutta-Verfahren (1.28), dessen Koeffizienten die Bedingungen (1.29) und (1.30) erfüllen, ist konsistent. Beweis. Es ist zu zeigen, dass der lokale Diskretisierungsfehler die Ordnung ) mit p 1 hat. Wir setzen h k =: h, da k jetzt fixiert ist. O(h p+1 k d k+1 = y(t k+1 ) y(t k ) hφ(t k,y(t k ),h) m = y(t k+1) y(t k ) h γ r k r (t k,y(t k )) r=1 (1.29) m = y(t k+1) y(t k ) hf(t k,y(t k )) h γ r (k r (t k,y(t k )) f(t k,y(t k ))) r=1 y(t k+1 ) y(t k ) hy m (t k ) +h γ }{{} r (k r (t k,y(t k )) f(t k,y(t k ))) }{{} O(h 2 ) r=1 O(h) (1.30) also d k+1 Ch 2 Bemerkung. Butcher hat bewiesen, wie groß die maximale Ordnung ist, welche mit einem m-stufigen Runge-Kutta-Verfahren erreichbar ist, was in der folgenden Tabelle notiert ist: m für m 9 p p < m 2 19

23 1.5 Einige konkrete Runge-Kutta-Verfahren und deren Butcher-Tabellen (i) Euler-Verfahren 0 m = 1,γ 1 1 = 1 y k+1 = y k + h k f(t k,y k ), p = 1 (ii) Modifiziertes Euler-Verfahren m = 2,γ 1 = 0,γ 2 = 1,α 2 = 1 2,β 21 = 1 2 k 1 = f(t k,y k ) k 2 = f(t k h k,y k h kk 1 ) y k+1 = y k + h k k 2, p = 2 (iii) Verfahren von Runge von 3. Ordnung m = 3,γ 1 = γ 2 = 0,γ 3 = 1,α 2 = 1 2,α 3 = 1,β 21 = 1 2,β 31 = 0,β 32 = 1 k 1 = f(t k,y k ) k 2 = f(t k h k,y k h kk 1 ) k 3 = f(t k + h k,y k + h k k 2 ) y k+1 = y k + h k k 3, p = 3 (iv) Klassisches Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung

24 k 1 = f(t k,y k ) k 2 = f(t k h k,y k h kk 1 ) k 3 = f(t k h k,y k h kk 2 ) k 4 = f(t k + h k,y k + h k k 3 ) y k+1 = y k + h k ( 1 6 k k k k 4 ), p = 4 Bemerkung. Die Ordnung eines konkreten Runge-Kutta-Verfahrens kann mit Hilfe von Taylor-Entwicklungen ermittelt werden, wobei man dabei von einer geeigneten Glattheit von f(t,y) ausgeht. Im Folgenden soll die Ordnung eines 3-stufigen expliziten Runge-Kutta-Verfahrens bestimmt werden. Satz Sei f dreimal stetig partiell diff bar und gelte für die Parameter sowie α 2 = β 21 α 3 = β 31 + β 32 γ 1 + γ 2 + γ 3 = 1 α 2 γ 2 + α 3 γ 3 = 1 2 α 2 γ 3 β 32 = 1 6 α 2 2γ 2 + α 2 3γ 3 = 1 3 Dann hat das Runge-Kutta-Verfahren (explizit, 3-stufig) die Fehlerordnung p = 3 Beweis. Grundlage für den Beweis ist die Taylor-Approximation ( f f(t + t,y + y) = f(t,y) + (t,y) ) ( ) t t f (t,y) y t ( f 2 ( t, y) (t,y) 2 f (t,y) ) ( ) t 2 t y t 2 f (t,y) 2 f + O( 3 ) (t,y) y y t y 2 (1.34) 21

25 der Funktion f, wobei 2 f t y = 2 f y t aufgrund der Glattheit von f gilt. Mit k 1 = f(t k,y(t k )) k 2 = f(t k + α 2 h,y(t k ) + α 2 h k 1 ) k 3 = f(t k + α 3 h,y(t k ) + h(β 31 k1 + β 32 k2 )) gilt es, den lokalen Diskretisierungsfehler d k+1 = y(t k+1 ) y(t k ) h(γ 1 k1 + γ 2 k2 + γ 3 k3 ) abzuschätzen, wobei schon α 2 = β 21 verwendet wurde (h = h k ). Mit t = α 2 h und y = α 2 hf(t k,y(t k )) ergibt (1.34) für k 2 k 2 = f(t k + t,y(t k ) + y) = f + α 2 hf t + α 2 hff y α2 2h 2 f tt + α 2 2h 2 ff ty α2 2h 2 f 2 f yy + O(h 3 ) =: f + α 2 hf α2 2h 2 G + O(h 3 ) (1.35) f,f t,...,f yy sind dabei die Funktions- bzw. Ableitunswerte an der Stelle (t k,y(t k )). Für k 3 erhält man unter Nutzung von (1.35) und (1.34) k 3 = f(t k + α 3 h,y(t k ) + h(β 31 k1 + β 32 k2 )) = f + α 3 hf t + h(β 31 k1 + β 32 k2 )f y α2 3h 2 f tt + α 3 (β 31 k1 + β 32 k2 )h 2 f ty (β 31 k 1 + β 32 k2 ) 2 h 2 f yy + O(h 3 ) = f + h(α 3 f t + [β 31 + β 32 ]ff y ) + h 2 (α 2 β 32 Ff y α2 3f tt + α 3 [β 31 + β 32 ]ff ty (β 31 + β 32 )f 2 f yy ) + O(h 3 ) = f + α 3 hf + h 2 (α 2 β 32 Ff y α2 3G) + O(h 3 ) (1.36) Mit (1.35) und (1.36) folgt für den lokalen Diskretisierungsfehler ( ) 1 d k+1 = h(1 γ 1 γ 2 γ 3 )f + h 2 2 α 2γ 2 α 3 γ 3 F ([ [ 1 1 +h 3 6 α 2γ 3 β 32 ]Ff y α2 2γ 2 1 ] ) 2 α2 3γ 3 G + O(h 4 ) (1.37) Aufgrund der Voraussetzungen werden die Klammerausdrücke gleich Null und es gilt d k+1 = O(h 4 ) also hat das Verfahren die Fehlerordnung p = 3 22

26 1.6 Asymptotische Entwicklungen Um zu einer Methode mit einer Fehlerordnung größer als 1 zu gelangen, nehmen wir an, mit dem expliziten Eulerverfahren seien bis zu einer gegebenen Stelle t = t k+1 zwei Integrationen durchgeführt worden, zuerst mit der Schrittweite h [0] = h und dann mit der Schrittweite h [1] = h. Für die 2 erhaltenen Werte y h[0] und y h[1] nach k bzw. 2k Integrationsschritten gilt näherungsweise (wird weiter unten erläutert) 5. Vorlesung am y h[0] = y(t) + c 1 h [0] + O(h 2 ) y h[1] = y(t) + c 1 h [1] + O(h 2 ). (1.38) Durch Linearkombination der beiden Beziehungen erhält man nach der so genannten Richardson-Extrapolation den extrapolierten Wert ỹ = 2y h[1] y h[0] = y(t) + O(h 2 ), (1.39) dessen Fehler gegenüber y(t) von zweiter Ordnung in h ist. Anstatt eine Differentialgleichung nach der Euler-Methode zweimal mit unterschiedlichen Schrittweiten parallel zu integrieren, ist es besser, die Extrapolation direkt auf die Werte anzuwenden, die einmal von einem Integrationsschritt mit der Schrittweite h [1] und andererseits von einem Doppelschritt mit halber Schrittweite h [2] stammen. In beiden Fällen startet man vom Näherungspunkt (t k,y h (t k )). Der Normalschritt mit der Euler-Methode mit der Schrittweite h [0] ergibt y h[0] = y h (t k ) + h [0] f(t k,y h (t k )). (1.40) Ein Doppelschritt mit der Schrittweite h [2] ergibt sukzessive die Werte y k+ 1 2 = y h (t k ) + h [1] f(t k,y h (t k )), y h[1] = y k h [1] f(t k + h [1],y k+ 1). (1.41) 2 Die Richardson-Extrapolation, angewandt auf y h[1] und y h[0], ergibt mit h[0] = h,h[1] = h/2 y k+1 = 2y h(1) y h(0) = 2y k+ 1 + hf(t k + h 2 2,y k+ 1 ) y k hf(t k,y k ) 2 = 2y k + hf(t k,y k ) + hf(t k + h 2,y k+ 1 2) y k hf(t k,y k ) = y k + hf(t k + h 2,y k + h 2 f(t k,y k )). (1.42) 23

27 Wir fassen das Ergebnis (1.42) algorithmisch zusammen k 1 = f(t k,y k ) k 2 = f(t k + h 2,y k + h 2 k 1) (1.43) y k+1 = y k + h k 2 und nennen die Rechenvorschrift (1.43) verbesserte Polygonzugmethode von Euler. Für die Funktion Φ ergibt sich im Falle der verbesserten Polygonzugmethode Φ(t k,y k,y k+1,h) = f(t k + h 2,y k + h 2 f(t k,y k )). k 1 stellt die Steigung des Richtungsfeldes im Punkt (x k,y k ) dar, mit der der Hilfspunkt (t k + h 2,y k + h 2 k 1) und die dazugehörige Steigung k 2 berechnet wird. Schließlich wird y k+1 mit der Steigung k 2 berechnet. Die geometrische Interpretation eines Verfahrensschrittes ist in Abb. 1.1 dargestellt. Per Konstruktion hat diese Methode die Ordnung p = 2. Die eben beschriebene y y(t) k 1 k 2 y k y k+1/2 y k+1 t k t k +h/2 t k+1 t Abbildung 1.1: Verbesserte Polygonzug-Methode Methode kann man natürlich sukzessiv fortsetzen, indem man z.b. 4 Schritte des Eulerverfahrens mit der Schrittweite h[2] = h/4 mit dem Ergebnis y (3) k+1 durchführt. Man geht dann von der näherungsweisen Gültigkeit der Entwicklungen y h[0] y(t) + c 1 h + c 2 h 2 + O(h 3 ) h y h[1] y(t) + c c h O(h3 ) (1.44) h y h[2] y(t) + c c h O(h3 ) 24

28 aus. Und mit der Richardson-Extrapolation erhält man ausgehend von den Werten y h[2], y h[1] und y h[0] eine Approximation y k+1 = 1 3 [y h[0] 6y h[1] + 8y h[2]) ] (1.45) des Lösungswertes y(t k+1 ). Das entstehende 3-stufige Einschrittverfahren hat dann die Ordnung p = 3. Für eine folgende allgemeine Darstellung der Extrapolationsverfahren geben wir die Schrittweitenabhängigkeit der Approximationen eines Einschrittverfahrens wie folgt explizit an: y h (t k+1 ) := y h (t k ) + hφ(t k,y h (t k ),h), k = 0, 1,...,N 1, y h (a) = y 0, (1.46) wobei der Einfachheit halber ein äquidistantes Gitter mit h > 0 und t k = a+k h für k =, 1,...,N, mit 0 < N b a verwendet wird. Grundlage für die h eben skizzierte Methode zur Konstruktion von Verfahren höherer Ordnung sind asymptotische Entwicklungen (1.38), (1.44) von Diskretisierungsfehlern von Einschrittverfahren. Es gilt der Satz 1.16 (Gragg). Es sei y h die von einem Einschrittverfahren der Ordnung p gelieferte Näherungslösung der Lösung y(t) des AWPs y = f(t,y), y(a) = y 0, mit der Schrittweite h, wobei f und die Verfahrensfunktion des Einschrittverfahrens Φ als p + r mal stetig partiell differenzierbar vorausgesetzt wurde. Dann besitzt y h eine asymptotische Entwicklung der Form y h (t) = y(t)+c p (t)h p +c p+1 (t)h p+1 + +c p+r 1 (t)h p+r 1 +O(h p+r ), (1.47) mit c p+j (a) = 0 und c p+j C r+1 j ([a,b], R) für alle j = 0,...,r 1, und h = h i = t a, i = 1, 2,..., wobei die angegebenen Konvergenzraten gleichmäßig i in t auftreten. Auf den Beweis des Satzes 1.16 kommen wir etwas später noch einmal zurück (s.auch Plato oder Deuflhard/Bornemann). Die Ergebnisse (1.42) und (1.44) kann man auch durch folgende Überlegung erhalten. Wir definieren H t = { t a, m = 1, 2,...}, m so dass man nach m Schritten eines Einschrittverfahrens mit der Schrittweite h H t eine Näherung y h (t) des Lösungswertes y(t) erreicht. Bei einem Verfahren der Ordnung p gilt y h (t) = y(t) + O(h p ) für h 0, h H t. 25

29 Unter Nutzung der asymptotischen Entwicklung (1.47) betrachtet man zur Approximation von y(t) für die feste Stelle t [a,b] Schrittweiten h [0] > h [1] > h [2] >... aus H t und eine Zahl 0 m r (für den Fall (1.44) wären das h [0] = h,h [1] = h/2,h [2] = h/4 und r = 2) das Polynom P 0,...,m (h) = d 0 + d p h p + d p+1 h p d p+m 1 h p+m 1, h R (1.48) mit Koeffizienten d 0,d p,d p+1,...,d p+m 1, wobei diese m + 1 Koeffizienten so zu bestimmen sind, dass die m + 1 Interpolationsbedingungen P 0,...,m (h [k] ) = u h[k] (t) für k = 0,...,m, (1.49) erfüllt sind. Für die Wahl der Schrittweiten gilt bezüglich einer Grundschrittweite h H t h [k] = h/n k für k = 0, 1,..., mit 1 n 0 n (1.50) Als Näherung für y(t) wird schließlich P 0,...,m (0) herangezogen, d.h. man extrapoliert von h [0] > h [1] > h [2] >... auf 0. Durch diese Extrapolation nach h 0 erhält man ein Verfahren der Ordnung m + p, es gilt P 0,...,m (0) = y(t) + O(h m+p ). Die Berechnung von P 0,...,m (0) erfolgt mit dem Schema von Neville/Aitken zur Polynomwertberechnung an der Stelle 0. h [0] u h[0] = P 0 h [1] u h[1] = P 0 P 0,1 h [2] u h[2] = P 0 P 0,1 P 0,1,2. h [m] u h[m] = P 0 P 0,1 P 0,1,2... P 0,...,m Dabei ist das Tableau so zu verstehen, dass z.b. in der dritten Spalte und der dritten Zeile mit P 0,1 der Wert des Polynoms 1. Grades zu verstehen ist, das die Werte (h [1],u h[1] ) und (h [2],u h[2] ) interpoliert. Entscheidend ist das letzte Element der letzten Zeile, wo mit P 0,...,m der gewünschte Wert P 0,...,m (0) steht. Für den Fall (1.44) erhalten wir konkret das Schema y h[0] y h[1] y h[2] (0 h [0] )y h[1] (0 h [1] )y h[0] h [1] h [0] = 2y h[1] y h[0] (0 h [1] )y h[2] (0 h [2] )y h[1] h [2] h [1] = 2y h[2] y h[1] (0 h [0] )[2y h[1] y h[0] ] (0 h [2] )[2y h[2] y h[1] ] h [2] h [0] 26

30 und mit (0 h [0] )[2y h[1] y h[0] ] (0 h [2] )[2y h[2] y h[1] ] = 8y h 6y [2] h + y [1] h [0] h [2] h [0] 3 erhält man das obige Resultat (1.45). Ist h [k] eine streng monoton fallende Nullfolge, so konvergiert die erste Spalte des obigen Neville/Aitken-Schemas wie h [k] gegen y(t), die zweite Spalte wie h 2 [k] gegen y(t) und die dritte Spalte wie h 3 [k] gegen y(t). Mittels Extrapolation hat man damit ein Verfahren der Ordnung p + m = = 3 konstruiert. Bei den besprochenen Extrapolationsverfahren haben wir pro Extrapolationsschritt aufgrund von (1.47) die Ordnung um eins erhöht. Besonders vorteilhaft ist jedoch die Situation, wenn man für ein Verfahren statt (1.47) eine asymptotische Entwicklung der Form y h (t) = y(t)+c p (t)z p +c p+1 (t)z p+1 + +c p+r 1 (t)z p+r 1 +O(z p+r ), (1.51) mit z = h γ mit γ N, γ 2 vorzuliegen hat. Dann wird pro Extrapolationsschritt die Ordnung des zugrunde liegenden Verfahrens um γ erhöht. Bemerkung Eine solche Situation liegt z.b. dem Rombergverfahren zugrunde, denn für die summierte Trapezregel T(h) = h( 1 n 1 2 (f(a) + f(b)) + f(a + i h)), h = (b a)/n, (1.52) i=1 zur näherungsweisen Berechnung des Integrals b f(x)dx gibt es eine asymptotische Entwicklung der a Form mit τ 0 = T(h) = τ 0 + τ 1 h 2 + τ 2 h τ m h 2m + R m+1 (h) (1.53) b a f(x)dx, τ k = B 2k (2k)! [f(2k 1) (b) f (2k 1) (a)], wobei B 2k die Bernoullizahlen sind, und für das Restglied R m+1 (h) = O(h 2m+2 ) für h 0 gilt (außerdem muss f die Glattheitsforderung f C (2m+2) ([a,b]) erfüllen). Man berechnet nun T(h k ) nach (1.52) für h [0] > h [1] >... (z.b. h [k] = (b a)/n k, n k = 1, 2,...) und legt ein Polynom P m (z), z = h 2, durch die Punkte (h 2 [0],T(h [0])), (h 2 [1],T(h [1])),...,(h 2 [m],t(h [m])) und findet mit P m (0) eine Näherung von τ 0 = b f(x)dx vor, wobei a P m (0) = τ 0 + O(h 2m+2 ) gilt. Man erhöht damit pro Extrapolationsschritt die Ordnung von q auf q+2. 27

31 Im Folgenden sollen die Grundlagen für den Nachweis der Existenz der asymptotischen Entwicklung (1.47) diskutiert werden. Wir betrachten ein Einschrittverfahren der Form (1.46), also y h (t k+1 ) := y h (t k ) + hφ(t k,y h (t k ),h), k = 0, 1,...,N 1, y h (a) = y 0. Zuerst soll eine spezielle Darstellung des lokalen Verfahrensfehlers eines Einschrittverfahrens gezeigt werden. Lemma f und die Verfahrensfunktion Ψ eines Einschrittverfahrens der Ordnung p seien p + r-mal stetig partiell differenzierbar (wie in Satz 1.16). Dann gilt für den lokalen Diskretisierungsfehler eines Verfahrens mit der Ordnung p die Entwicklung y(t+h) y(t) hφ(t,y(t),h) = d p+1 (t)h p+1 +O(h p+2 ) für h 0, (1.54) mit einer Funktion d p+1 C r ([a,b]), wobei die angegebenen Konvergenzraten gleichmäßig in t sind. Beweis. Eine Taylorentwicklung der Hilfsfunktion g(h) = y(t + h) y(t) hφ(t,y(t),h) in h = 0 ergibt p+1 y(t+h) y(t) hφ(t, y(t), h) = d l (t)h l +O(h p+2 ) = d p+1 (t)h p+1 +O(h p+2 ) l=0 da wegen der vorliegenden Konsistenzordnung p notwendigerweise d 0 (t) = = d p (t) = 0 gilt, womit das Lemma bewiesen ist. Für die Funktion d p+1 (t) gilt die Darstellung d p+1 (t) = y(p+1) (t) (p + 1)! 1 p Φ (t,y(t), 0). p! hp Es gilt nun der folgende Satz Das Einschrittverfahren (1.46) habe die Konvergenzordnung p, d.h. es gilt y(t k+1 ) y(t k ) hφ(t k,y(t k ),h) = d p+1 (t k )h p+1 + O(h p+2 ). (1.55) f und Φ seien p + 2-mal stetig partiell differenzierbar. Sei c p die Lösung des linearen, inhomogenen AWPs c p(t) = f y (t,y(t))c p(t) + d p+1 (t) (1.56) c p (a) = 0. 28

32 Dann ist y h(t k ) = y h (t k ) + c p (t k )h p (1.57) Lösung eines Einschrittverfahrens mit der Verfahrensfunktion Φ (t,y,h) = Φ(t,y c p (t)h p,h) + (c p (t + h) c p (t))h p 1 (1.58) mit der Konsistenzordnung p + 1. Beweis. Offensichtlich gilt y h (a) = y h(a) = y 0 und man erhält induktiv für t = a + h,a + 2h,... y h(t + h) = y h(t) + hφ (t,y h(t),h) = y h (t) + h p c p (t) + hφ(t,y h (t),h) + [c p (t + h) c p (t)]h p = y h (t) + hφ(t,y h (t),h) +c }{{} p (t + h)h p. =y h (t+h) Für den lokalen Diskretisierungsfehler (damit es keine Konfusion mit (1.56) gibt, bezeichnen wir ihn mit τ) gilt nun τ k+1 = y(t k+1 ) y(t k ) hφ (t k,y(t k ),h) = y(t k+1 ) y(t k ) hφ(t k,y(t k ) c p (t k )h p,h) (c p (t k+1 ) c p (t k ))h p = y(t k+1 ) y(t k ) hφ(t k,y(t k ),h) [c p (t k+1 ) c p (t k )]h p +h[φ(t k,y(t k ),h) Φ(t k,y(t k ) c p (t k )h p,h)], wegen (1.55) und der Glattheitsvoraussetzungen an f und Φ gilt [c p (t k+1 ) c p (t k )] = hc p(t k ) + O(h 2 ) und [Φ(t k,y(t k ),h) Φ(t k,y(t k ) c p (t k )h p,h)] = c p (t k )h p Φ y (t k,y(t k ),h)+o(h 2 ), so dass sich für τk+1 unter Nutzung von (1.54) τ k+1 = (d p+1 (t k ) + Φ y (t k,y(t k ),h)c p (t) c p(t))h p+1 + O(h p+2 ) ergibt. Da die Konsistenzordnung p vorliegt, gilt auch so dass sich letztendlich Φ y (t k,y(t k ),h) f y (t k,y(t k )) = O(h), τ k+1 = {d p+1 (t k ) + f y (t k,y(t k ))c p (t k ) c p(t k )}h p+1 + O(h p+2 ) ergibt, und da der Klammerausdruck wegen (1.56) verschwindet, ergibt sich als Ordnung p

33 Die rekursive Anwendung des Satzes 1.19 ermöglicht durch die beschriebene Veränderung der Verfahrensfunktion eine sukzessive Erhöhung der Verfahrensordnung und ergibt schließlich unter Nutzung des Lemma 1.18 auch eine asymptotische Entwicklung des lokalen Diskretisierungsfehlers. Bezeichnet man y 0,h = y h und die durch Rekursion mit der Verfahrensfunktion (1.58) ausgehend von y l,h (Verfahren der Ordnung p + l) konstruierte Lösung y l+1,h (Verfahren der Ordnung p + l + 1, Lösung im Satz 1.19 mit y h bezeichnet), so erhält man 6. Vorlesung am beziehungsweise y l+1,h (t) = y l,h + c p+l (t)h p+l, l = 0,...,r 1, y r,h (t) = y h (t) + c p (t)h p + c p+1 (t)h p c p+r 1 (t)h p+r 1. (1.59) Das rekursiv definierte Verfahren mit der Lösung y r,h (t) besitzt nun gemäß Satz 1.19 die Konvergenzordnung p + r, d.h. es gilt y r,h (t) y(t) = O(h p+r ). (1.60) Aus (1.59) und (1.60) folgt direkt die asymptotische Entwicklung (1.47) und damit der Beweis des Satzes Bemerkung Die rekursive Anwendung des Satzes 1.19, speziell die mittels (1.56) sukzessiv konstruierten Verfahren mit wachsender Ordnung, hat nur eine theoretische beweistechnische Bedeutung für den Nachweis der Existenz der asymptotischen Entwicklung (1.47), und keine praktische Bedeutung für die numerische Lösung eines AWPs. Im Folgenden soll aus der Existenz einer asymptotischen Entwicklung (1.47) für den globalen Diskretisierungsfehler auf die Existenz einer asymptotischen Entwicklung für den lokalen Diskretisierungsfehler geschlossen werden. Satz f und die Verfahrensfunktion Ψ eines Einschrittverfahrens der Ordnung p seien p + r-mal stetig partiell differenzierbar. Dann gilt für jede fixierte Zahl l N die folgende Entwicklung für den lokalen Diskretisierungssfehler: y h (a + lh) y(a + lh) = b p+1 h p b p+r 1 h p+r 1 + O(h p+r ) (1.61) für h > 0, mit gewissen von l abhängigen Koeffizienten b p+1,...,b p+r 1 R. 30

34 Beweis. Aus Satz 1.16 erhält man unter Verwendung der Taylorentwicklungen c p+j (a + lh) = r j 1 k=0 unter Berücksichtigung von c p (a) = 0 mit c (k) p+j (a)(lh)k k! + O(h r j ) r 1 y h (a + lh) = y(a + lh) + c p+j (a + lh)h p+j + O(h p+r ) = die Aussage des Satzes. [ r 1 r j 1 j=1 k=0 j=0 c (k) p+s k (a)lk k! ] } {{ } =:b p+s h p+s + O(h p+r ) Korollar Unter den Bedingungen des Satzes 1.16 über die Asymptotik des globalen Verfahrensfehlers und mit jeder Zahl l N gilt für den lokalen Extrapolationsfehler P 0,...,m (0) y(a + lh) = p+r 1 j=p+m+1 b j h j + O(h p+r ) (1.62) mit gewissen von l abhängigen Koeffizienten b p+m+1,...,b p+r 1 R. Insbesondere gilt für r m+1 die Darstellung P 0,...,m (0) y(a+lh) = O(h p+r+1 ). Der Beweis erfolgt analog zum Beweis von Satz Wir haben schon darauf hingewiesen, dass man mit Entwicklung der Form (1.51) mit γ 2 durch Extrapolation die Verfahrensordnung nicht nur um 1 sondern um γ erhöhen kann. Es ist also sinnvoll nach Verfahren zu suchen, für die eine asymptotische Entwicklung der Form (1.51) mit γ 2 existiert. Dazu benötigen wir einige Begriffe. Definition 1.23 (Adjungiertes Verfahren). Sei mit y h (t k+1 ) = y h (t k ) + hφ(t k,y h (t k ),y h (t k+1 ),h) (1.63) ein Einschrittverfahren gegeben, dann wird durch y h (t k ) = y h (t k+1 ) hφ(t k+1,y h (t k+1 ),y h (t k ), h) 31

35 oder umgeschrieben y h (t k+1 ) = y h (t k ) + hφ(t k+1,y h (t k+1 ),y h (t k ), h) (1.64) gespiegelt. Die Gleichung (1.64) wird als eine implizite Gleichung zur Bestimmung von y h (t k+1 ) betrachtet, die für kleine Schrittweiten h nach dem Satz über implizite Funktionen auch (lokal eindeutig) auflösbar ist. Wir schreiben dann für die Lösung y h (t k+1 ) = y h (t k ) + hφ (t k,y h (t k ), h) und bezeichnen mit Φ die Verfahrensfunktion des gespiegelten oder adjungierten Einschrittverfahrens von Φ. In der Definition beschränken wir uns nicht auf explizite Verfahren, sondern betrachten mit der Verfahrensfunktion Φ(t k,y h (t k ),y h (t k+1 ),h) auch implizite Einschrittverfahren. Beispiel Betrachten wir das explizite Eulerverfahren y h (t k+1 ) = y h (t k ) + hf(t k,y h (t k )), die Spiegelung ergibt im ersten Schritt durch die Ersetzung von h durch h y h (t k 1 = y h (t k ) hf(t k,y h (t k )), und die Ersetzung von t durch t + h das gespiegelte Verfahren das umgeschrieben die Form y h (t k ) = y h (t k+1 ) hf(t k+1,y h (t k+1 )), y h (t k+1 ) = y h (t k ) + hf(t k+1,y h (t k+1 )) hat. Darin erkennen wir das implizite Eulerverfahren. Definition Ein Einschrittverfahren (1.63) heißt symmetrisch, falls Φ = Φ ist. Wir erkennen am Beispiel, dass das Eulerverfahren offensichtlich nicht symmetrisch ist. Bemerkung Das explizite Eulerverfahren ist leider kein Einzelfall. Man kann zeigen, dass es kein explizites Einschrittverfahren gibt, das symmetrisch ist. Nur unter den impliziten Verfahren findet man symmetrische Verfahren. 32

36 Beispiel Sowohl die implizite Mittelpunktsregel y h (t k+1 ) = y h (t k ) + hf(t k+1/2, 1 2 [y h(t k ) + y h (t k+1 )]) (1.65) als auch die implizite Trapezregel y h (t k+1 ) = y h (t k ) + h 2 [f(t k,y h (t k )) + f(t k+1,y h (t k+1 ))] (1.66) sind symmetrische Verfahren. Bei den symmetrischen Verfahren ergibt sich für den Schritt (t k,y h (t k )) zu (t k+1,y h (t k+1 )), dass man mit dem adjungierten Verfahren ausgehend von (t k+1,y h (t k+1 )) durch einen Schritt mit der Schrittweite h, also einen Rückschritt (t k,y h (t k )) erhält. Der Wert von symmetrischen Einschrittverfahren besteht darin, dass sie die oben angesprochenen quadratischen asymptotischen Entwicklungen (1.51) mit z = γ, γ = 2 besitzen. Es gilt der Satz Der globale Diskretisierungsfehler von symmetrischen Einschrittverfahren mit der Fehlerordnung p 1 besitzt unter den Vorausetzungen des Satzes 1.16 eine quadratische asymptotische Entwicklung der Form y h (t) y(t) = c p (t)z p + c p+1 (t)z p c p+r 1 (t)z p+r 1 + O(z p+r ) mit z = h 2. Beweis. Beweis als Übung. 1.7 Schrittweitensteuerung Einbettungsverfahren Bisher wurde die Schrittweite h = t k+1 t k in der Regel äquidistant vorgegeben. Lässt man hier eine Variabilität zu, hat man die Möglichkeit, den lokalen Diskretisierungsfehler d k+1 durch die Wahl einer geeigneten Schrittweite h k+1 = t k+1 t k betragsmäßig zu beschränken. Man spricht hier von Schrittweitensteuerung. Das Prinzip soll am Beispiel des Heun-Verfahrens (1.22) der Ordnung p = 2 k 1 = f(t k,y k ), k 2 = f(t k + h,y k + h k 1 ), y k+1 = y k + h 2 [k 1 + k 2 ] 33

37 erläutert werden. Als lokaler Diskretisierungsfehler ergibt sich d (H) k+1 = y(t k+1) y(t k ) h 2 [ k 1 + k 2 ], wobei k1, k 2 aus k 1,k 2 dadurch hervorgehen, dass y k durch y(t k ) ersetzt wird. Nun sucht man ein Verfahren höherer, also mindestens dritter Ordnung, dessen Steigungen k 1 und k 2 mit den Steigungen des Heun-Verfahrens übereinstimmen. Solch ein Runge-Kutta-Verfahren 3. Ordnung soll nun konstruiert werden. Die Forderung der Gleichheit der Steigungen k 1 und k 2 mit den Steigungen des Heun-Verfahrens bedeutet α 2 = β 21 = 1. Die weiteren Parameter ergeben sich aus dem Gleichungssystem aus dem Satz 1.15 bei der Wahl von α 3 = 1 2 γ 3 = 2 3, γ 2 = 1 6, γ 1 = 1 6, β 32 = 1 4, β 31 = α 3 β 32 = 1 4, so dass sich das Runge-Kutta-Verfahren 3. Ordnung (auch Heun-Verfahren 3. Ordnung genannt) k 1 = f(t k,y k ), k 2 = f(t k + h,y k + h k 1 ), k 3 = f(t k h,y k + h 4 (k 1 + k 2 )) y k+1 = y k + h 6 [k 1 + k 2 + 4k 3 ] (1.67) ergibt. Für den lokalen Diskretisierungsfehler des Verfahrens (1.67) ergibt sich d (RK) k+1 = y(t k+1 ) y(t k ) h 6 [ k 1 + k k 3 ]. Damit kann man den lokalen Diskretisierungsfehler des Heun-Verfahrens in der Form d (H) k+1 = h 6 [ k 1 + k k 3 ] h 2 [ k 1 + k 2 ] + d (RK) k+1 darstellen. Berücksichtigt man d (RK) k+1 = O(h 4 ), so erhält man d (H) k+1 = h 6 [ k 1 + k k 3 ] h 2 [ k 1 + k 2 ] + O(h 4 ) = h 3 [2 k 3 k 1 k 2 ] + O(h 4 ) und benutzt man (unter Voraussetzung genügender Glattheit von f) so erhält man schließlich h 3 [2 k 3 k 1 k 2 ] h 3 [2k 3 k 1 k 2 ] = O(h 4 ), d (H) k+1 = h 3 [2k 3 k 1 k 2 ] + O(h 4 ) 34