Übungsaufgaben. 6. Übung SS 11: Woche vom Heft Ü 2: a), b), c), i), d), s), 25.1 c), d), 25.

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1 Übungsaufgaben 6. Übung SS 11: Woche vom Heft Ü 2: a), b), c), i), d), s), 25.1 c), d), 25.3 b), e)

2 Numerische Verfahren (Buch, Abschnitt 6.8) (zur Lösung von AWP 1. Ordnung) Gegeben ist das Anfangswertproblem (AWP) y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0 Dies ist äquivalent zur Lösung der Integralgleichung y(t) = y 0 + t t 0 f(s, (y(s))ds Das ist die Grundlage für numerische Verfahren! Völlig analog für vektorwertige DGL (DGL-System) anwendbar.

3 Eine grundlegende Herangehensweise Wähle Stützstellen x 0, x 1, x 2,... auf der x-achse durch x k+1 := x k + h, h > 0 (feste Schrittweite) Bestimme Näherungen y k für y(x k ) durch Ausnutzung von y(x k+1 ) y(x k ) = xk+1 x k f(x, y(x)) dx für k = 0, 1, 2,... (vgl. vorherige Folie) Dabei wird das Integral in obiger Formel durch eine numerische Integrationsformel (s. 1. Semester) ersetzt.

4 y(x k+1 ) y(x k ) = x k+1 x k f(x, y(x)) dx y(x k+1 ) = y(x k ) + y(x k+1 ) y k + x k+1 x k x k+1 x k f(x, y(x)) dx f(x, y(x)) dx y(x k+1 ) y k + hφ(x k, y k, y k+1, h) Einschrittverfahren y k+1 := y k + hφ(x k, y k, y k+1, h)

5 Beispiele für Einschrittverfahren 1. Explizites Euler-Verfahren (Polygonzugverfahren) Φ(x, y, z, h) := f(x, y) y k+1 := y k + hφ(x k, y k, y k+1, h) = y k + hf(x k, y k ) 2. Implizites Euler-Verfahren Φ(x, y, z, h) := f(x + h, z) y k+1 := y k + hφ(x k, y k, y k+1, h) = y k + hf(x k+1, y k+1 )

6 Def. 6.7: Lokaler Diskretisierungsfehler l k (h) := y(x k+1 ) [y(x k ) + hφ(x k, y(x k ), y(x k+1 ), h)] heißt lokaler Diskretisierungsfehler an der Stelle x k+1 Def. 6.8: Globaler Diskretisierungsfehler g k (h) := y(x k ) y k heißt globaler Diskretisierungsfehler an der Stelle x k

7 Definition: Konsistenzordnung Ein Einschrittverfahren besitzt die Konsistenzordnung p 1, falls es Konstanten c, h 0 > 0 gibt, so dass für den lokalen Diskretisierungsfehler l k (h) die Abschätzung gilt. l k (h) c h p+1 für alle h [0, h 0 ] Bemerkung: Euler-Verfahren und implizites Euler-Verfahren haben die Konsistenzordnung 1

8 Verbessertes Polygonzugverfahren Φ(x, y, z, h) := f(x + h 2, y + h f(x, y)) 2 y k+1 := y k + h f(x k + h 2, y k + h 2 f(x k, y k )) }{{} Φ(x k,y k,y k+1,h) Das verbesserte Polygonzugverfahren besitzt die Konsistenzordnung 2

9 Ansatz für ein Runge-Kutta Verfahren Φ(x, y, h) = c 1 f(x, y) + c 2 f(x+h 2, y(x+h 2 )) + c 3 f(x+h 3, y(x+h 3 )) mit c 1 f(x, y) + c 2 f(x+h 2, y 2 ) + c 3 f(x+h 3, y 3 ) y 2 := y + hb 21 f(x, y) y 3 := y + hb 31 f(x, y) + hb 32 f(x + h 2, y 2 ) Dies ist ein explizites Runge-Kutta Schema.

10 Konsistenzordnung des Runge-Kutta Verfahrens Erreichung einer hohen Konsistenzordnung durch Wahl der Parameter c 1, c 2, c 3, h 2, h 3, b 21, b 31, b 32, z.b. c 1 := 1 4, c 2 := 0, c 3 := 3 4 h 2 := 1 3 h, h 3 := 2 3 h, b 21 := 1 3, b 31 := 0, b 32 := 2 3 Konsistenzordnung 3

11 Zitate zur RK-Methode (Ordnung 4) For many scientific users, fourth order RK is not just the first word on ODE integrators, but the last word as well Altes Arbeitspferd, aber sehr solide (bei adaptiven Gebrauch - Rennpferde sind empfindlich(!)) bzw.: RK nimmt man, wenn man es nicht besser weiß bei Problemen mit besseren Methoden Effizienz kein Problem RK funktioniert fast immer (adaptiv).

12 Kap. 6.8 Numerische Lösungsmethoden I y Exakt Euler VPoly Heun3 RuKu x Abbildung 6.10: Numerische Lösung von y = 1 x ln x y, y(2) = ln 2 für verschiedene Verfahren, Integrationsschrittweite h = 0.5

13 Kap. 6.8 Numerische Lösungsmethoden II y Exakt Euler VPoly Heun3 RuKu x Abbildung 6.11: Numerische Lösung von y = 1 x ln x y, y(2) = ln 2, für verschiedene Verfahren, Integrationsschrittweite h = 0.1

14 Besselsche und Legendresche Differentialgl. Besselsche Differentialgleichung I y 1 0 J 0 J x Abbildung 6.12: Verlauf der Bessel-Funktionen J 0 und J 1 (gestrichelt)

15 Besselsche Differentialgleichung II y 0 1 Y 0 Y x Abbildung 6.13: Verlauf der Bessel-Funktionen Y 0 und Y 1 (gestrichelt)

16 Legendresche Differentialgleichung y x p 5 p 2 p 3 p 4 p 1 1 Abbildung 6.14: Legendre-Polynome bis zum Grad 5

17 Nichtlineare Differentialgleichungen Def. 6.10: Wir betrachten die Abbildungen F : R n+1 R n und x : R R n, wobei x = x(t) differenzierbar sein soll. Das Differentialgleichungssystem ẋ = F(x, t), (DYN) mit x(t) = (x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)) T und F(x, t) = (F 1 (x, t), F 2 (x, t),..., F n (x, t)) T heißt dynamisches System. Den Raum der Lösungskurven x nennt man Phasenraum und die Lösungskurven auch Phasenkurven.

18 Beispiel für Phasenporträt(s) Umlaufbahnen der Planeten um die Sonne (bei genügend grober Näherung) sind im Raum-Zeit-Bereich Spiralen : Projektion auf Zustandsraum sind Ellipsen. Existenz und Einzigkeit der Lösung Zur Erinnerung: Satz 6.13: Seien die Funktionen F 1, F 2,..., F n partiell differenzierbar nach x 1, x 2,..., x n und seien die partiellen Ableitungen auf einem Rechteck-Gebiet B R n+1 stetig, wobei der Punkt (x 0, t 0 ) im Inneren von B liegt. Dann gibt es ein Intervall ]t 0 h, t 0 + h[, auf dem eine eindeutige Lösung des dynamischen Systems (DYN) x(t) existiert, die die Anfangsbedingung x(t 0 ) = x 0 erfüllt.

19 Autonome dynamische Systeme Def. 6.11: Hängt die Abbildung F des dynamischen Systems (DYN) nicht von t ab, d.h. gilt ẋ = F(x), (DYNA) mit F : R n R n, dann heißt (DYNA) autonomes System Bemerkung: (i) Sprechweise: autonom = die Dynamik des Systems ist zeitinvariant (nur vom aktuellen Zustand abhängig) (ii) Lineare autonome Systeme sind (genau) die homogenen DGL-Systeme mit konstanter Matrix A ẋ = Ax.

20 Eigenschaften autonomer dynamischer Systeme Wesentliche relevante Eigenschaften dynamischer Systeme sind (i) Gleichgewichtslösung ( -Zustand) (ii) Erhaltungsgrößen (iii) Stabilität von Gleichgewichtszuständen Satz: Ist x 0 eine Lösung der (nichtlinearen) Gleichung F (x 0 ) = 0, so ist x(t) x 0 eine partikuläre Lösung, ein sogenannter Gleichgewichtszustand von (DYNA). Bemerkung: In linearen autonomen Systemen sind alle Lösungen von Ax = 0 Gleichgewichtszustände. Falls A regulär (det (A) 0), so ist 0 ein isolierter Gleichgewichtszustand.

21 Das Räuber-Beute-Modell (Lotka-Volterra) A) ohne soziale Spannungen ẋ = ax bxy, x(0) = x 0 ẏ = cxy dy, y(0) = y 0. B) mit sozialen Spannungen ( Freßkonkurrenz ) ẋ = ax bxy λx 2, x(0) = x 0 ẏ = cxy dy µy 2, y(0) = y 0.

22 Gleichgewichtszustände für Modell A und B Für A: ax bxy = 0 cxy dy = 0 x = ȳ d/c a/b ax bxy λx 2 = 0 Für B: x = cxy dy µy 2 = 0 ȳ Die Lösung (0, 0) T ist jeweils eine Scheinlösung. bd+aµ bc+λµ ac bλ bc+λµ

23 Erhaltungsgrößen dyn. Systeme Definition: Eine Fkt. E(t, x) : R n+1 R wird Erhaltungsgröße einer DGL dx dt = F (t, x) genannt, falls für jede partikuläre Lösung x(t) gilt: E(t, x 1 (t),..., x n (t)) C = const., t DB(x) ( E ist längs jeder beliebigen Lösung konstant ) Bemerkungen: (i) Für skalare DGL: Erhaltungsgröße ist vollständiges Integral der DGL (ii) Für autonome Systeme: E = E(x) - ergibt Information über das Phasenporträt.

24 Erhaltungsgröße bei Räuber-Beute-Modell A Ausgehend vom DGL-System von A) dẋ x + aẏ y = ad bdy + acx ad = c(ax bxy) + b(cxy dy) = cẋ + bẏ Letztlich erhält man ( d dt ln x = ẋ x,...) d [d ln x + a ln y cx by] = 0 dt Auf Lösungskurven der Lotka-Volterra-Gleichung ist E konstant E(x, y) = d ln x + a ln y cx by = C, (EG) Das System B besitzt keine analoge EG.

25 Autonome Systeme -Erhaltungsgr. I y x Abbildung 6.15: Phasenkurve des Räuber-Beute-Systems A

26 Autonome Systeme -Erhaltungsgr. II x,y t Abbildung 6.16: Zeitliche Entwicklung der Populationen x und y als Lösung von System A

27 Mehrkörpersysteme (Massenpunkte) Massepunkt (Masse m) im Raum: x = x(t) = (x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t)) T n Massenpunkte (m 1,..., m n ): x = x(t) = (x 1 (t)..., x 3n (t)) T Newtonsches Axiom: (wirkende) Kraft = (zeitl.) Impulsänderung ṗ = d dt (mẋ) = F (t, x), mẍ = F (t, x) ṁx Newtonsche Bewegunsgleichungen - System 2.Ordnung mit 3 Gleichungen (N gekoppelte Massenpunkte: 3N Gleichungen) durch Einführung von Impulskoordinaten (bei konst. Masse ˆ= Geschwindigkeit): System 1. Ordnung mit 6 Gleichungen (6N) ẋ = m 1 p, ṗ = F (t, x)

28 Erhaltungsgrößen in Mehrkörpersystemen Falls keine Kraft wirkt - Impulserhaltung F (t, x) 0 p c = const. Falls Kraftfeld konservativ (F (x) = V (x)) - Energieerhaltung V (x) + ( V (x), ẋ) + (p, ṗ) m (p, p) 2m E, denn: de dt = = ( V (x), ẋ) ( V (x), ẋ) 0 Drehimpulserhaltung: J := x p C d dt J = 0 Erhaltungsgrößen erleichtern Integration der DGL oder enthalten Zusatzinformationen zur Lösung.

29 Die Planetenbahnen (als Einkörpersystem) Zentralkörper (Sonne - M m) im Koordinatenursprung; Die Keplerschen Gesetze lauten: Planetenbahn ist eine Ellipse (Bahnebene fixiert) Fahrstrahl: Flächenänderung ist zeitlich konstant ( A = h) T 2 = c a 3 (c = const., T - Umlaufzeit, a -große Halbachse) V = γ mm x mẍ = γ mm x = γmm x x 3 Drehimpulserhaltung (ist vektorielle EG)! Folgerung: J(t) C, J x feste Bahnebene, und: Der Flächensatz gilt: A = 1 2 ẋ x = J 2m = h

30 Der Flächensatz (Keplersche Gesetze) x(t) a=x(t ) 1 x(t )=b 2 S Abbildung 6.17: Sektor bzw. überstrichener Fahrstrahl bei der Planetenbewegung

31 Das Hamiltonprinzip (klass. Mechanik) AXIOM: Die Bewegungskurve x(t) = (x 1,.., x 3n ) T eines n-teilchen-systems ist Extremale des Lagrangeschen Wirkfunktionals ( ) T 0 L(t, x 1 (t, ).., x 3n (t), ẋ 1 (t),.., ẋ 3n (t))dt inf Dabei ist L = T V (= W kin W pot ) T = n k=1 V = V 0 + V 1 = γ 2 m k 2 (ẋ2 3k 2 + ẋ 2 3k 1 + ẋ 2 3k), (W kin ) k j m j m k x k x j + V 1, (W pot ) Bewegungsgleichungen = Eulergleichungen des Variationsproblems ( )

32 Eulergleichung in Polarkoordinaten 0 = mr[ ϑ 2 + sin 2 ϑ ϕ 2 ] γ mm r 2 d dt (mṙ) 0 = d dt (mr2 ϕ sin 2 ϑ) 0 = mr 2 ϕ 2 sin ϑ cos ϑ m d dt (r2 ϑ) + geschickte Wahl der Anfangswerte Die Bahnkurve und die Keplerschen Gesetze ergeben sich analog Ergänzung: Relativistische Korrektur (Raumkrümmung nach Schwarzschild) ergibt Periheldrehung (keine Drehimpulserhaltung mehr(!?) - aber das Minimal-Prinzip bleibt!)

33 Stabilität von Gleichgewichten Stabilität beschreibt das Verhalten eines dynamischen Systems in der Nähe eines Gleichgewichts x 0 : Wohin driftet ein (beliebiger) Anfangswert x a x 0? Definition 6.12: Ein Gleichgewichtspunkt x 0 eines autonomen Systems ẋ = F(x) heißt a) attraktiv, wenn Lösungen x(t), die in der Nähe von x 0 starten, gegen den Gleichgewichtspunkt konvergieren, d.h. wenn es ein δ > 0 gibt, so dass lim t x(t) = x 0 für jede Lösung x(t) mit x(0) x 0 < δ,

34 b) stabil, wenn Lösungen x(t), die in der Nähe von x 0 starten, in der Nähe von x 0 bleiben, d.h. wenn es für alle ɛ > 0 ein δ > 0 gibt, so dass für Lösungen mit x(0) x 0 < δ folgt, x(t) x 0 < ɛ für alle t > 0 c) asymptotisch stabil, wenn er attraktiv und stabil ist, und d) instabil, wenn es Lösungen gibt, die, obwohl in der Nähe von x 0 gestartet, weglaufen, d.h. wenn es ein ɛ > 0 und zu jedem δ > 0 eine Lösung x(t) und ein t 1 > 0 gibt, so dass gelten. x(0) x 0 < δ und x(t 1 ) x 0 > ɛ

35 Stabilität linearer autonomer Systeme S atz 6.14: Der Gleichgewichtszustand des linearen Systems ẋ = Ax a) ist asymptotisch stabil, falls alle Eigenwerte von A negative Realteile haben, b) ist stabil, falls kein Eigenwert von A einen positiven Realteil hat, und für Eigenwerte mit dem Realteil Null die geometrische gleich der algebraischen Vielfachheit ist, c) ist instabil, falls ein Eigenwert von A einen positiven Realteil hat oder ein Eigenwert von A mit dem Realteil Null existiert, dessen geometrische Vielfachheit kleiner als die algebraische Vielfachheit ist. Anwendung: Das GDGL-System Alkoholabbau im Körper ist asymptotisch stabil (alle EW mit Realteil < 0 exponentiell abklingender Blutalkoholspiegel)

36 Stabilität autonomer Systeme I y x Abbildung 6.18: EW beide negativ (asymptodisch stabil): λ 1 < 0, λ 2 < 0

37 Stabilität autonomer Systeme II y v v 2 1 x v 1, v 2 Eigenvektoren Abbildung 6.19: Ein EW negativ (System instabil): λ 1 > 0, λ 2 < 0

38 Stabilität autonomer Systeme III y x Abbildung 6.20: Beide EW positiv (System instabil): λ 1 > 0, λ 2 > 0

39 Stabilität autonomer Systeme IV y x Abbildung 6.21: EW imaginär (Realteil negativ, System aymptodisch stabil): λ = a + ib, a < 0

40 Stabilität nichtlinearer autonomer Systeme S atz 6.15: Der Gleichgewichtszustand x 0 des nichtlinearen autonomen Systems ẋ = F(x) ist asymptotisch stabil, wenn alle Eigenwerte der Ableitungsmatrix F (x 0 ) einen negativen Realteil haben. Der Gleichgewichtspunkt x 0 ist instabil, wenn mindestens ein Eigenwert von F (x 0 ) einen positiven Realteil hat. Nichtlinearer Fall: Einstiegsbeispiel : u = u(1 u 2 ), GW: u 0 = 1, u 1/2 = ±1 Betrachten Anfangswert-Bereiche: u(0) (, 1); ( 1, 0); (0, 1); (1, )

41 Stabilität im Räuber-Beute-Modell F A( x, ȳ) = 0 b x, F B( x, ȳ) = cȳ 0 λ x cȳ b x µȳ ξ 2 + bc xȳ = 0, ξ 2 + (µȳ + λ x)ξ + xȳ(λµ + bc) = 0 Mit sozialer Reibung : Das Gleichgewicht ist asymptodisch stabil! Ohne soziale Reibung : Das Gleichgewicht ist nur stabil (da Phasentrajektorien stabile Orbits - s. oben: EG), aber mit obigem Satz nicht entscheidbar ( da rein imaginare EW)! Formal: weitere GGW (z.b. (0, 0)) - entartete Scheingleichgewichte