Numerik und Statistik: Numerik

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1 Numerik und Statistik: Numerik Dimitri Ovrutskiy 4. Mai 202

2 Inhaltsverzeichnis Vorwort 2 Einfuhrung 4 2. Grundbegriffe, Definitionen Beispiele, Modellierung (Explizites) Eulersches Polygonzugverfahren Existenzsätze; Euler-Verfahren 8. Existenzsatz von Peano Picard-Lindelöf Iteration Taylorreihe der AWP-Lösung Konvergenz des (expl.) Euler-Verfahrens Systeme der Differentialgleichungen Weitere Einschrittverfahren: Runge-Kutta Methoden 5 4. Grundbegriffe und Definitionen, Butcher-Schema Runge-Kutta Verfahren 2. Ordnung Runge-Kutta Verfahren der Ordnung und Konvergenzresultate für die R.-K.-Methoden Schrittweitensteuerung, eingebettete R.-K.-Methoden Implizite R.-K.-Methoden (ein Ausblick) Randwertprobleme Aufgabestellung, Beispiele, Existenzresultate Einfach- und Mehrfachschießverfahren Differenzenverfahren

3 Vorwort Während des Numerik-Teils der Vorlesung Numerik und Statistik, die im 8. Semester für die auf Master Studierenden der Fachrichtung Mechttronik und Sensortechnik an der Hochschule der Technik und Wirtschaft des Saarlandes gehalten wird, werden theoretische und praktische Aspekte der numerischen Lösung (gewöhnlicher) Differentialgelichungen besprochen. Als Grundlage dienten die von Hr. Prof. Dr. A.Arnold in Saarbrücken und Münster und von Hr. Prof. Dr. S. Rjasanow in Saarbrücken gehaltene Vorlesungen Höhere Numerik, Praktische Mathematik 2, Gewöhnliche Differentialgleichungen. Bei dem FT-Studium haben praktische Aspekte und Anwendungen vor reiner Theorie Vorrang, deswegen wurden viele (auch interessante) Beweise weggelassen und stark auf Anwendbarkeit geachtet.

4 2 Einfuhrung 2. Grundbegriffe, Definitionen Im weiteren seien n N, F : D R n+2 R, f : G R n+ R. D, G seien Gebiete, d.h. zusammenhängend und konvex. DGL Definition Eine Bestimmungsgleichung für y = y(x) der Form F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 () _ heißt implizite gewöhnliche Differentialgleichung (DGl) n-ter Ordnung (idgl). Die Gleichung y (n) = f(x, y, y,..., y (n ) ) (2) _2 heißt explizite DGL n-ter Ordnung (edgl). Eine n-mal stetig differenzierbare Funktion y : I R (y C n (I)) heißt (klassische) Lösung von idgl ( ) _ auf dem offenen Intervall I R, wenn x I gilt (x, y(x), y (x),..., y (n) (x)) D und und Analog fur ( _2 2): F (x, y(x), y (x),..., y (n) (x)) = 0. (x, y(x), y (x),..., y (n ) (x)) G f(x, y(x), y (x),..., y (n) (x)) = y (n) (x). y = f(x, y) ist die explizite DGL. Ordnung. Die Lösung von DGL ist gewönlich ein Kurvenschar, d.h. die Lösung ist nicht eindeutig und enthält sogennante Integrationskonstanten. AWP Definition 2 Ein Anfangswertproblem (AWP) ist eine DGL y (n) = f(x, y, y,..., y (n ) ) mit vorgegebenen Werten y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y,..., y (n ) (x 0 ) = y n, (x 0, y 0,..., y n ) G. Das AWP heißt lokal lösbar, wenn ɛ > 0 : x I = (x 0 ɛ, x 0 + ɛ) y = y(x), die die DGL mit den Anfangsbedingungen (AB) erfüllt. b_ Beispiel y = xy 2 4

5 Setzt man y (x) := y(x), y 2 (x) := y (x),... y n (x) := y (n ) (x) in ( _2 2) ein, so laßt sich das AWP n-ter Ordnung in ein DGL-System. Ordnung umwandeln: y (x) = y 2(x) =: f (x, y,..., y n ) y 2 (x) = y (x) =: f 2 (x, y,..., y n )... y n(x) = f(x, y (x),..., y n (x) =: f n (x, y,..., y n ) y i (x) = y i, i =,..., n, oder, in Vektorform { y (x) = f(x, y), y = (y (x),..., y n (x)) T R n, f = (f,..., f n ) T ) y(x 0 ) = y 0. Eine Rückumwandlung solcher Vektorsystem in eine skalare Gleichung n-ter Ordnung geht i.a. nicht. D.h., wir betracheten immer Systeme. Ordnung., korrawp Definition 4 (Hadamard, ) Das AWP heißt korrekt gestellt, wenn drei Eigenschaften gesichert sind:. Die Existenz einer lokalen Lösung 2. Die Eindeutigkeit der lokalen Lösung. Die stetige Abhängigkeit der lokalen Lösung von den AB (Stabilität) 5

6 2.2 Beispiele, Modellierung Beispiel 5 Lineare Pendelbewegung Beispiel 6 Räuber-Beute Systeme Beispiel 7 Scheinwerfer Beispiel 8 Turbulenzen in der Erdathmosphäre (Lorenz-Attraktor) 6

7 2. (Explizites) Eulersches Polygonzugverfahren Für das AWP y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0, y : R R n existiert i.a. kein explizites Lösungsverfahren numerische Nähreungen für y(x), x > x 0. Diskretizierung des Intervals [x 0, X] durch die äquidistanten Knoten Berechnung der Näherungen x k = x 0 + k h, h = X x 0, k = 0,,..., n. n y 0, y,..., y n für durch Motivation: y(x 0 ), y(x ),..., y(x n ) y k+ = y k + h f(x k, y k ), k = 0,,..., n. y)x k+ y(x k ) = xk+ x k Ungleichmäßige Diskretisierung: Bezeichnungen: Polygonzug: f(x, y)dx Rechtecksregel hf(x k, y(x k ))) hf(x k, y k ). x 0 < x <... < x n = X. h i = x i+ x i, i = 0,,..., n, h = max h i. 0 i n y h (x) = y i + (x x i )f(x i, y i ), x i x x i+, x [x 0, X]. y h (x) ist eine stückweise lineare Funktion; Näherung für y(x). Frage: Was passiert mit y h (x) für h 0? 7

8 Existenzsätze; Euler-Verfahren. Existenzsatz von Peano Sei D = {(x, y) R 2 : x x 0 a, y y 0 b}. peano Satz 9 (G.Peano, ) Sei f(x, y) : D R stetig. Dann besitzt das AWP y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0 mindestens eine Lösungskurve, die sich bis zum Rand von D erstreckt. Bemerkung 0 Die Steitgkeit von f(x, y) alleiche reicht nicht aus, um die Eindeutigkeit der Lösung zu sichern. Beispiel y = 2 y, y(0) = 0 hat zwei stetig-differenzierbare Lösungen: a) y 0 b) y = sgn(x) x 2 Bemerkung 2 y(x) braucht nicht auf dem ganzen Intervall x x 0 a zu existieren (Beispiel ). b_ Lip Definition Sei f : G R 2 R, G Gebiet.. f(x, y) erfüllt auf G eine Lipschitz-Bedingung bezüglich y (R, Lipschitz, 82-90), wenn eine (globale) Konstante L 0 existiert, so daß forall(x, z), (x, y) G f(x, z) f(x, y) L z y. 2. f(x, y) erfüllt auf G eine lokale Lipschitz-Bedingung bezüglich y, wenn es zu jedem Punkt von G eine Umgebung U gibt, in der f eine Lipschitz- Bediungung bzgl y erfüllt, d.h. L = L(U). Beispiel 4. f(x, y, ) = y L =, globale L-Bedingung. 2. f(x, y) = y 2 f(x,z) f(x,y) z y = z + y lokale L-Bedingung, aber nicht globale. f(x, y) = 2 y (s. Beispiel b_ ) für x = 0 f(0,0) f(0,y) y = 2 y y 0 keine L-Bedingung! eind Satz 5 Die Funktion f(x, y) sei stetig und erfülle auf dem Gebiet G R 2 eine L-Bedingung bezüglich y. Die Lösung des AWP s ist eindeutig. y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0 In Kombination mit dem Satz ( peano 9) (Peano) ergibt sich dann 8

9 picard Satz 6 (Picard) Die Funktion f(x, y) sei auf dem Gebiet G R 2 stetig und erfülle dort eine lokale L-Bedingung bezüglich y. Dann gibt es zu jedem (x 0, y 0 ) G für das AWP y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0 eine eindeutige Lösungskurve y = y(x), die sich bis an den Rand von G erstreckt. Aus Lipschitz-Bedingung an f folgt Stabilität der Differentialgleichung: stabiab sens Satz 7 (Stabilität bzgl. AB) Erfüllt die stetige Funktion f(x, y) im Gebiet G R 2 eine L-Bedingung, dann gilt für y = f(x, y ), y (x 0 ) = y () 0 y 2 = f(x, y 2 ), y 2 (x 0 ) = y (2) 0 die Abschätzung y (x) y 2 (x) e L(x x 0) y () 0 y (2) 0. Beispiel 8 (inhärente Instabilität / Sensitivität) Sei ( ) ( 0 y (x) A =, y(x) = 0 9 y 2 (x) das AWP. y = Ay, y(0) = (α, α) T ), f(y) = Ay ist linear, daher Lipschitz-stetig das AWP ist stabil bzgl. AB. allgemiene Lösung von y = Ay lautet ( ) ( y(x) = c e x + c 2 e 0x 0 λ und λ 2 unterscheiden sich stark! ( ) α liegt im Eigenraum von λ α < 0 kleine Änderungen der AB können große Änderungen in der Lösung verursachen numerische Probleme! Z.B.: ( ) α + ɛ y ɛ (0) :=, ɛ > 0 y ɛ (x) = α ( α + 0 ) ( ɛ e x ). ) + 0 ( ) e0x 0 }{{} Störung für α =, ɛ = 0 8 relativer Fehler von y (x = 2.5)

10 stabirs Satz 9 (Stabilität bzgl. der rechten Seite) Erfüllt eine stetige Funktion f (x, y) auf G R 2 eine L-Bedingung bzgl. y und gelte für f 2 (x, y) dann gilt fur die Lösungen im Intervall [x 0, X] die Abschätzung f (x, y) f 2 (x, y) ɛ (x, y) G, y = f (x, y ), y (x 0 ) = y 0 y 2 = f 2 (x, y 2 ), y 2 (x 0 ) = y 0 y (x) y 2 (x) ɛ(x x 0 )e L(x x 0). Bemerkung 20 Zusätzliche Stetigkeit und L-Bedingung an f 2 wäre nur für Existenz und eindeutigkeit von y 2 (x) nötig..2 Picard-Lindelöf Iteration (E.Picard (856-94), E- Lindelöf ( )) Picard-Lindelöf Iteration: Explizite Methode zur Approxiamtion von Lösungen des AWP s y = f(x, y), y ( x 0 ) = y 0. Startfunktion: Iteration: y(x 0 ) y 0 const x y k+ = y 0 + f(t, y k (t))dt, x 0 k = 0,,... Motivation: Umwandlung der DGL in eine Intagralgleichung durch integration beider Seiten unter der AB y(x 0 ) = y 0, die der Bestimmung der Integrationskonstante dient. piclind Satz 2 Die Funktion f(x, y) sein auf G stetig und erfülle eine L-Bedingung bzgl. y. Dann konvergiert die Funktionenfolge der P.-L.-Iteration auf einem Intervall [x 0, x 0 + ɛ], ɛ > 0 gleichmäßig zur Lösung des AWP s.. Taylorreihe der AWP-Lösung AWP: y (x) = f(x, y), y(x 0 ) = y 0 Idee: Für die Berechnung von y(x 0 + h) benutze einige Glieder der Taylor- Reihe: y(x 0 + h) y(x 0 ) + y (x 0 )! h + y (x 0 ) 2! h yk (x 0 ) h k k!. Für k = erhält man das Euler sche Polygonzugverfahren. 0

11 2. Aus y = f(x, y) unmittelbar folgt y = f x (x, y) + f y y y (x 0 ) = f x (x 0, y 0 ) + f y (x 0, y 0 ) f(x 0, y 0 ); y = f xx + 2f xy f + f yy f 2 + f y (f x + f y f))... u.s.w.. Mit Hilfe von Computer durchführbar (symbolische Formelmanipulationen) 4. Falls f(x, y) analytisch in einer Umgebung von x 0, y 0, so konvergiert die Taylorreihe für h h 0..4 Konvergenz des (expl.) Euler-Verfahrens AWP: y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0 Gesucht: y(x), x x 0 y h (x) := y i +(x x i )f(x i, y i ), i = 0,..., n ; x n = X; x [x i, x i+ ] (stückweise linear) Sei G = {(x, y) R 2, x 0 x X, y y 0 b} = [x 0, X] [y 0 b, y 0 + b]. Dann gilt EulStab Satz 22 (Stabilität des Euler-Verfahrens) Sei x 0, x,..., x n = X eine feste Diskretisiereung des Intervalls [x 0, X] und y h (x), z h (x) die Eulerschen Polygonzüge für y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0, z = f(x, z), z(x 0 ) = z 0. Wenn die Funktion f(x, y) auf G Lipschitz-stetig ist (Def. ), Lip dann gilt x [x 0, X] die Abschätzung y h (x) z h (x) e L(x x 0) y 0 z 0. Beweis: Es gilt und damit z z 0 = f(x 0, z 0 )(x x 0 ) y y 0 = f(x 0, y 0 )(x x 0 ) z y = z 0 y 0 + (x x 0 )[f(x 0, z 0 ) f(x 0, y 0 )] Für z 2 y 2 gilt analog: z 0 y 0 + (x x 0 ) f(x 0, z 0 ) f(x 0, y 0 ) z 0 y 0 + (x x 0 )L z 0 y 0 = = ( + L(x x 0 )) z 0 y 0 e L(x x 0 ) y 0 z 0. z 2 y 2 e L(x 2 x ) y z e L(x 2 x +x x 0 ) y 0 z 0 = e L(x 2 x 0 ) y 0 z 0, u.s.w. y h (x) z h (x) e L(x x 0) y 0 z 0 x [x 0, X], q.e.d. Für h = max 0 i n h i 0 konvergieren die euler sche Polyginzuge y h (x) gegen die Lösung des AWPs:

12 EulKonv Satz 2 Die Funktion f(x, y) sei auf dem Gebiet G = {(x, y) R 2 x 0 x X, y y 0 b} stetig, f(x, y) A und erfülle auf G eine L-Bedingung bzgl. y. Dann gilt für X x 0 b A :. Die Euler sche Polygonzüge y h (x) konvergieren für h 0 gleichmäßigegen eine stetige Funktion φ(x) 2. φ(x) ist stetig differenzierbar und erfüllt die Gleichung φ = f(x, y), φ(x 0 ) = y 0, x 0 x X (d.h. φ ist die eindeutige Lösung) Unter zusätzlichen Voraussetzungen erhalten wir sogar eine Konvergenzabschätzung für das Euler sche Polygonzugverfahren: eulabsch Satz 24 Die Funktion f(x, y) sei auf G stetig prtiell differenzierbar mit f x M, f y L, f A. Dann kovergiert das euler sche polygonzuverfahren, und der Fehler y(x) y h (x) genügt der Anschätzung y(x) y h (x) M + AL L.5 Systeme der Differentialgleichungen ( ) e L(x x0) h = O(h). Norm Definition 25 (Norm) Sei V ein Vektorraum über K = R bzw. K = C. Eine Abbildung : V R +, x x heißt Norm von x V, falls sie folgende Eigenschaften hat (Normaxiomen): x, y V, λ K:. x = 0 x = 0 (Definitheit) 2. λ x = λ x (absolute Homogenität, Linearität). x + y x + y (Subadditivität, Dreiecksungleichung) NormEig Bemerkung 26 (Eigenschaften einer Norm). x = 0 x = 0 2. x = x. x 0 4. x y x y 2

13 IndNorm Bemerkung 27 (Induzierte Normen) Eine Norm kann, muss aber nicht notwendigerweise, von einem Skalarprodukt, abgeleitet werden. Die Norm eines Vektors x V ist dann definiert als x := x, x, also die Wurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst. Man spricht in diesem Fall von der durch das Skalarprodukt induzierten Norm oder Hilbertnorm. Jede durch ein Skalarprodukt induzierte Norm erfullt die Cauchy- Schwarzsche Ungleichung x, y x y. Sei uns das DGL-System im Vektorform gegeben y = f(x, y), y(x) R n, f(x, y) R n. Mögliche Normen in R n : y 2 = (y y 2 n) /2 (euklidische Norm) y = max i n y i (Maximum Norm) y = y + y y n VerLem2_2 Satz 28 Seien G = {(x, y) x 0 X, y y 0 b}; x x 0 b ; f(x, y) A. A Dann gilt für das explizite Euler-Verfahren Folgendes:. (x i, y i ) G i y k+ = y k + (x k+ x k )f(x k, y k ), k = 0,, y h (x) y 0 A x x 0. y h [y 0 + (x x 0 )f(x 0, y 0 )] ɛ x x 0, falls f(x, y) f(x 0, y 0 ) ɛ Form der Lipschitz-Bedingung für Vektorfall: Skalarfall (f C (G), Motivation: Differenzenquotient): f f(x, y) f(x, z) L y z mit L := max (x,y) G y. Die Taylor-Reihe für f(x, y) R n f(x, y) = f(x, z) + I(x, ξ)(y z)

14 mit I(x, ξ) R n n, I ij = f i y j erhalten wir f(x, y) f(x, z) I(x, ξ) y z L y z, L := max (x,y) G I(x, y). Matrixnormen Axiome:. A 0, und A = 0 A = 0 2. ca = c A c R. A + B A + B (Dreiecksungleichung) 4. AB A B (Sub-Multiplikativität) InduNorm Definition 29 (Induzierte Norm) Induzierte Norm ist ein Matrix-Norm, die einer Vektronorm wie folgt abgeleitet ist: Ax A := max Ax = sup x = x =0 x. Induzierte Matrixnormen sind stets submultiplikativ: Ax A x. Bemerkung 0 Alle Matrixnormen sind äquivalent als spezielle Vektornormen (über endlichdimensionalem Vektorraum). 4

15 4 Weitere Einschrittverfahren: Runge-Kutta Methoden Das AWP y (x) = f(x, y(x)), y(x 0 ) = y 0, y(x) R n, f R n fuhrt auf entsprechende Integralgleichung y(x) = y 0 + x x 0 f(t, y(t))dt. Das exsplizite Euler sche Polygonzugverfahren ist eine sehr einfache Möglichkeit, x x 0 f(t, y(t))dt (x x 0 )f(x 0, y 0 ) zu approximieren (Rechtescksregel mit der Auswertung im linken Intervallende). Implizites Euler-Verfahren: x x 0 f(t, y(t))dt (x x 0 )f(x, y(x)) Auswertung im rechten Intervallende: y k+ = y k + h k f(x k+, y k+ ). In jedem Schritt ist eine nichtlineare Gleichung zu lösen. ESV Definition (ESV) Allgemeine Form von Einschrittverfahren (ESV): y k+ = y k + h k F (x k, y k, y k+, h k ) mit der Verfahrensfunktion F. Explizites ESV: F hängt nicht von y k+ ab. Implizites ESV: F hängt von y k+ ab. 4. Grundbegriffe und Definitionen, Butcher-Schema Sei h eine Diskretisierung des Intervalls [x 0, X] mit dem Gitter und den Schrittweiten x 0 < x <... < x n = X; G h = {x 0,..., x n(h) } h i = x i+ x i ; i = 0,..., n ; h = max 0 i n h i RKKonv Definition 2 (Konvergenz) 5

16 . Sei x [x 0, X] fix und Gitterpunkt für alle Diskretisierungen h, d.h. x = x m(h). Das Verfahren ESV konvergiert in x für h 0 wenn y(x) y m(h) h 0 0. }{{} y h (x m(h) ) 2. Das Verfahren ESV konvergiert auf [x 0, X], wenn für die Folge der Diskretisierungen gilt: max y(x) y h (x i ) h 0 0 x i G h y definiert auf [x 0, X] y h definiert auf G h ( Gitterfunktion ) ( Gleichmäßige Konvergenz auf dem Gitter ). das Verfahren ESV gat die Konvergenzordnung p > 0, wenn Bemerkung Das grundsätzliche Problem bei dieser Definition: Konvergenz einer folge von Gitterfunktionen y h (x i ) (auf jeweils unterschlidlichem Gitter G h ) gegen stetige Funktion. Fehler des Verfahrens ( globaler Diskretisierungsfehler ) erfüllt (z.b. für explizites ESV): z m = y(x m ) }{{} y }{{} m exakte Lösung =y h (x m) z m+ = y(x m+ ). Approx. Schritt ausgehend von exaktem y(x m) {}}{ [y(x m ) + hf (x m, y(x m ), h m )] + +[y(x m ) + hf (x m, y(x m ), h m )] [y(x m ) + hf (x m, y m, h m )] = }{{} =y m+ = h m ψ () m }{{} neuer Diskretisierungsfehler + (z m + h m ψ m (2) ) }{{}. F ehlerfortpflanzung ψ () m := h m {y(x m+ ) [y(x m ) + hf (x m, y(x m ), h m )]} heißt lokaler Diskretisierungsfehler an Stelle x m, auch Residuum ψ m (2) := F (x m, y(x m ), h }{{} m ) F (x m, y m, h m ) y m+z m Fehler-Evolution: z m+ z m = ψ m () + ψ m (2) h m 6

17 DefKons Definition 4 (Konsistenz, Konsistenzordnung) Das Verfahren ESV ist konsistent mit der Gleichung y = f(x, y)m wenn max ψ m () 0 für h 0; x m G h konsistent (mind.) mit der Ordnung p, wenn Bemerkung 5 max ψ m () = O(h p ), h 0. x m G h Bei ESV ist Konsistenz für Konvergenz ausreichend, und es gilt: Konsistenzordnung p Rightarrow Konvergenzordnung p Bei Mehrschrittverfahren muss das Verfahren auch stabil sein. BsEul Beispiel 6 ( explizites Euler-Verfahren ) Welche Konsistenzordnung hat das explizite Euler-Verfahren? xm+ x m f(x, y(x))dx (x m+ x m )f(x m, y m ) (Rechecksregel) F = f(x m, y m ) d.h. ψ () y(x m+ = y(x m ) + y (x m )h m + 2 y (ξ)h 2 m, m = f(x m, y(x m ))) + y (x m ) + }{{} 2 y (ξ)h m = O(h m ) =0 (falls y (ξ) C), d.h. das Verfahren ost erster Ordnung. impleul Beispiel 7 ( ein impliziertes Euler-Verfahren ) xm+ x m f(x, y(x))dx 2 (x m+ x m )[f(x m, y m )+f(x m+, y m+ )] (T rapez Regel, Crank Nicolson ) F = 2 [f(x m, y m ) + f(x m+, y m+ )] Das Verfahren ist implizit, d.h. y m+ wird aus der nichtlinearen Gleichung y m+ h m 2 f(x m+, y m+ ) = y m + h m 2 f(x m, y m ) bestimmt (z.b. mit Newton-Verfahren). 7

18 ψ () m = 2 [f(x m, y m ) + f(x m+, y m+ )] + y(x m+) y(x m ) h m = = 2 [y (x m ) + y (x m+ ) ] + y (x }{{} m ) + 2 y (x m )h m + O(h 2 m) = =y (x m)+y (x m)h m+o(h 2 m ) = O(h 2 m) Konsistenzordnung = 2 RKO2 Beispiel 8 ( Runge-Kutta-Verfahren der Ordnung 2, modifiziertes Euler- Verfahren ) Idee: xm+ ( f(x, y(x))dx h m f x m + ( 2 h m, y x m + )) 2 h m (M ittelpunktregel) x m ( y x m + ) 2 h m y m+ 2 F = f Konsistenzordnung: ψ () m = f = y m + 2 h mf(x m, y m ) expl. Euler Schritt ( x m + 2 h m, y m + ) 2 h mf(x m, y m ) ( x m + 2 h m, y m + ) 2 h mf(x m, y m ) + y(x m+ x m ) = h }{{ m } = f(x m, y(x m )) 2 h mf x (x m, y(x m )) 2 h mf(x m, y(x m ))f y (x m, y(x m )) + {}}{ y (x m ) + 2 h my (x m ) + O(h 2 m) = = O(h 2 m), weil y (x m ) = f x (x m, y(x m )) + f y (x m, y(x m ))f(x m, y(x m )). Konsistenzordnung 2, zwei Funktionsaufrufe, explizites Verfahren! Algorithmische Realisierung: k := f(x m, y m ) k 2 := f(x m + 2 h m, y m + 2 h mk ) y m+ = y m + h m k 2 8

19 RKs Definition 9 (s-stufiges Runge-Kutta-Verfahren) Sei s N, a A = a a Rs s a s a s,s 0 eine reelle Matrix, und c = (0, c 2, c,..., c s ) T R s, b = (b, b 2,..., b s ) T R s zwei reelle Vektoren. Dann heißt das Verfahren k = f(x m, y m ) k 2 = f(x m + c 2 h m, y m + h m a 2 k )... k s = f(x m + c s h m, y m + h m (a s k a s,s k s )) y m+ = y m + h m (b k b s k s ) s-stufiges Runge-Kutta-Verfahren (s - Anzahl der Funktionsaufrufe). ExpEulRK ExpEulRK Beispiel 40 Explizites Euler-Verfahren: s =, A = 0, c = 0, b =. Beispiel 4 RK ( 2.Ordnung ) (modifiziertes Euler-Verfahren): 0 0 s = 2, A =, c = (0, /2) /2 0 T, b = (0, ) T F = f(x m + 2 h m, y m + 2 h m f(x m, y m ) }{{} k ) = k 2 Batcher Definition 42 Schreibweise: ( ) c A b T Butcher-Schema (964) Z.B. RK-Verfahren 2. Ordnung wird wie folgt aufgeschrieben: Handelt es sich um ein explizites RK-Verfahren, so werden die Nullen im oberen Dreieck der Matrix oft gar nicht geschrieben. 9

20 4.2 Runge-Kutta Verfahren 2. Ordnung Alle RK-Verfahren fur s = 2 haben die Gestalt k = f(x m, y m ) k 2 = f(x m + c 2 h m, y m + h m a 2 k ) y m+ = y m + h m (b k + b 2 k 2 ), beinhaltet also 4 Parameter a 2, b, b 2, c 2. Das Ziel ist, die Parameter so zu wählen, daß möglichst hohe Konsistenzordnung erreicht wird: ψ (m) = y(x m+) y(x m ) h m F (...) = = y(x m+) y(x m ) h m b f(x m, y(x m )) b 2 f(x m +c 2 h m, y(x m )+h m a 2 f(x m, y(x m ))) Mit Taylor-Entwicklung y(x m+ ) y(x m ) h m = y + h m 2 =f x+ff y {}}{ y +O(h 2 ) erhalten wir f(x m, y(x m )) b 2 f(x m + c 2 h m, y(x m ) + h m a 2 f(x m, y(x m ))) = = f(x m, y m ) + c 2 h m f x (x m, y m ) + a 2 h m f(x m, y m )f y (x m, y m ) + O(h 2 ). Also ψ m () = y (b + b 2 )f h m [(b 2 a 2 2 )ff y + (b 2 c 2 ] 2 )f x für b + b 2 = (Konsitenzbedingung) mindestens. Ordnung für b + b 2 =, b 2 a 2 = 2, b 2c 2 = 2 2.Konsistenzordnung 4 Variablen, Gleichungen einparametrige Familie der RK-Verfahren der Ordnung 2 : Sei b 2 = σ b = σ, a 2 = 2σ, c 2 = 2σ. + O(h 2 ) Verfahren: y m+ = y m + h m F, ( F = ( σ)f(x m, y m ) + σf x m + 2σ h m, y m + ) 2σ )h mf(x m, y m ) Für σ = modifiziertes Euler-Verfahren, Runge 895 (Beispiel 8) RKO2 20

21 Für σ = 2 Verfahren von Heun, 900: k = f(x m, y m ) = = {}}{{}}{ k 2 = f(x m + c 2 h m, y m + h m a 2 k ) y m+ = y m + 2 h m (k + k 2 ). }{{} b =b 2 = 2 Das ist eine explizite Variante des impliziten Euler-Verfahrens (Bsp. 7, impleul Trapez-Regel) RKS2O Satz 4 Es existiert kein 2-stufiges RK-Verfahren der Ordnung. Frage: Wie hoch ist die mit einem s-stufigen Verfahren erreichbare maximale Konsistenzordnung p? s n(s) p (s) s 2 Wobei n(s) die Anzahl der Bedingungsgleichungen für größtmögliches p (nach elimination der redundanten Gleichungen) und p (s) die maximal mögliche Konsistenzordnung eines s-stufiges RK-Verfahrens sind. Nachteil der RK-Methoden: höhere Konsistenzordnung nur durch mehr Funktionsauswertungen. 4. Runge-Kutta Verfahren der Ordnung und 4 Das Butcher-Schema für s = hat die Form: c 2 a c a a 2 0 b b 2 b 8 P arameter. RK-Verfahren (mit Notation h = h m ): k = f(x m, y m ) =: f k 2 = f(x m + c 2 h, y m + ha 2 k ) k = f(x m + c h, y m + ha k + ha 2 k 2 ). 2

22 Durch Taylor-Entwicklung von f um (x m, y m ): k 2 = f + c 2 hf x + ha 2 f y k + h2 2 (c2 2f xx + 2f xy k c 2 a 2 + a 2 2f yy k 2 ) + O(h 2 ). Mit k = f, k 2 = f + c 2 hf x + a 2 hf y xf + O(h 2 ) erhält man: k = f + h(c f x + (a + a 2 )ff y ) + h2 2 [c2 f xx + 2c (a + a 2 )ff xy + Damit gilt: +2(a 2 c 2 f x f y + a 2 a 2 ff 2 y ) + (a + a 2 ) 2 f 2 f yy ] + O(h ). F = b k + b 2 k 2 + b k = = h 0 (b + b 2 + b )f+ +h [(c 2 b 2 + c b )f x + (b 2 a 2 + b (a + a 2 ))ff y ]+ +h 2 2 [(b 2c b c 2 )f xx + 2(b 2 c 2 a 2 + b c (a + a 2 ))ff xy + +O(h ). +2b c 2 a 2 f x f y +2b a 2 a 2 ff 2 y +(b 2 a 2 2+b (a +a 2 ) 2 )f 2 f yy ]+ y(x m+ ) y(x m ) h m = y (x m ) + h m 2 y (x m ) + h2 m 6 y (x m ) + O(h m) = = f + h 2 (f x + ff y ) + h2 6 (f xx + 2f xy f + f yy f 2 + f x f y + f 2 y f) + O(h m). Bedingungen für ψ m () = y(x m+) y(x m) h m F =! O(h ) sind dann:. 2. b + b 2 + b = 0 ist die Konsistenzbedingung, mindestens Ordnung. c 2 b 2 + c b = b 2 a 2 + b (a + a 2 ) = 2. liefert mindestens die Ordnung 2. b 2 c b c 2 = b 2 c 2 a 2 + b c (a + a 2 ) = b 2 a b (a + a 2 ) 2 ) = b c 2 a 2 = b a 2 a 2 = 6 sind für die Konsistenzordnung notwendig. 22

23 Insgesamt hat man 8 Gleichungen mit 8 Variablen. Die Gleichungen sind aber rednundant, so daß es nur 6 unabhängigen Gleichungen bleiben Parameter sind nicht eindeutig bestimmt. Nach der Reduzierung b = b 2 b c 2 = a 2 c = a + a 2 hat man Gleichungen mit 5 Variablen Bemerkung 44 c 2 b 2 + c b = 2 c 2 2 b 2 + c 2 b = c 2 b a 2 = 6. b 0, c 2 0, a 2 0, a 2 0 notwendig. 2. für maximale Konsistenzordnung muss immer c i = i j= a ij R.-K.-Methode: k = f(x m, y m ) =a 2 {}}{ k 2 = f(x m + c 2 h m, y m + c 2 h m k ) k = f(x m + c h m, y m + c }{{} h m k + (k 2 k )) 6b c 2 =a +a 2 }{{} a 2 = 6b c 2 y m+ = y m + h m (( b 2 b ) k }{{} + b 2 k 2 + b k ) =b ( ) ( ) ( ) b2 wobei C = 2 c2 c mit C := b c 2 2 c 2. Zweiparametrige Familie von R.-K.-Metoden der Ordnung : z.b. c 2, c fri aber c 2 0, c 0, c 2 neqc (sonst C singular) für c = 0 c 2 = 2, b 2 = 4, b frei einparametrige Familie. h m b 2 = c 2 2 6c 2 (c c 2 ) ; b = 2 c 2 6c (c c 2 ) für c 2 = c = 2 b 2 + b = 4 R.-K.-Methoden. eine andere einparametrige Familie der 2

24 RKHeun Beispiel 45. xm Simpson-Formel (=Newton-Côtes Formel für äquidistante Knoten): x m f(x, y)dx h m 6 f(x m, y(x m )) f(x m + 2 h m, y(x m + 2 h m)) + 6 f( x m+, y(x }{{} m+ )) x m+ h m Methoden 4. Ordnung (s = p = 4) Klassische R-K.-Formeln (Kutta, 90): Regel (Kutta, 90): Newton sche 8-Regel (=Newton-Côtes Formel für 4 äquidistante Knoten). 24

25 4.4 Konvergenzresultate für die R.-K.-Methoden Eine R.-K.-Methode hat die Form (h m = h = const) y m+ y m h = s i= b ik i = F (y m )) k = f(x m, y m ), d.h. k i = k i (y m ) k 2 = f(x m + c i h, y m + h i j= a ijk j ), i = 2,..., s Der Fehler z m = y(x m ) y m erfüllt die Gleichung z m+ z m h = ψ m () + ψ m (2), m = 0,,... mit ψ m () = y(x m+) y(x m) h s i= b ik i (y(x m )) ψ m (2) = F (y(x m )) F (y m ) = s i= b i[k i (y(x m )) k i (y m )] zusätzlich: z 0 = y(x 0 ) y 0 = 0. x m = x 0 + m h X = const. Die Funktion f(x, y) erfülle auf G eine L-Bedingung bgzl. y. fur i 2: r i := k i (y(x m ))) k i (y m ) = ( = f x m + c i h, y(x m ) + h ) ( i j= a ijk j (y(x m )) f x m + c i h, y m + h i j= a ijk j (y m )) [ L y(x m ) y m + h ] i j= a ij k j (y(x m )) k j (y m ) L z m + Lha j= i r j, mit a = max 2 i s j i a ij und damit r i+ Lha gesucht! {}}{ i j= r j + L z m rekursive Abschätzung! FehlRK Satz 46 Die Funktion f(x, y) sei auf G stetig und erfülle eine L-Bedingung bzgl. y. Für den Fehler einer s-stufigen R.-K.-Methode gilt dann: lok. Diskret. F ehler {}}{ z m = y(x m ) y m (X x 0 )eα(x x 0 ) max 0 j m ψ m (), wobei α := sble Lah 0(s ), h h 0 a := max 2 i s a ij, j i b := max i s b i. 25

26 4.5 Schrittweitensteuerung, eingebettete R.-K.-Methoden Ziel: Begrenzung des lokalen Diskretisierungsfehlers durch Wahl einer geeingneten Schrittweite h m zur Verwendung für nächsten Schritt: h m+ = h m. Bedingung: ψ m (m) h }{{ m T OL m } y(x m+ ) y m+ bei richtiger AB an x m ψ m () unbekannt T OL vom Benutzer gewählte Genauigkeit, TOLeranz heuristische Fehlerschätzer durch Vergleich von 2 verschieden genauen Verfahren: y m und ŷ m (wesentlich bessere Näherung, z.b. Ordnung h p+ statt h p () ), also: ˆψ m ψ m (). Fehlerschätzer ɛ m := ŷ m y m y(x m ) y m nur für zweitbestes Verfahren (für den lokalen Fehler) Bedingung: (Verfahren y m ist p ter Ordnung) akzeptable Schrittweite h m: ɛ Ch m p + T OL C ɛ m h m p + C(h m)p + ρ T OL, wobei ρ sicherheitsfaktor ist (z.b. ρ = 4 ) (h m) p+ ρ T OL C ρt OL ɛ m h p+ m }{{} verwendete alte Schrittweite neue Schrittweite (aus Fehlerschätzung): ρt OL h m+ = h m = p+ h m ɛ m meist wird mit ŷ m weitergerechnet (genauer!) Eingebettete Runge-Kutta-Verfahren Ziel: effiziente Berechnung von y m ; ŷ m zur Fehlerschätzung ĉ Â ŷ m - RKV der Ordnung p + ˆbT c A y m - RKV der Ordnung p b T Typisch sind 5(4), 8(7) (Matlab-Funktionen ode45, ode87). 26

27 Problem: zusätzliche Berechnung von ŷ m erhöht Aufwand stark. wähle ĉ = c, Â = A, ˆb b min. Verfahrensstufe s = p + kann nicht erreicht werden. Beispiel: RK4() (klassisches RKV (p = s = 4)) Gleiche Koeffizienten machen k m 5 = k m+ Aufwandsreduktion ( Fehlberg-Trick ) b T - Ergänzung zu s = 5, p = k5 m = f ( x m+, y m + h ( )) 6 km km 4 y m+ = y m + h ( ) 6 km km 4 k m+ = f(x m+, y m+ ) = k5 m vertretbarrer Aufwand für Fehlerschätzung 4.6 Implizite R.-K.-Methoden (ein Ausblick) Die expliziten R.K.-Formeln sind ein Speziallfall von Formeln k i = f(x m + c i h m, y m + h m bisher j i {}}{ s j= a ij k j ); i =,..., s s y m+ = y m + h m b i k i ; m = 0,,..., i= die als implizite R.-K.-Verfahren bezeichnet werden. Butcher-Schema: c A b T c, b R s, A Rs s evtl. voll besetzt. Problem: Lösung eines nichtlinearen Glecihungssystems für (k,..., k s ) = K Rn s für alle m = 0,,... Vorteile: 27

28 . mehr Parameter zur Verfügung höhere Konsistenzordnung (bis p = 2s (!!!) für die Gauß-Form (wird nicht im Rahmen dieser Vorlesung behandelt)) 2. günstige Stabilitätseigenschaften 2 Typen: Gauß-Form (bessere Konsistenzordnung) und Radau-Form (bessere Stabilitätseigenschaften als Gauß-Form). 28

29 5 Randwertprobleme 5. Aufgabestellung, Beispiele, Existenzresultate 5.2 Einfach- und Mehrfachschießverfahren 5. Differenzenverfahren 29