5.1 Gruppe paralleler Kräfte 5.2 Körperschwerpunkt 5.3 Flächenschwerpunkt. 5. Schwerpunkt. Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.5-1
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- Eugen Schubert
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1 5.1 Gruppe paralleler Kräfte 5.2 Körperschwerpunkt 5.3 Flächenschwerpunkt 5. Schwerpunkt Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.5-1
2 5.1 Gruppe paralleler Kräfte G 1 G 2 G R G i G n P x x 1 S x S Gesucht: Angriffspunkt, Betrag und Richtung der resultierenden Einzelkraft G R Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.5-2
3 5.1 Gruppe paralleler Kräfte Gleiche Kraft: Die Richtung von G R stimmt mit der Richtung der Kräfte G i überein. n Betrag von G R : G R =G 1 G 2 G = n G i i=1 Gleiches Moment um Bezugspunkt P: n x S G = R i=1 x i G i x S = 1 n G R i=1 x i G i Der Punkt S heißt Kräftemittelpunkt oder Schwerpunkt. Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.5-3
4 5.1 Gruppe paralleler Kräfte Die Summe der Momente der einzelnen Kräfte bezüglich des Schwerpunkts ist Null: n M S = i=1 n x S x i G i =x S i=1 n G i i=1 n x i G i =x S G R i=1 x i G i =0 Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.5-4
5 5.2 Körperschwerpunkt Δm i z G S Die Schwerkraft ist ein paralleles Kraftfeld. Die resultierende Gewichtskraft greift im Massenschwerpunkt an. z S y S x S y x Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.5-5
6 5.2 Körperschwerpunkt Gewichtskraft G: G= g m i =mg Massenschwerpunkt: x i g m i =x S G=x S mg y i g m i = y S G= y S mg z i g m i =z S G=z S mg Ergebnis: x S = 1 m x i m i y S = 1 m y i m i z S = 1 m z i m i Das Moment der Gewichtskraft um den Schwerpunkt verschwindet. Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.5-6
7 5.2 Körperschwerpunkt Mit der Massendichte ρ gilt: m i = i V i Der Grenzübergang zu infinitesimalen Volumenelementen ΔV i führt auf: x S = 1 m V x dv y S = 1 m V y dv z S = 1 m V z dv Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.5-7
8 5.2 Körperschwerpunkt Homogene Körper: Bei einem homogenen Körper ist die Massendichte konstant: =const. m= V Der Massenschwerpunkt stimmt mit dem Volumenschwerpunkt überein: x S = 1 V V x dv, y S = 1 V V y dv, z S = 1 V V z dv Die Werte sind für viele Körper tabelliert. Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.5-8
9 5.2 Körperschwerpunkt Symmetrien: Bei Körpern mit einer Symmetrieebene liegt der Schwerpunkt in der Symmetrieebene. Bei Körpern mit zwei Symmetrieebenen liegt der Schwerpunkt auf der Schnittgeraden der Symmetrieebenen. Bei Körpern mit drei Symmetrieebenen liegt der Schwerpunkt im Schnittpunkt der Symmetrieebenen. Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.5-9
10 5.2 Körperschwerpunkt Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM
11 5.2 Körperschwerpunkt Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM
12 5.2 Körperschwerpunkt Zusammengesetzte Körper: Der Schwerpunkt kann aus den Massen und Schwerpunktskoordinaten der Teilkörper berechnet werden: Wenn alle Teilkörper homogen sind und die gleiche Massendichte haben, dann gilt: x S = 1 m x Si m i x S = 1 V x Si V i y S = 1 m y Si m i y S = 1 V y Si V i z S = 1 m z Si m i z S = 1 V z Si V i Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM
13 5.2 Körperschwerpunkt Beispiel: Der Körper besteht aus einem homogenen Quader und einem homogenen Zylinder. z d h Beide Teilkörper haben die gleiche Massendichte. b Abmessungen: c a = 6cm, b = 5cm, c = 2cm d = 4cm, h = 8cm x a y Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM
14 5.2 Körperschwerpunkt Volumen: Quader: V Q =a b c=60 cm 3 Zylinder: V Z = 4 d 2 h=100,53 cm 3 Gesamt: V =V Q V Z =160,53cm 3 Schwerpunkt: Symmetrie: x S = y S =0 cm Quader: z QS = c =1 cm 2 Zylinder: z ZS =c h =6 cm 2 Gesamt: z S = z QS V Q z ZS V Z V =4,13 cm Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM
15 5.2 Körperschwerpunkt Beispiel: Gelochte Platte y 2,5 y S 2 1,5 S 1 6 Ø2 10 x 2 z Alle Maße in cm Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM
16 5.2 Körperschwerpunkt Volumen: Platte: V 1 =6 10 2=120 Loch: V 2 = = 2 Gesamt: V =120 2 =113,7 Gesamt: x S 1 V 1 =5 120=600 x S 2 V 2 = 7,5 2 = 47,12 x S = ,12 113,7 =4,863 Schwerpunkt: Symmetrie: Platte: Loch: z S =1 x S 1 =5, y S 1 =3 x S 2 =10 2,5=7,5 y S 2 =6 1,5=4,5 y S 1 V 1 =3 120=360 y S 2 V 2 = 4,5 2 = 28,27 y S = ,27 113,7 =2,918 Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM
17 5.3 Flächenschwerpunkt Homogene dünne Scheibe mit konstanter Dicke t : y Volumen: y S S A V =t A y da Volumenelement: dv =t da x x S x Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM
18 5.3 Flächenschwerpunkt Koordinaten des Schwerpunkts: x S = 1 V V x dv = 1 At A x t da= 1 A A x da y S = 1 V V y dv = 1 A t A y t da= 1 A A y da Flächenschwerpunkt: Der Punkt mit den Koordinaten x S = 1 A A x da, y S = 1 A A y da wird als Flächenschwerpunkt bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM
19 5.3 Flächenschwerpunkt Statische Momente: Die Integrale S y = A x da, S x = A y da heißen statische Momente oder Flächenmomente erster Ordnung. Sie spielen in der Theorie der Balkenbiegung eine wichtige Rolle. Statische Momente bezüglich des Schwerpunkts sind Null. Achsen durch den Schwerpunkt heißen Schwerachsen. Symmetrieachsen sind Schwerachsen. Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM
20 5.3 Flächenschwerpunkt Beispiel: Dreieck Fläche: y A= 1 2 a h h y da b Flächenelement: da=b y dy Breite: b y =a a h y=a 1 y h a x Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM
21 5.3 Flächenschwerpunkt Statisches Moment um die x-achse: S x = A h y da= 0 =a h2 2 h2 3 = 1 6 a h2 a y 1 y h h dy=a 0 y y 2 h dy=a [ y=h y2 2 y3 3 h ]y=0 y-koordinate des Schwerpunkts: y S = S x A = 1 6 a h2 1 2 a h = 1 3 h Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM
22 5.3 Flächenschwerpunkt Der Abstand des Schwerpunkts von den anderen beiden Seiten berechnet sich ebenso. Ergebnis: Der Schwerpunkt des Dreiecks liegt im Schnittpunkt der Parallelen zu den Seiten, deren Abstand von den Seiten 1/3 der jeweiligen Höhe beträgt. S Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM
23 5.3 Flächenschwerpunkt Zusammengesetzte Flächen: Der Schwerpunkt kann aus den Flächen und den Koordinaten der Schwerpunkte der Teilflächen berechnet werden: x S = 1 A x Si A i, y S = 1 A y Si A i Die Koordinaten der Schwerpunkte elementarer Flächen sind tabelliert. Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM
24 5.3 Flächenschwerpunkt Beispiel: y y S A S 2 A S 1 A x Maße in cm x Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM
25 5.3 Flächenschwerpunkt Fläche 1: A 1 =4 cm 3 cm=12cm 2 x S 1 =1,5cm y S 1 =2cm Gesamt: Fläche 2: A 2 =2cm 6 cm=12cm 2 x S 2 =3 cm y S 2 = 4 1 cm=5cm A=12cm 2 12cm 2 =24 cm 2 x S = 1,5cm 12cm2 3cm 12cm 2 24cm 2 y S = 2cm 12cm2 5cm 12cm 2 24cm 2 = = cm=2,25cm cm=3,5cm Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM
26 5.3 Flächenschwerpunkt Beispiel: U-Profil Gegeben: a = 2cm y Gesucht: S y s a 5a Koordinaten des Schwerpunkts Symmetrie: x S = 0 a x 8a Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM
27 5.3 Flächenschwerpunkt 8a A 1 = S 1 5a - A 2 S 2 4a 6a Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM
28 5.3 Flächenschwerpunkt Fläche 1: Fläche 2: A 1 =40a 2, y S 1 =2,5a A 2 =24a 2, y S 2 =2a Gesamt: y S = 2,5a 40a2 2a 24a 2 40a 2 24a 2 = a= a=3,25a y S =6,5cm Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM
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