7) QUERSCHNITTSWERTE

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1 BAULEITER HOCHBAU S T A T I K / F E S T I G K E I T S L E H R E 7) QUERSCHNITTSWERTE 1) Einleitung ) Schwerpunkt 3) Trägheitsmoment 4) Widerstandsmoment 5) Das statische Moment 6) Beispiele von Querschnittstabellen g.bettschen

2 Statik - Querschnittswerte - göpf bettschen - Seite 1) Einleitung In den folgenden Kapiteln lernen wir die Berechnung und Bemessung von stabförmigen Bauteilen. Stabförmige Bauteile haben einen bestimmten Querschnitt. Bei der statischen Berechnung zur Bemessung solcher Bauteile braucht man die Querschnittswerte (auch Querschnittskennwerte genannt). Unter Querschnittswerten versteht man unter anderem Lage des Schwerpunktes, die Querschnittsfläche die Trägheitsmomente und die Widerstandsmomente. In der Festigkeitslehre werden noch weitere Arten von Querschnittswerten vewendet (z.b. Trägheitsradius), auf diese speziellen Werte wird dann in einem späteren Teil eingegangen. Für einfache Querschnittsformen sind die Werte aus Tabellen ablesbar oder mit einfachen Formeln schnell auszurechnen. ) Schwerpunktsbestimmungen a) Allgemeines Jeden Körper kann man sich aus vielen kleinen, gleich grossen Massenteilchen, den Massenpunkten, zusammengesetzt denken. Alle diese Massenteilchen erzeugen infolge der Erdanziehungskraft (Schwerkraft) gleichlaufende, lotrechte Lasten. Den Mittelpunkt aller dieser Massenkräfte eines Körpers, in dem man sich für statische Untersuchungen seine Gesamtlast vereinigt denken kann, nennt man seinen Schwerpunkt. b) Definition vom Begriff Schwerpunkt Als Schwerpunkt eines Körpers bezeichnet man den Angriffspunkt der Resultierenden aller Massenteilchen da welche durch parallele Kräfte im Raum beansprucht werden. Die Wirkungslinie dieser Resultierenden nennt man Schwerlinie. Unterstützt man einen Körper in seinem Schwerpunkt, so bleibt er in jeder Lage in Ruhe, im Gleichgewicht Man balanciert die Scheibe so auf einer spitzen Nadel, dass sie horizontal schwebt. Der Punkt, in dem die Nadel die Scheibe berührt, heißt Schwerpunkt. In der Nadelspitze greift die Gewichtskraft an, hervorgerufen durch die Schwerkraft. Die gleich große, von der Nadel aufgebrachte Gegenkraft hält den Körper. Dabei spielt es keine Rolle, welche Form die Scheibe hat. Man kann sich vorstellen, dass die gesamte Masse in einem Punkt konzentriert ist Jede durch diesen Punkt gehende Linie heisst daher Schwerlinie.

3 Statik - Querschnittswerte - göpf bettschen - Seite 3 Die Lage des Schwerpunkts ist bei Körpern für Standfestigkeitsuntersuchungen und bei Flächen für die Zug-, Druck-, Biege- und Knickfestigkeit von grosser Bedeutung. Will man den Schwerpunkt eines Körpers, z.b. den einer gleichmässig dünnen Platte, D A B praktisch bestimmen, so hängt man ihn an B zwei verschiedenen Punkten auf. Die Lotrechten von den Aufhängepunkten sind, C R A S wenn der Körper zur Ruhe gekommen ist, die R Schwerpunktlinien (R 1 und R ). D C R Zeichnet man sie ein, so ist ihr Schnittpunkt S der Schwerpunkt der Fläche ABCD. Der gesuchte Schwerpunkt des Körpers liegt hinter S in der Mitte der Platte. Nach dem gleichen Grundsatz verfährt man bei der rechnerischen oder zeichnerischen Bestimmung des Schwerpunktes. Nur dreht man jetzt nicht den Körper, sondern der Einfachheit halber lässt man die Massenkräfte nach zwei verschiedenen, möglichst winkelrecht zueinanderstehenden Richtungen wirken. Ferner nimmt man an, dass die Körper aus gleichmässig dichtem (homogenen) Stoff bestehen. Dann ist die Lage des Schwerpunkts nur von der Gestalt des Körpers abhängig. Auch die Schwerpunkte von Linien und Flächen bestimmt man in ähnlicher Weise, indem man sich diese Gebilde mit Massenkräften behaftet denkt. Man spricht dann von einer materiellen Linie oder materiellen Fläche. Das Auffinden ihrer Schwerpunkte wird erleichtert, wenn man beachtet, dass jede Mittellinie und jede Symmetrieachse eine Schwerlinie ist. c) Schwerpunkte von Teilflächen Flächenschwerpunkt Liechtenstein

4 Statik - Querschnittswerte - göpf bettschen - Seite 4 d) Zusammengesetzte Flächen : - Bei regelmässigen und spiegelgleichen Flächen liegt der Schwerpunkt im Schnittpunkt zweier Spiegel- oder Mittelachsen. - Beliebige Flächen unregelmässiger Gestalt unterteilt man in solche einfachen Flächen, deren Inhalte und Schwerpunkte nach bekannten Regeln leicht anzugeben sind. In einfachen Fällen ermittelt man die Lage des Schwerpunktes rechnerisch, bei schwierigeren Figuren findet oft das Verfahren mit dem Seilpoygon Anwendung. Berechnungsmethoden Da der Schwerpunkt ein Durchgangspunkt der Mittelkraft aller Massenkräfte ist, lässt sich seine Lage zeichnerisch mit Hilfe des Seilpolygons und rechnerisch mit Hilfe des Momentensatzes ermitteln, wie es im folgenden für die verschiedenen geometrischen Gebilde geschieht. Als gedachter Punkt kann er bei besonderen Formen der Körper, Flächen oder Linien auch ausserhalb dieser Gebilde liegen. * Symmetrische Flächen z A = A Gesamtfläche A = Summe aller Teilflächen * Beliebige Flächen y da mit der Masse 1 belast Aus Symmetriegründen entspricht jedem Flächenteilchen links der z-achse ein Flächenteilchen rechts der z-achse. Aus Gleichgewichtsgründen muss also die Resultierende dieser Flächenteilchen identisch sein mit der z-achse. Daraus kann folgender wichtiger Satz abgeleitet werden : Jede Symmetrieachse einer Fläche ist gleich der Schwerlinie. Der Schwerpunkt einer Fläche liegt im Schnittpunkt von mindestens zwei Schwerlinien, und da eine Schwerlinie auch die Resultierende der mit der Masse 1 belasteten Fläche da darstellt, kann der Schwerpunkt wie folgt berechnet werden : Man teilt die Fläche in kleine Flächenteilchen auf, für die die Teilschwerpunkte aus Symmetriegründen ermittelt werden können : ys ys da ys A y1 da1 y da... yn dan n i1 n yi dai dai i1 n i1 yi dai // zs A n i1 zi dai A

5 Statik - Querschnittswerte - göpf bettschen - Seite 5 e) Beispiele zu Schwerpunktsberechnungen Achsen und Bezeichnungen: Stabachse x - x Starke Achse y - y Schwache Achse z - z Beispiel a Gesucht: Lage vom Schwerpunkt Lösung: 4

6 Statik - Querschnittswerte - göpf bettschen - Seite 6 Beispiel b Gesucht: Lage vom Schwerpunkt Lösung: - Einzeichnen eines frei wählbaren Koordinatensystems - Aufteilung in Teilflächen und Bestimmung deren Schwerpunktsabstände zu den entsprechenden Koordinatenachsen - Berechnung aller Teilflächen mal deren Abstand y zur Koordinatenachse z - Berechnung aller Teilflächen mal deren Abstand z zur Koordinatenachse y - Summenbildungen und Berechnung der Schwerpunktslage ys und zs analog Beispiel a 7 1 z 3 A1 5 A 1 4 A3 4 5 A4 3 3 A5 7 y Praktisch für die Lösung von Querschnitten mit mehreren Teilflächen ist das Einsetzen der Werte in eine Tabelle (Berechnung von Hand oder mit Tabellenkalkulationsprogrammen) Bezeichnung Fläche A z z x A y y x A Nummer A1 3,00 7,50,50 1,50 4,50 Nummer A 6,00 8,50 51,00 4,00 4,00 Nummer A3 16,00 7,00 11,00 7,00 11,00 Nummer A4 6,00 3,50 1,00 6,00 36,00 Nummer A5 14,00 1,00 14,00 5,50 77,00 S u m m e n 45,00 0,50 53,50 Resultierende auf z - Achse = 4,90 auf y = Achse 5,63 Lösung: z s = 4.90, y s = 5.63

7 Statik - Querschnittswerte - göpf bettschen - Seite 7 Beispiel c Aus 16 Quadraten mit den Seitenlängen 1 zusammengesetzte Fläche Lösung analytisch: Wählen von möglichst wenigen Teilrechtecken und dann Vorgehen wie in Beispiel b. Lösung: z s =.15, y s = Lösung graphisch: (Nur zur Information, gehört nicht zum Pflichtstoff) Da die Formeln für die Schwerpunktsberechnung mit denjenigen für die Bestimmung von Resultierenden identisch sind, kann der Schwerpunkt auch mit Hilfe des Seilpolygons gefunden werden. Man bestimmt für zwei verschiedene Richtungen die Resultierende aller Flächenteilchen, im Schnittpunkt dieser Resultierenden liegt dann der Schwerpunkt der Fläche. f) Schwerpunkte von Körpern Im Bauwesen hat man es meist nur mit prismatischen Körpern zu tun, von denen man im allgemeinen nur Teile von 1 m Länge oder 1 m Höhe untersucht. Mit der Bestimmung des Schwerpunktes der Grundflächen dieser Prismen ist dann auch die Lage des Körperschwerpunktes in halber Länge hinter der Grundfläche oder halber Höhe über oder unter ihr gegeben.

8 Statik - Querschnittswerte - göpf bettschen - Seite 8 3) Das Trägheitsmoment Als Trägheitsmoment einer Fläche bezüglich einer Achse bezeichnet man die Summe der Produkte, die entstehen, wenn alle Flächenteilchen mit ihrem Abstand im Quadrat bezüglich dieser Achse multipliziert werden. Man bezeichnet sie daher auch als Flächenmomente zweiter Ordnung oder quadratische Flächenmomente. Sie sind rein mathematische Begriffe und nur von der Grösse und der Form einer Fläche abhängig. z z y Das Trägheitsmoment ist also stets positiv und hat die Dimension mm 4 ( cm 4, dm 4, m 4 ) Für die Festigkeitslehre sind besonders die Trägheitsmomente bezüglich von Schwerachsen wichtig. Trägheitsmomente bezüglich ihrer Schwerachsen * R e c h t e c k da da Iy Iz y z y da( vertikal) da( horizontal) I y A z da h 0 b z da Iy = b h 3 / 1 (bez. starker Achse) Iz = h b 3 / 1 (bez. schwacher Achse)

9 Statik - Querschnittswerte - göpf bettschen - Seite 9 Berechnung Trägheitsmomente:

10 Statik - Querschnittswerte - göpf bettschen - Seite 10 Beispiel: Trägheitsmoment bezüglich Schwerachse Berechnung Trägheitsmomente für Achsen, die keine Schwerachsen sind (Satz von Steiner) (Nur zur Information, gehört nicht zum Pflichtstoff)

11 Statik - Querschnittswerte - göpf bettschen - Seite 11 4) Das Widerstandsmoment z Unter dem Widerstandsmoment eines Punktes versteht man den Quotient, der entsteht, wenn man das Schwerpunktsträgheitsmoment durch den Abstand des Punktes von der Schwerachse dividiert. W ( p) I z y h o P z l u b r h/ h/ y Meistens wird das Widerstandsmoment des oberen Randes (Wo), des unteren Randes (Wu), des linken oder des rechten Randes (Wl, Wr) eines Querschnittes benötigt. Beispiel: Berechnung Widerstandsmoment beim Rechteckquerschnitt:

12 Statik - Querschnittswerte - göpf bettschen - Seite 1 5) Das statische Moment Das Statische Moment, oder auch Flächenmoment 1. Grades, wird immer auf den Schwerpunkt bezogen berechnet. Es ist im Schwerpunkt am größten und in den am weitesten vom Schwerpunkt entferntesten differentiell kleinen Teilflächen am Kleinsten bzw. Null. Die Berechnung erfolgt analog der eines Momentes, nämlich: Summe aus Teilflächen mal achsenbezogener Abstand aus Teilflächenschwerpunkt zu Gesamtschwerpunkt (Summe aus Kraft mal Hebelarm). Es sind immer mindestens zwei Statische Momente in einem Querschnitt vorhanden. Das Statische Moment findet zum Beispiel bei der Ermittlung der Schubspannungen Anwendung. Trägheitsradius Es gibt noch weitere Arten von Querschnittswerten, wie z.b. der Trägheitsradius. Der Trägheitsradius wird bei der Knickberechnung verwendet, auf diesen speziellen Wert wird dann im Kapitel 10) Das zentrische Knicken eingegangen. Trägheitsradius i I A Der Querschnittswert i ist der Massstab für die Steifigkeit des Stabes, er ist sehr wichtig und deshalb in den Querschnittstabellen aufgeführt.

13 Statik - Querschnittswerte - göpf bettschen - Seite 13 6) Beispiele von Querschnittstabellen - Rechteck Teil 1

14 Statik - Querschnittswerte - göpf bettschen - Seite 14 Forts. Beispiele von Querschnittstabellen - Rechteck Teil

15 Statik - Querschnittswerte - göpf bettschen - Seite 15 Forts. Beispiele von Querschnittstabellen - Kreisquerschnitte Beisp. Querschnittstabellen - Stahlrohre (Tabelle SZS)

16 Statik - Querschnittswerte - göpf bettschen - Seite 16 Forts. Beispiele von Querschnittstabellen (aus Tabellen SZS)

19 Statik - Querschnittswerte - göpf bettschen - Seite 19 Forts. Beispiele von Querschnittstabellen (aus Tabellen SZS) Weitere Querschnitswerte: siehe entsprechende Tabellenwerke Beispiel: Querschnittswerte

20 Statik - Querschnittswerte - göpf bettschen - Seite 0 beim Rechteckbalken 100/00mm