Bestimmung von Schwerpunkten

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1 Bestimmung von Schwerpunkten Jeder Körper hat einen Punkt, in dem man sich sämtliche Massekräfte als seine gesamte Eigenlast vereinigt denken kann. Dieser Massemittelpunkt ist der Angriffspunkt der gesamten Schwerkraft eines Körpers. Es ist der Schwerpunkt. Für den Schwerpunkt heben sich die Drehmomente aller Kräfte der Masseteilchen gegenseitig auf. Die Lage des Schwerpunktes wird nur durch seine geometrische Form bestimmt, wenn der Körper eine homogene Struktur besitt. Alle gerade Linien, die durch den Schwerpunkt gehen, sind Schwerelinien. Beim Aufhängen eines Körpers an den Punkten P 1 bis P 3 wird sich der Schwerpunkt durch die Erdaniehungskraft soweit wie möglich nach unten bewegen. Der Schwerpunkt befindet sich dann lotrecht unter dem Aufhängepunkt. Von beliebigen Aufhängepunkten ausgehende lotrechte Linien sind Schwerelinien. Alle diese Linien schneiden sich in einem Punkt. Es ist der Schwerpunkt. Folie (siehe Bild rechts) a) Schwerpunkt von Körpern Kugel: Quader: Prisma: Pyramide u. Kegel: Der Schwerpunkt einer Kugel ist ihr Mittelpunkt. Die Raumdiagonalen eines Quaders schneiden sich im Schwerpunkt. Die Mitte der Verbindungslinien der Schwerpunkte von Grund- u. Deckfläche ist der Schwerpunkt. Schwerpunkt liegt im Viertelspunkt der Verbindungslinie vom Schwerpunkt der Grundfläche ur Spite. Folie: Schwerpunkte von Körpern In der Praxis wird man oft nur die Schwerpunkte von prismatischen Körpern u bestimmen haben. Träger und Balken sind solch prismatische Körper. Hierbei bestimmt man den Schwerpunkt der Querschnittsfläche. Die Verbindungslinie aller Querschnittsflächen ist die sog. Schwereachse eines Körpers, sie wird auch Stabachse genannt. Der Schwerpunkt kann auch außerhalb einer Querschnittsfläche liegen. Damit liegt auch die Schwereachse außerhalb des Körpers. Folie: - Stabachse eines prismatischen Körpers - Der Schwerpunkt kann auch außerhalb des Körpers liegen.

2 b) Schwerpunkt von Flächen Unter dem Schwerpunkt einer Fläche stellt man sich den Schwerpunkt eines sehr dünnen scheibenförmigen Körpers vor. Meist sind die untersuchten Flächen die Querschnittsflächen von Körpern. Bei Flächen mit einer Symmetrieachse liegt der Schwerpunkt auf der Symmetrieachse. Bei Flächen mit mehreren Symmetrieachsen liegt der Schwerpunkt im Schnittpunkt der Symmetrieachsen und ist damit bekannt. Folie: - Schwerpunkt auf der Symmetrieachse - Schwerpunkt liegt im Schnittpunkt mehrerer Symmetrieachsen b 1 ) Einfache Flächen (Folie Schwerpunkte von Flächen) Parallelogramm, Rechteck u. Quadrat Schwerpunktabstand = h/2 Der S. liegt im Schnittpunkt der Diagonalen Dreieck Schwerpunktabstand = h/3 Der S. liegt im Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Trape Schwerpunktabstand ' h a + 2b 3 a + b h 2a + b 3 a + b Der S. liegt auf der Verbindungslinie der Mittelpunkte der parallelen Seiten und auf der Verbindungslinie der verlängerten parallelen Seiten. Regelmäßige Vielecke Der S. ist der Mittelpunkt des Umkreises. Kreis u. Kreisring Der S. ist der Kreismittelpunkt. Kreisausschnitt Kreisabschnitt Halb- u. Viertelkreis

3 Der Schwerpunktabstand einer Kreisausschnittsfläche vom Kreismittelpunkt M wird berechnet mit 2 r * s 3 b Für die Halbkreis- u. Viertelkreisfläche ergibt sich daraus mit s = 2r und b = rp 2 r * 2r 3 r * p 4 r 3 p Kreisabschnitt Der Schwerpunktabstand bei flachen Kreisabschnittflächen kann näherungsweise berechnet werden mit = 2 5 h Profilflächen Die Maße für die Lage des Schwerpunktes bei genormten Profilen aus Stahl sind den Profiltafeln u entnehmen und brauchen nicht mehr berechnet u werden. c) Zusammengesete Flächen (Folie Zusammengesette Flächen) Zusammengesette Flächen bestehen aus mehreren bestimmbaren Einelflächen. Sind diese Einelflächen symmetrisch angeordnet, liegt der Schwerpunkt in der Symmetrieachse bw. im Schnittpunkt der Symmetrieachsen.

4 Merke (Fortsetung): Auch andere Flächen, deren Schwerpunkt durch Zerlegen in Teilflächen bestimmt werden kann, nennt man usammengesette Flächen. Bei usammengesetten Flächen kann der Schwerpunkt berechnet werden, wenn die Einelschwerpunkte leicht u bestimmen sind. Die Fläche wird dann in Teilflächen mit bekannten Schwerpunkten erlegt (Rechtecke, Dreiecke usw.). Es wird der Momentensat angewendet, indem anstelle der Kräfte nun die Teilflächen eingesett werden. Folie (Zusammengesette Flächen) Aus F * * wird jett 1 a1 + F2 * a = R a 1 * y1 + A2 * y = A y A * wobei die Summe aller Teilflächen die Gesamtfläche A ergibt. Momentensat Allgemein gilt also å Ai * y = i A* y bw. Ai * i = A * y å Ai * y = A i å å Ai * = A i Übungsbeispiel Für die usammengesette Fläche sind die Abstände des Gesamtschwerpunktes von den Achsen u berechnen (siehe Folie)

5 Übungsbeispiel (Fortsetung)