3. Akustische Energie und Intensität

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1 Aus der Energiebilanz lässt sich durch Berücksichtigung von Gliedern zweiter Ordnung eine Bilanzgleichung für die akustische Energie gewinnen. Etwas einfacher kann diese Energiegleichung aus der linearisierten Impulsgleichung und dem Materialgesetz hergeleitet werden. Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik 2.3-1

2 Herleitung der Energiegleichung: Das Skalarprodukt der linearisierten Impulsgleichung mit der Schallschnelle v lautet: 0 v i v i t = v i p i Für die linke Seite gilt: 0 v i v i t = t v2 mit v2 =v i v i Für die rechte Seite gilt zunächst: p v i = p v i p v i Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik 2.3-2

3 Mit dem Materialgesetz folgt daraus: p t = 0 c 2 v i Damit ist gezeigt: v i = 1 p 0 c 2 t v i p = p v i p 0 c 2 p t = p v i 1 2 p 2 t 0 c 2 t v2 1 2 p 2 0 c 2 p v i =0 Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik 2.3-3

4 Akustische Energiedichte: Die Größe w= v2 1 2 p 2 0 c 2 wird als akustische Energiedichte bezeichnet. Sie besteht aus zwei Anteilen: Kinetische Energie pro Volumen: w K = v2 Potenzielle Energie pro Volumen: w P = 1 2 p 2 0 c 2 Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik 2.3-4

5 Intensität: Die potenzielle Energie ist gleich der Arbeit, die benötigt wird, um das Volumen quasi-statisch so stark zusammen zu drücken, bis der Druck im Inneren um p zugenommen hat. Die Größe I i = p v i wird als akustische Intensität bezeichnet. Die Intensität ist ein Vektor. Die Einheit der Intensität ist Leistung pro Fläche: 1 Pa m s =1 N m m 2 s =1 J m 2 s =1 W m 2 Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik 2.3-5

6 Das Skalarprodukt mit einem Einheitsnormalenvektor n gibt an, wie viel Energie pro Zeiteinheit durch das zugehörige Flächenelement ds fließt: n I d Ẇ =I i n i ds=i n ds ds Die Energie fließt in Richtung des Intensitätsvektors. Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik 2.3-6

7 Akustische Energie und Intensität: Aus folgt: t v2 1 2 w t I i =0 p 2 0 c 2 p v i =0 Integration über ein beliebiges raumfestes Volumen ergibt: V w t dv V I i dv =0 Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik 2.3-7

8 Mit dem Integralsatz von Gauß folgt schließlich: t V w dv = S I i n i ds n V Die zeitliche Änderung der akustischen Energie in einem Volumen ist gleich der Energie, die pro Zeiteinheit von außen nach innen durch die Oberfläche des Volumens fließt. Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik 2.3-8

9 Abgestrahlte Schallleistung: Betrachtet wird eine Fläche S, die mit der Geschwindigkeit v S schwingt. n Die Normalkomponente der Schallschnelle v muss in jedem Punkt der Fläche mit der Normalkomponente der Geschwindigkeit v S der Fläche übereinstimmen: v i n i =v Si n i I i n i = pv Si n i Für die pro Zeiteinheit der Luft zugeführte Energie gilt: Ẇ = S I i n Si ds= S p v Si n Si ds Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik 2.3-9

10 Absorbierende Flächen: Auf einer absorbierenden Fläche fließt Energie aus dem akustischen Medium nach außen. Für die pro Zeiteinheit durch die absorbierende Fläche abgeführte Energie gilt: Ẇ a = S a I i n i ds= S a Mit p=z v n folgt: pv n ds n Ẇ a = S a z v 2 n ds= S a 2 p z ds= a p 2 ds S a Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik

11 Ebene Wellen: 3. Akustische Energie und Intensität Für eine entlang der x-achse laufende ebene Welle gilt: p= 0 c v x, v y =v z =0 Daraus folgt für die Energiedichte w= v x 2 p2 = 0 p 0 c 0 c 2 2 = p2 0 c 2 = v 2 x c v 0 x 2 0 c 2 = 2 0 v x Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik

12 Potenzielle und kinetische Energie tragen mit gleichen Anteilen zur akustischen Energiedichte bei. Mit p x, y, z,t = f ct x folgt: w x, y, z,t = 1 0 c 2 f 2 ct x Die Energiedichte läuft also ebenfalls mit der Schallgeschwindigkeit c in positiver x-richtung. Für die Intensität gilt: I x = p v x = 0 c v x 2 =c w Prof. Dr. Wandinger 2. Grundlagen der Wellenausbreitung Akustik