1. Impuls- und Drallsatz

Transkript

1 1. Impuls- und Drallsatz Impulssatz Bewegung des Schwerpunkts des örpers aufgrund vorgegebener räfte Drallsatz Drehung des örpers aufgrund vorgegebener Momente Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik

2 1.1 Bezeichnungen 1.2 Impulssatz 1.3 Drallsatz 1. Impuls- und Drallsatz Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik

3 1.1 Bezeichnungen örper ω P r P r BP r SP r B B S O r S r BS Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik

4 1.1 Bezeichnungen Punkt O ist der Ursprung des ortsfesten Bezugssystems. Punkt B ist ein körperfester Punkt, der als Ursprung eines körperfesten Bezugssystems dient. Punkt S ist der Schwerpunkt des örpers. Punkt P ist ein allgemeiner Punkt des örpers. Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik

5 1.1 Bezeichnungen Vektor r BP ist der Ortsvektor des Punktes P im körperfesten Bezugssystem. Vektor r BS ist der Ortsvektor des Schwerpunktes S im körperfesten Bezugssystem. Vektor r SP ist der Vektor vom Schwerpunkt S zum Punkt P. Da der örper starr ist, ändern sich die Vektoren r BP, r BS und r SP für einen körperfesten Beobachter nicht. Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik

6 1.1 Bezeichnungen Geschwindigkeit des Punktes P: Für einen körperfesten Beobachter ist Punkt P in Ruhe: B v P =0 Für einen Beobachter im ortsfesten Bezugssystem hat Punkt P die Geschwindigkeit v P =v B r BP Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik

7 Schwerpunkt S : 1.1 Bezeichnungen Im ortsfesten Bezugssystem gilt laut Definition Daraus folgt für den Vektor r SP =r P r S : r SP dm= m r S = r P dm r P dm r S dm=m r S r S m=0 Aus r BS =r BP r SP folgt weiter: m r BS = r BP dm Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik

8 1.2 Impulssatz P dm df räfte am freigeschnittenen Massenelement dm : äußere räfte df r P innere räfte df i O df i Die inneren räfte sind die räfte, die die benachbarten Massenelemente auf das betrachtete Massenelement ausüben. Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik

9 1.2 Impulssatz Der Impulssatz für das Massenelement lautet: Integration über den örper ergibt r P dm=d F d F i r P dm= d F d F i Wegen Actio = Reactio verschwindet das Integral der inneren räfte: d F i =0 Das Integral über die äußeren räfte ergibt die resultierende raft: Aus der Definition des Schwerpunkts folgt: m r S = d F=F m r S = r P dm r P dm Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik

10 1.2 Impulssatz Damit lautet der Impulssatz für den örper: m r S =F Der Schwerpunkt eines starren örpers bewegt sich so, als ob alle räfte an ihm angriffen und die gesamte Masse in ihm vereinigt wäre. Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik

11 1.3 Drallsatz Aus dem Impulssatz für das Massenelement, r P dm=d F d F i folgt mit v P =ṙ P : r BP v P dm=r BP d F r BP d F i Integration über den örper ergibt: Die Beiträge der inneren räfte heben sich wegen Actio = Reactio auf: r BP v P dm= r BP d F r BP d F i =0 r BP d F i Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik

12 1.3 Drallsatz Die Beiträge der äußeren räfte summieren sich zu dem resultierenden Moment der äußeren räfte um den Punkt B: Damit bleibt: r BP d F =M B r BP v P dm= M B Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik

13 1.3 Drallsatz Das Integral lässt sich weiter umformen: Zunächst gilt: r BP v P = d dt r BP v P ṙ BP v P B Wegen =0 gilt außerdem: v P ṙ BP = r BP und v P =v B r BP Damit folgt: ṙ BP v P = r BP v B r BP = r BP v B Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik

14 Für das Integral gilt also: r BP v P dm= 1.3 Drallsatz d dt r BP v P dm r BP dm v B = d dt r BP v P dm m r BS v B Definition: Die Größe L B = r BP v P dm wird als Drall oder Drehimpuls bezüglich des Punktes B bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik

15 1.3 Drallsatz Damit lautet der Drallsatz in allgemeiner Form: L B m r BS v B =M B Der Drallsatz wird auch als Drehimpulssatz oder Momentensatz bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik

16 1.3 Drallsatz Speziell: Schwerpunkt als Bezugspunkt Wird der Bezugspunkt B in den Schwerpunkt S gelegt, so gilt r BS = 0. Damit vereinfacht sich der Drallsatz zu L S =M S Die Änderung des Dralls bezüglich des Schwerpunkts ist gleich dem Moment der äußeren räfte. Speziell: Bezugspunkt B ist ortsfest Für einen ortsfesten Bezugspunkt B gilt v B = 0. Der Drallsatz vereinfacht sich ebenfalls zu L B =M B. Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik

17 1.3 Drallsatz Beispiel: Drall der rollenden Scheibe S ω v S Die Scheibe rollt mit der konstanten Schwerpunktsgeschwindigkeit v S und der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω. Gesucht ist der Drall bezüglich des Schwerpunkts. A Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik

18 1.3 Drallsatz Geometrie: η S R ξ Radius R Dicke d Die Mittelebene der Scheibe liegt in der ξη-ebene des körperfesten oordinatensystems. Der Ursprung des körperfesten oordinatensystems ist der Schwerpunkt. d S ξ ζ Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik

19 1.3 Drallsatz Vektoren: Allgemeiner Ortsvektor: η r SP = b b b Ortsvektor von Punkt A: ω r SA = R b Winkelgeschwindigkeit: P r SA S r SP ξ = b A Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik

20 3.1 Drallsatz inematik: v P =v S r SP η Rollbedingung: v A =v S r SA =0 v S = r SA = R b b = R b ω r SA S A r SP v S P v P ξ Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik

21 1.3 Drallsatz Drall bezüglich Schwerpunkt: Geschwindigkeit: Integrand: L = S r SP v P dm v P =v S r SP = R b b b b b = R b b b = [ R b b ] r SP v P = b b b [ R b b ] = [ 2 b R b R b b ] = [ b R b R b 2 2 b ] Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik

22 1.3 Drallsatz Integration: dm= dv = d da dm= A = A d /2 d /2 [ =d /2 2 2 ] = d /2 R dm= A = A [ R dm=r d da= A d /2 d /2 d da da= [ d 2 A 8 d 2 ] 8 da=0 d /2 d / 2 d /2 R d /2 R d da d ] da=0 dm=r S m=0 Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik

23 1.3 Drallsatz Das einzige Integral, das nicht verschwindet ist 2 2 dm= A [ = d A d /2 In Polarkoordinaten gilt: ] d /2 2 2 d da= [ A 2 2 da 2 d / 2 2 d /2 d ] da =r cos =r sin 2 2 =r 2 da=r d dr dφ rdφ r dr Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik

24 1.3 Drallsatz Damit folgt: A da= 0 0 R 2 r dr 3 d = [ 4 r=r r 0 4 ]r=0 = 1 2 R4 = 1 2 R2 A 2 d = 0 R 4 4 d Ergebnis: L S = d 1 2 R2 A b = 1 2 R2 m b Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren örpers Dynamik