HTL Steyr KAUSTIK Seite 1 von 11. Kaustik. Winkelfunktionen, Einheitskreis, Summensätze, Grenzübergänge (LIMES), Parameterdarstellung einer Funktion

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1 HTL Steyr KAUSTIK Seite von Nietrost Bernhard, Kaustik Mathematische / Fachliche Inhalte in Stichworten: Winkelfunktionen, Einheitskreis, Summensätze, Grenzübergänge (LIMES, Parameterdarstellung einer Funktion Kurzzusammenfassung Die Kaustik kann man leicht beobachten mit Hilfe eines Wasserglases oder eines Rings im Sonnenlicht. Die mathematische Beschreibung dieser Beobachtung benötigt die Anwendung verschiedenster mathematischer Gebiete. (Trigonometrie, Parameter, Grenzwerte, Differentialrechnung Didaktische Überlegungen Die Schüler sehen wie eine einfache Beobachtungen mathematisch formuliert wird. Daraus ergibt sich ein praktischer Bezug zum Problem. --> Angewandte Mathematik Lehrplanbezug (bzw. Gegenstand / Abteilung / Jahrgang: Angewandte Mathematik, 2/3 Jahrgang für alle Abteilungen, durchführbar erst in der 3. Klasse. Mathcad-Version: Mathcad 5 Literaturangaben: Internet, Physik in unserer Zeit 29 (998 S 20-22, Teubner: TB der Mathematik

2 HTL Steyr KAUSTIK Seite 2 von. Entstehung der Kaustik Die Kaustik entsteht wenn parallel einfallende Lichtstrahlen an einem (halb- kreisförmigen Objekt reflektiert werden. Die Einhüllende der reflektierten Strahlen bildet eine Kaustik (Siehe Bild, die zu den Epizykloiden gehört. Die Kaustik kann einfach mit einem Wasserglas oder einem Ring erzeugt werden. Kaustiken haben schon früh das Interesse von Physikern und Mathematikern hervorgerufen. Christian Huygens ( befasste sich mit ihnen und Johann Bernoulli ( untersuchte sie mathematisch ausführlich und in vielen Beispielen []. ENCARTA: ' Kaustik ['Kaus tik] die; -, kmz. (phys., tech. Hüllfläche benachbarter Strahlen e-s nicht optimal korrigierten optischen Systems, vgl.? Katakaustik,? Diakaustik 2 (med.? Kauterisation Kaustik Einfallendes Licht

3 HTL Steyr KAUSTIK Seite 3 von 2. Mathematische Beschreibung der Geometrie Reflexionspunkte: Geometrie aus Skizze (r (Überlegungen am Einheitskreis bzw. mit Hilfe der Summensätze P X cos( α Q X sin π 3α ergibt vereinfacht Q X cos( 3 α 2 P Y sin( α Q Y cos π 3α ergibt vereinfacht Q Y sin( 3 α 2 Graphische Darstellung für N 0 einfallende Strahlen (in der oberen Hälfte (Gleichmäßige Verteilung der Einfallswinkel π i N α i 2 ( N i

4 HTL Steyr KAUSTIK Seite 4 von Berechnung von P und Q der Strahlen: P i0 Q i0 cos α i P i sinα i cos 3 α i Q i sin 3 α i Kreis in Parameterdarstellung t π Xt ( cos( t Yt ( sin( t Graphikmatrix (zum Zeichnen der Verbindungslinien PQ n 0 j 0 2N G 2i n P in G 2i 2n Q in 2. Kaustik als Hüllkurve: Darstellung von P, Q und der Verbindung PQ 0.5 KAUSTIK G j P i Q i Yt ( G j0 P i0 Q i0 Xt ( Die hier eingezeichneten N 0 reflekektierten Strahlen erzeugen ungefähr die Grundform der Kaustik.

5 HTL Steyr KAUSTIK Seite 5 von 3. Berechnung der Kaustik in Parameterform Entsprechend der letzten Graphik ergeben sich zwischen benachbarten Geraden y und y 2 durch PQ Schnittpunkte, welche (ungefähr die Kaustik formen. Verkleinert man den Abstand zweier benachbarter Punkte immer weiter (math: LIMES --> 0 so erh man die Darstellung der Kaustik in Parameterform. y y2 ersetzen y k x d ersetzen y2 k2 x d2 d k x d2 k2 x k x d k2 x d2 auflösen x d d2 k k2 y k x d ersetzen x ( d d2 ( k k2 d k2 d2 k y k k2 ( d d2 y k d auflösen y ( k k2 d k ( d d2 k k2 Der gesuchte Schnittpunkt von y und y 2 ist: x ( d d2 ( k d2 d k2 s y s ( k k2 ( k k2 Schnittpunkte Steigung k Δy Δx P y Q y Achsenabschnitt d P y k P x P x Q x P i Q i Berechnung der k und d Werte: k i d i P i k i P i0 P i0 Q i0 Berechnung der Schnittpunkte: d j d j j 0 N xs j k j k j ys k j d j d j k j j k j k j

6 HTL Steyr KAUSTIK Seite 6 von 3. KAUSTIK: Darstellung der Schnittpunkte 0.5 ys ys Yt ( xsxs Anmerkung: Die hier berechneten Schnittpunkte sind noch keine exakten Punkte der Kurve. Für N sehr groß wird diese immer besser angenähert. Für eine exakte Berechnung der Kurve sind noch weitere Schritte notwendig. Xt ( Beschreibung einer Geraden y kx + d durch Winkel P y Q y sin( α ( sin( 3α k k cos( α ( cos( 3α P x Q x α α Vereinfachen mit Summensätzen oben und unten (Man verwende z.b: sin( 3 α sin( 2 α α sin( 2 α cos( α cos( 2 α sin( α usw. ergibt den folgenden 2 cos( α sin( α Ausdruck: k, der einen weiteren Schritt zuläßt: k 2 cos( α 2 Man erhält somit die sehr einfache Endformel: k tan 2 α ( sin( 2 α. cos( 2 α

7 HTL Steyr KAUSTIK Seite 7 von Der Achsenabstand d ergibt sich aus y k x d mit obigem k und beispielsweise dem Punkt P zu: sin( α tan( 2 α cos( α d. sin( α cos( 2 α Der Ausdruck für d läßt sich noch weiter vereinfachen zu: d. Die Gerade ist dann: y tan( 2 α x sin( α cos( 2 α Nebenrechnungen zu obigen Ausdrücken sin( α sin( 2 α α sin( α sin( 2 α cos( α sin( α cos( 2 α sin( α 2 sin( α cos( α 2 sin( α cos( α 2 sin( α 3 sin( α 3 cos( α 2 sin( α 2 4 sin( α cos( α 2 cos( α cos( 2 α α cos( α cos( 2 α cos( α sin( 2 α sin( α cos( α cos( α 3 sin( α 2 cos( α 2 sin( α 2 cos( α cos( α 2 sin( α 2 2 sin( α 2 cos( α cos( α 2 4 sin( α 2 4 sin( α cos( α 2 cos( α 2 4 sin( α 2 2 sin( α cos( α 2 sin( α 2

8 HTL Steyr KAUSTIK Seite 8 von Der Schnittpunkt zweier benachbarter Geraden mit leicht (delta verschiedenen Winkeln. sin( 2 α cos( 2 α x sin( α cos( 2 α sin[ 2 ( α δ ] cos[ 2 ( α δ ] x sin( α δ cos[ 2 ( α δ ] x ( sin( α cos( 2 α 2 δ sin( α δ cos( 2 α ( sin( 2 α cos( 2 α 2 δ sin( 2 α 2 δ cos( 2 α Ergebnis aus Platzgründen in der nächste Zeile Um beliebige Schnittpunkte zu berechnen muss man den Grenzübergang delta gegen 0 durchführen. (math: Limes x δ lim 0 ( sin( α cos( 2 α 2 δ sin( α δ cos( 2 α ( sin( 2 α cos( 2 α 2 δ sin( 2 α 2 δ cos( 2 α δ lim 0 ( sin( α cos( 2 α 2 δ sin( α δ cos( 2 α ( sin( 2 α cos( 2 α 2 δ sin( 2 α 2 δ cos( 2 α x cos( α cos( α Ergebnis aus Platzgründen in der nächste Zeile Anmerkung: Als Übung könnte die Bildung des LIMES auch von Hand durchgeführt werden Verwendung der Regel von l'hospital, da sich beim Einsetzen von δ 0 die nicht definierte Division 0 ergibt. Einmaliges Differenzieren oben und unten ergibt: 0 x δ lim 0 ( 2 sin( α sin( 2 α 2 δ cos( α δ cos( 2 α 2 cos( 2 δ Anmerkung: Der Nenner läßt sich mit Summensätzen leicht vereinfachen.

9 HTL Steyr KAUSTIK Seite 9 von Setzt man δ 0 so ergibt sich der Limes mit: x 2 sin( α sin( 2 α 2 cos( α cos( 2 α Mit Summensätzen weiter vereinfacht ergibt sich die x-komponente gleich wie mit MATHCAD in Parameterdarstellung. x K ( α 2 cos( α 3 2 cos( α2 Durch Einsetzen wird y berechnet: y sin( 2 α cos( 2 α x sin( α cos( 2 α y sin( 2 α cos( 2 α cos( α cos( α sin( α cos( 2 α Ergebnis aus Platzgründen in der nächste Zeile y K sin( α 2 cos( α 4 3 cos( α 2 cos( 2 α Ergebnis aus Platzgründen in der nächste Zeile Unstetigkeit in der y-komponente Es gibt eine Unstetigkeitsstelle in der y - Komponente der Kaustik. π 4 Für den Fall α ergeben sowohl Zähler als auch Nenner 0. Dieser muss durch Bildung des LIMES in Mathcad berechnet werden. lim π α 4 3 cos( α 2 2 cos( α 4 cos( 2 α 2 Bei händischer Bestimmung kommt wiederum die Regel von l'hospital zur Anwendung.

10 HTL Steyr KAUSTIK Seite 0 von 3.2 Kaustik in Parameterdarstellung x K ( α 2 cos( α 3 2 cos( α2 y K ( α 2 if sin( α π α 4 3 cos( α 2 2 cos( α 4 cos( 2 α otherwise Laufvariable α t π 2 Exakte Grenzkurve der Reflexion (rot und obige Schnittpunkte: y K ( α ys Yt ( x K ( α xsxt (

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