dem Lehrplan entsprechend für alle HTL Abteilungen im 4. und 5. Jahrgang;

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1 Seite von 2 Risio Mathematische / Fachliche Inhalte in Stichworten: Stochasti: Laplace, Abzähltechnien, UND/ODER-Regel, bedingte W-eit, Erwartungswert, Vertrauensbereich; Simulation, Wahrscheinlicheit als Grenzwert eines statistischen Versuchs; Grenzwert einer Folge Kurzzusammenfassung Ein Beispiel, das einerseits sehr viele Teile der Stochasti enthält und andererseits auch die Möglicheiten des Computers bei der Lösung omplexerer Probleme zeigt. Didatische Überlegungen / Zeitaufwand: Anwendung der Stochasti auf ein relativ beantes Brettspiel mit vielen Teilgebieten der Stochasti. Der Zeitaufwand hängt von der Art der Verwendung ab. Das Beispiel ann als zusammenfassender Abschluss oder auch in Teilen in den Unterricht integriert werden. Lehrplanbezug (bzw. Gegenstand / Abteilung / Jahrgang): dem Lehrplan entsprechend für alle HTL Abteilungen im 4. und 5. Jahrgang; Mathcad-Version: Prime 3 Literaturangaben: Anmerungen bzw. Sonstiges: ZB: unter bzw. finden sich noch weitere Anregungen.

2 Seite 2 von 2 Risio Beim beannten Brettspiel Risio müssen die einzelnen Spieler mit ihren Spielsteinen (=Armeen) andere Länder "erobern". Die "Eroberung" eines Landes ist ein Zufallsprozess bei dem die beiden betroffenen Spieler würfeln. Entsprechend der Anzahl der Spielsteine (Armeen) des Angreifers/Verteidigers darf der Angreifer/Verteidiger mit der entsprechenden Anzahl von Würfeln gleichzeitig würfeln. Die im untenstehenden Bild dargestellte Situation zeigt 3 Angreifer (rot) und 2 Verteidiger (blau). Die Anzahl der Würfel ist für den Angreifer auf maximal 3 (rot), für den Verteidiger auf maximal 2 (blau) beschränt. Die einfachste Möglicheit ist jeweils ein Spielstein des Angreifers und des Verteidigers pro Land, bei der jeder einen Würfel erhält. Hier gewinnt der Angreifer das Land, wenn seine Augenzahl höher als jene des Verteidigers ist. Wird ein Land von einemspielstein verteidigt,während zwei/dreispielsteineangreifen, so erhält der Angreifer zwei/drei, der Verteidiger einen Würfel. Der Angreifer gewinnt das Land, wenn einer seiner Würfel höher als der des Gegenspielers ist. Beim im Bild dargestellte Fall mit dreibzw. zweiwürfeln werden die Augenzahlen der Größe nach geordnet (rot: 5-4-; blau: 6-) und dann entsprechend der Größe verglichen (blau 6 schlägt rot 5 und rot 4 schlägt blau ). Im Bildbeispiel müssen daher sowohl der Angreifern als auch der Verteidiger jeweils einen Stein wegnehmen und önnen dann unter den neuen Voraussetzungen eine neue Runde spielen.

3 Seite 3 von 2. Wahrscheinlicheiten für eine erfolgreiche Verteidigung. Ein Angreifer und ein Verteidiger Dieser Fall lässt sich durch Laplace Wahrscheinlicheit (Abzählen der möglichen Fälle) oder mit bedingter Wahrscheinlicheit und Anwendung der UND/ODER Regel behandeln. Lösung mit Laplace-Wahrscheinlicheit i, 2 6 j, 2 6 M i j i, j i und j sind Laufvariable für die Würfelergebnisse von Verteidiger und Angreifer M gibt, wenn die Augenzahl des Verteidigers (i) größer gleich der des Angreifers (j) ist, sonst. M j M, j, i i M= Die erste Spalte bzw. Zeile von M sind die möglichen Ausgänge des Würfels von Verteidiger bzw. Angreifer. Die Matrix M zeigt alle 36 möglichen Fälle gleicher Wahrscheinlicheit, von denen für den Verteidiger 2 Fälle günstig sind. P V 2 36 P V = % PV gibt die Wahrscheinlicheit an, dass im Fall : der Verteidiger gewinnt. Diese Bezeichnung wird im Folgenden sinngemäß weiter verwendet. Nachfolgend werden die beiden nachstehenden Zufallsvariablen verwendet. A... Zufallsvariable Augenzahl des Angreifers B... Zufallsvariable Augenzahl des Verteidigers Lösung mit bedingter Wahrscheinlicheit sowie UND/ODER Regel: Es ist die Wahrscheinlicheit zu berechnen, dass die Zufallsvariable B größer gleich A ist unter der Voraussetzung, dass A eintritt. Die einzelnen Fälle von A sind mit logischem ODER verbunden.

4 Seite 4 von 2 P( B A A) = P( B=6 6) + P( B 5 5) + P( B 4 4) +... P( B AIA) = = Zwei Angreifer und ein Verteidiger Dieser Fall ann ähnlich wie. gelöst werden, wobei noch Abzähltechnien verwendet werden. Es gibt 6 3 = 26 verschiedene Möglicheiten 3 Würfel zu werfen. Die für den Verteidiger günstigen Fälle sind: - wenn der Verteidiger würfelt: 2 x des Angreifers (,) - eine Möglicheit - wenn der Verteidiger 2 würfelt: (;) (;2) (2;) (2;2) des Angreifers - 4 Möglicheiten - wenn der Verteidiger 3 würfelt: 9 Möglicheiten des Angreifers wenn der Verteidiger n würfelt: n 2 Möglicheiten (zweistellige Zahl mit n möglichen Ziffern pro Stelle) Damit ergibt sich für die Augenzahlen -6: M G G 2 P 2V P 2V = 42.3% M 2 Auch eine Lösung mit Hilfe eines Baumdiagramms ist möglich.3 Drei Angreifer und ein Verteidiger Dieser Fall ann analog zu.2 über Abzähltechnien (3-stellige Zahl) oder mit Hilfe eines Baumdiagramms gelöst werden. M G G 3 P 3V P 3V = 34.28% M 3

5 Seite 5 von 2.4 Verallgemeinerung m Angreifer und ein Verteidiger Dieser allgemeine Fall tritt beim Spiel Risio nicht mehr auf, da der Angreifer maximal 3 Würfel zur Verfügung hat. Theoretisch ann aber das weitere Verhalten untersucht werden. m, 2 m Laufvariable für die Anzahl der Angreifer M 6 + G 6 i= i G P M % 42.3% 34.28% % P= 26.5% % 22.43% 2.26% 2.364% 9.664% Der Vetor P mit den m Ergebnissen (=Wahrscheinlicheiten) stellt die Elemente einer Folge dar. (MCD beginnt mit Index, daher ist der erste Eintrag ) Die ersten beiden Prozentwerte stimmen mit. und.2 überein. Diese Folge onvergiert gegen den Wert /6, da der Verteiger bei "6" immer (unabhängig vom Ergebnis des Angreifers) gewinnt. (Siehe nachfolgende Grafi) P

6 Seite 6 von 2 2. Simulation mit Zufallszahlengenerator Für den Fall m Angreifer gegen Verteidiger ist die Berechnung der entsprechenden Wahrscheinlicheiten noch relativ einfach, gibt es jedoch auch mehr als einen Verteidiger, so wird die Berechnung ompliziert (Marovetten) und eine Simulation mithilfe eines Zufallszahlengenerators einfacher. Nachfolgend sind der einfache Fall m gegen und der omplexere Fall m gegen n in zwei verschiedenen Simulationen realisiert. Der Fall m gegen ist mit einfachen zeilenweisen Vergleichen umzusetzen während m gegen n aufwändiger ist und Methoden der Informati (Sortieren der Ergebnisse) verlangt. 2. Simulation von m Angreifern gegen Verteidiger m 3 N r, N Anzahl der Angreifer (nicht größer als in.4 wählen) Anzahl der Versuche Laufvariable r,p,l p, m l, m ZZ l ZZ= ceil(runif( N,, 6)) Die erste Spalte der Matrix ZZ stellt die Zufallsvariable des Verteidigers, die restlichen Spalten jene des Angreifers dar. Der Befehl runif erzeugt Spalten mit Zufallszahlen, der Befehl ceil rundet auf die nächstgrößere ganze Zahl.

7 Seite 7 von 2 m V ZZ r, p= ZZ r r, + p V= Für den Vetor V werden die Ergebnisse des Vergleichs der Würfel ( bzw. ) für jeden Versuch multipliziert. Nur wenn alle Vergleiche für den Verteidiger günstig sind, ergibt das Produt der Vergleiche. PmV gibt das statistische Ergebnis für die Wahrscheinlicheit an. V P mv = 35% N Für m= 3 und N= 4 ergibt die Simulation den Wert P mv = 35% im Vergleich zum exaten Wert P = % (Differenz: P = ) m mv P.972% m Vertrauensbereich für das Ergebnis der Simulation Bi( pp, α) α % pbinom,, V N pp α Zielfuntion (Nullstellenform) für Vertrauensbereich Irrtumswahrscheinlicheit pp P mv pp P mv Pu root Bi pp, α, = 2 pp % Po root Bi pp, α, = 2 pp 36.24% Der α = 99% Vertrauensbereich geht von Pu bis Po und hat eine Breite von Po Pu = 2.457%. Mit zunehmender Anzahl der Versuche (steigendes N) sint die Breite des Vertrauensbereichs.

8 Seite 8 von Simulation von m Angreifern gegen n Verteidiger n 2 m 3 N o, N p, m lv, n la, m ZZv lv ceil(runif( N,, 6)) ZZa la ceil(runif( N,, 6)) ZZv= ZZa= ZZvs o reverse sort ZZv o T T o ZZas reverse sort ZZa o T T ZZvs= ZZas= ZZv bzw. ZZa sind die simulierten Werte für die Augenzahlen von Verteidiger bzw. Angreifer. ZZvs bzw. ZZas die in der Zeile absteigend sortieren Werte.

9 Seite 9 von 2 V o n i= sign ZZvs ZZas +.5 o, i o, i V= Die Vorzeichenfuntion Signum (mit der additiven Konstante,5 um das größer gleich zugunsten des Verteidigers zu berücsichtigen) wird verwendet um die Zufallszahlen auszuwerten. Der Vetor V gibt den Saldo an gewonnen/verlorenen Spielsteinen aus Sicht des Verteidigers für die jeweilige Simulation an. Je nach Konstellation sind auch Unentschieden möglich. lz, n Z, δ V, 2 lz n o lz o Z gibt zählt die einzelnen Ergebnisse mit Hilfe der Deltafuntion. E lz, 2 lz n N Z i, lz i= E lz, N E gibt die relativen Häufigeiten aus der Simulation in der zweiten Spalte für die einzelnen möglichen Ausgänge (=Saldo der Spielsteine) in der ersten Spalte an E= Eine graphische Darstellung dieser Ergebnisse findet sich unter Punt 3.2

10 Seite von 2 Exate Werte für die Wahrscheinlicheiten zum Vergleich mit den Ergebnissen der Simulation Angreifer Verteidiger Sieg_A Sieg_V Remis Werte entsprechend: 3. Erwartungwert Der Erwartungswert gibt Ausunft über die (bei "sehr vielen" Spielen) durchschnittlich zu erwartenden Verluste/Gewinne hier aus Sicht des Verteidigers. Positive Werte bedeuten, dass der Verteidiger langfristig im Vorteil ist (dh. der Gegner verliert mehr Spielsteine als der Verteidiger, negative Werte entsprechend umgeehrt.) 3. Erwartungswert für Spiel m Angreifen gegen Verteidiger μmv P +, P ( ) μmv, Erwartungswert für das Spiel m Angreifer (die Laufvariable nimmt alle Werte bis m an) gegen Verteidiger. Nur in der Konstellation vs ist der Verteidiger im Vorteil.

11 Seite von μmv= Die Tabelle sagt aus, dass der Verteidiger bei zb. 3 vs ca.,39 Spielsteine pro Spiel (bei "sehr vielen" Spielen) im Durchschnitt verliert. μmvgrenz + = ( ).667 Betrachtet man die Erwartungswerte als Folge, so ergibt sich für m -> der Grenzwert 2. 3 Graphische Darstellung des Erwartungswertes in Abhängigeit von der Anzahl der Angreifer μmv, μmv,

12 Seite 2 von 2 3. Erwartungswert für Spiel m Angreifen gegen n Verteidiger Entsprechend den in 2.2 eingestellten Werten von m und n wird hier mithilfe der sich aus der Simulation ergebenden Werte der "Erwartungswert" berechnet. n μ ( 2 i n) E, i= i = μ.58 Graphische Darstellung der statistischen Wahrscheinlicheiten für das Spiel n= 2 und Erwartungswert m= 3 gegen E lz, E lz,