Lösung der Aufgabe ALT 1) aus 6C 18 = 36 folgt C = 9. Daher gilt: Nullstellen:

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Sven Adenauer
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1 Lösung der Aufgabe ALT 1) a) y = f(x) = f (x)dx = (x 2 2x 3)dx = x3 3 x2 3x + C 3 ( x3 3 3 x2 3x + C) dx = [ x4 12 x3 3 3x2 x=3 2 + Cx] x= 3 aus 6C 18 = 36 folgt C = 9. Daher gilt: y = f(x) = x3 3 x2 3x + 9 b) Nullstellen: x 3 3x 2 9x + 27 = 0 hat offenkundig x = 3 als Lösung, es gilt x 3 3x 2 9x + 27 = (x 3)(x 2 9) = (x 3) 2 (x + 3), = C 3 = 6C 18 3 die Nullstellen lauten: N 1 = (3,0) (eine zweifache Nullstelle) und N 2 = ( 3,0). Die zugehörigen Tangentenanstiege lauten k 1 = f (3) = 0 und k 2 = f ( 3) = 12. Setzt man in y = k 1 x + d 1 = d 1 die Koordinaten von N 1 ein, erhält man d 1 = 0, setzt man in y = k 2 x + d 2 = 12x + d 2 die Koordinaten von N 2 ein, erhält man d 2 = 36, daher lauten die Tangente in N 1 : y = 0 und die Tangente in N 2 : y = 12x Extremwerte: x 2 2x 3 = 0 hat die Lösungen x = 1 und x = 3. Wegen f ( 1) = 32/3 und f (3) = 0 lauten die Extremwertstellen: H = ( 1, 32 / 3 ), T = (3,0). Die Tangente in H lautet y = 32 / 3, die Tangente in T lautet y = 0. Wendepunkt: Aus y = f (x) = 2x 2 und der Gleichung 2x 2 = 0 folgt x = 1. Wegen f (1) = 16/3 lautet der Wendepunkt W = (1, 16 / 3 ). Der zugehörige Tangentenanstieg lautet k 0 = f (1) = 4. Setzt man in y = k 0 x + d 0 = 4x + d 0 die Koordinaten von W ein, erhält man d 0 = 28/3, daher lautet die Tangente in W: 3y = 12x + 28.

2 c) (Die Höhe ist im Maßstab 1:2 verkürzt wiedergegeben.)

3 Lösung der Aufgabe NEU 1) Weil für x < 0 für die Funktionswerte der Ableitungsfunktion f (x) < 0 gilt, ist die Funktion f im Intervall ( ;0) streng monoton fallend. Darum ist die Antwort e) zutreffend. Weil f (0) = 0 gilt und die Ableitungsfunktion im Intervall ( ;0) streng monoton fallend sowie sicher im Intervall (0;3) streng monoton wachsend ist, muss die Funktion f an der Stelle x = 0 einen Tiefpunkt besitzen. Darum ist die Antwort d) zutreffend. Da laut Angabe nur zwei der fünf getätigten Aussagen zutreffen, sind die beiden Aussagen d) und e) anzukreuzen. (Tatsächlich ist die Aussage a) falsch, weil die Funktion f im Intervall ( ;0) monoton fallend ist und im Intervall (0; ) monoton wachsend ist, folglich nur eine lokale Extremwertstelle besitzen kann. Auch die Aussage b) ist falsch, denn die Funktion f hat nur eine Extremwertstelle bei x = 0, aber zwei Wendestellen bei x = 1 und bei x = 3. Auch die Aussage c) ist falsch, denn über dem Intervall (0;3) bleibt die Funktion f streng monoton wachsend.)

4 Lösung der Aufgabe ALT 2) Im Grundriss, also in der x-y-ebene, sieht man die Kugel als Kreis x 2 + y 2 = r 2. Die Kugel selbst entsteht durch Drehung dieses Kreises um die x-achse. Der Zylinder, der die Kugel durchbohrt, ist im Grundriss durch die beiden Geraden y = ± ρ gegeben; dabei bezeichnen ρ den Radius des Basiskreises des Zylinders und h die Höhe jenes Teil des Zylinders, der sich innerhalb der Kugel aufhält. Offenkundig gilt ρ 2 + h 2 /4 = r 2. Der Zylinder selbst entsteht durch Drehung der Geraden y = ρ um die x-achse. Die Mantelfläche des von der Kugel verbliebenen Restkörpers errechnet sich nach der Formel M = 2π y 1 + ( dy 2 dx ) dx = 2π y 2 + (y dy 2 dx ) dx was bei x 2 + y 2 = r 2 wegen 2xdx + 2ydy = 0 und y dy/dx = x zu M = 2π y 2 + x 2 dx = 2π rdx = 2πrh führt. (Die Formel M = 2π rh findet sich auch in Formelsammlungen, die man als Hilfsmittel verwenden durfte.) Zur Berechnung der Oberfläche des ringförmigen Restkörpers hat man zu dieser Mantelfläche die Mantelfläche 2πρh des in der Kugel befindlichen Zylinders zu addieren. Um diese

5 Oberfläche möglichst groß zu gestalten, muss daher das Maximum von (r + ρ)h ermittelt werden. Darum muss d((r + ρ)h) Null gesetzt werden. Diese Differentiation der Hauptbedingung zusammen mit der Differentiation der Nebenbedingung h 2 + 4ρ 2 = 4r 2 führt zu dem Gleichungssystem (r + ρ)dh + hdρ = 0 { 2hdh + 8ρdρ = 0 Weil es nicht nur dh = 0 und dρ = 0 als Lösung besitzen darf, sind diese beiden Gleichungen zueinander proportional, folglich gilt (r + ρ) : 2h = h : 8ρ, woraus h 2 = 4rρ + 4ρ 2 folgt. Dies in die Nebenbedingung eingesetzt, bewirkt rρ + 2ρ 2 = r 2. Offenkundig löst ρ = r/2 diese quadratische Gleichung in ρ. (Die andere Lösung ρ = r spielt keine Rolle.) Demgemäß ist aufgrund der Nebenbedingung h = r 3. Das Volumen V KS der Kugelschicht errechnet sich nach der Formel V KS = π y 2 dx was bei x 2 + y 2 = r 2 wegen y 2 dx = (r 2 x 2 )dx und h 2 + 4ρ 2 = 4r 2 zu V KS = π (r 2 x 2 ) dx = π [r 2 x x3 x= 3 ] = πh (r 2 h2 12 ) = πhρ2 + πh3 6 x= führt. (Die Formel V KS = π hρ 2 + (πh 3 /6) findet sich auch in Formelsammlungen, die man als Hilfsmittel verwenden durfte.) Davon das Volumen V Z = πhρ 2 des in der Kugel befindlichen Zylinders subtrahiert ergibt das Volumen V = V KS V Z = πh 3 /6 des Restkörpers, den man einen Kugelring nennt. (Die Formel V = πh 3 /6 für den Kugelring findet sich auch in Formelsammlungen, die man als Hilfsmittel verwenden durfte.) Bei h = r 3 errechnet sich daher das Volumen des Restkörpers als V = πr3 2 3

6 Lösung der Aufgabe NEU 2) a) M = 70, 0.5 Liter sind Kubikzentimeter, daher lautet m = = r 0.7 (da es sich um einen Mann handelt) folglich lautet c = m Mr Promille Bei Frauen ist die Blutalkoholkonzentration größer als bei Männern, da in der Berechnungsformel ein kleinerer Wert für den Verteilungsfaktor r in den Nenner gesetzt wird. b) c = c(t) = 2a + (0.1 t) c) Ansatz für die exponentielle Zunahme: y = a x. Überprüfung an den vorgeschlagenen Werten: a = a 0.3 = 3.2/ , a / a = a 0.4 = 7.1/ , a / Dieser Ansatz ist daher in erster Näherung gerechtfertigt. Man kann davon ausgehen, dass pro zusätzlichem Gramm pro Liter Alkoholkonsum das Unfallrisiko um den Faktor sieben zunimmt. Die Manipulation der Darstellung beruht darauf, dass entlang der Waagrechten unterschiedliche Differenzen im gleichen Abstand eingetragen sind. Dadurch mutet der Anstieg des Unfallrisikos bei einer Änderung der Blutalkoholkonzentration von 1.2 Promille auf 2.1 Promille stärker an, als er tatsächlich ist.

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