1.1 Bestimmung der Erdbeschleunigung mit dem Pendel. Paul A.Tipler : Physik Spektrum Lehrbuch, ISBN , S S.399

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1 13 Kapitel 1 Mechanik 1.1 Bestimmung der Erdbeschleunigung mit dem Pendel Aufgaben In diesem Experiment werden die Schwingungen eines physikalischen Pendels untersucht. Aus den Messungen der Schwingungsdauer des Pendels wird die Erdbeschleunigung ermittelt. Vorkenntnisse/Grundlagen : Schwerpunktssatz, Beschreibung von Schwingungen, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung, Drehmoment, Trägheitsmoment, Satz von Steiner, Direktionsmoment, einfache lineare Differentialgleichungen. Literatur : Paul A.Tipler : Physik Spektrum Lehrbuch, ISBN , S S.399 W.Walcher : Praktikum der Physik Teubner Studienbücher Physik, ISBN , S.83 - S.89 F.Kohlrausch : Praktische Physik 1 ISBN S.6 - S.64 (Orts-und Zeitabhängigkeit der Erdbeschleunigung) F.Kohlrausch : Praktische Physik 3 ISBN S.93 - S.95 (Tabellenwerte der Erdbeschleunigung)

2 14 Kapitel 1. Mechanik Das mathematische Pendel Das einfache mathematische Pendel besteht aus einer punktförmigen, schweren Masse m S, die an einem masselosen Faden der Länge l aufgehängt ist (Abb.1.1). In der Ruhelage bewirkt Abbildung 1.1: Das mathematische Pendel die Schwerkraft F g = m S g mit g als Erdbeschleunigung, dass das Pendel senkrecht hängt. Nach Auslenkung aus der Ruhelage um einen kleinen Winkel ϕ max (klein bedeutet hier sin ϕ max ϕ max ) entsteht ein rückstellendes Drehmoment l F r, das das Pendel wegen seines Trägheitsmomentes in harmonische Schwingungen versetzt. Die Bewegungsgleichung lautet J ϕ = m S g l sin(ϕ) m S g l ϕ (1.1) wobei J = m T l das Trägheitsmoment der trägen Masse m T in der Entfernung l vom Aufhängepunkt ist und die rechte Seite das rücktreibende Drehmoment darstellt; ϕ ist der momentane Auslenkwinkel und ϕ = d ϕ/dt die momentane Winkelbeschleunigung. Mit m T = m S (Einstein sches Äquivalenzprinzip der Gleichheit von schwerer und träger Masse) wird die Bewegung unabhängig von den Massen : ϕ = g l ϕ = ω ϕ (1.)

3 1.1. Bestimmung der Erdbeschleunigung mit dem Pendel 15 Dies ist eine lineare, homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung deren allgemeine Lösung eine harmonische Schwingung darstellt : ϕ(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt) (1.3) ω = g ist die Kreisfrequenz der Schwingung. Die Anfangsbedingungen legen die Integrationskonstanten A und B fest. Mit ϕ(t = 0) = ϕ max und ϕ(t = 0) = 0 (Start der l Pendelbewegung vom Auslenkwinkel ϕ max ohne Anfangswinkelgeschwindigkeit) ergibt sich Die Schwingungsdauer beträgt bzw. ϕ(t) = ϕ max cos(ωt) (1.4) T = π ω = π l g (1.5) T = 4π 1 g l (1.6) Das Quadrat der Schwingungsdauer wächst linear mit der Pendellänge l Das physikalische Pendel Die Bewegungsgleichung für ein physikalisches Pendel, d.h. eines ausgedehnten, massebehafteten Systems, das um einen Aufhängepunkt bzw. um eine Achse schwingen kann, ist formal mit der des mathematischen Pendels identisch : J ϕ = m g l s ϕ (1.7) Das rücktreibende Drehmoment wird wieder von der Schwerkraft erzeugt. Nach dem Schwerpunktssatz verhält sich das System so, als ob die Gesamtmasse m im Schwerpunkt konzentriert ist. Demgemäss ist l s die Distanz von Aufhängepunkt bzw. Drehachse zum Schwerpunkt S. Die Trägheit ist gegeben durch das Gesamtträgheitsmoment J um die Drehachse. Man erhält als Lösung wieder eine harmonische Schwingung mit der Kreisfrequenz: ω = m g l s J (1.8) Mit ω = ( π T ) wird die Schwingungsdauer T dann T = 1 g 4π Bestimmung der Erdbeschleunigung J ml s (1.9) Das vorliegende physikalische Pendel besteht aus dem Winkelaufnehmer-Profil, der Pendelstange und dem zylindrischen Pendelkörper (Abb. 1.). Um die Erdbeschleunigung g aus der Pendelfrequenz zu bestimmen, müsste man also das gesamte Trägheitsmoment, Masse und

4 16 Kapitel 1. Mechanik Abbildung 1.: Pendel im Versuchsaufbau Schwerpunkt des Pendels kennen. Im Prinzip kann man die Trägheitsmomente der einzelnen Bestandteile um die Pendelaufhängung bestimmen, und zum Gesamtträgheitsmoment zusammenaddieren. Den Schwerpunkt erhält man aus den Schwerpunkten der einzelnen Bestandteile, die man mit den Einzelmassen gewichtet mittelt: S ges = mi S i mi (1.10) wobei Si die Schwerpunkte der Einzelteile, und m i ihre Massen sind. Dabei würde man die Bestandteile durch einfache geometrische Objekte annähern, deren Trägheitsmomente und Schwerpunkte sich mit vernünftigem Aufwand berechnen lassen (Pendelkörper durch homogenen Zylinder, Stange durch homogene Stange, Winkelaufnehmer durch Hohlzylinder). Eine einfachere Möglichkeit g zu bestimmen besteht darin, den systematischen Fehler, der durch das Trägheitsmoment J St und das Rückstellmoment D St der Stange (mit Winkelaufnehmer) auftritt, zu minimieren. Man geht dabei so vor, dass zunächst die Schwingungsfrequenz der Stange allein bestimmt wird. Danach wird der Pendelkörper an der Stelle angebracht, an der die Kombination Stange/Pendel dieselbe Schwingungsfrequenz hat, wie die Stange allein. In diesem Fall beeinflussen sich Pendelkörper und Stange nicht. Für die Stange

5 1.1. Bestimmung der Erdbeschleunigung mit dem Pendel 17 allein gilt: Für den Pendelkörper allein gilt: ω st = D st J st ω p = D p J p Das physikalische Pendel, bestehend aus Stange und Pendelkörper hat die Eigenfrequenz: ω = D st + D p J st + J p = ω p 1 + Dst D p 1 + Jst D p D st = ωst 1 + (1.11) J p 1 + Jp J st Hat man nun das Pendel so eingestellt, dass ω = ω st gilt, so sieht man aus Gl.1.11, dass dann auch gelten muss: Jp J st = Dp D st. Umgeformt ergibt sich: D p J p = D st J st ω st = ω = ω p Das heißt, daß man das Pendel nun so behandeln kann, als bestünde es bloss aus dem Pendelkörper, der masselos aufgehängt ist. Die Ausdehnung des Pendelkörpers wird dabei nicht vernachlässigt. Man benutzt also das Trägheitsmoment eines homogenen Zylinders mit Radius r p, der im Abstand l p um den Aufhängepunkt schwingt. Dieses ergibt sich mit Hilfe des Satzes von Steiner zu: J p = 1 m pr p + m p l p (1.1) Für das Quadrat der Kreisfrequenz erhält man dann: ω = D p = m p g l p 1 J p m prp + m p lp Daraus ergibt sich die Erdbeschleunigung g (1.13) g = ω l p (1 + 1 rp lp ) (1.14) In der Klammer beschreibt die 1 das mathematische Pendel, während der zweite Term die Korrektur ist, die die Ausdehnung des Pendelkörpers berücksichtigt Bestimmung der Frequenzen Kreisfrequenz ω, Frequenz f und Periodendauer T hängen über ω = πf = π (1.15) T zusammen. Um aus der aufgezeichneten Schwingung die Periodendauer zu ermitteln, zählt man eine bestimmte Anzahl n voller Perioden aus, und teilt das entsprchende Zeitintervall durch n: T = t t1. Um eine möglichst genaue Zeitablesung zu erreichen, verwendet man die n Nulldurchgänge des Pendels. Wenn t die Genauigkeit ist, mit der man einen Nulldurchgang bestimmen kann, dann wird der Fehler T auf die Periodendauer: T = t. Man sollte n also möglichst viele Perioden auszählen, um ein genaues Ergebnis zu erhalten.

6 18 Kapitel 1. Mechanik Fehlerrechnung In die Bestimmung von g gehen die Periodendauer T, die Pendellänge l p und der Radius des Pendelkörpers r p ein. Im Folgenden wird abgeschätzt, wie sich die Messfehler dieser Grössen im Ergebnis von g niederschlagen. Der Fehler auf l p ist durch das Messverfahren mit dem Massband bestimmt und lässt sich nur schwer unter 1mm bringen, was bei einem l p von ca m zu einem relativen Fehler von 1- Promille führt. Der Fehler von r p wird durch einen Faktor r p = ca.1/300 unterdrückt und fällt daher lp kaum ins Gewicht. Selbst wenn r p lediglich auf 10% genau bestimmt wird, schlägt sich dieser Fehler nur noch im sub-promilleberich auf g nieder. Die Frequenz sollte sinnvollerweise mit einer Genauigkeit bestimmt werden, die deutlich besser ist als die von l p, so dass auch dieser Fehler vernachlässigbar klein wird. Um einen relativen Fehler von 0. Promille in g zu erhalten muss T auf 0.1 Promille bestimmt werden, da es quadratisch in g eingeht. Wenn man einen Nulldurchgang auf 10ms genau bestimmen kann, dann wird das gesamte Zeitintervall auf 0 ms genau gemessen. Man muss also 00 s lang messen um eine relative Genauigkeit von 0.1 Promille zu erreichen, was bei einer Frequenz von 0.6 Hz 10 vollen Perioden entspricht Fehler durch Vernachlässsigung der Stange Wie vorher gezeigt wurde, kann man das Pendel als masselos aufgehängten Zylinder beschreiben und die Stange samt Aufhängung vernachlässigen. Dies gilt allerdings nur, wenn ω St genau gleich ω P wird. Tatsächlich, erreicht man aber nie eine genaue Übereinstimmung dieser beiden Kreisfrequenzen, sondern beobachtet eine kleine Abweichung. Man kann abschätzen, wie diese Abweichung sich auf den ermittelten Wert der Erdbeschleunigung auswirkt. Wenn ωst = D St J St und ω = D St+D P J St +J P = ωst +ɛ dann gilt ω P = D P J P = ω +ɛ JSt J p Da das Verhältnis der Trägheitsmomente von Stange und Pendelkörper ca. 0.1 ist, geht die relative Abweichung der Frequenzen mit dem Faktor 0. in die Bestimmung von g ein, da g ω. Um unter einem Promille Abweichung zu bleiben, müssen die beiden Frequenzen also besser als 0.5% übereinstimmen. Im Prinzip kann man aus der Abweichung der Frequenzen einen Korrektur-Faktor für g betimmen, und das Ergebnis damit korrigieren Versuchsaufbau und Durchführung Das Pendel besteht aus einer Masse, die verschiebbar an einer Stange angebracht ist. Die Aufhängung des Pendels ist ein U-Profil mit zwei Spitzen und zwei Permanentmagneten (Abb. 1.4). Die Spitzen bilden das Lager und werden in die Nut des Winkelaufnehmers gesetzt. Der Winkelaufnehmer enthält eine Hall-Sonde, die das Magnetfeld senkrecht zur Nut misst. Dreht sich nun die Aufhängung mit den Permanentmagneten um den Winkelaufnehmer, so liefert die Hallsonde eine Spannung die proportional zum Sinus des Winkels ist. Für kleine Winkel ist diese Spannung näherungsweise proportional zum Winkel selbst.

7 1.1. Bestimmung der Erdbeschleunigung mit dem Pendel 19 Mit Hilfe von Stativstangen, Tischklemmen und Verbindungsmuffen wird ein Gestell konstruiert, das den Winkelaufnehmer hält (Abb. 1.3). Der Aufbau sollte so stabil sein, daß bei der Pendelbewegung die Aufhängung nicht mitschwingt. Der Winkelaufnehmer kann direkt an das CASSY-Modul über zwei Leitungspaare angeschlossen werden (Abb. 1.5). Das eine dient zur Spannungsversorgung und ist besonders gekennzeichnet, das zweite liefert die gemessene Hallspannung. Durch Regeln der Versorgungsspannung kann die Nulllage eingestellt werden. Bei der Datenaufnahme wird zunächst die Spannung aufgenommen, die die Schwingung des Pendels wiedergibt. Anschliessend wird die Periodendauer aus den Nulldurchgängen des Pendels bestimmt. Zunächst lässt man die Stange samt Aufnehmer alleine schwingen und bestimmt die Periodendauer (Messdauer mindestens 10 Perioden). Dann bringt man den Pendelkörper an und verschiebt ihn solange, bis man wieder dieselbe Periodendauer wie bei der Stange allein erhält. Dann erfolgt eine Messung mit einer Messdauer von mindestens 10 vollen Schwingungen, aus der die Periodendauer für das gesamte Pendel bestimmt wird. Um die Erdbeschleunigung g zu bestimmen müssen ausserdem der Abstand von dem Aufhängepunkt des Pendels zum Mittelpunkt des Pendelkörpers, und der Radius des Pendelkörpers gemessen werden. Geben Sie bei der Fehlerrechnung die Grösse der Einzelbeiträge an, die zu dem Gesamtfehler führen und diskutieren Sie diese. Überlegen Sie sich, welche weiteren systematischen Fehler bei diesem Versuch auftauchen können, und versuchen Sie, wenn möglich, eine Grössenordnung für sie anzugeben.

8 0 Kapitel 1. Mechanik Abbildung 1.3: Versuchsaufbau

9 1.1. Bestimmung der Erdbeschleunigung mit dem Pendel 1 Abbildung 1.4: Aufhängung des Pendels Abbildung 1.5: Anschluss des Winkelaufnehmers

10 Kapitel 1. Mechanik 1. Schwingungen von gekoppelten Pendeln Aufgaben In diesem Experiment werden die Schwingungen von zwei Pendeln untersucht, die durch eine Feder miteinander gekoppelt sind. Für verschiedene Kopplungsstärken werden die Schwingungsdauern der beiden Grundschwingungen sowie der Schwebung des Systems gemessen und die Schwebungsdauer mit der Erwartung verglichen. Vorkenntnisse/Grundlagen : Federverhalten (Hooke sches Gesetz),Beschreibung von Schwingungen, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung, Drehmoment, Trägheitsmoment, Direktionsmoment, einfache lineare Differentialgleichungen. Literatur : Paul A.Tipler : Physik Spektrum Lehrbuch, ISBN , S S.399 W.Walcher : Praktikum der Physik Teubner Studienbücher Physik, ISBN , S.89 - S.98 Abbildung 1.6: Gekoppelte Pendel

11 1.. Schwingungen von gekoppelten Pendeln Die Bewegungsgleichung für das gekoppelte Pendel Die Anordnung ist schematisch dargestellt in Abb Die Kopplungsfeder ist befestigt in der Entfernung l F von den Drehachsen. Die (identischen) physikalischen Pendel P 1 und P werden so montiert, dass die Feder bei Ruhestellung der Pendel gespannt ist. Dadurch hängen die Pendel in der Ruhestellung (im Gleichgewicht) nicht in der vertikalen V, sondern um den Winkel ϕ nach innen. Das durch die Feder erzeugte Drehmoment ist M F, = D F x l F wobei D F die Federkonstante und x ihre Verlängerung gegenüber dem entspannten Zustand ist. In der Ruhestellung ist M F, entgegengesetzt gleich dem durch die Schwerkraft erzeugten Drehmoment M S, = m g l s ϕ wobei l s die Entfernung des Schwerpunktes jedes der beiden Pendel von seiner Drehachse und m die Gesamtmasse jedes Pendels bedeuten. Wird P um ϕ aus der Nullage ausgelenkt, so wirkt insgesamt das Drehmoment M = m g l s (ϕ ϕ ) D F (x + l F ϕ ) l F oder M = m g l s ϕ D F l F ϕ Wird ausserdem P 1 um ϕ 1 verschoben, so kommt durch die Feder das Drehmoment D F l F ϕ 1 hinzu, so dass sich insgesamt ergibt Analog wird für P 1 M = m g l s ϕ D F l F (ϕ ϕ 1 ) M 1 = m g l s ϕ 1 + D F l F (ϕ ϕ 1 ) Die Bewegungsgleichungen beider Pendel lauten somit bzw. mit den Abkürzungen J ϕ 1 = M 1 = m g l s ϕ 1 + D F l F (ϕ ϕ 1 ) J ϕ = M = m g l s ϕ D F l F (ϕ ϕ 1 ) ω s = mgl s J Ω = D F l F J ϕ 1 = ω s ϕ 1 + Ω (ϕ ϕ 1 ) (1.16) ϕ = ω s ϕ Ω (ϕ ϕ 1 ) (1.17) Dies ist ein System gekoppelter linearer Differentialgleichungen. Die Lösung wird mit Hilfe der Substitutionen α = ϕ + ϕ 1, β = ϕ ϕ 1 erreicht: Summe und Differenz der beiden Gleichungen 1.16 und 1.17 führen auf die einfachen Differentialgleichungen α = ω s α (1.18)

12 4 Kapitel 1. Mechanik mit den Lösungen β = (ω s + Ω ) β = ω sf β (1.19) α(t) = ϕ (t) + ϕ 1 (t) = A sin(ω s t) + B cos(ω sf t) (1.0) β(t) = ϕ (t) ϕ 1 (t) = C sin(ω s t) + D cos(ω sf t) (1.1) Die Konstanten werden durch die Anfangsbedingungen festgelegt. Liegen beim Start der Bewegung keine Anfangswinkelgeschwindigkeiten vor, d.h. ϕ (t = 0) = 0 und ϕ 1 (t = 0) = 0, so wird A = C = 0 und aus der Summe der Gleichungen 1.0 und 1.1 wird ϕ (t) = B cos(ω s t) + D cos(ω sf t) ϕ 1 (t) = B cos(ω s t) D cos(ω sf t) Werden die Pendel aus den Positionen ϕ 1 (t = 0) = ϕ max und ϕ (t = 0) = ϕ max gestartet, so wird D = 0 und B = ϕ max und die Pendel schwingen gleichsinnig gemäss ϕ (t) = ϕ max cos(ω s t) (1.) ϕ 1 (t) = ϕ max cos(ω s t) (1.3) mit der Kreisfrequenz ω s, d.h. der Kreisfrequenz jedes Pendels ohne Kopplung. Werden die Pendel aus den entgegengesetzten Positionen ϕ 1 (t = 0) = ϕ max, ϕ (t = 0) = +ϕ max gestartet, so wird B = 0 und D = ϕ max und die Pendel schwingen gegensinnig : mit der Kreisfrequenz ω sf : ϕ (t) = ϕ max cos(ω sf t) (1.4) ϕ 1 (t) = ϕ max cos(ω sf t) (1.5) ω sf = ω s + Ω (1.6) Wird die Schwingung mit Pendel P 1 mit ϕ 1 (t = 0) = ϕ max und Pendel P in Ruheposition, ϕ (t = 0) = 0 gestartet, so wird B = D = ϕ max und ϕ (t) = 1 ϕ max cos(ω s t) + 1 ϕ max cos(ω sf t) (1.7) ϕ 1 (t) = 1 ϕ max cos(ω s t) 1 ϕ max cos(ω sf t) (1.8) Jedes Pendel schwingt mit einer Überlagerung von zwei verschiedenen Frequenzen. Mit Hilfe eines Additionstheorems für trigonometrische Funktionen lassen sich die Gleichungen umschreiben in ϕ 1 (t) = ϕ max cos( ω sf ω s ϕ (t) = ϕ max sin( ω sf ω s t) cos( ω sf + ω s t) (1.9) t) sin( ω sf + ω s t) (1.30)

13 1.. Schwingungen von gekoppelten Pendeln 5 Mit den Abkürzungen wird daraus ω k = ω sf + ω s ω sch = ω sf ω s (1.31) (1.3) ϕ 1 (t) = ϕ max cos(ω sch t) cos(ω k t) (1.33) ϕ (t) = ϕ max sin(ω sch t) sin(ω k t) (1.34) Die Bewegung jedes der beiden Pendel besteht also aus der Überlagerung zweier Schwingungen mit den Kreisfrequenzen ω sch und ω k. Sie kann als Schwingung der höheren Frequenz ω k angesehen werden, die mit der niedrigeren Frequenz ω sch moduliert ist. Diese Erscheinung wird Schwebung genannt. 1.. Messgrössen Der Messung zugänglich sind die Schwingungsdauern : T s = π ω s (1.35) T sf = π ω sf (1.36) T k = π ω k = T sch = π ω sch = 4π ω sf + ω s (1.37) 4π ω sf ω s (1.38) Durch Einsetzen von ω s und ω sf ergeben sich folgende Beziehungen zwischen den Schwingungsdauern : T s T sf T k = (1.39) T s + T sf T sch = Als Kopplungsgrad κ des Pendelsystems wird das Verhältnis T s T sf T s T sf (1.40) κ = Ω ω s + Ω = D F l F mgl s + D F l F (1.41) definiert. Mit ω sf = ω s + Ω folgt κ = 1 (ω sf ω s) 1 (ω sf + ω s) = T s Tsf Ts + Tsf (1.4) Der Kopplungsgrad ist umso kleiner (die Kopplung also umso schwächer), je näher die Befestigungspunkte der Feder an den Drehachsen der Pendel liegen. Trägt man 1 als Funktion von κ

14 6 Kapitel 1. Mechanik Abbildung 1.7: Aufbau des gekoppelten Pendels 1 auf so ergibt sich eine Gerade, aus deren Steigung die Federkonstante ermittelt werden lf kann : 1 κ = 1 + ml sg 1 (1.43) D F lf 1..3 Versuchsaufbau und Durchführung Der Versuchsaufbau ist ähnlich wie beim einfachen Pendel (Kap ). Es werden nun zwei Pendel im Abstand von ca. 50 cm an dem Gestell befestigt und über ein Federpaar gekoppelt (Abb. 1.7). Die Federn können in verschiedenen Höhen an den Pendelstangen befestigt werden, wodurch unterschiedliche Kopplungskonstanten erzielt werden. Da die Federn nicht gestaucht werden können, müssen die Pendel so weit auseinander sein, dass die Federn in der Ruhelage schon gespannt sind. Es muß darauf geachtet werden, daß die Pendelauschläge so klein bleiben, daß die Federn nie völlig entspannt sind. Beide Winkelaufnehmer können gleichzeitig mit einem CASSY-Modul ausgelesen werden und haben einen unabhängigen Nullabgleich. Um eine günstige Darstellung auf dem Bildschirm zu erzielen, kann die Nulllage eines Pendels entweder durch die Versorgungsspannung des

15 1.. Schwingungen von gekoppelten Pendeln 7 Winkelaufnehmers oder durch Einstellung eines Offsets in der CASSY-Software verschoben werden. Es werden die Pendelausschläge aufgenommen und die Fouriertransformierten bestimmt. Im allgemeinen Fall erhält man eine Schwebung, die eine Überlagerung aus zwei Schwingungen mit dicht benachbarten Frequenzen ist. Im Fourierspektrum erkennt man deshalb zwei Spitzen, die mit wachsender Kopplungsstärke zusammenrücken. Lässt man die Pendel gleichsinnig (in Phase) schwingen, so taucht nur die kleinere der beiden Frequenzen auf. Schwingen die Pendel gegensinnig, so erhält man im Spektrum nur die Spitze der höheren Frequenz. Um den Fehler der Frequenzmessung zu erhalten wird eine Messung mehrmals durchgeführt und die mittlere quadratische Abweichung zum Mittelwert bestimmt. Aus den gemessenen Frequenzen wird der Kopplungsgrad κ bestimmt (Gl.1.4). Außerdem werden die Abstände l F zwischen dem Aufhängepunkt des Pendels und der Befestigung der Feder gemessen. Trägt man 1 gegen 1 auf, so erhält man eine Gerade, aus deren Steigung κ lf man die Federkonstante ermitteln kann (Gl. 1.43).

16 8 Kapitel 1. Mechanik 1.3 Trägheitsmomente Abbildung 1.8: Versuchsaufbau für die Messung von Trägheitsmomenten. Physikalische Grundlagen Definition des Trägheitsmomentes, Satz von Steiner, Direktionsmoment, Schwingungen Einführung Bei einem beliebigen starren Körper, dessen Massenelemente m i den Abstand r i zur Drehachse haben, ist das Trägheitsmoment J = i m i r i (1.44) Für eine punktförmige Masse m auf einer Kreisbahn mit dem Radius r gilt: J = m r

17 1.3. Trägheitsmomente 9 Das Trägheitsmoment wird aus der Schwingungsdauer einer Drillachse bestimmt, J T = π (1.45) D auf die der Probekörper gesteckt wird und die über eine Schneckenfeder elastisch mit dem Stativ verbunden ist (siehe Abb. 1.8). Das System wird zu harmonischen Schwingungen angeregt. Aus der Schwingungsdauer T errechnet man bei bekanntem Direktionsmoment D das Trägheitsmoment des Probekörpers gemäß ( ) T J = D (1.46) π Die Messwerte werden mit den theoretischen Vorhersagen für einen Körper der Masse m, dessen Massenelemente m i um eine feste Achse im Abstand r i rotieren, verglichen: J = m i ri = r dm (1.47) i Der Schwingungsvorgang wird mit Hilfe eines Winkelaufnehmers (siehe Abb. 1.9) in elektrische Signale umgewandelt. Der Aufnehmer liefert für kleine Auslenkungen eine winkelproportionale Spannung. Er besteht aus einem vernickelten Messingrohr (10 mm Durchmesser) mit angeschraubtem Kleingehäuse für die elektrischen Bauteile. In dem Messingrohr befindet sich eine Nut an deren Ende in einem Langloch eine magnetfeldempfindliche Sonde (Hall-Sonde) eingeklebt ist. Die Sonde ist so orientiert, dass sie auf die zur Nut senkrecht stehende Komponente des Magnetfeldes anspricht. Die zwei felderzeugenden Permanentmagnete sind so auf die Innenseiten einer U-förmigen Gabel geklebt, dass sich Nord- und Südpol gegenüberliegen. Im Ruhezustand verschwindet daher die vertikale Feldkomponente; die Ausgangsspannung des Abbildung 1.9: Drillachse mit Winkelaufnehmer. Winkelaufnehmers ist somit 0. Wird nun die Drillachse um den Winkel α aus der horizontalen Richtung ausgelenkt, tritt eine Feldkomponente in vertikaler Richtung auf.

18 30 Kapitel 1. Mechanik Die exakte Abhängigkeit wird durch die Gleichung B = B sin α beschrieben. Im Falle kleiner Winkel kann sin α durch α approximiert werden, so dass die Ausgangsspannung proportional dem Auslenkwinkel α wird. Die Abweichung von diesem linearen Verhalten liegt bis zu einem Winkel von α = ±14 Grad (entsprechend sin α = 0, 4) unter 1%. Die Versorgungsspannung wird über das entsprechend gekennzeichnete Leitungspaar zugeführt und soll im Bereich 1-16 V liegen. Es ist auf die Polarität gemäß den Farben der Anschlussstecker (rot-positiv, blau-negativ) zu achten. Bei Fehlbeschaltung tritt keine Ausgangsspannung auf. Die von dem Winkelaufnehmer gelieferten Spannungssignale werden mit Hilfe des computerunterstützten Messwerterfassungssystems CASSY aufgezeichnet. Mit Hilfe einer Fourieranalyse lässt sich aus dem aufgezeichneten Schwingungsvorgang mit großer Genauigkeit die Frequenz und damit die Schwingungsdauer bestimmen. Im ersten Teil des Versuches wird das Trägheitsmoment eines Massenpunktes in Abhängigkeit vom Abstand r zur Drehachse bestimmt. Dazu wird ein Stab mit zwei gleichen Massenstücken in Querrichtung auf die Drillachse gesteckt. Die Schwerpunkte der beiden Massenstücke haben den gleichen Abstand r zur Drehachse, so dass das System ohne Unwucht schwingt. Im zweiten Teil des Versuches werden die Trägheitsmomente eines Hohlzylinders, eines Vollzylinders und einer Vollkugel miteinander verglichen. Dazu stehen zwei Vollzylinder mit gleicher Masse jedoch unterschiedlichen Radien zur Verfügung. Weiterhin ein Hohlzylinder, der in Masse und Radius mit einem Vollzylinder übereinstimmt, und eine Vollkugel, deren Trägheitsmoment mit einem der Vollzylinder übereinstimmt. Im dritten Teil des Versuchs wird der Steinersche Satz am Beispiel einer flachen Kreisscheibe experimentell verifiziert. Dazu werden die Trägheitsmomente J a einer Kreisscheibe für verschiedene Abstände a der Drehachse zum Schwerpunkt gemessen und mit dem Trägheitsmoment J 0 um die Schwerpunksachse verglichen. Es soll der Steinersche Satz bestätigt werden Versuchsbeschreibung J a = J 0 + m a (1.48) Die Versuchskörper zur Drillachse sind so ausgewählt, dass sich folgende Fragestellungen untersuchen lassen: Messung des Zusammenhangs J = f(r ) für einen Massenpunkt, der im Abstand r um eine feste Achse rotiert. Vergleich der Trägheitsmomente von Zylindern mit nahezu gleicher Masse, aber verschiedener Massenverteilung.

19 1.3. Trägheitsmomente 31 Bestimmung der Trägheitsmomente von Zylindern und Kugeln aus gleichem Material, deren Massen und Radien so abgestimmt sind, dass sich gleiche Trägheitsmomente ergeben. Bestätigung des Steinerschen Satzes Versuchsaufbau Zum Versuchsaufbau gehören 1. Drillachse mit zweifach kugelgelagerter Welle, durch eine Schneckenfeder an eine Gabel angekoppelt. Richtmoment der Feder: Höhe der Drillachse: Gewicht der Drillachse: ca. 0,05 N m ca. 0, m ca. 0,39 kg. Stab mit Kupplungsstück zum Aufstecken auf die Drillachse; je 5 Kerben in 0, 05 m Abständen zu beiden Seiten der ebenfalls gekerbten Stabmitte. Länge des Stabes: Masse des Stabes: ca. 0,6 m ca. 0,13 kg 3. Zwei Massen (als Modell von Massenpunkten), längs des Stabes () verschiebbar, mit Kugelrasten, die in die Kerben des Stabes greifen, so dass die Massen in definierten Abständen von der Stabmitte gehalten werden. Masse jedes Massenstückes: ca. 0,4 kg 4. Vollzylinder aus Holz (Holzscheibe), Durchmesser ca. 5 mm, mit Buchse zum Aufstecken auf die Drillachse. Durchmesser: Höhe: Masse: ca. 0,5 m ca. 0,015 m ca. 0,35 kg

20 3 Kapitel 1. Mechanik 5. Vollzylinder aus Holz, Durchmesser ca. 90 mm. Durchmesser: Höhe: Masse: ca. 0,09 m ca. 0,09 m ca. 0,35 kg 6. Hohlzylinder aus Metall, Durchmesser ca. 90 mm. Durchmesser: Höhe: Masse: ca. 0,09 m ca. 0,09 m ca. 0,35 kg 7. Aufnahmeteller aus Metall für die Zylinder (5) und (6) mit Buchse zum Aufstecken auf die Drillachse und mit Schraube zum fixieren der Zylinder. Durchmesser: Masse: ca. 0,1 m ca. 0,1 kg Durchmesser und Höhe der Zylinder (5) und (6) stimmen überein (nachmessen!), die Massen der 3 Zylinder (4), (5) und (6) sind näherungsweise gleich (nachmessen!). 8. Kugel aus Holz, Durchmesser ca. 145 mm, mit Buchse zum Aufstecken auf die Drillachse. Die Trägheitsmomente der Kugel und des Zylinders (4) sind etwa gleich. Durchmesser: Masse: ca. 0,145 m ca. 0,99 kg

21 1.3. Trägheitsmomente Kreisscheibe mit Halterung zum Aufstecken auf die Drillachse mit 9 Löchern zum Aufspannen der Scheibe auf der Halterung in der Scheibenmitte, sowie im Abstand von 0, 0; 0, 04;... 0, 14; 0, 16 m von der Scheibenmitte. Durchmesser: Masse: ca. 0,4 m ca. 0,74 kg Hinweise zum Experimentieren Schrauben (10) welche die federnden Kugelrasten der Massen (3) gen den Stab () drücken, nicht betätigen. Die Schrauben sind so eingestellt, dass man einerseits die Massen entsprechend den Versuchsbedingungen längs des Stabes verschieben kann, und dass die Massen anderseits gegen die Zentrifugalkraft auf dem Stab gehalten werden. Die Anordnung stets so aus der Gleichgewichtslage auslenken, dass die Feder zusammengedrückt und nicht aufgebogen wird. Die maximale Auslenkung wird druch die Halterungen für die Magnete auf ca. 60 Grad beschränkt. Die Schwingungsdauern sollten zweckmäßigerweise durch Mittelwertbildung aus mehreren Messungen für z.b. 5 Schwingungen bestimmt werden. Aus der Varianz der Messwerte ergibt sich auch der Fehler für die Schwingungsdauern. Zusätzlich gibt es Fehler durch die Art und Weise wie mit der CASSY-Software der Schwerpunkt im Frequenzspektrum bestimmt wird. Um diesen Fehler abzuschätzen, sollte zumindestens eine Messung mit MAPLE ausgewertet werden, d.h. die mit CASSY aufgzeichneten Spannungswerte werden in MAPLE eingelesen, die Fouriertransformation mit der Prozedur fourier aus der MAPLE-Bibliothek app maple durchgeführt und mit der Prozedur peak der Schwerpunkt der Verteilung bestimmt. Durch Variation des Messbereichs für die Fouriertransformation, durch Variation des Fensters in dem der Schwerpunkt bestimmt wird und durch Vergleich mit dem Ergebnis aus der CASSY Software kann der systematische Fehler in der Frequenzbestimmung abgeschätzt werden. Ein Beispiel einer solchen Messung mit dem Messwerterfassungssystem CASSY ist in Abb gezeigt. Aus der Fouriertransformation (siehe Abb. 1.11) ergibt sich in diesem Beispiel eine Schwingungsdauer von 4.88 s. Die gleiche Messung wurde 5 mal wiederholt um die statistischen Schwankungen zu ermitteln. Es ergaben sich die Messwerte: 4,88s, 4,87s, 4,87s, 4,88s, 4,87s. Für den Mittelwert also: T = (4, 874 ± 0, 00) s.

22 34 Kapitel 1. Mechanik Abbildung 1.10: Messreihe eines Schwingungsvorgangs mit der Drillachse. Abbildung 1.11: Fouriertranformation der in Abb gezeigten Messreihe. Mit dem Peakfinder aus der CASSY Software ergibt sich eine Schwingungsdauer von 4,87 s.

23 1.3. Trägheitsmomente 35 Das Trägheitsmoment der Drillachse liegt in der Grössenordung von 10 5 kgm. Es ist in der Auswertung nicht berücksichtigt, so dass die experimentell ermittelten Trägheitsmomente stets etwas größer als die theoretisch erwarteten Werte sind Bestätigung von J = f(r ) und Bestimmung des Direktionsmomentes D Zunächst wir das Gewicht der Massen m W 1, m W und das Gewicht des Stabes m Stab mit einer Waage gemessen und die Länge des Stabes l Stab mit einem Massband bestimmt. Dann wird der Stab ohne Massen auf die Drillachse gesteckt und die Schwingungsdauer gemessen. Anschliessend werden die Massen (m W 1, m W ) symmetrisch im Abstand r = 0, 05; 0,10; 0,15; 0,0; 0,5 m von der Stabmitte angeordnet und ebenfalls die Schwingungsdauern gemessen. Beispiel einer solchen Messreihe: Das Trägheitsmoment für den Stab alleine ist r m 0,00 0,05 0,10 0,15 0,0 0,5 T s,5,71 3,76 4,86 6,08 7,40 J Stab = 1 1 m Stab l Stab und für die Massenpunkte im Abstand r von der Drillachse: J Massen = (m W 1 + m W ) r = m W r Es sollte also folgender funktionaler Zusammenhang gelten: T = 4π J Massen + J Stab D = 4π D m W r + 4π D J Stab Die Messung mit dem Stab alleine entspricht also dem Messwert für r = 0. Der linearer Zusammenhang zwischen dem Quadrat der Schwingsdauern (T ) und dem Quadrat des Abstandes (r ) (siehe Abb. 1.1) erlaubt es, mit Hilfe einer linearen Regression, T = m r + a = 737, 34 s m r + 6, 36 s

24 36 Kapitel 1. Mechanik Abbildung 1.1: Grafische Darstellung der Messwerte T (r ) zusammen mit der Ausgleichsgeraden. aus der Steigung der Geraden m das Direktionsmoment D zu bestimmen: D = 4π m m W 4π = 0, 48 N m 737, 34 = 0, 057 N m Mit bekanntem Direktionsmoment D kann anschliessend aus dem Achsenabschnitt a das Trägheitsmoment des Stabes experimentell bestimmt werden und mit der theoretischen Vorhersage verglichen werden. J exp. Stab = ad 4π 6, 36 0, 057 = 4π = 0, kg m J theo. Stab = 1 1 m Stab l Stab = 1 1 0, 13 0, 6 kg m = 0, kgm Vergleich der Trägheitsmomente von Zylindern gleicher Masse mit verschiedener Massenverteilung Dünner Vollzylinder aus Holz Die Masse des Vollzylinders aus Holz (Holzscheibe - HS) m HS wird durch wiegen und sein

25 1.3. Trägheitsmomente 37 Durchmesser d HS mit dem Massband bestimmt. Dann wird die Holzscheibe auf der Drillachse befestigt und die Schwingungsdauer gemessen. Beispiel: T HS = 1, 8 s J exp HS = 1 4π D T HS = 1 4π 0, 057 1, 8 Nms =, kg m Der theoretisch zu erwartende Wert ergibt sich zu: J theo HS = 1 m HS ( ) dhs =, kg m Vollzylinder (VZ) und Hohlzylinder (HZ) Beide Zylinder werden auf einen Aufnahmeteller (T) gesetzt, so dass sich die Trägheitsmomente J V Z und J HZ nicht unmittelbar experimentell, sondern durch Differenzbildung ermitteln lassen: Aufnahmeteller: J V Z = J V Z+T J T J HZ = J HZ+T J T Aufnahmeteller + Vollzylinder: T = 0, 564 s J exp T = 1 4π D T T = 1 4π 0, 057 0, 564 Nms = 0, kg m T = 0, 9 s J V Z+T = 1 4π D T V Z+T = 1 4π 0, 057 0, 9 Nms = 0, kg m

26 38 Kapitel 1. Mechanik Damit ergibt sich für das Trägheitsmoment des Vollzylinders J exp V Z = J V Z+T J T = 0, kg m im Vergleich zu dem theoretisch zu erwartenden Wert von JV theo Z = 1 ( ) m dv Z V Z = 0, kg m Aufnahmeteller + Hohlzylinder: T = 1, 18 s J V Z+T = 1 4π D T V Z+T = 1 4π 0, 057 1, 18 Nms = 0, kg m Damit ergibt sich für das Trägheitsmoment des Hohlzylinders J exp HZ = J HZ+T J T = 0, kg m im Vergleich zu dem theoretisch zu erwartenden Wert von ) ( JHZ theo dhz = m HZ = 0, kg m Trägheitsmoment der Kugel T = 1, 8 s J exp K = 1 4π D T V Z+T = 1 4π 0, 057 1, 8 Nms =, kg m Um das experimentelle Ergebnis mit der theoretischen Vorhersage J theo K = 5 m KR K vergleichen zu können, benötigen wir den Radius der Kugel R K. Dieser lässt sich mit dem Massband nur sehr ungenau abschätzen. Wesentlich genauer ist es, die Dichte der Kugel ρ K zu verwenden, um über die Beziehung m K = V K ρ K = 4 3 πr3 Kρ K

27 1.3. Trägheitsmomente 39 den Radius zu bestimmen. Mit ρ K = (0, 63 ± 0, 0) 10 3 kg/m 3 erhalten wir: und damit R K = J theo K = 5 m KR K [ mk 4 3 πρ K ] 1 3 = 0, 0716 m = 5 0, 99 kg 0, 0716 m =, kg m Der Vergleich mit der Messung für die Holzscheibe zeigt, dass die Trägheitsmomente übereinstimmen. Bestimmt man Massen und Radien der Versuchskörper, so lässt sich experimentell bestätigen, dass Kugel und Holzscheibe das gleiche Trägheitsmoment haben wenn gilt: m HS R HS = 4 5 m K R K Bestätigung des Steinerschen Satzes In diesem Versuchsteil soll die Abhängigkeit des Trägheitsmomentes J vom Abstand a zwischen Rotations- und Schwerpunktachse untersucht werden. Der Steinersche Satz J a = J 0 + m a soll bestätigt werden. J 0 ist hierbei das Trägheitsmoment bei Rotation um die Schwerpunktsachse. Die Kreisscheibe wird zunächst um ihre Schwerpunktsachse rotieren gelassen (a = 0). Zur besseren Genauigkeit und um die Schwankung der Messwerte abzuschätzen wird die Messung mehrfach wiederholt und die Schwingungsdauer durch Mittelwertbildung bestimmt. In gleicher Weise wird die Schwingungsdauer T als Funktion des Abstandes a = 0, 0; 0, 04;... 0, 16 m zwischen Rotations- und Schwerpunktsachse bestimmt. Wichtig: Nach jeder Änderung von a den Stativfuss mit Hilfe der Dosenlibelle wieder so ausrichten, dass die Kreisscheibe in der Horizontalen rotiert.

28 40 Kapitel 1. Mechanik Ergebnis: a[m] T[s] J [kg m ] 10 J J 0 [kg] a 0,00 4,78 1,490 0,0 4,800 1,501 0,04 4,961 1,604 0,06 5,30 1,78 0,08 5,53 1,994 0,75 0,10 5,884,56 0,1 6,313,597 0,14 6,710,951 0,16 7,0 3,400 Für das Trägheitsmoment J eines Körpers der Masse m, dessen Rotationsachse um a von der Schwerpunktsachse entfernt ist, gilt: J a = J 0 + const. a Die Auswertung des Diagramms J = f(a ) liefert für den konstanten Proportionalitätsfaktor in befriedigender Übereinstimmung mit der Masse der Kreisscheibe von 0, 75 kg. Damit bestätigt der Versuch den Steinerschen Satz: J a = J 0 + m a