Rotation 1 E1. Ma 2 Lubov Vassilevskaya

Transkript

1 Rotation 1 E1

2 Abb. 1 1: Turbulenz Leonardo da Vinci 1 E2

3 Definition und Eigenschaften der Rotation Abb. 1 2: Fließendes Wasser in einem Kanal Es wird das Geschwindigkeitsfeld einer stationären Strömung betrachtet, z.b. fließendes Wasser in einem Kanal. Wegen der Reibung am Kanal ufer sind die Geschwindigkeitsvektoren in Ufernähe kleiner als in der Kanalmitte. Kleine auf dem Wasser schwimmende Scheiben drehen sich. Nur in Kanalmitte schwimmende Scheiben drehen sich (theoretisch) nicht. Um (an Stelle der Scheiben) die Rotation sehr kleiner Flüssigkeitsteilchen zu beschreiben, wird eine weitere Operation im Vektorfeld eingeführt. 1 1

4 Definition und Eigenschaften der Rotation Abb. 1 3: Turbulenz Leonardo da Vinci Unter der Rotation eines Vektorfeldes F versteht man das Vektorfeld F = = = 1 2 Fz y Fy z i Fx z i x Fx j y Fy Fz x k = z Fz j Fy x Fx y k

5 Eigenschaften der Rotation 1. Für ein ebenes Vektorfeld F gilt: = F x x, y, F F y x, y = Fy x Fx y k 2. Die Bezeichnung Rotation stammt aus der Hydrodynamik und beschreibt dort die Bildung von Wirbeln. 3. Der Vektor bezeichnet die Wirbeldichte des Feldes F. 4. Ist in allen Punkten eines Vektorfeldes = 0, so heißt das Feld wirbelfrei. Die folgenden Vektorfelder der Physik sind wirbelfrei: Homogene Vektorfelder (z.b. elektrisches Feld in einem Plattenkon densator) Zentralfelder (z.b. elektrisches Feld einer Punktladung) Zylinderfeld (z.b. elektrisches Feld in der Umgebung eines gelade nen Zylinders) 1 3

6 Rechenregeln für Rotation V, V1, V2 Vektorfelder; Skalarfeld a ein konstanter Vektor; c eine Konstante rot a= 0 = c rot V rot c V rot V a = rot V rot V1 V 2 = rot V1 rot V2 = rot V V grad rot V a 0 = c V V = c V V a = V V = V V V V = V 1 4

7 Rotation eines Vektorfeldes: Aufgabe 1 In den Abbildungen 2 1, 2 2 und 2 3 werden drei Vektorfelder dargestellt. Was kann man über die Ro tation dieser Vektorfelder sagen? Prüfen Sie es durch direkte Rechnungen 2 A Abb. 2 1: = x i y j F Abb. 2 2: = y i x j F Abb. 2 3: = y i F

8 Rotation eines Vektorfeldes: Aufgabe 1 Abb. 2 1: Das Vektorfeld der Funktion F (x, y) = (x, y) 2 1

9 Rotation eines Vektorfeldes: Aufgabe 1 Abb. 2 2: Das Vektorfeld der Funktion F (x, y) = (y, x) 2 2

10 Rotation eines Vektorfeldes: Aufgabe 1 Abb. 2 3: Das Vektorfeld der Funktion F (x, y) = ( y, 0) 2 3

11 Rotation eines Vektorfeldes: Lösung 1 = x i y j, F = 0 = y i x j, F = 2 k = y i, F 2 4 = k

12 Rotation eines Vektorfeldes: Aufgabe 2 Bestimmen Sie die Rotation der folgenden Vektorfelder: x, y = y i x j a) F x, y = x 2 i x y j b) F y i x j c ) F x, y = x2 y2 x, y, z = x i 2 y j 3 z d) F k x, y, z = x y i y z j x z e) F k x, y, z = y z i x z j x y k f ) F x, y, z = e x r g) F 3 1

13 Rotation eines Vektorfeldes: Lösung 2 x, y = y i x j, a) F = 0 x, y = x 2 i x y j, b) F x, y = y i x j, c) F x2 y2 = y k 2 y 2 x2 = 2 k 2 2 x y x, y, z = x i 2 y j 3 z d) F k, = 0 x, y, z = x y i y z j x z e) F k = y i z j x k x, y, z = y z i x z j x y k, f ) F = 0 x, y, z = e x r = e x x i y j z k g) F = e x z j y k 3 2

14 Rotation eines Vektorfeldes: Aufgabe 3, 4 Aufgabe 3: Bestimmen Sie die Rotation der folgenden ebenen Vektorfelder: x, y = a) F x, y = b) F 1 x2 y2 1 x2 y2 y x x y 2 x y 1 Aufgabe 4: Zeigen Sie, dass folgende Vektorfelder wirbelfrei sind = a) F 1 x 2 y2 = r, b) F r2 4 A1 x i y j r = x i y j z k, r 0

15 Rotation eines Vektorfeldes: Aufgabe 5, 6 Aufgabe 5: Φ = Φ (x, y, z) sei ein Skalarfeld. Zeigen Sie, dass rot grad = 0 bzw. = 0 Aufgabe 6: Wie sind die Parameter a und b zu wählen, damit die Rotation des Vektorfeldes F überall verschwindet? = 2 x z 2 y 3 z i a x y 2 z j 2 x 2 z b x y 3 k F 4 A2

16 Rotation eines Vektorfeldes: Lösungen 3, 4 Lösung 3: x, y = 1 a) F r x, y = 1 b) F r y, x k =, r x y 2, x y 1 r = r = x 2 y2 x 2 y2 2 2 k x y x 2y 2 2 = k = x y x 2 y x 2 y 2 3 / 2 r3 Lösung 4: = 0 a ) = r, b) F r2 r = x i y j z k, r 0 = 2 yz 2 yz, 2x z 2xz, 2x y 2x y r4 r4 r4 r4 r4 r4 r 2 r 2x = 2 r 3 = 4, x x r 4 1 r 2 2y = 4, y r = 0 r 2 2z = 4 z r

17 Rotation eines Vektorfeldes: Lösungen 5, 6 Lösung 5: rot grad = 2 2 =, z y y z i x x j y y k z z 2 2, x z z x = 2 2 y x x y = 0 (nach dem Satz von Schwarz). Lösung 6: = 2 x z 2 y 3 z i a x y 2 z j 2 x 2 z b x y 3 k F x, y = 4 2 3b a = 0, 3 b a x y 2 1 b y 3 a 3 y 2 z 1 b=0, a 3=0 = 0 a =3, b=1

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