2.2.2 Die EULERschen Bewegungsgleichungen (dynamischen Grundgleichungen)

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1 Raumakustik Wellentheoretische Raumakustik ist die Schallgeschwindigkeit (vgl. LAPLACEsche Gl. (.1), S. 6). Differentielle Form: Vektorielle Form: grad grad (.3) Das Argument des Gradienten ist ein Skalar, der Gradient ist ein Vektor. Er gibt Auskunft über Richtung und Betrag der maximalen Änderung einer physikalischen Größe (bzw. eines Skalarfeldes). Aussage dieser Gleichung: Die Richtungen der maximalen Druckänderung und der maximalen Dichteänderung sind gleich; betragsmäßig ist die maximale Druckänderung proportional der maximalen Dichteänderung... Die EULERschen Bewegungsgleichungen (dynamischen Grundgleichungen) Das.NEWTONsche Axiom lautet. Wir betrachten zunächst ein Elementarvolumen, das einer Kraftwirkung in -Richtung ausgesetzt ist: Abb..: Elementarvolumen 1.Weg (.NEWTONsche Axiom): (.4) RA-V5.3 Institut für Signalverarbeitung und Sprachkommunikation 11

2 Wellentheoretische Raumakustik Raumakustik.Weg (Kraftdifferenz in -Richtung): (.5) Gleichsetzen von Gl. (.4) und (.5) ergibt. Analog gilt für die - und -Richtung: Oder in vektorieller Form: grad (.6) Die maximale Druckänderung und die Beschleunigung sind entgegengesetzt gerichtet; betragsmäßig ist die maximale Druckänderung proportional der Beschleunigung...3 Die Kontinuitätsgleichung Sie ergibt sich aus dem Gesetz der Stetigkeit und der Masseerhaltung. Wir betrachten wieder ein Elementarvolumen: Abb..3: Elementarvolumen 1 Institut für Signalverarbeitung und Sprachkommunikation RA-V5.3

3 Raumakustik Wellentheoretische Raumakustik 1.Möglichkeit (Ort variabel, Zeit konstant): Zufluss Abfluss Analog gilt: div Eine andere Möglichkeit die Massenänderung im Elementarvolumen zu beschreiben bietet die Dichteänderung (Ort konstant, Zeit variabel): Setzt man die letzten beiden Ausdrücke gleich, so erhält man div. Das Argument der Divergenz ist ein Vektor, die Divergenz ist ein Skalar. Sie gibt Auskunft über die Dichte der Quellen bzw. Senken in einem Vektorfeld. Die Quellendichte des Schallfeldes ist der zeitlichen Dichteänderung proportional. Hinweis: die Quellendichte ist nicht die Anzahl oder Dichte der realen Schallquellen, sondern ist im gesamten Schallfeld gegeben, also auch dort wo sich keine reale Schallquelle befindet!..4 Aufstellen der Wellengleichungen - Helmholtzgleichung Für die 5 Unbekannten,, stehen uns jetzt 5 Gleichungen zur Verfügung: Adiabatische Zustandsgleichung des idealen Gases: grad grad (1) RA-V5.3 Institut für Signalverarbeitung und Sprachkommunikation 13

4 Wellentheoretische Raumakustik Raumakustik 3 EULERsche Bewegungsgleichungen: grad () Kontinuitätsgleichung: div (3) (3) partiell nach differenziert: div (1) in () eingesetzt: (4) grad (5) (5) in (4) eingesetzt ergibt die Wellengleichung für die Dichte: div grad Aus der differentiellen Form der Zustandsgleichung folgt: 1 Aus den letzten beiden Gleichungen erhält man die Wellengleichung für den Druck: (.7) Herleitung der Wellengleichung für die Schallschnelle: Gl. () partiell nach differenziert: grad grad 14 Institut für Signalverarbeitung und Sprachkommunikation RA-V5.3

5 Raumakustik Wellentheoretische Raumakustik grad Gl. (3) eingesetzt: grad div grad div rot rot 0, weil Schallfeld wirbelfrei Wellengleichung für die Schallschnelle: Um die vektorielle Schallschnelle zu vermeiden, definiert man ein Geschwindigkeitspotential (mathematisch leichter handhabbar): Gl. (3): Gl. (5): grad div grad div grad grad grad Integrieren nach : Wellengleichung für das Geschwindigkeitspotential: (.8) RA-V5.3 Institut für Signalverarbeitung und Sprachkommunikation 15

6 Wellentheoretische Raumakustik Raumakustik Ist das Geschwindigkeitspotential bekannt, läßt sich daraus die Schallschnelle unmittelbar aus der Definitionsgleichung berechnen: grad Den Schalldruck kann man aus dem Geschwindigkeitspotential ausgehend von der EULERschen Bewegungsgleichung () wie folgt berechnen: grad grad grad Helmholtzgleichung Für harmonische Schwingungen gilt: Damit kann die Wellengleichung (z.b. für den Schalldruck) geschrieben werden als: 0 Jede Gleichung dieser Form wird als Helmholtzgleichung bezeichnet und gibt damit die Wellengleichung für harmonische Schwingungen an. 16 Institut für Signalverarbeitung und Sprachkommunikation RA-V5.3