Divergenz, Rotation und Laplace-Operator

Transkript

1 6 Divergenz, Rotation und Laplace-Operator... Stokes besaß einen sehr wichtigen prägenden Einfluss auf die folgenden Generationen von Cambridge-Studenten, unter ihnen auch Maxwell. Zusammen mit Green, der ihn auch beeinflusst hatte, folgte Stokes den Arbeiten der Franzosen, insbesondere Lagrange, Laplace, Fourier, Poisson und Cauchy. Dies wird in seinen theoretischen Untersuchungen zur Optik und Hydrodynamik deutlich; aber wir sollten nicht vergessen, dass Stokes sogar schon als Student unaufhörlich experimentierte. Dennoch gingen seine Interessen und Untersuchungen über die Physik hinaus, da sein Wissen in Chemie und Botanik beträchtlich war und seine Arbeiten in der Optik führten ihn oft auf diese Gebiete. (Parkinson) Ampère wurde 89 zum Professor für Mathematik an der Ecole Polytechnique ernannt und er hatte diese Stelle bis 828 inne. Ampère und Cauchy teilten sich die Lehrveranstaltungen in Analysis und Mechanik, aber es herrschte ein beträchtlicher Unterschied zwischen den beiden. Cauchy lehrte strikt analytisch, was zu großen mathematischen Fortschritten führte, aber von den Studierenden als extrem schwierig angesehen wurde, die daher Ampères eher herkömmlichen Zugang zur Analysis und Mechanik bevorzugten. (O Connor und Robertson) 6. Einleitung Wir haben oben gesehen, dass der Gradient einer Funktion mehrerer Variablen ein in der Praxis nützlicher Differentialoperator ist. In diesem Ka-

2 Divergenz, Rotation und Laplace-Operator pitel werden wir noch weitere nützliche Operatoren einführen, inklusive der Divergenz, der Rotation und dem Laplace-Operator, die zusammen mit dem Gradienten eine wichtige Rolle bei der mathematischen Modellierung in den Naturwissenschaften und den Ingenieurwissenschaften spielen. Wir werden diese Operatoren zunächst in R 2 und dann in R 3 definieren und dabei feststellen, dass die Rotation in R 2 und R 3 etwas unterschiedliche Formen annimmt. Abb. 6.. Napoleon zu Laplace ( ): Sie haben dieses gewaltige Buch über das System der Welt geschrieben, ohne den Autor des Universums zu nennen. Laplace zu Napoleon: Sire, eine derartige Annahme war nicht nötig 6.2 Betrachtung für R 2 Wir wiederholen, dass der Gradient einer Funktion u : R 2 R, denwir mit grad u oder u bezeichnen, der vektorwertigen Funktion entspricht, die durch die partiellen Ableitungen erster Ordnung von u gebildet wird: grad u = u = ( u, u ). x x 2 Die Divergenz einer Vektorfunktion u =(u,u 2 ):R 2 R 2,diedivu oder u bezeichnet wird, ist die folgendermaßen definierte skalare Funktion: div u = u = u x + u 2 x 2.

3 6.3 Der Laplace-Operator in Polarkoordinaten 927 Rein formal gilt u = ( x, x 2 ) (u,u 2 ), wobei wir uns ( x, x 2 ) als einen Vektor denken können und den Punkt als Zeichen für das Skalarprodukt auffassen. Diese Vorstellung kann für alle Formeln unten verwendet werden, in denen mit dem Operator kombiniert wird. Die Rotation einer Vektorfunktion u : R 2 R 2,dierotu oder u bezeichnet wird, ist die skalare Funktion rot u = u = u 2 u ( ) =, (u,u 2 ). x x 2 x x 2 Ist u : R 2 R eine skalare Funktion, dann wird rot u = u als die Vektorfunktion rot u = u = ( u, u ) x 2 x definiert. Das unterschiedliche Aussehen von rot u = u für eine skalare Funktion u und eine Vektorfunktion u =(u,u 2 ) wird unten beim Übergang zu R 3 analysiert. Für den Augenblick kann es hilfreich sein, sich das unterschiedliche Aussehen von a b für a, b R 2 und a, b R 3 ins Gedächtnis zu rufen. Die folgenden Gleichungen für jede beliebige Funktion u ergeben sich direkt aus den Definitionen: ( u) =div(rotu) =, (u : R 2 R 2 ) ( u) = rot (grad u) =, (u : R 2 (6.) R). Schließlich ist der Laplace-Operator u einer Funktion u : R 2 R definiert durch mit 2 u x 2 i = x i ( u x i ). u = ( u) = div (grad u) = 2 u x u x 2, Der Laplace-Operator in Polarkoordinaten In Polarkoordinaten x =(x,x 2 )=(rcos(θ),rsin(θ)) mit r und θ<2π nimmt der Laplace-Operator folgende Form an: u = ( r u ) + 2 u r r r r 2 θ 2. (6.2)

4 Divergenz, Rotation und Laplace-Operator Dies ergibt sich aus einer Routine-Rechnung mit Hilfe der Tatsache, dass die Jacobi-Matrix der Abbildung x =(rcos(θ),rsin(θ)) in der Schreibweise von (54.9) die Form annimmt, so dass also d(x,x 2 ) d(r, θ) d(r, θ) d(x,x 2 ) = und folglich mit Hilfe der Kettenregel ( ) cos(θ) r sin(θ) = sin(θ) r cos(θ) ( ) cos(θ) sin(θ) sin(θ)/r cos(θ)/r =cos(θ) x r sin(θ) r θ und =sin(θ) x 2 r + cos(θ) r θ. 6.4 Einige wichtige Beispiele Die Funktion u : R 2 R 2 mit u(x) = 2 (x,x 2 )erfüllt u(x) =. Die Funktion v : R 2 R 2 mit v(x) = 2 ( x 2,x )erfüllt v(x) =. Die Funktion w : R 2 R 2 mit w(x) = 4 (x2 + x 2 2)erfüllt w =. Wir haben diese wichtigen Beispiele in Abb. 6.2 dargestellt. Wir können erkennen, dass u(x) explodiert, v(x) rotiert, und w(x) bildet einen umgedrehten Höcker. 6.5 Der Laplace-Operator bei starren Koordinatentransformationen Aus der Formulierung des Laplace-Operators in Polarkoordinaten folgt, dass der Laplace-Operator unter Rotationen und Translationen in R 2,das sind sogenannte starre Koordinatentransformationen der Form x =cos(α)x +sin(α)x 2 + a, x 2 = sin(α)x +cos(α)x 2 + a 2,

5 6.6 Betrachtung für R Abb Wichtige Beispiele mit u =, v = und w = invariant ist. Dabei sind (x,x 2 ) die alten Koordinaten und ( x, x 2 )die neuen. Anders formuliert, so nimmt der Laplace-Operator in den beiden Koordinatensystemen exakt dieselbe Gestalt an: 2 u x u x 2 = 2 u 2 x u x 2. 2 Diese Tatsache spiegelt sich in der Beobachtung wider, dass der Laplace- Operator üblicherweise in isotropen Modellen auftritt, die in allen Richtungen dieselben Eigenschaften besitzen. 6.6 Betrachtung für R 3 Der Gradient einer Funktion u : R 3 R, denwirgradu oder u bezeichnen, ist die vektorwertige Funktion, die durch die partiellen Ableitungen erster Ordnung von u gebildet wird: grad u = u = ( u x, u x 2, u x 3 Für eine Vektorfunktion u : R 3 R 3 bezeichnet die Divergenz div u folgende skalare Funktion: 3 u i div u = x i i= ).

6 93 6. Divergenz, Rotation und Laplace-Operator und rot u die Vektorfunktion ( u3 rot u = u = u 2, u u 3, u 2 u ). x 2 x 3 x 3 x x x 2 Wir wollen nun die Beziehung des Rotationsoperators in R 3 zum Rotationsoperator in R 2,denwirobeneingeführt haben, erklären. Dazu betrachten wir zunächst eine Funktion u : R 3 R 3 der Form u = (u,u 2, ) mit von x 3 unabhängigem u und u 2,sodassalsou i : R 2 R mit u i = u i (x,x 2 )für i =, 2. Es gilt dann ( u =,, u 2 u ) =(,, (u,u 2 )). x x 2 Als Nächstes gilt, wenn u : R 3 R 3 die Form u =(,,u 3 ) besitzt mit von x 3 unabhängigem u 3,sodassalsou 3 : R 2 R, dass: ( u3 u =, u ) 3, =( u 3, ). x 2 x Wir folgern, dass u für u : R 2 R und u für u : R 2 R 2,als Spezialfälle von u für u : R 3 R 3 betrachtet werden können. Der Laplace-Operator u einer Funktion u : R 3 R wird definiert durch: 3 2 u u = ( u) = div (grad u) = x 2. i= i Durch direkte Berechnungen erhalten wir die folgenden Gleichungen: ( u) =, ( u) =, (6.3) ( u) = u + ( u). 6.7 Weitere wichtige Beispiele Für die Funktion u : R 3 R 3 mit u(x) = 3 x gilt: u(x) =. Für die Funktion v : R 3 R 3 mit v(x) = 2 ( x 2,x, ) gilt: v(x) =(,, ). Für die Funktion w : R 3 R mit w(x) = 6 x 2 gilt: w =. Wir haben zwei dieser wichtigen Beispiele in Abb. 6.3 dargestellt. Wir sehen wiederum, dass u(x) explodiert und v(x) parallel zur x 3 -Achse rotiert. Der Höcker von w(x) ist graphisch schwer darstellbar.

7 6.8 Der Laplace-Operator in sphärischen Koordinaten x3 x x x x x.5.5 Abb Wichtige Beispiele in R 3 mit u =, v = 6.8 Der Laplace-Operator in sphärischen Koordinaten In den sphärischen Koordinaten x =(x,x 2,x 3 )=(r sin(ϕ)cos(θ),rsin(ϕ)sin(θ),rcos(ϕ)), wobei r, θ<2π und ϕ<π, nimmt der Laplace-Operator die folgende Form an: u = r 2 ( r 2 u ) + r r r 2 sin(θ) θ ( sin(θ) u ) + θ 2 u r 2 sin 2 (θ) ϕ 2. (6.4) Der Laplace-Operator ist gegenüber orthogonalen Koordinatentransformationen in R 3 invariant. Beispiel 6.. Wir betrachten das Geschwindigkeitsfeld, das durch Rotation um einen Vektor ω R 3 mit der Winkelgeschwindigkeit ω erzeugt wird, d.h. das Vektorfeld Wir berechnen v(x) =ω x. v(x) = (ω 2 x 3 ω 3 x 2,ω 3 x ω x 3,ω x 2 ω 2 x ) =(2ω, 2ω 2, 2ω 3 )=2ω. Wir folgern, dass die Rotation v(x) eines Geschwindigkeitfelds v(x), das durch Rotation um einen Vektor ω erzeugt wird, gleich 2ω ist. Daher der Name Rotation für den Differentialoperator. Beispiel 6.2. Eine wichtige Formel der Elektromagnetik, die das Ampèresche Gesetz ausdrückt, besagt, dass das magnetische Feld H, das durch

8 Divergenz, Rotation und Laplace-Operator.5 x x x.5.5 Abb Das magnetische Feld um einen Strom durch die x 3-Achse einen durch die x 3 -Achse in positiver Richtung fließenden elektrischen Einheitsstrom erzeugt wird, lautet: H(x) =H(x,x 2,x 3 )= 2π ( x 2,x, ) x 2 +, für x 2 x2 + x 2 2 >. (6.5) 2 Wir berechnen H(x) = ( x,, 2π x x 2 + ) x 2 x2 2 x 2 x 2 + =für x 2 x2 + x 2 2 >. 2 Folglich ist H(x) =für x 2 + x2 2 >, was dem Ampèreschen Gesetz H = J entspricht, wobei J die Stromdichte ist. Folglich ist J(x) = für x 2 + x2 2 >, d.h. außerhalb der x 3-Achse. Das Ampèresche Gesetz ist einer der Maxwellschen Gleichungen. Unten werden wir zeigen, wie die Gleichung H(x) =J(x) für x 2 + x2 2 = interpretiert werden kann und dabei den Faktor 2π in (6.5) begründen. Aufgaben zu Kapitel Sei F =(5x 3x x 2 + x 2 3, sin(x )cos(x )+x, sin(x )exp(x x 2)). Berechnen Sie für x =(, 2, 3) (a) F,(b) F,(c) ( F ), (d) ( F ) Interpretieren Sie den Ausdruck ( )u auf vernünftige Weise und zeigen Sie, dass ( )u =für alle u. Vergleichen Sie dies mit ( u) Zeigen Sie, dass das Geschwindigkeitsfeld v(x) = ω x für einen gegebenen Vektor ω R 3 die Gleichung v(x) =erfüllt. Interpretieren Sie das Ergebnis aus strömungsmechanischer Sicht.

9 Aufgaben zu Kapitel Zeigen Sie, dass für geeignete Funktionen u und v gilt:. (uv) =( u)v + u( v), 2. (uv) =( u) v + u( v), 3. (uv) =( u) v + u( v), 4. (u v) =v ( u) u ( v), 5. (u v) =(v )u ( u)v (u )v +( v)u, 6. (u v) =(u )v +(v )u + u ( v)+v ( u) Berechnen Sie (r F (r)) für r = x Zeigen Sie direkt mit Hilfe der Kettenregel, dass der Laplace-Operator in R 2 und R 3 unter starren Koordinatentransformationen invariant ist Beweisen Sie (6.3), (6.2) und (6.4) Zeigen Sie, dass für u : R 2 R gilt: ( u) = rot (rot u) = u Zeigen Sie, dass die Funktion u : R 2 R für u(x) =c log( x )+c 2 mit Konstanten c und c 2 die Laplace-Gleichung u(x) =inr 2 für x löst. 6.. Beweisen Sie, dass die Funktion u : R 3 R für u(x) =c x + c 2 mit Konstanten c und c 2 die Laplace-Gleichung u(x) =inr 3 für x löst. 6.. Zeigen Sie, dass die Divergenz unter starren Koordinatentransformationen invariant ist. Besitzt die Rotation dieselbe Eigenschaft? Alle Wirkungen der Natur sind nur mathematische Folgerungen einer kleinen Zahl von unveränderlichen Gesetzen. (Laplace)

10