Physik für Biologen und Zahnmediziner

Transkript

1 Physik für Biologen und Zahnmediziner Vorlesung Kapitel 8: Ruhende Gase, Hydrodynamik, Viskosität Dr. Björn Wonsak 1

2 Platz für Fehlerrechnung 2

3 Platz für Fehlerrechnung 3

4 Platz für Fehlerrechnung 4

5 Magdeburger Halbkugeln: Die Kraft des Nichts? Welche Kraft muss jedes der Acht Pferde aufbringen? Luftdruck drückt auf Kugel Kugelradius: 30 cm 5

6 Ruhende Gase Erfahren auch den Schweredruck Sind aber leicht kombrimierbar Dichte ändert sich Druck steigt exponentiell mit Höhe Barometrische Höhenformel: mit (P0=Luftdruck und ρ0=luftdichte auf Meereshöhe, h=höhe über Meereshöhe in m) 6

7 Luftdruck in der Höhe Kraft auf Fenster im Flugzeuge in 11 km Höhe? 7

8 Hydrodynamik Lehre von bewegten Flüssigkeiten Wieder nur ideale Flüssigkeiten (insbesondere: inkompressibel, nicht viskos) Bemerkung: - Gase verhalten sich in vielen Fällen ähnlich Zusammenfassung unter Fluiden. Bewegtes Fluid Strömung 8

9 Strömungen Beschrieben durch Stromlinien: Bahn eines mitbewegten Teilchens Turbulente Strömung: chaotisch, mit Wirbeln Laminare Strömung: geordnet Vorraussetzung: Teilchengeschwindigkeit in einem gegebenen Punkt konstant (zeitlich stabile Strömung) 9

10 Strom Strom ist die Quantisierung welche Menge von etwas in einer bestimmten Zeit transportiert wird. Stromstärke Für Fluide: Volumenstrom I = Strom Fluss= Stromfluss: durchströmte Fläche transportierte Menge I= benötigte Zeit (in Bildern durch Stromliniendichte dargestellt) 10

11 Kontinuität Betrifft: Stationäre (zeitlich stabil) Strömung idealer Fluide Aus einem beliebigen Volumen muss jederzeit das herausfliessen, was auch hereinfliesst, sofern es durchströmt wird. Also I(A1) = I(A2). (A = A1,A' = A2 analog für alle anderen Größen) 11

12 Kontinuität Herleitung: Durch die Flächen A1 und A2 strömen die Massen Erhaltung der Massen Kontiniutätsgleichung: Wegen ρ1 = ρ2 (inkompressibel) Strömungsgeschwindigkeiten verhalten sich umgekehrt wie die Rohrquerschnitte! 12

13 Beispiel: Verengung durch Ablagerung Großes Blutgefäß mit Radius 3 mm wird durch Ablagerungen (Ateriosklerose) verengt auf 2 mm. Normale Blutgeschwindigkeit: ca. v1 = 10 cm/s Wie schnell wird das Blut an der Engstelle? Gefahr von Turbulenzen 13

14 Energieerhaltung bei Verengung? Strömung wird in Engstellen schneller kinetische Energie Woher? Es muss eine Kraft wirken, die Flüssigkeit beschleunigt Es muss einen Druckunterschied geben Druck bei A2 muss geringer sein Drei Energie-/Arbeitsformen sind beteiligt: Kinetische Verschiebe-/Volumenarbeit Hubarbeit 14

15 Satz von Bernoulli Energieerhaltung: Dieser Energiesatz wird Bernoulli-Gleichung genannt und gilt allgemein (nicht nur in Rohren): Teilen durch V ergibt: 15

16 Resultat Bernoulli Gleichung 16

17 Resultat Bernoulli Gleichung Idealisierung: keine innere Reibung! 17

18 Strömung durch Rohr mit Viskosität Flüssigkeit inkompressibel Kontinuität Querschnitt konstant v konstant Reibung verursacht Energieverlust 18

19 Hydrodynamisches Paradoxon 19

20 Schlussfolgerung aus Bernoulli-Gleichung In einem Gebiet wo die Geschwindigkeit groß ist, ist der Druck klein! 20

21 Versuch mit Ball in Föhn 21

22 Ball in Föhn Am Rand des Luftstroms gibt es Reibung mit Umgebungsluft In der Mitte des Stroms ist die Geschwindigkeit am höchsten Wenn der Ball leicht aus der Mitte geht, ist nach Bernoullie der Druck in der Mitte niedriger als aussen Kraft in Richtung Mitte 22

23 Hydrodynamisches Paradoxon Achtung: dynamischer Druck ist nicht allseitig. Staudruck herrscht bzw. spürt man, wenn eine Strömung gestoppt wird. 23

24 Klassischer Zerstäuber Anwendungsbeispiel für dynamischen Druck Von unten drückt der Luftdruck. Der Gesamtdruck oben ist auch gleich dem Luftdruck, aber da der Staudruck gerichtet ist entsteht an der Rohröffnung ein Unterdruck. 24

25 Wasserstrahlpumpe Saugpumpe: dynamische Druck vorbeifliessenden Wasers wird ausgenutzt 25

26 Hydrodynamisches Paradoxon Hausdach wird vom Wind nicht runtergedrückt sondern angehoben 26

27 Beispiel: Präriehunde Präriehunde nutzen dynamischen Druck zur Belüftung Wir auch in Architektur angewandt Ähnliches auch bei Termitenhügeln Niedrige Windgeschwindigkeit Hoher Druck Hohe Windgeschwindigkeit Niedriger Druck 27

28 Dynamischer Auftrieb Wie Vögel und Flugzeuge fliegen: Wegen Wölbung oben längerer Weg Höhere Strömungsgeschwindigkeit Niedrigerer statischer Druck Druckdifferenz zwischen oben und unten Auftriebskraft, je mehr Fläche desto mehr 28

29 Hydrodynamik Nun mit realen Fluiden D.h. berücksichtigen Viskosität Trotzdem wieder nur laminare Strömung Geschwindigkeit an Grenzfläche auf beiden Seiten gleich Beispiel: An einer Rohrwand ist die Strömungsgeschwindigkeit v = 0 29

30 Coanda Effekt Strömungen folgen gekrümmten Oberflächen Versuch mit Flasche vor Kerze 30

31 Magnuseffekt Rotation Fluid an Oberfläche wird mitbewegt Strömung Überlagerung mit Kreisstrom an Oberfläche Strömung auf einer Seite schneller Auftrieb nach Bernoullie 31

32 Viskosität Auch Zähigkeit genannt Verursacht durch innere Reibung Bemerkung zu laminaren Strömungen Gedacht als zusammengesetz aus unendlich dünnen aufeinander abgleitenden Schichten Stetige Geschwindigkeitsabfolge zwischen den Schichten Zähigkeit sorgt dafür, dass die Flüssigkeit an der Wand dieselbe Geschwindigkeit hat wie die Wand Experiment seit 1927: Tropfen in 1938, 1947, 1954, 1962,1970,1979, 1988, 2000,

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34 Viskosität Versuch: Bewege eine Platte über eine ruhende Flüssigkeit Welche Kraft brauche ich? Messung: F ~ v und F ~ A und F ~ 1/z F = Proportionalitätskonstante η (Eta) nennt man die Viskosität. Dies ist eine Materialeigenschaft. Einheit: 34

35 Stokes'sches Gesetz Beschreibt die Reibungskräfte die bei laminarer Strömung durch die Viskosität auf eine kleine Kugel mit der nicht zu großen Geschwindigkeit v wirkt: FR = 6 π η v r Welche Bewegungsart hat die Kugel? 35

36 Stokes'sches Gesetz Beschreibt die Reibungskräfte die bei laminarer Strömung durch die Viskosität auf eine kleine Kugel mit der nicht zu großen Geschwindigkeit v wirkt: FR = 6 π η v r Welche Bewegungsart hat die Kugel? Endgeschwindigkeit? 36

37 Nebenrechnung Stokes'sches Gesetz FG = m g = ρk VK g nach unten FA = ρf VK g nach oben FR = 6 π η v r nach oben Gleichgewicht: FR = FG - FA 6 π η v r = ρk VK g - ρf VK g = (ρk - ρf) VK g mit VK = 4/3 π r3 Sedimentationsgeschwindigkeit v~r2 37

38 Laminare Strömung in einem Rohr Laminar: unendliche Dünne aneinander abgleitende Schichten Viskosität Randbedingung, Haftung der Flüssigkeit an den Wänden Geschwindigkeitsfeld: Rotationsparaboloid Stromstärke durch Rohr: (mit Radius R und Länge L) πr4 I= ΔP 8ηL Hagen-Poiseuille-Gesetz 38

39 Teile Durchflussfläche in 4 Teile IGitter/IOhne = 39

40 Strömung durch Rohr mit Viskosität Flüssigkeit inkompressibel Kontinuität Querschnitt konstant v konstant Reibung verursacht Energieverlust 1 2 m v +P V +m g h=konstant 2 wird kleiner! Δ P 8ηL Druck muss abnehmen! Wiederstand? R= = I πr4 40

41 Strömungswiderstand Damit ein Strom fließt, brauche ich eine Druckdifferenz P Definition: Strömungswiderstand Druckdifferenz ΔP R= = Dadurch erzeugter Volumenstrom I Bei laminaren Strömungen ist R = konstant; von I unabhängig (Newtonische Flüssigkeiten) 41

42 Verzweigte Rohsysteme Kirchoff'sche Gesetze: 1. Knotenregel: Ein- und ausfliessender Strom gleich Bei Verzweigung ist die Summe der Ströme Null. Folgt aus Massenerhaltung 2. Maschenregel: Parallele Ströme überwinden dieselben Druckdifferenz zwischen zwei Verzweigungspunkten an denen sie sich treffen Auf einem geschlossenen Weg ist die Druckdifferenz Null. Folgt aus Energieerhaltung 42

43 Kirchhoff'sche Regeln für Widerstände Genau wie in der Elektronik ergibt sich: I R11 R2 Reihenschaltung: I = konst., P = P1 + P Pi RGesamt = R1+R2+...+Ri Parallelschaltung: P = konst., I = I1 + I Ii = RGesamt R1 R 2 Ri R1 P2 P1 R2 43

44 Anwendungsbeispiele Wiederstand: Steigung Orts-Druck-Diagramm I R1 P R2 R2 Länge l 44

45 Blutkreislauf Äusserst kompliziertes Röhrensystem 45

46 Nicht Newtonische Flüssigkeiten Zusammenhang zwischen P und I nicht linear R(I) nicht konstant Blut ist nicht-newtonisch Hagen-Poiseuille eingeschrängt/bedingt anwendbar! I I L N Nieren- (N) u. Lungenkreislauf (L) P P Wasser mit Maisstärke wird bei Druck hart Treibsand wird bei Druck weich 46

47 Formelsammlung Strom Stromfluss Kontinuität Satz von Bernoulli Viskosität Stokes Reibung Stokes'sches Gesetz Hagen-Poiseuille-Gesetz Strömungswiderstand Kirchhoffsche Regeln Reynolds-Zahl Reibung bei turbulenten Strömungen 47

48 Formelsammlung Coanda-Effekt Magnus-Effekt Hagen-Poiseuille-Gesetz Strömungswiderstand Kirchhoff'sche Regeln Knotenregel Reihenschaltung Maschenregel Parallelschaltung 48

49 Zusatz Folien 49

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51 Von Laminar zu Turbulent Kritische Geschwindigkeit: Laminar wird turbulent (je größer v desto mehr Reibung) Diese Grenzgeschwindigkeit hängt ab von: Viskosität η und Dichte ρ des Fluids Radius r des Rohres 51

52 Reynolds-Zahl Kennzahl, um Strömungen vergleichbar zu machen ρ v L Beschleunigungsarbeit Re = η Reibungsarbeit ρ, v und η sind Dichte, Geschwindigkeit und Viskosität der Flüssigkeit L ist die charakteristische Länge des Gefäßes, z.b. Radius eines Rohres r Die kritische Grenze für Turbulenzen ist Re Krit Für Re > Re Krit wird es turbulent Für Rohre bei etwa Re Krit

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54 Von Laminar zu Turbulent Achtung: Rotationsenergie in Wirbeln muss von Strömung aufgebracht werden höhere Reibungsverluste 54

55 Entstehung von Wirbeln vs K S1 S2 Bei S1 und S2 ist v = 0 maximale potentielle Energie, da hier Druck hoch vs < vkrit Bie K ist v = vs maximale kinetische Energie K S1 vs > vkrit vs < vkrit Reibung vernachlässigbar W S2 W vs > vkrit Reibung in Randschicht Zwischen S1 und S2 geht kinetische Energie verloren Teilchen können nicht S2 erreichen, sondern nur W 55

56 Entstehung von Wirbeln vs K S1 Wirbelstrasse Wirbel habe Rotationsenergie S2 Mehr Arbeit nötig vs < vkrit K S1 vs > vkrit W S2 W Bewegung hinter Körper stärker niedriger Druck hinter Körper Druckwiderstandskraft 56

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58 Strömungswiderstand bei Turbulenzen Bei Turbulenten Stömungen hängt die Reibungskraft von v2 ab: 1 2 F = cw ρ A v 2 Der CW-Wert, Widerstandsbeiwert genannt, ist von Geometrie des umströmten Körpers abhängig (aber auch Oberfläche) Pinguin: CW =

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60 Winglets Vögel verringern Turbulenzen mit ihren Flügelspitzen mehr Auftrieb und weniger Luftwiderstand bei gleicher Spannweite 60

61 Winglets Etwa >5% mehr Auftrieb bei gleicher Spannweite Auch bei Windkraftanlagen nützlich 61

62 Magnuseffekt (2) Auch das Auftreten von Turbulenzen trägt bei 62

63 Wie schwimmen Delfine Geschwindigkeiten bis ca. 40km/h Abschätzungen in 30er Jahren ergaben: Energiebedarf 7fach höher als Delphin aufbringen kann Lösung: Turbulenzen verringern Methode: Interaktive Haut mit eingebautem Stoßdämpfer Unterdrückung der Bildung von Turbulenzen Absonderung von Öl Komplexe Kombination der Körperform Anatomie der Muskeln Schwimmbewegungen ( Fliegen unter Wasser ) 63

64 Bionik: Tricks der Natur Haifischflosseneffekt Sandfisch/-skink 64

65 Formelsammlung Reynolds-Zahl Re Krit bei Rohren Reibungskraft bei Turbulenzen Oberflächenspannung Binnendruck eines Tropfen Kapillareffekt Benetzend Nichtbenetzend Steighöhe in Kapillaren 65