Als indifferentes Gleichgewicht bezeichnet man ein solches, bei dem eine Änderung eine keine Wirkung nach sich zieht

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1 Gleichgewicht: Stabil, indifferent, labil Als stabiles Gleichgewicht bezeichnet man ein solches, bei dem eine Lage-Änderung eine Wirkung (Kraft, Drehmoment) nach sich zieht, die dieser Änderung entgegenwirkt Als indifferentes Gleichgewicht bezeichnet man ein solches, bei dem eine Änderung eine keine Wirkung nach sich zieht Als instabiles Gleichgewicht bezeichnet man ein solches, bei dem eine Änderung eine Wirkung nach sich zieht, die in Richtung der Änderung wirkt 41

2 stabil indifferent labil 2.9 Mechanische Eigenschaften elastischer Körper Das Kraft-Abstands-Gesetz der Massenpunkte (Atome) fester Körper kann für kleine Abstandsänderungen durch ein harmonisches Kraftgesetz angenähert werden 42

3 Potentielle Energie Abstand Das heisst, dass die potentielle Energie durch eine Parabel beschrieben werden kann Der Körper verhält sich also wie eine Ansammlung vieler Federn 43

4 2.9.1 Dehnung/Stauchung Wenn wir jetzt die Längenänderung eines Quaders aufgund einer Kraft untersuchen, so können wir den Quader als Parallel- und Reihenschaltung vieler Federn auffassen. Bei konstanter Kraft wird diese bei Vergrösserung der Zahl parallel geschalter Federn (Grössere Querschnittsfläche A) auf mehr Federn aufgeteilt, also wird die Längenänderung indirekt proportional zur Querschnittsfläche sein. Wenn wir den Körper verlängern, wirkt die gleiche Kraft (Reaktionsprinzip) auf mehr in Reihe geschaltete Federn, also wird die Längenänderung proportional zur Länge sein: F NA l l l F N oder = 1 (Hookesches Gesetz), wobei E Elastizitätsmodul genannt wird. Aist hierbei die Querschnittsfläche des A l E Quaders M120 44

5 Ist E unabhängig von der Orientierung des Quaders (Richtung), so nennt man den Körper homogen, ansonsten inhomogen Diese Gesetzmässigkeit lässt sich auf beliebig geformte Parallel-Epipede übertragen Kompression Unter Kompression verstehen wir die Volumenänderung eines Körpers unter allseitiger Wirkung einer Kraft, das heisst unter Aufwendung eines Druckes p := F N A, A ist hierbei die Oberfläche des Körpers Wir beziehen die Volumenänderung auf das Volumen: V V 1 p K = 1 K F NA = Die meisten Festkörper und Flüssigkeiten lassen sich kaum komprimieren, während Gase unter Druckänderung ihr Volumen deutlich ändern können Scherung oder Torsion Wir verschieben jetzt eine Fläche des Quaders durch eine Kraft F t seitlich: α A F 45

6 Der Scherungswinkel ist wieder proportional zur Fläche A des Körpers: α = 1 F t G A 2.10 Mechanische Eigenschaften ruhender Flüssigkeiten (Hydrostatik) In einer Flüssigkeit sind die Positionen der Teilchen nicht mehr festgelegt, allerdings wechselwirken die Teilchen so stark, dass sie einen festen mittleren Abstand haben. Das hat zur Folge, dass Flüssigkeiten ähnlich wie Festkörper kaum kompressibel sind Der Druck Die auf eine Oberfläche bezogene Normalkraft F N definieren wir als Druck: p := F N A. Die Fläche A ist die Kontaktfläche, auf die sich die Kraft verteilt Innerhalb einer masselosen Flüssigkeit ist der Druck überall gleich! Eine Konsequenz der allseitigen Druckausbreitung ist, dass die Oberfläche einer Flüssigkeit stets senkrecht zur resultierenden Kraft auf die Flüssigkeitsteilchen der Oberfläche steht Schwere- oder hydrostatischer Druck Unter dem Einfluss der Erdbeschleunigung hat ein Flüssigkeitszylinder die Schwerkraft G = mg, unter Zuhilfenahme der Massendichte ϱ folgt G = ϱv g. Der Druck, den dieser Zylinder auf seine Bodenfläche ausübt, ist p = G A = ϱv g A = hϱg, wobei h die Höhe des Zylinders ist. M145 Beispiel Baum: Der hydrostatische Druck des Wassers in einem 30 m hohen Baum am Fuss beträgt das Dreifache des Luftdrucks! 46

7 Auftrieb Eine Konsequenz des hydrostatischen Drucks ist der Auftrieb: Der hydrostatische Druck an der Unterseite eines Körpers ist grösser als an der Oberseite, was zu einer resultierenden Kraft nach oben führt. Wir berechnen die Druckdifferenz für einen Zylinder der Höhe l: p = (h+l)ϱg hϱg = lϱg. Die resultierende Kraft erhalten wir durch Multiplikation mit der Fläche: F A = Alϱg = ϱgv fl = m fl g = G fl. Der Index fl steht dabei für die Flüssigkeit. Die Auftriebskraft ist also gleich der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit. Das ist das Archimedische Prinzip Der Auftrieb kann genutzt werden, um die Dichte von Flüssigkeiten mit Hilfe des Aräometers zu bestimmen h V 1 47

8 Grenzflächen Betrachten wir die Grenzfläche einer Flüssigkeit mit einem anderen Medium, so werden i.a. die Kräfte, die auf Teilchen zu dem anderen Medium wirken, andere sein, als innerhalb der Flüssigkeit. Um also ein Teilchen an die Oberfläche zu bringen, muss Arbeit verrichtet werden oder es wird Arbeit gewonnen. Eine besondere Grenzfläche stellt die Oberfläche dar: F R F R F R =0 Das heisst aber, dass wir Arbeit verrichten müssen, um die Oberfläche zu vergrössern. Beziehen wir diese Arbeit auf die Oberfläche, erhalten wir die Spezifische Oberflächenenergie ε = E A Of Daraus folgt sofort, dass eine Flüssigkeit ohne den Einfluss äusserer Kräfte stets den Zustand kleinster Oberfläche herstellen wird. Das ist aber die Kugelform. 48

9 Die Kräfte zwischen den Teilchen innerhalb eines Stoffes (Körpers) bezeichnen wir als Kohäsionskräfte Die Kräfte, die an der Grenzfläche zwischen zwei Stoffen (Körpern) wirken, nennt man Adhäsionskräfte F R Zeigt die resultierende Kraft zwischen einer Flüssigkeit und einem Festkörper in Richtung des Festkörpers, so spricht man von einer benetzenden Flüssigkeit, andernfalls von einer nicht benetzenden Wir können analog zur spezifischen Oberflächenenergie eine spezifische Grenzflächenenergie definieren: χ = E A Gf Zell-Adhäsion ist ein wichtiges Studienobjekt in der Zellbiologie 49

10 In einer benetzenden Flüssigkeit hat χ negatives Vorzeichen, da Arbeit frei wird, wenn die Grenzfläche vergrössert wird. Das führt in engen Röhren, den Kapillaren dazu, dass eine Flüssigkeit entgegen dem hydrostatischen Druck nach oben steigen oder nach unten gedrückt werden kann. Kapillare h Kapillare h benetzend nicht benetzend Um die Steighöhe zu ermitteln, nutzen wir wieder die Energieerhaltung: Die Energie, die durch die Vergrösserung der Oberfläche gewonnen wird, muss gleich der Energie sein, die zum Anheben der Flüssigkeit 50

11 notwendig ist: χda = mgdh und mit da = 2πrdh und m = πr 2 hϱ folgt h = 2χ rϱg. Man sieht, dass bei einem positiven Vorzeichen von χ die Höhe h negativ wird Mechanische Eigenschaften bewegter Flüssigkeiten (Hydrodynamik) Betrachten wir die Bahnen einzelner Teilchen bewegter Flüssigkeiten, so können wir zwei grundsätzlich verschiedene Modi der Strömung unterscheiden: schneiden sich die Bahnen nicht, so spricht man von einer laminaren Strömung, schneiden sie sich hingegen, so sprechen wir von einer turbulenten Strömung. Zunächst werden wir die laminare Strömung betrachten. 51

12 Die Kontinuitätsgleichung Wir werden zunächst eine ideale Flüssigkeit behandeln, die folgenden Vereinfachungen genügt Die Flüssigkeit sei inkompressibel Zwischen den Teilchen der Flüssigkeit gibt es keine Wechselwirkung Strömt eine solche ideale Flüssigkeit durch ein Rohr, so wird in gleichen Zeiten das gleiche Volumen V durch den Querschnitt A strömen. Also gilt dv dt = konst oder mit dv = Ads A ds dt man Kontinuitätsgleichung = Av = konst. Dies nennt Der Hydrodynamische Druck Um in einem Rohr ein Flüssigkeitsvolumen gegen einen vorhandenen Druck zu bewegen, muss die Kraft F über einen Weg s aufgewendet werden: dw = F ds = pads = pdv oder, für konstanten Druck integriert, W = pv Jetzt können wir die Energieerhaltung für ein Rohr, durch das eine Flüssigkeit gegen einen Druck bewegt wir, aufschreiben: pv + mgh + m 2 v2 = konst. Teilen wir diese Gleichung durch das Volumen, so erhalten wir: p + ϱgh + ϱ 2 v2 = Konst. Dies ist die Bernoullische Gleichung. Der Term ϱ 2 v2 heisst Staudruck, p ist der stattische Druck, und ϱgh hatten wir bereits als Schweredruck kennengelernt. Offensichtlich ist der statische Druck p bei grösseren Strömungsgeschwindigkeiten kleiner. Auf dieser Tatsache beruht zum Beispiel, dass Flugzeuge fliegen oder dass man Fussbälle mit Effet treten kann 52

13 s 1 s 2 <s 1 Der Weg s 2 auf der Unterseite der Tragfläche ist kleiner als s 1 auf der Oberseite, wodurch die Strömungsgeschwindigkeit (laminare Strömung!) niedriger, also der statische Druck höher ist. Damit haben wir einen Auftrieb Reale Flüssigkeiten In realen Flüssigkeiten wird die innere Reibung aufgrund der Kohäsionskräfte berücksichtigt. Betrachten wir eine Platte, die gegenüber einer Wand verschoben wird, wobei der Zwischenraum mit einer realen Flüssigkeit gefüllt sei. Im Gegensatz zur Reibung harter Körper ist in Flüssigkeiten die Reibungskraft von der Relativgeschwindigkeit abhängig: F R v. Betrachten wir jetzt Flüssigkeitsschichten gleicher Dicke, so ist die Relativgeschwindigkeit der Schichten um so kleiner, je mehr Schichten aneinander abgleiten. Demzufolge ist die Reibungskraft indirekt proportional zum Abstand: F R 1 x. Schliesslich ist die Reibungskraft proportional zur Fläche A. Damit erhalten wir für die Reibungskraft: F R = ηa v, wobei die Proportionalitätskonstante η als Viskosität bezeichnet x wird. 53

14 A v x Strömung durch ein Rohr Infolge der inneren Reibung kann eine Flüssigkeit nicht beliebig schnell durch ein Rohr strömen. Der Strömungswiderstand führt zu einem Gegendruck. Experimentell hat sich herausgestellt, dass die Strömungsstärke i, das ist das je Zeiteinheit das Rohr durchströmende Volumen, für viele Flüssigkeiten proportional zur Druckdifferenz zwischen den Enden des Rohres ist: i = V p. Flüssigkeiten, die diesem Gesetz gehorchen, t nennt man Newtonsche Flüssigkeiten. Die Proportionalitätskonstante R nennt man Strömungswiderstand. Für ein Rohr mit kreisförmigem Querschnitt (Durchmesser r und Länge l) lässt sich zeigen, dass die Proportionalitätskonstante gegeben ist durch R = πr4. Damit erhalten wir das Gesetz von Hagen-Poiseuille: 8ηl V = πr4 8ηl p Zentrifugation Für die Reibungskraft, die eine Kugel in einer Flüssigkeit erfährt, fand Stokes: F R = 6πηvr Betrachten wir jetzt eine solche Kugel in einer Flüssigkeit, die beschleunigt wird, so treten drei Kräfte auf: Der Auftrieb F A, die Trägheitskraft F T und die Reibungskraft F R. 54

15 Die Geschwindigkeit der Kugel wird so lange steigen, bis die Reibungskraft zusammen mit dem Auftrieb die Trägheitskraft kompensiert: F T = F A + F R. Setzen wir die bekannten Ausdrücke ein: V K ϱ K a = V K ϱ LM a 6πηvr und mit dem Volumen der Kugel V K = 4 3 πr3 folgt: v = 2r 2 (ϱ K ϱ LM ) a 9η. Damit können wir verschiedene kolloidale Stoffe aufgrund ihrer Dichte trennen. Je höher a, desto grösser werden die Geschwindigkeitsdifferenzen verschieden dichter oder grosser Kolloide Turbulente Strömung In der turbulenten Strömung bewegen sich Teilchen auch entgegen der Strömungsrichtung. Es ist sofort aus der Energieerhaltung klar, dass damit die Strömungsgeschwindigkeit abnimmt. Der Strömungswiderstand wird also grösser. Die Turbulenz tritt bei einer bestimmten kritischen Geschwindigkeit v k ein, für die gilt: v k = Kη, wobei K die Reynoldsche Zahl und r der ϱr Radius des Rohres (der Kugel) sind. Im Bereich der turbulenten Strömung hängt die Reibungskraft quadratisch von der Geschwindigkeit ab: F R = c W A Q ϱ m 2 v2, wobei in dem Koeffizienten c W die Geometrie des Körpers enthalten ist. Nochmal Beispiel Auto: Für die Reibungsarbeit gilt: W = F R s, = F R s t mit der Leistung P = W ϱ = F t R v = c W A m Q 2 v3. Das heisst, die benötigte Motorleistung zum Erreichen einer bestimmten Geschwindigkeit geht mit der dritten Potenz der Geschwindigkeit! Wir können jetzt den c W -Wert des Autos (siehe oben) berechnen: c W = 2P A Q ϱ mv mit ϱ Luft = 1.18 kg/m 3 55

16 3 Mechanische Schwingungen und Wellen 3.1 Schwingungen Unter Schwingungen verstehen wir zeitlich periodische Vorgänge, bei denen Energieformen ineinander umgewandelt werden Von einer freien Schwingung sprechen wir immer dann, wenn dem System einmalig Energie zugeführt wurde Im Gegensatz dazu wir bei einer erzwungenen Schwingung dem System periodisch Energie zugeführt Zur Charakterisierung einer Schwingung benötigen wir folgende Grössen: Die Periodendauer T, also die Zeit, die zwischen zwei Wiederholungen ein und desselben Zustandes des Systems verstreicht. Den Kehrwert der Periode nennen wir Frequenz ν und multipliziert mit 2π erhalten wir die Kreisfrequenz ω = 2πν. Die Frequenz hat die Einheit s 1 = Hertz Die Amplitude A, welche den Maximalwert der Auslenkung (allg. der sich periodisch ändernden Grösse) angibt. Die Phase ϕ, also der momentane Schwingungszustand, der sich mit 2πT wiederholt. Es gilt ϕ = ωt + ϕ 0, wobei ϕ 0 die Anfangsphase ist Bewegungsgleichung bei Vorhandensein einer harmonischen Kraft Unter einer harmonischen Kraft hatten wir eine Kraft, die proportional und entgegengesetzt zur Auslenkung eines Systems ist, verstanden. Eine solche Kraft wird zum Beispiel durch eine Feder realisiert. Auch ein Massenpunkt im Schwerefeld der Erde, der auf eine parabolische 56

17 Bahn gezwungen wird, erfährt wegen F = W eine Kraft, die linear s mit der Auslenkung s wächst. Wir können die Bahn eines mathematischen Pendels für kleine Auslenkungen durch eine parabolische Bahn annähern. Die Bewegungsgleichung für einen Massenpunkt bei Vorhandensein einer harmonischen Kraft lautet: m s + Ds = 0 Welche Funktion ist bei zweifacher Ableitung das negative der Ausgangsfunktion? Ansatz s(t) = s 0 cos ωt. Setzen wir dies in die Bewegungsgleichung ein, so erhalten wir: mω 2 cos ωt + D cos ωt = 0. Dies ist sicher erfüllt, falls mω 2 = D gilt. Die Kreisfrequenz des Systems ist also ω = D m. Offensichtlich erfüllt auch die Funktion s(t) = s 0 cos(ωt ϕ 0 ) die Bewegungsgleichung. Um ϕ 0 festlegen zu können, müssen wir die Anfangsbedingung kennen. Die Gesamtenergie eines harmonischen Oszillators erhalten wir, wenn wir zum Beispiel den Zustand maximaler potentieller Energie am Umkehrpunkt betrachten: E P ot = 1 2 Ds2 0, das heisst, die Gesamtenergie ist proportional zum Quadrat der Amplitude. Das Fadenpendel Rücktreibende Kraft: F = mg sin θ Für kleine Winkel gilt: sin θ θ Auslenkung x: x lθ 57

18 Damit: F mg x l Also näherungsweise harmonische Kraft mit D = mg l Damit ω = g l Die Kreisfrequenz hängt also nur von der Länge des Pendels und nicht von der Masse ab Bewegungsgleichung bei harmonischer Kraft und Dämpfung Es tritt ein zusätzlicher Term in der Bewegungsgleichung auf, der eine Reibungskraft beschreibt, die der Bewegung entgegenwirkt. Dieser Reibungsterm kann verschiedene Formen annehmen. Wir betrachten hier eine Reibungskraft, die proportional zur Geschwindigkeit ist: F R = Rṡ, wobei R der Reibungskoeffizient ist. Damit wird die Bewegungsgleichung m s + Rṡ + Ds = 0. Eine Lösung dieser Differentialgleichung ist s = s 0 e δt cos ωt mit δ = R 2m Die Amplitude der Schwingung klingt exponentiell ab, und für die Kreisfrequenz der Schwingung gilt: ω = ω 2 0 δ 2, wobei ω 0 die Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung mit gleichem m und D ist. Für δ ω 0 gibt es keine Schwingung im eigentlichen Sinn mehr, der Massenpunkt kehrt langsam zur Ruhelage zurück. Für δ = ω 0 spricht man vom aperiodischen Grenzfall, der das schnellste Zurückkehren zur Ruhelage realisiert. 58

19 s/s wt Bewegungsgleichung bei periodisch wirkender Kraft: Erzwungene Schwingungen Jetzt trete zusätzlich eine periodisch sinusförmig modulierte, äussere Kraft auf: F A = F 0 cos ωt. Damit wir die Differentialgleichung zu m s + R s+ds = F 0 cos ωt. Die Lösung dieser Differentialgleichung ist: s(t) = A(ω) cos(ωt ϕ 0 ) = F 0 /m (ω cos(ωt ϕ 0), mit ϕ 0 = arctan 2δω. 0 2 ω2 ) 2 +4δ 2 ω 2 ω0 2 ω2 Diese Gleichungen sehen ziemlich kompliziert aus, deshalb stellen wir das Ergebnis für die Amplitude und die Phase graphisch dar: 59

20 5 4 Amplitude ω/ω 0 Die Amplitude erreicht ihr Maximum bei ω = ω 0, wenn also die Erregerfrequenz mit der Eigenfrequenz des schwingenden Systems übereinstimmt. Je kleiner die Dämpfung, desto schmaler und höher wird das Maximum der Amplitude. 60