Oberflächenspannung I

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1 Oberflächenspannung I In einer Flüssigkeit wirkt auf ein Molekül von allen Seiten die gleiche Wechselwirkungskraft mit anderen Molekülen. Diese Symmetrie ist an der Oberfläche verletzt. Ein Molekül hat an der Oberfläche daher eine erhöhte potentielle Energie. Man definiert eine spezifische Oberflächenenergie oder auch Oberflächenspannung: EnergiezunahmebeiOberflächenzunahme σ neueoberfläche Oberflächenspannung gegen Luft bei 18 C: Quecksilber 0,471 N/m Wasser 0,079 N/m Seifenlösung 0,030 N/m Ethylether 0,017 N/m 1

2 Oberflächenspannung II Für eine Kreisfläche gilt: r F r F r r r F A W π σ π π σ Dies ist die Kraft, mit der ein Tropfen an der kreisrunden Öffnung eine Röhrchens hängt. Wird eine kreisrunde Schlinge aus einer Flüssigkeit gezogen, so ergibt sich: r 4 F r 4 F h r h F A W π σ π π σ Der zusätzliche Faktor ergibt sich, da der gezogene Hohlzylinder sowohl innen wie außen eine Oberfläche hat.

3 Beispiel: Tropfen I Tröpfchen zeigen annähernd eine Kugelgestalt. Die (näherungsweise) Kugelform ergibt sich aus der Bedingung, dass die potentielle Energie ein Minimum annehmen muss. Von allen Körpern hat die Kugel das kleinste Verhältnis von Oberfläche zu Volumen. Damit wird also die Oberflächenenergie minimiert. Auch andere Oberflächen von Flüssigkeiten, z.b. Seifenlösung in einem Ring, nehmen sogenannte Minimalflächen an. In grober Näherung hat auch der Tropfen am Ende eines Röhrchens kurz vor dem Abreißen Kugelgestalt. Dann ergibt sich eine einfache Bedingung für das Abreißen aus dem Gleichgewicht zwischen dem Schweredruck im Tropfen und der Oberflächenspannung. 3

4 Beispiel: Tropfen II Am Ende des Röhrchens wächst der Tropfen durch in ihn hineinlaufende Flüssigkeit, bis er unter seinem eigenen Gewicht abreißt. Kurz vor dem Abreißen hängt er an seinem Umfang (U π r, dabei ist r der Rohrradius) mit der Kraft F O U σ π r σ. Beim Abreißen des Tropfens ist dies gleich der Gewichtskraft F G ρ V g: Vρ g π rσ π σ r V g ρ Für Wasser und einen Rohrradius von r 1 mm ergibt sich: 3 V 4,3mm Der Tropfen ist daher nur ein wenig größer als der Rohrdurchmesser. 4

5 Grenzflächenspannung Bei Kontakt zweier Flüssigkeiten mit i.d.r. unterschiedlichen Oberflächenspannungen kommt es zur sogenannten Grenzflächenspannung (z.b. Wasser-Olivenöl: σ 1 0,010 N/m). Beispiel: Schwimmt ein Öltropfen auf Wasser, so hat sowohl der Tropfen wie auch das Wasser je zwei Grenzflächen: Luft und Wasser bzw. Öl und Luft. An jeder Grenzflächen stellt sich eine unterschiedliche Oberflächenspannung ein. Diese können entsprechend den vorhergehenden Betrachtungen über den Krümmungsradius der Grenzflächen in Kräfte übertragen werden. Aus dem Gleichgewicht der Kräfte ergibt sich, dass der Tropfen eine Linsengestalt annimmt, mit unterschiedlicher Krümmung zur Luft und zum Wasser. 5

6 Adhäsion und Kohäsion I Die Kraft, mit der die Flüssigkeitsmoleküle untereinander wechselwirken, bezeichnet man als Kohäsionskraft. Die Kraft, die zwischen einer Flüssigkeitsoberfläche und einer Wand auftritt, bezeichnet man als Adhäsionskraft. Dabei können zwei Fälle unterschieden werden: a) Die Adhäsionskräfte sind größer als die Kohäsionskräfte. Die Flüssigkeit benetzt dann die Oberfläche. b) Die Adhäsionskräfte sind kleiner als die Kohäsionskräfte. Es tritt eine unvollkommene oder gar keine Benetzung auf. a) b) 6

7 Adhäsion und Kohäsion II Aus dem Kräftegleichgewicht ergibt sich der Randwinkel über das Kapillaritätsgesetz: σ cos( σ σ φ Die linke Seite der Gleichung bezeichnet man auch als Haftspannung. Ist diese größer als σ 1, so ist überhaupt kein Gleichgewicht möglich und die Flüssigkeit kriecht an der Wand hoch. Je nach Vorzeichen ergibt sich eine konkave oder konvee Oberfläche der Flüssigkeit im Kontakt mit der Wand. ) 3 φ 1 7

8 Kapillarität I Unter Kapillarität versteht man die Wirkung der Oberflächenspannung einer Flüssigkeit in engen Röhren (Kapillaren). a) b) 8

9 9 Kapillarität II Benetzende Flüssigkeiten (z.b. Wasser) steigen in Kapillaren hoch. Die Steighöhe h lässt sich aus dem Gleichgewicht von Schwerkraft und Oberflächenspannung wie folgt bestimmen: g r h F F mit r F g h r F g o o g ρ σ σ π ρ π In kleinen Kapillaren ist die Steighöhe also größer.

10 Strömende Flüssigkeiten (Gase) Die Flüssigkeitsmenge, die pro Zeiteinheit durch eine bestimmte Fläche tritt, bezeichnet man als Fluss Φ. Die Menge, die pro Zeiteinheit und pro Flächeneinheit fließt, wird als Flussdichte j bezeichnet. r r j ρ v r r Φ jda r r ρ vda Anmerkung: Der Flächenvektor steht immer senkrecht auf der Oberfläche. Dabei trägt nur die Flüssigkeit zum Fluss bei, die senkrecht zur betrachteten Fläche fließt. Offensichtlich kann die Flüssigkeit, die parallel zur Oberfläche fließt, nicht zum Fluss durch diese Fläche beitragen. In Flüssigkeiten ist ρ im wesentlichen konstant (inkompressibel), in Gasen ist sowohl ρ wie auch die Temperatur T eine Variable. 10

11 Kontinuitätsgleichung Aufgrund der Erhaltung der Zahl der Teilchen (Moleküle) muss in einer Zeit t die gleiche Menge Flüssigkeit durch jeden beliebigen Querschnitt fließen (Voraussetzung: keine Quellen oder Senken). Offensichtlich verhält sich dann die Strömungsgeschwindigkeit umgekehrt proportional zum Querschnitt: A 1 v 1 A < A1 v > v 1 A 1 v1 A v (wenn die Dichte der Flüssigkeit konstant bleibt) allgemein : r r M j da ρ dv t t V r da :geschlossene Oberfläche Der Fluss durch eine geschlossene Oberfläche ist gleich der zeitlichen Änderung der Masse im eingeschlossenen Volumen. Ist die Dichte konstant, so ergibt sich die oben angegebene einfache Form der Kontinuitätsgleichung. 11

12 Kontinuitätsgleichung II Die Kontinuitätsgleichung lässt sich alternativ zur integralen Form auch in differentieller Schreibweise ausdrücken. Zunächst eine einfache Betrachtung in einer Dimension: j() A V j(+ ) A A(j( + ) m ρ V & ρ A t t j( + ) j() m j()) t j & ρ + j 0 1

13 Kontinuitätsgleichung III Betrachten wir den stationären Fall, so gilt: j 0 j j 0 konst. Die technische Realisierung eines eindimensionalen Falles wäre ein Rohr konstanten Querschnitts (ohne Beachtung der Verteilung über den Querschnitt). Damit ist anschaulich sofort klar, dass es in einer Dimension keine Möglichkeit gibt, die Flussdichte räumlich zu variieren, ohne die Dichte der Flüssigkeit zeitlich zu verändern. In drei Dimensionen kann sich der Fluss natürlich zwischen den einzelnen Richtungen in unterschiedliche Anteile der Flussdichte aufteilen. 13

14 Kontinuitätsgleichung IV In drei Raumdimensionen ist die Kontinuitätsgleichung eine einfache Verallgemeinerung des eindimensionalen Falls. In kartesischen Koordinaten ergibt sich: j j y j r r z r & ρ & ρ + j 0 mit j ρ u y z Alle Flussänderungen tragen gemeinsam und gleichberechtigt zur zeitlichen Änderung der Dichte bei. Diese Formulierung gilt an jedem Punkt der Flüssigkeit, während die integrale Form nur globale Aussagen (Mittelwerte über das Volumen bzw. die Oberfläche) r r erlaubt: j da ρ& dv Im stationären Fall ist natürlich die zeitliche Ableitung der Dichte Null und die Gleichung wird besonders einfach. Dann gilt vereinfacht ausgedrückt: Was hineinläuft, muss auch wieder hinauslaufen. 14

15 Anwendung Sind die äußeren Parameter vorgegeben, so eistieren zwei unbekannte Größen: Druck und Geschwindigkeit Durch die Kontinuitätsgleichung und die Bernoullische Gleichung sind diese Größen dann eindeutig festgelegt. Mittels dieser Gleichungen lassen sich viele hydrodynamische Phänomenen erklären. Beispiele: Zerstäuber, Wasserstrahlpumpe, Auftrieb an Tragflächen, hydrodynamisches Paradoon 15

16 Bernoullische Gleichung I Der aus der Mechanik bekannte Satz der Energieerhaltung kann auch auf Flüssigkeiten angewandt werden. Dabei gibt es in Flüssigkeiten drei Beiträge zur Energie: potentielle Energie (im Gravitationsfeld), kinetische Energie und zusätzlich noch der statische Druck (innere Energie). 1 p+ ρ v + ρ g h konstant Dabei bezeichnet p den statischen Druck (Stempeldruck), (½ ρ v ) den Staudruck und (ρ g h) den Schweredruck. An jedem Ort ist die Summe dieser drei Drücke konstant. Dies gilt eakt aber nur für ideale, d.h. reibungsfreie, Flüssigkeiten. Daniel Bernoulli ( ), schweizerischer Naturwissenschaftler und Mathematiker 16

17 Kräfte auf ein Flüssigkeitselement Betrachtet sei zunächst ein eindimensionales Flüssigkeitselement. Liegt nun eine räumlich inhomogene Druckverteilung vor, so wirken auf die beiden Seiten des (infinitesimal kleinen) Elementes leicht unterschiedliche Kräfte, die sich nicht kompensieren sondern eine resultierende Gesamtkraft ergeben: F p()a und F p( + )A F p() V p(+ ) 1 A A F 1 F (F mit V A [ p( + ) p() ] (entsprechend für yund z) Die Kraftdichte ist also gleich der negativen räumlichen Änderung des Druckes oder anders ausgedrückt: Druckgefälle und Kraft sind direkt miteinander gekoppelt. f F ) 1 p und f F V A 17

18 Euler-Gleichung Ähnlich wie in der Mechanik eines Massenpunktes lässt sich auch für eine Flüssigkeit eine Bewegungsgleichung aufstellen, wenn man die Masse durch die Massendichte ersetzt: d u p ρ ρ g (Schwerkraft in --Richtung) d t Entsprechendes gilt für die anderen Raumkomponenten. Diese Gleichung wurde bereits von Leonhard Euler ( ) aufgestellt. Sie wird auch mitunter als Impulserhaltungsgleichung bezeichnet. Ohne Strömung (u 0) erhält man damit als Lösung: p p0 ρ g Der Druck nimmt also linear mit der Tiefe zu, wie man es auch aus der Bernouli-Gleichung erwarten würde. Die Bernouli-Gleichung ist aber skalar, während die Euler-Gleichung vektoriell ist (drei Gleichungen) und auch im Fall kompressibler Flüssigkeiten zutrifft. 18

19 Geschwindigkeitsänderungen I In einer strömenden Flüssigkeit hängt die Geschwindigkeit sowohl von der Zeit wie auch vom Ort ab. Nun kann man zwei Grenzfälle unterscheiden. Zum einen kann sich die Geschwindigkeit an einem festen Ort mit der Zeit ändern. Dies beobachtet ein ruhender Beobachter: Rohr u 0 t Beispiel: Pumpe mit periodischen Druckschwankungen, die an ein homogenes Rohr angeschlossen ist. p u ρ t p p j Pumpe cos( ω t) 0 p und j ρ u 0 sin( ω t) + j 0 19

20 Geschwindigkeitsänderungen II Zum anderen kann sich aber auch unter stationären Bedingungen die Geschwindigkeit mit dem Ort ändern. Die zeitliche Änderung, die ein mitbewegter Beobachter (z.b. in einem Boot) sieht ist: u d d t u u 0 Im stationären Fall und für ρ konst. kann dann die Euler-Gleichung leicht (in einer Dimension) nach dem Ort integriert werden: u 1 u p ρ u ρ ρ g 1 ρ u + p+ ρ g konst. Man erhält damit die Bernoulli-Gleichung als Spezialfall. 0

21 Viskosität Eine bewegliche Platte der Fläche A werde gegenüber einer festen Wand im Abstand z verschoben. Zwischen Platte und Wand befinde sich ein dünner Flüssigkeitsfilm. Aufgrund der Reibung bedarf es einer Kraft, die Platte mit konstanter Geschwindigkeit zu bewegen: F η A v z Dabei bezeichnet η die Viskosität. (Wasser bei 0 C: η Nsm - ). Allgemein hängt die Viskosität in Flüssigkeiten stark von der Temperatur der Flüssigkeit ab. In Gasen hingegen nimmt die (sehr viel kleinere Viskosität) mit der Temperatur zu. v 1

22 Innere Reibung in Flüssigkeiten I Betrachten wir zwei Flüssigkeitsfilme die mit (leicht) unterschied- Licher Geschwindigkeit strömen. Die thermische Bewegung der Teilchen in den Filmen sei viel größer als die Strömungsgeschwindigkeit. Damit kommt es zu einem häufigen Austausch von Teilchen Zwischen den beiden Filmen. Die schnelleren Teilchen, die in die Langsamere Schicht eindringen, werden durch Stöße mit den dort Vorhandenen Teilchen abgebremst und ihre gerichtete Energie (ihr Impuls) teilweise in ungeordnete thermische Energie umgewandelt. z Eine solche Dissipation von Energie bezeichnet man als Reibung.

23 Innere Reibung in Flüssigkeiten II Die damit verbundene Reibungskraft F R muss dann proportional zur räumlichen Änderung der Geschwindigkeit senkrecht zur Flussrichtung (z.b. ) sein und in negative z-richtung zeigen. Die Proportionalitätskonstante η bezeichnet man als Viskosität: ( F ) R z η A u Dabei bezeichnet A die Grenzfläche zwischen den Schichten. Die Reibungskraftdichte f R ergibt sich dann über die Differenz der Kräfte, die eine dünne Flüssigkeitsschicht mit ihren beiden Nachbarschichten erfährt. Analog zur Herleitung der Druckkraft führt dies zur Ableitung des Ausdrucks auf der rechten Seite, d.h. zum negativen der zweiten Ableitung der Geschwindigkeit: uz ( f R ) η z 3

24 Innere Reibung in Flüssigkeiten III Dies lässt sich nun unter Berücksichtigung aller Raumdimensionen verallgemeinern: u ( ) z z z f + + R η z y z Für die Reibungskraftdichten in - und y-richtung gilt eine analoge Beziehung. Typische Viskositäten η sind (mn m - ): Wasser 1,00, Benzol 0,65, Quecksilber 1,55, Glyzerin 1480,0 Diese Reibungskraft muss nun noch der Bewegungsgleichung, d.h. der Euler-Gleichung, hinzugefügt werden. u u 4

25 Navier-Stokes-Gleichung Erweitert man die Euler-Gleichung um den Reibungsterm, so nennt man die dann entstehende Gleichung die Navier-Stokes-Gleichung d u ρ d t p u u u + ρ g + η + + y z Claude Louis Marie Henri Navier ( ) und Georg Gabriel Stokes ( ). Sie ist allgemeiner als die Euler-Gleichung und beschreibt auch nicht-ideale Flüssigkeiten. Sie ist in der Regel sehr viel schwieriger zu lösen als die Euler-Gleichung und erfordert in den meisten Fällen eine numerische Behandlung. Der Reibungsterm ist aber sehr wichtig, da er z.b. für Geschwindigkeitsprofile oder auch Wirbelbildung verantwortlich ist. 5

26 Laminare Strömung zwischen zwei Wänden Bei einer stationären horizontalen Strömung in z-richtung zwischen zwei Platten im Abstand d sei der Druck über den Querschnitt überall konstant. Dann reduziert sich die Navier-Stokes-Gleichung allein auf den Reibungsterm und den Druckgradienten in Ausbreitungsrichtung: p uz η z 1 p uz η z ( d ) + u0 u /d -1 1 Dabei ist u 0 die Geschwindigkeit an der Wand. Es ergibt sich also ein parabelförmiges Geschwindigkeitsprofil mit der maimalen Geschwindigkeit in der Mitte. Ein ähnliches Ergebnis erhält man auch für ein Rohr. u 0 6

27 Gesetz von Hagen-Poiseuille Das Geschwindigkeitsprofil einer laminaren Strömung in einem Rohr mit Radius R ist gegeben durch: p R r v( r) Parabelprofil z 4η Den Fluss erhält man durch Integration über den Querschnitt: Φ jda ρ π ρ π Φ v(r)r dr p 8η z Der Fluss ist also etrem empfindlich vom Radius abhängig (R 4 ) (z.b. Arterienverkalkung). Das Gesetz wurde von dem deutschen Ingenieur Hagen 1839 und unabhängig vom französischen Arzt Poiseuille 1840 gefunden. 4 R vda 7

28 Bilanz der Variablen und Gleichungen Sind die äußeren Parameter vorgegeben, so eistieren als unbekannte Größen: Dichte, statischer Druck und Geschwindigkeit. Dabei besitzt die Geschwindigkeit aber drei unabhängige Raumkomponenten. Es gibt also fünf zu bestimmende Größen. Durch die Kontinuitätsgleichung und die Euler-Gleichung (drei Gleichungen) liegen also vier Gleichungen vor. Als fünfte Gleichung dient die Zustandsgleichung (z.b. ideales Gasgesetz), welche dann den Zusammenhang zwischen Dichte und Druck (bei gegebener Temperatur) angibt. Dann sind all Größen eindeutig festgelegt. Mittels dieser Gleichungen lassen sich viele hydrodynamische Phänomenen erklären. Beispiele: Zerstäuber, Wasserstrahlpumpe, Auftrieb an Tragflächen, hydrodynamisches Paradoon 8

29 Stokes-Gesetz Welche Kraft ist erforderlich, um eine Kugel (Radius R) mit konstanter Geschwindigkeit v durch eine viskose Flüssigkeit zu ziehen? Man findet für die Reibungskraft das Gesetz von Stokes: F r 6π η vr Fällt die Kugel im Schwerefeld der Erde, so ergibt sich die konstante Geschwindigkeit durch das Gleichgewicht zwischen Schwerkraft, Auftrieb und Reibungskraft. Damit erhält man für die Fallgeschwindigkeit: v ( ρ ρ ) Körper 9η Kugel g r 9

30 Reynolds-Zahl I Strömungen, deren Verhalten durch die innere Reibung bestimmt ist, werden als laminar bezeichnet. In diesen Strömungen gleiten dünne Flüssigkeitsfilme glatt übereinander. Dies gilt z.b. in der Regel für die Blutzirkulation. Oftmals ist allerdings die Strömung in Flüssen oder Wasserleitungen turbulent. Der Übergang wird durch die Reynolds-Zahl bestimmt. Die Definition dieser Zahl ergibt sich unmittelbar aus der Navier- Stokes-Gleichung, wenn diese auf dimensionslose Gössen umgeschrieben wird. r r t r u Dabei sei L eine charakteristische ξ, τ, w, L T u Länge (z.b. Rohrdurchmesser) 0 und T eine charakteristische Zeit. L mit u0, p0 ρ u0 T r r q p p 0 30

31 31 Reynolds-Zahl II Damit erhält man für die -Komponente der Geschwindigkeit: z y w w w Re 1 q d d w ξ ξ ξ ξ τ Offensichtlich hängt diese Gleichung nur von einem einzigen Parameter ab (und natürlich von den Randbedingungen). Dieser Parameter ist die Reynolds-Zahl: Reibung kin W E u L u L L u Re η ρ η ρ Diese ist das Verhältnis von kinetischer Energie zur Reibungsenergie.

32 Reynolds-Zahl III Für eine unendlich große Reynolds-Zahl geht die Navier-Stokes- Gleichung offensichtlich in die Euler Gleichung für eine ideale Flüssigkeit ohne innere Reibung über. Für kleine Reynolds- Zahlen ist der Reibungsterm sehr groß und das Medium ist eher zähflüssig. Dann ist die kinetische Energie kleiner oder von der gleichen Größenordnung wie die Reibungsverluste und es ergibt sich eine laminare Strömung. Mit zunehmender Reynods-Zahl überwiegt dann der Anteil der kinetischen Energie und ab Werten in der Größenordnung von 10 3 (abhängig von den Randbedingungen) tritt Turbulenz ein. Für Wasser in einem Rohr (L R) liegt die kritische Reynolds-Zahl bei Re c 100. In dünneren Rohren tritt Turbulenz daher erst bei größeren Geschwindigkeiten auf. 3

33 Reynolds-Zahl IV Ein wichtiger Aspekt der hier vorgenommenen Skalierung ist, dass sich damit sofort Aussagen über geometrisch ähnliche Gefäße (Randbedingungen) machen lassen. Durch Einsetzen der entsprechenden Skalen, lassen sich die Lösungen sofort übertragen. 33

34 Turbulenz Wann ist ein Fluss turbulent, d.h. wann liegen Wirbel vor? Summiert man den Fluss entlang eines geschlossenen Weges auf, so ist das Ergebnis für eine laminare Strömung Null und für eine turbulente Strömung weicht es zunehmend von Null ab. laminar Wirbel 34

35 u + u Rotation I Wenden wir die gleiche Betrachtung auf infinitesimal kleiner Skala an, so ergibt sich: u (y+dy) d u d y (y)d u y d u d dyd + d u d y u () y ( + d)dy u y d u d da (y + dy)d y y da d dy u (y) ()dy dyd u (+d) y u y Da die Fläche nun wiederum ein Vektor ist, stellt auch das Ergebnis einen Vektor dar, der in z-richtung zeigt, d.h. senkrecht auf der entsprechenden Ebene steht. In analoger Weise lässt sich die Rotation für die beiden anderen Ebenen im Raum behandeln. u u 35

36 Rotation II Eine besondere Eigenschaft der Rotation ist, dass die Summe vieler kleiner Rotationen in einer Ebene gleich dem makroskopischen Integral über dem Rand entspricht. Alle Anteile innerhalb der Fläche heben sich gegenseitig auf. 36

37 Wirbelvektor Man definiert nun als Maß für einen Wirbel über die vorgestellte Rotation den sogenannten Wirbelvektor. Hier die z-komponente des Vektors: 1 d u y d u Ωz d d y Es lässt sich nun zeigen, dass in einer idealen (reibungsfreien) Flüssigkeit die Größe Z Ω A zeitlich konstant ist. Damit kann in einer solchen Flüssigkeit ein Wirbel weder vergehen noch entstehen (Helmholtzer Wirbelsatz). Wirbel bewegen sich dann wie ein deformierbarer Festkörper mit der Flüssigkeit mit. Sowohl ihre Masse wie auch ihr Drehimpuls bleiben dabei erhalten. Entstehen können Wirbel erst durch Reibung, die zu Instabilitäten zwischen Flüssigkeitsschichten mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten führt. 37

38 Magnus Effekt Rotiert ein Zylinder, so nimmt er an seiner Oberfläche aufgrund der Reibung die Flüssigkeitsströmung mit. Es gibt also eine rotierende Schicht um den Zylinder. Eistiert nun darüber hinaus eine laminare Strömung, so addieren sich die Geschwindigkeiten auf der einen Seite und subtrahieren sich auf der anderen Seite. Damit ergibt sich entsprechend der Bernoulli-Gleichung ein Druckunterschied zwischen den beiden Seiten des Zylinders und der Körper driftet senkrecht zur Flussrichtung der Strömung. Anwendung: z.b. angeschnittene Fußbälle, Schiffe (historisch) + 38

39 Auftrieb an Tragflächen I Aufgrund der Form der Tragfläche legt eine Flüssigkeitsschicht an der Oberseite einen längeren Weg zurück als an der Unterseite. Damit wird die oben entlangströmende Flüssigkeit aufgrund der Reibung mit der Flügeloberfläche stärker abgebremst und ihre Geschwindigkeit am Ende des Flügels ist kleiner als die der unteren Luftschicht. Dies führt am Flügelende zu einem starken Gradienten der Geschwindigkeit senkrecht zur Flugrichtung. Übersteigt dieser Gradient eine gewisse Grenze (die wiederum von u, η und der Geometrie des Flügels abhängt) so kommt es dort zu Wirbelbildung. Nun bleibt aber der Drehimpuls der bewegten Luftmassen erhalten, so dass es einen zweiten, gegenläufigen Wirbel geben muss, der dies kompensiert. Dieser Wirbel bildet sich um den Flügel und verstärkt wie beim Magnus Effekt den Unterschied in den Strömungsgeschwindigkeiten zwischen oberer und unterer Flügelseite. 39

40 Auftrieb an Tragflächen II Die so hinter den Tragflächen entstehenden Wirbel können für dicht nachfolgende Flugzeuge sehr gefährlich sein. Dies gilt insbesondere, wenn das erste Flugzeug groß und das zweite Flugzeug klein ist. 40