Hydromechanik WS 2012/201. /2013 Studienbegleitende Prüfung (Bachelor, Bau- und Umweltingenieurwesen)

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1 Bauingenieur- und Umweltingenieurwesen wesen Universität Kassel- D Kassel Institut für Geotechnik und Geohydraulik Prof. Dr. rer. nat. Manfred Koch Universität Kassel Kurt-Wolters-Str Kassel kochm@uni-kassel.de fon fax WS 2012/201 /2013 Studienbegleitende Prüfung (Bachelor, Bau- und Umweltingenieurwesen) Hydromechanik 15. März 2013, 12:00 14:00 Uhr, Hörsaal I, Diagonale 1 Prüfungsteilnehmer Korrekturbemerkungen Name, Vorname Matrikelnummer Unterschrift Punktebilanz und Note Aufgabe Summe Note Max. Punkte Punkte

2 Aufgabe 1 (3 Punkte) In einem komplett geschlossen 200 L Behälter befindet sich 1kg Sauerstoff unter einem Druck von 300 kpa. Wie hoch ist die Temperatur in K und C im Behälter? Gegeben: Allgemeine Gaskonstante R= 8,31 kj/ ( o K *kmol), O 2 Molare Masse = 32 g/mol Aufgabe 2 (5 Punkte) An einem warmen Morgen um 6 Uhr fängt ein Hawaii Urlauber an zu schwitzen. Die Außenlufttemperatur beträgt 28 C. Aufgrund der hohen Luftfeuchtigkeit werden um 6 Uhr Wasserperlen auf der Haut des Urlaubers auskondensiert. Um 7 Uhr, vor Sonnenaufgang, genießt der Urlauber trotz einer Luftfeuchtigkeit von 90% seinen Urlaub und die herrliche Aussicht. Welche Außentemperatur T 2 hat sich bei einer Luftfeuchtigkeit von 90 % um 7 Uhr eingestellt? 6 Uhr T 1=28 C 7 Uhr T 2=? H r= 90% Gegeben: Formel für die Sättigungsdampfdruckkurve T e s ( t) = e0 exp C + T (e 0 = hpa, T in o C) Aufgabe 3 (4 Punkte) Ein dünnes Glasrohr wird dazu verwendet den Druck in einem Tank zu messen. Der Durchmesser des Rohres beträgt 1 mm und das Wasser besitzt eine Temperatur von 30 C. Das Wasser steigt im dünnen Glasrohr auf eine Höhe von 17 cm an. Wie ist die tatsächliche Steighöhe des Wassers allein aufgrund des Drucks im Tank nach einer Höhenkorrektur aufgrund der Oberflächenspannung des Wassers? Gegeben: Dichte von Wasser bei 30 C ρ W = 996 kg/m³, Oberflächenspannung von Wasser bei 30 C σ = 0,0712 N/m Aufgabe 4 (6 Punkte) Ein 38 m breiter Betondamm ist links mit Druck aus einem Süßwasserreservoir und rechts mit Druck von Meerwasser belastet. a) Berechnen Sie die vertikalen Kräfte auf die Fläche des Dammbodens BC auf der Süßund Salzwasserseite. b) Für den Damm soll ein einfacher Standsicherheitsnachweis geführt werden. Würde eine Reibungskraft von maximal 200 MN ausreichen um die Standfestigkeit des Damms zu gewährleisten? Gegeben: Beton Dichte = 2400 kg/m 3, Süßwasser Dicht = 1000 kg/m 3,Meerwasser Dicht = 1025 kg/m 3 Abbildung ist auf der nächsten Seite

3 Süßwasser Abbildung der Aufgabe 4. 40m Meerwasser C F Reibung 12m 30m 9m Aufgabe 5 (5 Punkte) Die nebenstehend skizzierte Badeplattform aus Holz (Dichte ρ holz = 0,60 g/cm 3, ρ wasser = 1 g/cm 3 ) ist 5,0 m lang, 4,0 m breit und 35 cm hoch. a) Wie viele Zentimeter (in der Höhe) ragt die Plattform aus dem Wasser, wenn niemand auf ihr steht (das Gewicht der Aluminiumleiter kann vernachlässigt werden). b) Nun sitzen Kinder auf der Plattform. Welche Masse dürfen diese zusammen haben, damit die Plattform gerade vollständig in das Wasser eintaucht? Aufgabe 6 (7 Punkte) Gegeben ist eine rechteckige Platte mit einer Drehangel am oberen Ende. Um Wasser vom linken ins rechte Becken einleiten zu können, muss die quadratische Platte über einen Motor gegen den Wasserdruck gehoben werden. Die Betreiber der Anlage haben von einem Motorhersteller Kräfteangaben in kn für verschiedene Motortypen erhalten, mit denen die Platte entgegen des Wasserdrucks gehoben werden kann. h1 Fmotor 4m Motor Ihre Aufgabe ist es die nötige Motorkraft (F motor) zu berechnen, die am Ende der Platte überschritten werden muss, motor damit sich die Platte entgegen des Wasserdrucks heben lässt. Gegeben: quadratische Fläche der Platte = breite x länge = 2m x 4m; α=60 ; h 1=10m, Das Gewicht der Platte ist zu vernachlässigen.

4 Aufgabe 7 (3 Punkte) Bei einer Rohrverzweigung haben die weiterführenden Stränge kreisförmige Durchmesser von d 1= 250mm und d 3 = 150mm. Der Durchfluss im Strang 2 beträgt Q 2 = 30L/s. Durchflussgeschwindigkeit in d 1 beträgt 1 m/s. Wie hoch ist der Durchfluss im Rohrstrang 3 (Q 3). Aufgabe 8 (6 Punkte) Der Druckanstieg durch eine Pumpe in einer Rohrleitung wird als Differerenz dh mit Hilfe von Quecksilber in einem Differenzmanometer gemessen. Die Leistung der Pumpe beträgt 12,5 kw. Berechnen Sie dh. dh Z2 Z1 Gegeben: D 1 = 30 cm, D 2 = 15 cm, Q = 0,1 m 3 /s, ρ Hg = kg/m 3, ρ Öl = 900 kg/m 3 Aufgabe 9 (4 Punkte) Dargestellt ist das Prinzip eines Hebers. Das Wasser fließt vom linken in den rechten Behälter. Berechnen Sie den Durchfluss Q in der Röhre. Vernachlässigen Sie dabei sämtliche Verluste. Gegeben: Durchmesser des Rohres = 150mm Q 3m 2m 6m

5 Aufgabe 10 (7 Punkte) Berechnen Sie den Abfluss Q aus dem Reservoir A zum Reservoir B, der sich am Ausgang der dargestellten Rohrkonstruktion aus einem schon leicht angerosteten Eisenrohr mit 2 Krümmern und einem Sperrventil ergibt. Gegeben: Verlustbeiwerte ζ am Einlauf = 0.5; der beiden Krümmer = 0.9 (jeweils); am Ausgang = 1. Durchmesser des Rohres = 150mm; Rauhigkeit des Eisenrohrs k = 0.26mm; weitere Maße sind der Abbildung zu entnehmen. Verwenden Sie ansonsten die Standardwerte für Wasser. 10m A Q 2m 12m B 20m 40m Abbildung: Moody-Nikuradse Diagramm

6 Lösungen Lösung 1 Aus dem allgemeinen Gasgesetz folgt: p = ρ*r i*t = (m/v)* (R/M) *T mit R i = R/M = individuelle Gaskonstante (M=Molmasse) 300= 1/0.2*(8.31/32)*T 300= *T T = K oder T = = C Lösung 2 Die relative Luftfeuchtigkeit H r ist definiert als das Verhältnis des aktuellen Dampfdruckes e a zum Sättigungsdampfdruck e s bei der jeweiligen Temperatur T1 H r = e a /e s = 1 e a(t1) = e s= * exp(17.62*28/( )) = hpa T2 : H r = e a /e s = 0.9 e a = H r * e s = 0.9* e s (T2) e s (T2) = 37.71/0.9 = 41.9 hpa Suche T 2 bei der e s = 41.9 hpa 41.9 = * exp(17.62*t2/( t2)) = 17.62*T2/( T2) ( T2) = T2 T2 = C 2 Lösung 3 Die gemessene Höhe muss um die Höhe des kapillaren Anstiegs korrigiert werden Höhenkorrektur: 2 0,0712 cos 0 0, , ,9 14,1 Lösung 4

7 F Süßwasser Süßwasser Abbildung der Aufgabe 4. 40m θ θ α α C F Meerwasser Meerwasser F Reibung 12m a) Vertikale Kräfte Fy = F Süßwasser+ Süßwasser+ F Meerwasser+ F Dam 30m F Dam 9m Fy = -ρ Süßwasser ρ DamgA Dam b Süßwassergh Süßwasser Süßwasser/2 cosθ a*b - ρ meerwasser meerwassergh meerwasser/2 cosα a*b - Fy = [-1000*9.81*40/2*(30/50)* *9.81*12/2*(9/15)* *9.81*(30*40/2+9*12/2)]*38 Fy = N = -829 MN b) Horizontale Kräfte Fx = F Süßwasser+ Süßwasser+ F Meerwasser+ F Reibung Fx(hydro) = ρ Süßwassergh Süßwasser/2 sinθ a*b - ρ meerwassergh meerwasser/2 sinα a*b Fx(hydro) = (1000*9.81*40/2*(40/50)* *9.81*12/2*(12/15)*15)*38 = N = N = MN Fx(hydro) MN > F Reibung 200 MN Der Dam ist nicht stabil Lösung 5 a) h' sei die Höhe der Plattform, die aus dem Wasser herausragt, h sei die gesamte Höhe der Plattform, l und b deren Länge bzw. Breite. Bedingung für das Schwimmen der Plattform: Auftriebskraft = Gewichtskraft der Plattform Gewichtskraft der verdr. Flüssigkeit = Gewichtskraft der Plattform Die Plattform ragt um 14cm aus dem Wasser. b) Bedingung für das Schweben der Plattform: Gewichtskraft von Plattform und Kindern = Auftriebskraft Gewichtskraft von Plattform und Kindern = Gewichtskraft der verdr. Flüssigkeit Lösung 6 Die Kinder dürften zusammen eine Masse von 2,8t haben.

8 Z s Motor Z d K h1 F1 Fmotor 4m Schwerpunkt Druckmittepunkt Lage des Schwerpunktes (vertikale Distanz von oben) z s = h1-a*sin(α)/2 (a = Länge der Platte = 4m) =10-4*sin(60)/2 = m im schrägen System: Z s`=10/sin(60) -4/2 = m < z s / sin(60) Kraft auf die Platte: F 1 = ρgz s*a F 1 = 1000*9.81*8.27*(2*4) = N = kn Lage des Druckpunktes im schrägen System Z d`= Z s`+ I 0 /A*Z s = Z s`+ a*b 3 /(12*A*Z s) = *4^3/(12*4*2*9.547) = m Lage des Motordrehpunktes im schrägen System K = 10/sin(60) -4 = m Momentengleichgewicht am Motor F 1*r 1 + F motor*r m = F 1*( Z d`-k ) + F motor*r m = *( ) + F motor*4 = 0 F motor = *( )/4 = N = kn Lösung 7 Kontinuitätsgleichung Durchfluss Q 1= Q 2+Q 3 A 1V 1 = A 2V 2+ A 3V 3 pi*(250/2*1e-3)^2*1 = 30*1e-3+ pi*(150/2*1e-3)^2*1*v 3 V 3= pi*(250/2*1e-3)^2*1 /(30*1e-3+ pi*(150/2*1e-3)^2*1) = m/s Q 3= A 3V 3 = pi*(150/2*1e-3)^2*1* = m 3 /s

9 Lösung 8 a) Anwendung der reibungsfreien (idealen) Bernoulli-Gleichung mit Pumpe zwischen den Punkten (1) und (2) (am günstigsten muss aber nicht-- gemessen von z=0, der Steighöhe des Hg im rechten Schenkel des Manometers) z 1 + p 1/ρg + v² 1/2g + h p= z 2 + p 2/ρg + v² 2/2g mit h p = Förderumpenhöhe (gesucht) h p = z 2+p 2/ ρ Öl g + v 2**2/2g - z 1 -p 1/ ρ Öl g - v 1**2/2g = z 2-z 1 +(p 2-p 1)/ ρ Öl*g + (v 2**2/2g - v 1**2/2g) Es sei dz = z 2-z 1 = Höhenunterschied im Rohr an den Anflaschpunkten des Manometers Nun Ausdrücken der Drücke p 1 und p 2 durch die Drücke p A und p B bei z=0 im Manometer: p A = p 1 + h 1* ρ Öl *g + h * ρ Hg*g p B = p 2 + (dh+ h 1+ z)* ρ Öl *g Wegen p A = p B (statisches Gleichgewicht) p 1 + (z 1- h)* ρ Öl *g + h * ρ Hg*g = p 2 + z 2* ρ Öl *g z 2 - z 1 = - (p 2 - p 1)/ ρ Öl *g + h*g*(ρ Hg - ρ Öl )/ (ρ Öl*g) Eingesetzt in Gleichung für h p = z 2-z 1 +(p 2-p 1)/ ρ Öl*g + (v 2**2/2g - v 1**2/2g) h p = h*(ρ Hg/ ρ Öl -1) + (v 2^2- v 1^2)/2g Die Pumpenleistung P = ρ Öl *g Q*h P = 12.5kW h P= 12.5e3/ρ*g Q = 12.5e3/900/9.81/0.1 = m

10 mit Kontinuitätsgesetz: v1 = Q/A1 = 0.1/(pi*(0.3/2)^2) = m/s v2 = Q/A2 = 0.1/(pi*(0.15/2)^2) = 5.66 m/s hp = (v2^2- v1^2)/2g - dh (1- ρ Hg / ρ Öl) = (5.66^ ^2)/2/9.81 dh( /900) dh = -1*( (5.66^ ^2)/2/9.81) /( /900) = m Lösung 9 Bernoulli-Gleichung p 1= p 2 v² 1= 0 z 1- z 2= 3+2 = 5 m z 1 + p 1/ρg + v² 1/2g = z 2 + p 2/ρg + v² 2/2g z 1 + p 1/ρg + v² 1/2g = z 2 + p 2/ρg + v² 2/2g z 1- z 2 = v² 2/2g 5 = v² 2/2/9.81 v 2 = m/s Q = A*V = pi*(150/2*1e-3)^2*9.905 = m 3 /s Lösung 10 a) Anwendung der Bernoulli-Gleichung mit Verlusten zwischen Wasseroberfläche des Reservoirs (1) und Rohrausgang (2) mit mit und z 1 + p 1/ρg + v² 1/2g = z 2 + p 2/ρg + v² 2/2g + h V h V = h R + h ö Summe der Verluste h R = λ *L/d *v 2²/2g (Reibungsverluste nach Darcy-Weisbach) λ = f(re, k/d), Re = Reynolds-Zahl, k = Rohrrauhigkeit h ö = ζ i* v 2²/2g (Summer der örtlichen Verluste) z 1 + p 1/ρg + v² 1/2g = z 2 + p 2/ρg + v² 2/2g +(λ*l/d + ζ i)*v²/2g mit Werten: z 1= 22m, z 2 = 14m, p 1 = p 2 = 0 (freie Oberfläche), v 1=0, v 2=0 (großes Reservoir), L=72m, d=0.15m; ζ i= 0.5+2*0.9+1 = 3.3, g=9.81 m/s = (λ*72/ )*v 2²/(2*9.81) 8= ( * λ) /19.62 * v² v = (8*19.62/ ( * λ))**0.5

11 Iteration von λ: Startwert λ 1=0.02 v = (8*19.62/ ( * 0.02))**0.5 = m/s Bestimmung von Re im Rohr k/d = 0.26e-3/150e-3 = = 1.73e-3 Re = v *d/ν (ν = kinematische Viskosität ~ 10-6 m 2 /s) =3.488 * 0.15/10-6 = Strömung ist turbulent λ = f(re,k/d) = f(523200, 1.73e-3) Aus dem Moody-Nikuradse Diagramm liest man dann ab: λ 1 ~ Iteration: neue Berechnung von λ 2 ~0.023 v = (8*19.62/ ( * 0.023)) **0.5 = m/s und Re = v *d/ν (ν = kinematische Viskosität) =3.308 * 0.15/10^-6 = Aus dem Moody-Nikuradse Diagramm liest man dann wieder ab: λ 2 ~0.023 Keine Verbesserung von λ: Iteration beendet, v 2 ist korrekt. Berechnung des Abflusses Q: Q =v * A = v *pi*(d/2)^2 = 3.308*pi*(0.15/2)^2 = m 3 /s