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Etta Kaiser
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1 PN1 - Physik 1 für Chemiker und Biologen Prof. J. Lipfert WS 2018/19 Übungsblatt 10 Übungsblatt 10 Besprechung am / Aufgabe 1 Wassertank. Ein Tank soll durch einen komplett mit Wasser gefüllten Schlauch geleert werden (siehe Skizze). Der Schlauch wird über ein Hindernis der Höhe h 2 geleitet und endet am Punkt (3) in einer Höhe h 3 unterhalb des Tankbodens. Der äußere Luftdruck sei p 0. Die Höhe des Wasserspiegels im Tank ist h 1 und die Flussgeschwindigkeit im Tank sei v 1 = 0. Nehmen Sie für die folgenden Berechnungen an, dass sich Wasser wie ein ideales Fluid verhält. Abbildung 1: Skizze Wassertank a) Bestimmen Sie die Ausflussgeschwindigkeit v 3. Wenden Sie die Bernoulli-Gleichung an: p ρ v ρ g H 1 = p ρ v ρ g H 3 (1) Aus der Skizze und der Angabe entnehmen wir: Unter Anwendung der Gleichung (1) folgt: v 1 = 0, H 1 = h 1 + h 3, H 3 = 0, p 1 = p 3 = p 0 (2) p 0 + ρ g (h 1 + h 3 ) = p ρ v 3 2 (3) 1

2 v 3 = 2 g (h 1 + h 3 ) (4) b) Bestimmen Sie den Druck am höchsten Punkt (2) im Schlauch. Wenden Sie die Bernoulli-Gleichung erneut an: p ρ v ρ g H 1 = p ρ v ρ g H 2 (5) Aus der Skizze und der Angabe entnehmen wir: p 1 = p 0, H 1 = h 1 + h 3, H 2 = h 2 + h 3, v 1 = 0 (6) Zusätzlich wissen wir, dass v 2 = v 3 gelten muss (Kontinuitätsbedingung): Unter Anwendung der Gleichung (5) folgt: p 0 + ρg(h 1 + h 3 ) = p ρ v ρ g (h 2 + h 3 ) (7) Aus a) wissen wir: v 3 = 2 g (h 1 + h 3 ) und unter Verwendung der Gleichung (7) folgt: p 2 = p 0 + ρ g (h 1 + h 3 ) ρ g (h 1 + h 3 ) ρ g (h 2 + h 3 ) = p 0 ρ g (h 2 + h 3 ) (8) c) Gegeben sei der konkrete Fall p 0 = hpa, h 1 = 5 m, h 3 = 3 m, ρ Wasser = kg und g = 10 m s 2. Wie hoch kann dann das Hindernis maximal sein, bevor der Wasserstrahl im Schlauch abreißt? Der Wasserstrahl reißt genau dann ab, wenn gilt: p 2! = 0 = p 0 ρ g(h 2 + h 3 ) (9) h 2 = p 0 ρ g h 3 = 7 m (10) 2

3 Aufgabe 2 Bierpipeline. Im Jahr 2010 nahm das Oktoberfestzelt Winzerer Fähndl die erste Bierpipeline der Welt in Betrieb. Durch diese ist es möglich, eine Maß in 4 Sekunden zu befüllen. Das Bier legt dabei 250 m durch das auskeklügelte Rohrsystem zurück. Für die folgenden Berechnungen nehmen wir an, dass das Bier ein ideales, also ein inkompressibles und reibungsfreies Fluid ist, die Leitung aus einem Rohr mit rundem Querschnitt besteht und kontinuierlich betrieben wird. Wiesenbier hat einen Preis von ca. 12 e pro Liter. Bier hat eine Dichte von ungefähr kg. a) Das Oktoberfest ist eine internationale Veranstaltung. Berechnen Sie deshalb den Volumenstrom der Bierpipeline in s. Nehmen Sie dafür einen Wechselkurs von 1 ˆ= 0,0081e. Q = 1 l 4 s 12 ( ) 1 1 0, l s (11) b) Berechnen Sie die Flussgeschwindigkeit in der Leitung. Der Durchmesser der Leitung beträgt d = 5cm. Q l = A v v = Q l A = 1 l 4 s ( d 2 1 ) 2 0,127 m π s (12) c) Wir gehen nun davon aus, dass der Druck in der Pipeline auf der Höhe des Zeltbodens 8 bar beträgt. Die Leitung verläuft allerdings zu großen Teilen 5m unter dem Zeltboden. Wie groß ist die Flussgeschwindigkeit 5 m unter dem Zeltboden? Wie groß der statische Druck? Die Flussgeschwindigkeit ist an allen Stellen im Rohr gleich groß. Nun wenden wir die Bernoulli-Gleichung an: p z ρ v2 + ρ g h z = p uz ρ v2 + ρ g h uz (13) p uz = p z ρ g h uz 8, bar (14) d) Studenten ist der Bierpreis zu hoch, sie bohren deshalb die Leitung hinter dem Zelt an, also auf Zelthöhe. Wie hoch schießt das Bier aus der Leitung? Am höchsten Punkt hat das Bier nur potentielle Energie (also v = 0 m s und p 0 kürzt sich raus: h max ρ g = p B = Pa (15) h max = p B 77,7 m (16) ρ g 3

4 Der Betreiber des Oktoberfestzeltes will die Maßen nun doppelt so schnell zapfen lassen. Als sich die Ingenieure allerdings die Leitung ansehen, stellen sie fest, dass die Reibung doch eine Rolle spielt. Somit muss man auf das Gesetz von Hagen-Poiseuille (welches in der Vorlesung am behandelt wird) zurückgreifen. e) Wie muss die Druckdifferenz zwischen Anfang und Ende der Leitung verändert werden, damit der Betreiber sein Ziel erreicht? Nehmen Sie dafür an, dass die bisherigen Berechnungen trotz neuer Betrachtung noch gelten. Q = π 8 r 4 p p muss verdoppelt werden! (17) η l e) Man entscheidet sich nun doch dafür, die Druckdifferenz und die Länge der Leitung konstant zu halten. Wie muss der neue Durchmesser gewählt werden? Q r 4 r 4 neu = 2 r 4 alt r neu = 4 2 r alt 2,97 cm (18) d = 2 r neu 5,95 cm (19) 4

5 Aufgabe 3 Archimedisches Prinzip. In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit dem Auftrieb in Flüssigkeiten. a) In dieser Teilaufgabe beschäftigen wir uns mit der Aussage, dass nur die Spitze eines Eisberges aus dem Wasser ragt. Berechne zu wie vielen Prozent ein als Quader angenommener Eisberg aus dem Wasser ragt, wenn die Dichte von Salzwasser kg und jene von Eis 920 kg beträgt. Spiel die Form des Eisbergs eine Rolle? Gemäß des Archimedischen Prinzips gilt: ρ Eis V g = ρ SW V g (20) Wobei V das gesamte Volumen des Eisberges ist und V das in Salzwasser eingedrungene Volumen bezeichnet. Formt man diese Gleichung auf den prozentualen Anteil des im Salzwasser befindlichen Eises um, erhält man: V V = ρ Eis ρ SW 0, % (21) Damit ragen lediglich 10% des Eisberges aus dem Wasser, was die Faustregel bestätigt, dass rund 90% eines Eisberges unter Wasser liegen. Die Form des Eisberges spiel hier keine Rolle! b) Nun schichten wir Quecksilber (ρ QS = kg ) und Wasser (ρ W = kg ) in einem großen Gefäß vorsichtig übereinander und geben einen Eisenquader (ρ E = kg ) in das Behältnis. Berechne wie weit der Eisenquader ins Wasser ragt, wenn er eine Höhe von h = 10 cm hat. Auch hier können wir das Archimedische Prinzip nutzen: ρ E V g = ρ QS V g + ρ W (V V ) g (22) Hier ist V das gesamte Volumen des Eisenquaders und V jenes Volumen des Eisenquaders, das in das Quecksilber eingetaucht ist. Da für das Volumen eines Quaders V = A h gilt, wobei A die Grundfläche des Quaders ist, können wir obige Gleichung umschreiben zu: Formen wir dies auf h um, erhalten wir: ρ E h g = ρ QS h g + ρ W (h h ) g (23) h = ρ E ρ W ρ QS ρ W h 5,52 cm (24) Damit ragt der Eisenquader 4,48 cm aus dem Quecksilber in das Wasser. 5

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