Übungsblatt 7 Lösung Besprechung am /

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1 PN1 - Physik 1 für Chemiker und Biologen Prof. J. Lipfert WS 2018/19 Übungsblatt 7 Übungsblatt 7 Lösung Besprechung am / Aufgabe 1 eale Stöße. In der Vorlesung hatten wir die Grenzfälle des (vollständig) elastischen und (vollständig) inelastischen Stoßes behandelt. eale Stöße liegen aber meistens zwischen diesen Grenzfällen. Dies wollen wir in dieser Aufgabe mit Hilfe der phyphox App untersuchen. a) Installiere die App phyphox auf deinem Handy (oder einem dafür ausgeliehenem Handy), falls du es noch nicht für das 5. und 6. Aufgabenblatt gemacht hast (oder bearbeite die Aufgabe mit einer Partner/in die ein geeignetes Handy hat). In diesem Versuch benötigen wir die erste Funktion unter Mechanics mit dem Namen (In)elastic collision. Ein Video mit Demonstrationen und Erklärungen zu dieser Funktion gibt es hier https: // b) Wir wollen nun Energieverluste beim Aufprall eines Gegenstandes auf dem Boden betrachten. Wähle hierzu einen Gegenstand, bei denen man mindestens drei Aufpralle nacheinander beobachten kann, also z.b. Bälle oder Murmeln. Bei Settings sollte der Threshold so gewählt werden, dass Hintergrundgeräusche die Messung nicht beeinflussen. Nun starte die Messung durch Drücken des Play Symbols und lasse den Gegenstand aus einer geeigneten Höhe fallen. Führe die Messung für beide Gegenstände nacheinander durch. c) Notiere die Zeitintervalle zwischen den Aufschlägen auf dem Boden in einer Tabelle. Entweder kannst du sie einfach vom Bildschirm der App notieren oder du exportierst die Daten deiner Messung aus der App und bearbeitest sie in einer Software deiner Wahl (z.b. Excel) weiter. Zum Export der Daten kannst du die Funktion Export Data im Menu oben rechts nutzen. d) Berechne aus den gemessenen Zeitintervallen zwischen den Aufschlägen die maximalen Höhen, die zwischen den Aufschlägen erreicht werden. Hinweis: Zwischen den Aufschlägen auf dem Boden kann man die Bewegung als freien Fall nähern und die gemessenen Zeiten sind die Abstände zwischen zwei Aufprallen, also eine Anstiegs- und eine Fallbewegung. Die hier verwendeten Gegenstände: Cremedose [CD], Plastikflasche [PF] h CD in cm t CD in s h PF in cm t PF in s Für die Berechnung der Höhen verwenden wir die Gleichung: y(t) = 1 2 g t 2 1

2 Die gemessenen Zeiten müssen durch 2 geteilt werden, da die Zeitmessung für die Dauer zwischen zwei Aufprallen gilt. Also im Falle der Cremedose: errechnete Höhe CD in m h 1 = 1 2 9, 81m (0, 5 0, 644s)2 s2 errechnete Höhe PF in m e) Berechne nun die Verhältnisse der Energien jeweils zwischen zwei aufeinanderfolgenden Aufprallen. Dieses Verhältnis E N 1 /E N ist ein Maß für den Energieverlust beim Aufprall, wobei E N die Gesamtenergie des Gegenstandes zwischen zwei aufeinanderfolgenden Aufschlägen ist. Hinweis: Überlege, welche Energie hier involviert sind. Zur Berechnung von E N 1 /E N betrachte den Gegenstand jeweils am höchsten Punkt zwischen den Aufschlägen. Nun soll die Energie berechnet werden, die bei jedem Aufprall verloren geht. Hierfür verwenden wir die Gleichung für die potentielle Energie E pot = mgh Das Verhältnis der Energien zwischen zwei Aufprallen können wir wie folgt berechnen: Die Masse und g bleiben konstant. E N E N 1 = mgh N mgh N 1 E N = E N 1 errechnete Energieverhältnisse CD h N h N 1 errechnete Energieverhältnisse PF E2/E E3/E E4/E f) Kann man aus den bisherigen Berechnungen auf die ursprüngliche Fallhöhe h 0 schließen? Die obige Gleichung nach h N umgestellt und unter der Annahme, dass die Energieverhältnisse zwischen je zwei aufeinander folgenden Aufprallen konstant sind, folgt: h 0 = h 1 E 0 h 1 E 2 2

3 Die berechneten Werte für die Starthöhen Für die Cremedose: h 0 = h 1 E 2 = 1, 5490 m = 154, 90cm Für die Plastikflasche: h 0 = h 1 E 2 = 0, 7381 m = 73, 81cm Aufgabe 2 Star Wars in unserer Galaxie. In 2013 wurde eine Petition an das Weiße Haus eingereicht, mit der Bitte einen Todesstern à la Star Wars zu bauen. Angenommen, dieser wäre gebaut worden, wäre näherungsweise als kugelförmig anzunehmen und hätte ungefähr einen adius von = 450 km und eine mittlere Dichte von ρ DeathStar = 3020 kg. m 3 Der Todesstern soll mittels einer Falcon Lastträgerrakete mit Material und Verpflegung für die Besatzung beliefert werden. Die akete mit aumkapsel und Fracht hat eine Gesamtmasse von m akete = 1, kg. Die Kapsel und die Fracht wiegen 16t. Die Gravitationskonstante ist G = 6, m3. kg s 2 a) Nun gehen wir davon aus, dass sich die akete mit v = 30 m/s dem Todesstern annähert und sich bei der Landung mit einem magnetischen Andockmechanismus fest an der Oberfläche des Todessterns verankert. Was ist die Geschwindigkeit des vor dem Stoß in uhe befindlichen Todesstern nach dem Stoß? Zunächst berechnen wir aus dem adius und der mittleren Dichte die Masse des Todessterns: m DeathStar = ρ V = ρ 4 3 π3 = 1, kg (1) Hier gilt nur Impulserhaltung, außerdem gilt u = u DS = u. Damit berechnet sich die Geschwindigkeit des Todessterns nach dem Auftreffen der akete wie folgt: m v + m DS v DS =m u + m DS u DS = (m + m DS ) u (2) m u = v m v = 1, kg m + m DS m DS 1, kg 30 m s = 3, 81 m s (3) b) Nach Ablieferung der Fracht, soll die akete zur Erde zurückfliegen. Stellen sie eine Gleichung für die Fluchtgeschwindigkeit v F auf (Dies ist die notwendige Geschwindigkeit um den Todesstern zu verlassen und seinem Gravitationsfeld vollständig zu entkommen). Damit sich ein Körper von einem anderen Körper in die Unendlichkeit entfernen kann, muss seine kinetische Energie gleich der potentiellen Energie im Bezug auf den anderen Körper sein. Die potentielle Energie berechnet sich wie folgt: E pot = drf g (r) = GMm dr 1 r 2 = GMm [ 1 r ] = GMm (4) 3

4 wobei der Abstand des sich fort bewegenden Körpers vom Mittelpunkt des anderen ist. Es muss nun gelten: E kin = E pot 1 2 mv 2 F = GMm v F = 2GM (5) c) Was ist die Fluchtgeschwindigkeit v F für den Todesstern? Mit der in b) hergeleiteten Formel berechnen wir: 2GmDeathStar m 3 1, kgs 21 kg v F = = = 584 m m s (6) d) Die akete fliegt nun mit einer Geschwindigkeit v auf den Todesstern (den wir als in uhe befindlich annehmen) zu. Wir betrachten das Auftreffen der akete auf dem Todesstern zunächst als eindimensionalen und vollständig elastischen Stoß. Was ist die Geschwindigkeit der akete nach dem Stoß? Wie groß darf v maximal sein, damit die akete nach dem Zusammenstoß im Schwerefeld des Todessterns bleibt? Da es sich um einen elastischen Stoß handelt, gilt sowohl Energie- als auch Impulserhaltung: p vorher =p nachher E vorher =E nachher (7) m v =m u + m DS u DS 1 2 m v 2 = 1 2 m u m DS u 2 DS (8) m (v u ) =m DS u DS m v 2 m DS v 2 DS = m u 2 (9) Aus Gleichung (9) für die Energieerhaltung folgt: m (v u ) (v + u ) = m DS u 2 DS Mit Gleichung (9) für die Impulserhaltung erhalten wir daraus: m DS u DS (v + u ) = m DS u 2 DS v + u = u DS Einsetzen von u DS in Gleichung (9) für die Impulserhaltung führt auf eine Gleichung für u : u = m m DS m + m DS v (10) Dies wiederum in Gleichung (9) für die Impulserhaltung eingesetzt liefert eine Gleichung für u DS : 2m u DS = v (11) m + m DS Da hier m m DS, reduziert sich (10) auf: u v (12) Die akete bewegt sich also mit der gleichen Geschwindigkeit vom Todesstern weg, mit der sie auf ihn aufgetroffen ist. Damit die akete im Schwerefeld des Todesstern bleibt, muss die Landegeschwindigkeit kleiner sein als die Fluchtgeschwindigkeit. 4

5 Aufgabe 3 Weihnachts-Shopping mit Kollisionen. Oma Emma hat dieses Jahr, um Zeit zu sparen, beschlossen ihre Weihnachtseinkäufe auf Inline Skates zu erledigen. Weil sie jedoch noch nicht so gut auf den ollen unterwegs ist und ab und zu ein paar Tipps braucht, nimmt sie ihren Enkel Julian mit. Nach erledigtem Einkauf rollt Oma Emma, m 1 = 80 kg, mit v = 6 m/s aus dem Geschäft und stößt dann frontal mit ihrem vor dem Geschäft wartenden Enkel zusammen. Nach dem Stoß hält Oma Emma Julian fest, so dass der Stoß als vollständig inelastisch genähert werden kann. a) Was ist die Geschwindigkeit (ichtung und Betrag!) von Oma Emma und Julian nach dem Zusammenprall, wenn der Julian m 2 = 40 kg schwer ist? Der inelastische Stoß kann mit Hilfe der Impulserhaltung gelöst werden: m 1 v 1 + m 2 v 2 = (m 1 + m 2 )u u = m 1v 1 + m 2 v 2 = 80 kg 6 m s + 0 m s m 1 + m 2 80 kg + 40 kg = = 480 kg m s 120 kg = 4 m s b) Was ist die Geschwindigkeit (ichtung und Betrag!) der Beteiligten nach dem Zusammenprall, wenn Oma Emma statt von ihrem Enkel, von ihrem Sohn Bernhard mit m 2 = 120 kg begleitet wird? Analog zu a) mit m 2 = 120 kg u = 480 kg m s 200 kg = 2, 4 m s c) Wie ändert sich das Ergebnis der Teilaufgabe b), wenn Sohn Bernhard Oma Emma mit 3 m/s entgegen fährt? Sohn Bernhard fährt Oma Emma entgegen v 2 = 3 m s p 2 = m 2 v 2 = 120 kg ( 3 m s ) = 360 kg m s p 1 + p 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 = 120 kg m s u = m 1 v 1 = 120 kg m s m 1 + m kg = 0, 6 m s d) Wie ändern sich die Ergebnisse der Teilaufgaben a) and b), wenn Oma und Enkel bzw. Sohn eine elastische Schutzausrüstung tragen, so dass die Stöße als vollständig elastisch genähert werden können? Beim elastischen Stoß fliegen beide Körper getrennt weiter, daher reicht Impulserhaltung alleine nicht um das Problem zu lösen. 5

6 Neben Impulserhaltung gilt allerdings auch Energieerhaltung:,vorher + E 2,vorher =,nachher + E 2,nachher Wir erhalten wieder das aus Aufgabe 2 bekannte Gleichungssystem: m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 u 1 + m 2 u m 1v m 2v 2 2 = 1 2 m 1u m 2u 2 2 (13) u 1 = m 1 m 2 m 1 + m 2 v 1 (14) u 2 = 2m 1 m 1 + m 2 v 1 (15) Für die elastische Variante von Teilaufgabe a) ergibt sich somit: u 1 = 2 m s u 2 = 8 m s Die elastische Variante von Teilaufgabe b) lässt sich wieder analog mit m 2 = 120 kg rechnen. u 1 = 1, 2 m s, u 2 = 4, 8 m s 6