c) Berechnen Sie die Nullstelle der Ableitung ṡ(t) der Funktion s(t) = C 1 e λ1t + tc 2 e λ1t. (Bem.: Wir nehmen C 2 0 und λ 1 0 an.

Transkript

1 Aufgaben Nr.1 Ein Satellit der Masse 600 kg wird auf eine stabile kreisförmige Umlaufbahn um die Erde (Bewegung in der Äquatorebene) gebracht. Der Satellit hat eine Höhe von km über der Erdoberfläche. a) Wie gross ist die Bahngeschwindigkeit des Satelliten? Falls Sie die Bahngeschwindigkeit nicht haben bestimmen können, rechnen Sie mit der Geschwindigkeit v = m s weiter. b) Wie gross ist die Umlaufzeit des Satelliten? [ Punkte] c) Wie gross ist die Hubarbeit beim Transport des Satelliten von der Erdoberfläche in die Höhe von km über der Erdoberfläche? d) Um wie viel Prozent überschätzt man die Hubarbeit, wenn man statt des wirklich existierenden Gravitationsfeldes mit einem Gravitationsfeld rechnet, das überall gleich gross ist wie an der Erdoberfläche? [ Punkte] e) Wie gross ist die insgesamt benötigte Energie mindestens, um den Satelliten auf die stabile Kreisbahn zu bringen? [ Punkte] Nr. Die Bewegung eines gedämpften, harmonischen Oszillators lässt sich mit einer Differentialgleichung der Form m s(t) + αṡ(t) + Ds(t) = 0 beschreiben. a) Eine Masse m = 1 kg, deren Gewichtskraft zu F G = 10 N angenommen werden soll, dehne eine Feder um 0 cm. Die Masse werde um weitere 10 cm in positiver Richtung ausgelenkt und zum Zeitpunkt t = 0 losgelassen. Sie bewege sich in einem Medium, das ihr bei der Geschwindigkeit v = 1 m s den Reibungswiderstand F R = 10 N entgegensetzt. Bestimmen Sie ihre Bewegungsgleichung s(t). (Bem.: Wir nehmen an, die Reibungskraft F R sei proportional zur Geschwindigkeit v der Masse.) [11 Punkte] 1

2 b) Zeigen Sie, dass im Fall α 4Dm = 0 die allgemeine Lösung der obigen Differentialgleichung s(t) = C 1 e λ1t + tc e λ1t lautet, wobei λ 1 die Nullstelle des charakteristischen Polynoms der Differentialgleichung bezeichnet. [6 Punkte] c) Berechnen Sie die Nullstelle der Ableitung ṡ(t) der Funktion s(t) = C 1 e λ1t + tc e λ1t. (Bem.: Wir nehmen C 0 und λ 1 0 an.) [ Punkte] Nr.3 Der nächste Fixstern ist Alpha-Centauri am südlichen Sternenhimmel. Seine Entfernung beträgt 4.5 Lichtjahre. In einer utopischen Studie verkehren Raumschiffe regelmässig zwischen Erde und Alpha- Centauri. a) Wie lange brauchen utopische Raumschiffe, um zum Stern und wieder zurück zur Erde zu gelangen, wenn ihre Geschwindigkeit aus Sicht der Erde v = 0.9 c beträgt? [ Punkte] b) Wie lange würde der Hin- und Rückflug für die Astronauten an Bord des Raumschiffes dauern? [ Punkte] c) Welche Geschwindigkeit müsste das Raumschiff haben, damit für die Besatzung während der Reise nur ein Jahr vergeht? d) Zwei dieser utopischen Raumschiffe fliegen mit der Geschwindigkeit v = 0.9 c (aus Sicht der Erde) aneinander vorbei. Wie schnell erscheint das eine aus Sicht des anderen? e) Wie gross ist die kinetische Energie, die nötig ist, um eine Rakete mit einer Masse von kg auf die Geschwindigkeit v = 0.9 c zu bringen? [ Punkte] Nr.4 Sei φ die Abbildung, welche jedem Vektor v = x y φ( v) = zuordnet. x + y ( x y ) den Vektor

3 a) Interpretieren Sie die Wirkung der Abbildung φ geometrisch. [ Punkte] b) Beweisen Sie, dass φ eine lineare Abbildung ist, d.h. zeigen Sie, dass φ( v + w) = φ( v) + φ( w) sowie φ(λ v) = λφ( v) gilt. [4 Punkte] c) Erklären Sie, weshalb kein Vektor v 0 mit der Eigenschaft φ( v) = λ v existiert, solange wir λ R annehmen. Argumentieren Sie geometrisch! [ Punkte] 1 1 In den folgenden drei Teilaufgaben bezeichne A = die 1 1 zur Abbildung φ gehörige Matrix und n eine natürliche Zahl. a b d) Zeigen Sie, dass die Matrix A n die Form A n = b a haben muss. e) Für welche Zahl n ist A n 131 = ? (Hinweis: Verwenden Sie zuerst die Formel det(a n ) = (det A) n, um zu berechnen, für welche natürliche Zahl n die Aussage A n 131 = stimmen könnte, und beweisen Sie anschliessend, dass diese Aussage für die berechnete Zahl n auch tatsächlich stimmt.) [4 Punkte] f) Diagonalisieren Sie die Matrix A über C, d.h. finden Sie eine komplexwertige Matrix T derart, dass T 1 AT eine komplexwertige Diagonalmatrix D ergibt. Berechnen Sie explizit T 1 und D. [6 Punkte] Nr.5 In einer Induktionstaschenlampe wird ein Permanentmagnet mittels Hin- und Herschütteln durch eine Spule (mit 1500 Windungen) hindurch bewegt. Die dabei erzeugte Spannung wird gleichgerichtet und zum Laden eines Kondensators mit der Kapazität C = 1.5 F genutzt. Zuerst wird die Bewegung des Magneten von Position 1 nach Position betrachtet: Nach Verlassen der Position 1 ergibt sich für eine Dauer von 10 ms noch kein magnetischer Fluss Φ in der Spule. 3

4 Zwischen 10 ms und 50 ms erfolgt ein stetiger Anstieg des magnetischen Flusses auf einen Wert von 100 µvs. Dieser Wert bleibt danach für 10 ms konstant. Anschliessend nimmt er vom Zeitpunkt 60 ms bis 100 ms wieder stetig auf den Wert Null ab. Der Fluss verharrt während 10 ms bei Null bis zum Erreichen von Position. a) Wie sieht das entsprechende massstäbliche t-φ-diagramm für den Verlauf des magnetischen Flusses Φ als Funktion der Zeit aus? [ Punkte] b) Wie gross sind die Beträge der induzierten Spannungen? [ Punkte] c) Wie sieht das entsprechende massstäbliche t-u i -Diagramm aus? d) Wie gross ist die gespeicherte Energie, wenn am Kondensator nach mehrfachem Schütteln eine Spannung von 3 V anliegt? [ Punkte] e) Durch Entladen des Kondensators wird eine Leuchtdiode betrieben. Dem Kondensator wird hierzu eine mittlere Leistung von 0 mw entnommen. Die Diode leuchtet nur, wenn die Kondensatorspannung mindestens 1.5 V beträgt. Wie gross ist die erwartete Leuchtdauer der Diode in etwa? [4 Punkte] Nr.6 a) Welchen Weg b legt ein Flugzeug zurück, wenn es längs des Breitenkreises von Mexiko-Stadt (19 n.l., 99 w.b.) ostwärts nach Mumbai (19 n.l., 73 ö.b.) fliegt? Geben Sie das Resultat in km an. [ Punkte] b) Um wie viel Prozent nimmt die Flugdistanz ab, wenn es stattdessen den kürzesten Weg d wählt? [4 Punkte] c) Zwei Orte A und B seien auf demselben Breitenkreis. Ferner bezeichne M den Mittelpunkt dieses Breitenkreises und ψ den halben Innenwinkel des Dreiecks ABM am Punkt M. Zeigen Sie, dass das Verhältnis d der kürzesten Verbindung der beiden b Orte auf der Erdoberfläche zur Entfernung dieser Orte auf dem Breitenkreis proportional zu sin ψ ist. Beweisen Sie anschliessend, dass dieses Verhältnis mehr als beträgt. [7 Punkte] ψ π 4

5 Nr.7 Die untenstehende Abbildung zeigt einen Wechselstromkreis, für den folgende Werte gegeben sind: R 1 = 30 Ω, R = 15 Ω, R 3 = 100 Ω, L 1 = 80 mh, L = 10 mh, C 1 = 3 µf, C = 7 µf. Der Innenwiderstand des Strommessers sei zu vernachlässigen. a) Berechnen Sie die Effektivstromstärke I eff, die am Strommesser ablesbar ist. [4 Punkte] b) Bestimmen Sie den Winkel φ der Phasenverschiebung mit Hilfe eines Zeigerdiagramms. [4 Punkte] c) Wie gross ist die Wirkleistung P W im Stromkreis? [1 Punkt] d) Welche Energie E gibt der Stromkreis je Minute an die Umgebung ab? [1 Punkt] e) Welche Frequenz würde zu Spannungsresonanz führen? [ Punkte] 5