a) Was ist der Unterschied zwischen einer intensiven und einer extensiven Zustandsgröße?

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1 Übung 1 Aufgabe 2.6: Zustandsgrößen, Systeme und Hauptsätze a) Was ist der Unterschied zwischen einer intensiven und einer extensiven Zustandsgröße? b) G sei eine Zustandsgröße mit der Einheit [G] = J. Welche Einheiten haben dann die Größen g, G m und Ġ? c) Was ist der Unterschied zwischen einem abgeschlossenen, geschlossenen und offenen System? d) Wodurch ist ein adiabates System gekennzeichnet? e) Worin liegt der Unterschied zwischen einer Zustandsgröße und einer Prozessgröße? f) Welches sind die vier Hauptsätze der hermodynamik und was sagen sie aus? g) Welche drei Zustandsgrößen werden im Zusammenhang mit den Hauptsätzen eingeführt und wie sind sie genau definiert? 2

2 Aufgabe 2.7: Entropieänderung beim Schmelzen von Eis und Erwärmen von Wasser Das Schmelzen von 1 kg Eis erfordert eine Wärmezufuhr 333, 3 kj. Das Erwärmen von 1 kg Wasser um 1 K erfordert 418 J, d.h. c H2 O = 418 J kg K. Ein 5 kg schwerer Eisblock der emperatur C habe die Entropie S = J. Er wird K durch reversible Wärmezufuhr geschmolzen, ohne dass sich seine emperatur ändert. a) Welche Entropie wird dem Eisblock beim Schmelzen zugeführt? Anschließend wird das Wasser auf 1 C erwärmt, wobei die Wärmezufuhr wiederum reversibel ablaufen soll. b) Welche Entropie wird dem Wasser dabei insgesamt beim Schmelzen und Erwärmen) zugeführt? Entropieänderung beim Schmelzen von Eis und Erwärmen von Wasser a) Während des Schmelzvorgangs bleibt die emperatur des Eisblocks konstant bei = 273, 15 K. Die Entropieänderung berechnet sich zu ds = δq kj 5 kg 333, 3 kg S 1 S }{{} = rev 273, 15 K = 6, 11 kj K = Anmerkung: Die Entropieänderung des Eisblocks ist damit auch für den Fall berechnet, dass die Wärmezufuhr nicht reversibel erfolgt dieser Fall gilt übrigens immer). In diesem Fall erfolgt die Wärmezufuhr bei einer höheren emperatur als 273, 15 K und enthält folglich einen kleineren Entropiestrom. Der Wärmestrom folgt einem emperaturgradienten und vermehrt dabei die ihm zugeordnete Entropie, die dann schließlich die 6, 11 kj erreicht. Die Entropie des geschmolzenen Wassers hängt nicht K davon ab, wie der Schmelzvorgang erfolgte, denn die Entropie ist eine Zustands- und keine Prozessgröße. b) Die Erwärmung des Wassers ist ein komplizierterer Fall der Entropieberechnung, weil sich - anders als beim Phasenwechsel - die emperatur während der Wärmezufuhr ändert. Es gilt: 2 1 ds = δq = m c H 2 O d ds = 2 1 m c H2O d = m c H2 O d S 2 S 1 = m c H2 O [ln ] 2 1 = m c H2 O [ln 2 ln 1 ] S 2 = S 1 + m c H2 O ln 2 1 = 6, 11 kj K + 5 kg 418 J kg K ln 283, 15 K 273, 15 K = 6, 852 kj K Auch dieses Ergebnis ist unabhängig von der Art der Prozessführung. Die Entropie des erwärmten Wassers hängt nur von den Zustandsgrößen des Wassers ab und nicht davon, wie es zu dieser Situation kam. 3

3 Aufgabe 2.8: Grundbegriffe der hermodynamik Erläutern Sie die folgenden Grundbegriffe der hermodynamik: a) Extensive und intensive Zustandsgrößen, b) molare und spezifische Zustandsgrößen, c) thermodynamisches System, d) adiabat; isobar, isotherm und isochor sowie e) Prozessgrößen. Erläutern Sie die wesentlichen Aussagen der Hauptsätze der hermodynamik. Grundbegriffe der hermodynamik a) - e) Vgl. Skriptum zur Vorlesung Nullter Hauptsatz führt emperatur axiomatisch ein , 15 = t K C Erster Hauptsatz führt Energie axiomatisch ein. Energie ist eine extensive Zustandsgröße, sie ist für ein abgeschlossenes System konstant, Wärme ist eine Energieform keine Zustandsgröße!). Energieanteile: kinetische Energie E kin potentielle Energie E pot innere Energie U Gesamtenergie E = E kin + E pot + U Zweiter Hauptsatz führt Entropie axiomatisch ein. Extensive Zustandsgröße, die in einem abgeschlossenen System konstant bleibt oder zunimmt durch Irreversibilitäten). ds system = ds a + ds i mit ds a = δqrev und ds i = δψ = ds prod Häufig auch Ṡ = Ṡa + Ṡi = Q rev + Ψ mit Ṡa Entropieströmung und Ṡi Entropieerzeugung Ṡ a > Ṡ a = Ṡ a < Ṡ i > Ṡ i = positiv: Wärmezufuhr null: adiabate Systeme ohne Wärmeaustausch) negativ: Wärmeabfuhr positiv: irreversible Prozesse nicht umkehrbar) null: reversible Prozesse umkehrbar) Dritter Hauptsatz legt Nullpunkt der Entropie am absoluten Nullpunkt der emperatur fest: s abs K, p) =. 4

4 Aufgabe 3.1: Innere Energie einer Luftsäule a) Bestimmen Sie die gesamte innere Energie einer Luftsäule über einer quadratischen Meeresoberfläche A = L 2 = 1km 2. Die Luftsäule reicht vom Meeresspiegel bis zur Höhe z 1. Die spezifische innere Energie u = 2 kj sei über das betrachtete Volumen kg konstant. Es gilt für die innere Energie Uz 1 ) des Gesamtsystems: Uz 1 ) = V u ϱz)dv mit ϱz) = ϱ e ϱ gz p Die Dichte in Meereshöhe beträgt ϱ = 1, 23 kg m 3. Der Druck in Meereshöhe beträgt 1, 13 bar = 113 P a = 113 N m 2. Die Erdbeschleunigung beträgt g = 9, 81 N kg. b) Welche innere Energie hat die Luftsäule, wenn über die gesamte Erdatmosphäre integriert wird, d.h. beim Grenzübergang z 1? Innere Energie einer Luftsäule a) Es wird ein Koordinatensystem eingeführt, dessen Ursprung in Höhe des Meeresspiegels auf einer Ecke der Grundfläche liegt, so dass die x-und die y-koordinate jeweils von bis L = 1 m laufen. Die z-koordinate gibt die Höhe über dem Meer an. Es gilt: V z) L L u p g ϱu dv = L L z 1 u ϱ [ p ϱ g e ϱ gz p ϱ e ϱ gz p u dz dx dy = ] z=z1 z= dxdy = u p g ) L 1 e ϱ gz 1 p L dy = L2 u p g 1 m 2 2 kj 113 N kg m 2 9, 81 N kg 2, J 1 e z 1 m 1 e ) 1 e ϱ gz 1 p 1 e ϱgz 1 p ) = ) L L 1,23 kg m 3 9,81 kg N z N m 2 = dxdy = b) Für z geht der erm e z 1 m Energie für diesen Grenzfall 2, J. gegen null. Folglich beträgt die innere 5

5 Aufgabe 3.3: Bestimmung der Geschwindigkeit einer Luftgewehrkugel Ein Schütze will die Geschwindigkeit einer Luftgewehrkugel mit der Masse m = 1, 5 g bestimmen. Zu diesem Zweck schießt er horizontal auf einen ruhenden 5 g schweren Wachskörper, der an einem Pendel hängt. Das Pendel wird durch den Schuss so ausgelenkt, dass der Umkehrpunkt 1,4 cm höher liegt als der Ruhepunkt. Welche Geschwindigkeit hatte die Kugel beim Auftreffen auf den Wachskörper? Bestimmung der Geschwindigkeit einer Luftgewehrkugel Wir betrachten die Zustände 1 vor Eindringen der Kugel), 2 nach Eindringen der Kugel) und 3 Pendel am Umkehrpunkt). Die Geschwindigkeit des Pendels im Zustand 2 berechnet sich aus der Energieerhaltung: E pot,3 = E kin,2 mgz = m 2 c2 2 c 2 = 2gz =, 524 m s Die Geschwindigkeit der Kugel im Zustand 1 berechnet sich aus der Impulserhaltung: m K + m W )c 2 = m K c 1 c 1 = m K+m W )c 2 m K = 51,5 g,524 m s 1,5 g = 17, 99 m s 6

6 Aufgabe 3.4: Kollision zweier Satelliten Ein Satellit der Masse m 1 = 1 kg bewegt sich mit der Geschwindigkeit c 1 = 1 km s in Richtung der x-koordinate. Er kollidiert mit einem zweiten Satelliten, der sich vor dem Stoß mit der Geschwindigkeit c 2 = 6 m in Richtung der negativen x-koordinate s bewegt. Bei dieser Kollision entsteht ein Schrotthaufen, der sich mit der Geschwindigkeit c Schrott = 2 m in die Richtung der positiven x-koordinaten bewegt. s a) Welche Masse hatte der zweite Satellit? b) Wieviel Energie wurde bei der Kollision in andere als kinetische Energieformen umgewandelt? c) Welche Energie wird umgewandelt und welche Schrottgeschwindigkeit wird erreicht, wenn der zweite Satellit sich mit derselben Geschwindigkeit wie in a) in Richtung der positiven x-achse bewegt? Kollision zweier Satelliten a) Wir betrachten ein System, das beide Satelliten umfasst. Die Impulsbilanz für dieses System lautet dann, da von außen keine Kräfte angreifen: m 1 c 1 + m 2 c 2 = m Schrott c Schrott = m 1 + m 2 )c Schrott m 2 = m 1 c Schrott c 1 c 2 c Schrott b) Aus dem Ersten Hauptsatz folgt: = 1 kg 2 m s 1 m s 6 m s 2 m s U 2 U 1 + E kin,2 E kin,1 = = 1 kg U 2 U 1 = E kin,1 E kin,2 = m 1 c m 2 c 2 2 m 1+m 2 ) c 2 Schrott = J + 1, J J = 6, J c) Bei Bewegung der Satelliten in derselben Richtung gilt ebenfalls die Impulserhaltung wie in eil a) : m 1 c 1 + m 2 c 2 = m Schrott c Schrott = m 1 + m 2 )c Schrott c Schrott = m 1c 1 +m 2 c 2 m 1 +m 2 = 1,6 16 kg m s = 8 m 2 kg s Die Erhöhung der inneren Energie der Satelliten berechnet sich wie in eil b): U 2 U 1 = E kin,1 E kin,2 = m 1 c m 2 c 2 2 m 1+m 2 ) c 2 Schrott = J + 1, J 6, J = J Anmerkung: Bei realen Satellitenkollisionen bildet der Schrott natürlich keine einheitliche, beieinander bleibende Masse - sehr zum Leidwesen der echniker, die immer mehr kleine rümmerteile und damit steigende Kollisionsgefahren im erdnahen Weltraum registrieren. 7