Institut für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I - Lösung 5

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1 Aufgabe 20 In einem Kalorimeter soll die mittlere spezifische Wärmekapazität eines Öls zwischen 20 C und 00 C bestimmt werden. Das Kalorimeter wurde mit 3 kg Öl gefüllt. Mit einer elektrischen Heizung P el = 800 W, wurde es in 22 Minuten von 20 C auf 00 C aufgeheizt. In den Vorversuchen wurde für das Kalorimeter eine Wärmekapazität C K = 6,3 kj K ermittelt und festgestellt, dass während der Versuchsdauer ca. Q V = 42 kj durch die Isolierung hindurch an die Umgebung verloren gehen. Wie groß ist die mittlere spezifische Wärmekapazität des Öls in diesem Temperaturbereich? Gegeben: möl = 3 kg P el = 800 W Q V = 42 kj C K = 6,3 kj K Q V Verlustwärme Q K Wärmeaufmahme Kalorimeter P el elektrische Arbeit Q el zugeführte elektrische Wärme Gesucht: mittlere spezifische Wärmekapazität des Öls cöl. Zusammenhang für c v kalorische Zustandsgleichung: du(t,v) = ( ) u dt + T v } {{ } c v(t,v) ( ) 0 u v dv T fürendlichestemperaturintervall:t < T < T 2 und v = v 2 v << v bzw. V m =const(prozessvorgabe)kanndiemittlerespezifischewärmekapazitätc v ermitteltwerden!(mit c v = Cv m )

2 2 du = c v dt du = u 2 u = u 2 u T 2 T = Definition für v = const: c v = 2 2 T 2 T 2 T c v dt c v dt : (T 2 T ) T 2 T T c v dt 2 c v dt c v = u(t 2) u(t ) T 2 T = u T 2. Berechnung von cöl : 0, da V = const Bilanz: 2 U = Q 2 + W 2 2 UÖl = i Q i = Q el Q V Q K Q el = P el τ = 800 W s = 056 kj Q V = 42 kj Q K?. HS für geschlossenes System U K = Q K + 0 W K Q K = C K (T 2 T ) = 6,3 kj K (00 20)K = 504 kj 2 UÖl = ( )kJ = 50 kj 2 u = 2UÖl möl cöl = 2u T = J 3 kg = J kg = J kg (00 20)K = 225 J 2

3 Aufgabe 2 Ein würfelförmiger Stahlblock mit einem Gewicht von 4 kg wird zum Schmieden von 20 C auf 00 C erwärmt. a) Welche Wärmemenge muss ihm dabei zugeführt werden? Die spezifische Wärmekapazität von Stahl beträgt c S = 0,7 kj. Nachdem der Stahl sich während des Schmiedens auf 850 C abgekühlt hat, wird er in einem Wasserbecken mit einer Temperatur von 30 C und 000 kg Fassungsvermögen, abgeschreckt. Wasser besitzt die spezifische Wärmekapazität c W = 4,9 kj. b) Welche Gleichgewichtstemperatur stellt sich ein, wenn der Behälter von außen vollkommen wärmeisoliert ist und seine Wärmekapazität C B = 20 kj K beträgt? Gegeben: m Stahl = 4 kg t = 20 C T = 293,5 K t 2 = 00 C T 2 = 373,5 K Gesucht: Q 2 T Gleichgewicht a ) Welche Wärmemenge muss dem Stahlblock zugeführt werden? Bilanz:. HS für geschlossenes System: 2 U = Q 2 + isochor W 2 Q 2 = m 2 u = m T 2 T c S dt T 2 = m c S dt T = m c S (T 2 T ) = 4 kg 700 J (373,5 293,5)K = 0,584 MJ hier ist auch die Temperatur in C möglich 3

4 b ) Welche Gleichgewichtstemperatur stellt sich nach dem Abschrecken ein, wenn der Behälter von außen vollkommen wärmeisoliert ist? System: adiabat, bestehend aus Teilsystemen Stahlblock, Wasser und Behälter Zustände: Anfang () T S, TW = T B Ende (2) T S 2 = TW 2 = T B 2 = T 2 v const. HS für geschlossenes Gesamtsystem 2 U Σ adiabat = Q Σ 2 + isochor W2 Σ = 0 2 U Σ = i 2 U i = 0 würde man die Summe der Einzelsysteme betrachten, so würde das gleiche folgen! 2 U S = m S c S (T 2 T ) S 2 U W = m W c W (T 2 T ) W 2 U B = m B c B (T 2 T ) B = C B (T 2 T ) B m S c S (T 2 T ) S +m W c W (T 2 T ) W +C B (T 2 T ) B = 0 T 2 = m S c S T S +m W c W T W +C B T B m S c S +m W c W +C B = J J 4 kg ,5 K+000 kg ,5 K J K 303,5 K = 305,05 K = 3,90 C 4 kg 700 J +000 kg 490 J J K 4

5 Aufgabe 22 In einem vollkommen wärmeisolierten Gefäß (m G = 0,5 kg) befinden sich 2 kg siedendes Wasser bei p = pu =,0 bar im thermischen Gleichgewicht mit dem Gefäß. Nach dem Hinzufügen eines kg schweren Kupferstücks mit t K = 20 C stellt sich im Gesamtsystem nach einiger Zeit eine einheitliche Temperatur T E ein. Wiegroß istdiesetemperaturt E,wenndieWärmekapazitätdesGefäßesnichtvernachlässigt werden kann? Hinweis: Spezifische Wärmekapazität: Wasser c W = 4,9 kj Kupfer c K = 0,40 kj Gefäß c G = 0,50 kj Gegeben: m G = 0,5 kg m W = 2 kg p =,0 bar =,0 0 5 Pa m K = kg t K = 20 C T K = 293,5 K System Σ = Gefäß Wasser, Kupferstück (abgeschlossenes, heterogenes System.Hauptsatz für geschlossenes System Σ: 2 U = 0 Q W 2 = 0 2 U = i 2 U i = 0 = m G c G (T E T 00 ) + m W c W (T E T 00 ) + m K c K (T E T K ) Zu Beginn hat das Gefäß die gleiche Temperatur wie das Wasser, also 00 C! t E (m G c G +m W c W +m K c K ) = m G c G t 00 +m W c W t 00 +m K c K t K t E = m G c G t 00 +m W c W t 00 +m K c K t K m G c G +m W c W +m K c K = 0,5 kg 0,5 kj 00 C+2 kg 4,9 kj 00 C+ kg 0,4 kj 20 C = 96,46 C 0,5 kg 0,5 kj +2 kg 4,9 kj + kg 0,4 kj kg kj kg kj C Temperatur kann auch in C eingesetzt werden! 5

6 Aufgabe 23 Die spezifische Wärmekapazität eines Öls kann dadurch bestimmt werden, dass man einen Metallkörper in siedendem Wasser auf 00 C erwärmt und ihn in Liter Glycerin von 40 C und einmal in Liter des zu untersuchenden Öls von 40 C eintaucht. Sowohl das Glycerin, als auch das Öl, befindet sich in adiabaten Behältern. Nach dem Temperaturausgleich misst man im ersten Fall 44,84 C und im zweiten Fall 45,20 C. a ) Wie groß ist die spezifische Wärmekapazität des Öls, wenn die spezifische Wärmekapazität des Glycerins c G = 2,47 kj beträgt? b ) Erhält man für die spezifische Wärmekapazität des Öls einen größeren oder einen kleineren Wert, wenn man die unterschiedliche Erwärmung des Behälters beim Öl im Vergleich zu Glycerin berücksichtigt? Hinweise: Dichte des Öls bei 40 C: ρöl = 855 kg Dichte des Glycerins bei 40 C: ρ G = 255 kg System Σ = Metallkörper + Fluid F Glycerin } {{ } α oder Öl }{{} β Gegeben: t,m = 00 C t,f = 40 C t 2,α = 44,84 C t 2,β = 45,2 C c G = 2,47 kj ρöl = 855 kg ρ G = 255 kg a ) Wie groß ist die spezifische Wärmekapazität des Öls, wenn die spezifische Wärmekapazität des Glycerins c G = 2,47 kj beträgt?. Hauptsatz geschlossenes System: 2 U = 0 Q W 2 = 0 Σ i 2 U i = 2 U M + 2 U F 2 U i = m i c i 2 T i = ρ i V i c i (T 2,i T,i ) 6

7 System M + Glycerin: m M c M (t 2,α t,m ) + ρ G V c G (t 2,α t,f ) = 0 ( ) System M + Öl: m M c M (t 2,β t,m ) + ρöl V cöl (t 2,β t,f ) = 0 ( ) (*) und (**) jeweils nach m M c M auflösen und gleichsetzen ρöl V cöl (t 2,β t,f) t,m t 2,β = ρg V c G(t 2,α t,f) t,m t 2,α c G = c p,g = c v,g = const.,da Flüssigkeit cöl = (t,m t 2,β) (t,m t 2,α) (t2,α t,f) (t 2,β t,f) ρg ρöl c G = (00 45,2) K (00 44,84) K (44,84 40) K (45,2 40) K = 3352,5 J 255 kg 855 kg 2470 J b ) Erhält man für die spezifische Wärmekapazität des Öls einen größeren oder einen kleineren Wert, wenn man die unterschiedliche Erwärmung des Behälters beim Öl im Vergleich zum Glycerin berücksichtigt? M Metall F Flüssigkeit B Behälter Berücksichtigung der Erwärmung des Behälters: Bilanz 2 U i = 2 U M + } {{ } 2 U F + } {{ } 2 U B = 0 } {{ } i <0 >0 >0 2 U M < 0 Temperatur des Öls bzw. des Glyerins ist mit 40 C kleiner als Temperatur des Metallkörpers mit 00 C zu Beginn (t 2 t,m ) < 0! 2 U F > 0 cöl/g m ( T 2,α/β T,F ) > 0 t 2,β = 45,20 C t 2,α = 44,84 C 2 U B > 0 c B m ( T 2,α/β T,F ) > 0 möl cöl,mb 2 T B + 2 U M + 2 U B = 0 cöl, mit Behälter = ( 2U M + 2 U B ) m 2β T = U M U B m 2β T < U M m 2β T = c Öl, ohne Behälter Bei Berücksichtigung des Behälters erhält man eine geringere spezifische Wärmekapazität des Öls. 7