Kinetische Gastheorie

Transkript

1 Physikalische Chemie Physikalische Chemie I SoSe 9 Prof. Dr. Norbert Hampp /4. Kinetische Gastheorie Kinetische Gastheorie In der kinetischen Gastheorie sind die Gasteilchen - massebehaftet - kugelfrmig mit Durchmesser d (mit Ausdehnung) - haben keine Wechselwirkungen, auer elastische Ste - alle Energie liegt als kinetische Energie der Teilchen or - keine Bewegungsrichtung ist beorzugt (isotrop) Es wird weiter angenommen, dass die Teilchen stark erdçnnt orliegen, dass also der Durchmesser d klein ist gegen die freie WeglÉnge, d.h. die zurçckgelegte Distanz zwischen zwei Sten. Das bedeutet, dass ausschlielich Zweierste zu betrachten sind. Die Ste sind Elastische Ste, d.h. Impuls und Energie bleiben erhalten. Die Bindung der Energie des Gases an die Gasteilchen erfolgt in der kinetischen Gastheorie erstmals eplizit. Keine andere Energieform (z.b. Anziehung) auer der kinetischen Energie der Teilchen wird angenommen/zugelassen.

2 Physikalische Chemie Physikalische Chemie I SoSe 9 Prof. Dr. Norbert Hampp /4. Kinetische Gastheorie Geschwindigkeitserteilung on Gasteilchen Beim elastischen Sto bleiben Energie und Impuls erhalten. Zwei Teilchen der asse m fçhren einen elastischen Sto aus mit den Geschwindigkeitsektoren a und b or dem Sto und a und b nach dem Sto. Die Winkel zwischen a und b und und b sind und. a Aus der Energieerhaltung folgt: E E m m m m Aus der Impulserhaltung folgt: kin a b a b a b a b

3 Physikalische Chemie Physikalische Chemie I SoSe 9 Prof. Dr. Norbert Hampp /4. Kinetische Gastheorie p ma mb ma mb a b a b wegen a b a b a b a b a b a b cos cos a b a b Betrachten wir den Spezialfall, dass a b (die beiden Teilchen besitzen or dem Sto die gleiche Geschwindigkeit, die wir o.e.d.a.gleich setzen). Selbst dann ergeben sich unendlich iele glichkeiten fçr die Geschwindigkeiten und den Winkel nach dem Sto in AbhÉngigkeit des Ñberlappungsgrades bei dem Sto. Es kommt also wéhrend des elastischen Stoes zur Önderung der Geschwindigkeiten (und damit der kinetischen Energien) und der Richtungen (und damit der Impulse) der Teilchen. Es kann also keinesfalls eine Gleicherteilung der Gesamtenergie auf die einzelnen Teilchen des Gases angenommen werden. Vielmehr befindet sich der Gesamtimpuls und die Gesamtenergie des Teilchenensembles in einer sténdigen Umerteilung durch die elastischen Ste. Die statistische Verteilung der Energien und Impulse, und damit der Geschwindigkeiten, kann allerdings berechnet werden.

4 Physikalische Chemie Physikalische Chemie I SoSe 9 Prof. Dr. Norbert Hampp 4/4. Kinetische Gastheorie Berechnung der Geschwindigkeitserteilung on Gasen (awell-boltzmann-geschwindigkeitserteilung). Teil der Lsung: Auswahl des Funktionstyps, Normierung der Funktion Die Zahl N der Teilchen mit einer Geschwindigkeit ist: dn ( ) N F( ) d BerÇcksichtigt man dass y z und dass die Geschwindigkeitserteilung der einzelnen Komponenten jeweils gleich sein muss, folgt: F( ) F( ) F( ) y z f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) y z Ç É Die Funktion F bzw. f muss eine Eponentialfunktion sein, denn nur diese hat die Eigenschaft Wir erwenden als Ansatz ep( ) ep( ) Ñep( ) Ñep( ) y z y z

5 Physikalische Chemie Physikalische Chemie I SoSe 9 Prof. Dr. Norbert Hampp 5/4. Kinetische Gastheorie f ( ) a Ñ ep( áb Ñ ) Ö Ü f ( ) Ö Das inus ergibt sich aus der Forderung, dass fçr die Funktion gehen muss, d.h. beliebig hohe Geschwindigkeiten sind nicht mglich. Weiter sind auch nicht beliebig niedrige Geschwindigkeiten mglich, es muss also auch gelten, dass fçr die Funktion geht. Dies muss durch den Vorfaktor a erreicht werden. Ö f ( ) Ö Integriert man Çber alle Wahrscheinlichkeiten fçr die mglichen -Geschwindigkeiten, so ist diese gleich (Normierung). Ü Ü : â ( ) â Ñ ep( á Ñ ) â ep( á Ñ ) f d a b d a b d a b á Ü á Ü Ü a b Ü â ep( áa ) d fr a à a (siehe Formelsammlung: ) Daraus folgt: a b bzw. a b

6 Physikalische Chemie Physikalische Chemie I SoSe 9 Prof. Dr. Norbert Hampp 6/4. Kinetische Gastheorie. Teil der Lsung: Zusammenhang mit Druck des Gases In einem Gasolumen erreichen alle die Teilchen wéhrend der Zeit t die Wand an der Ü+á-Seite mit der FlÉche A und fçhren dort einen elastischen Sto durch, die sich im Volumen A t befinden. nn V Die Teilchenzahldichte ist und der ImpulsÇbertrag pro Sto ist. Da on den Teilchen mit einer Komponente nur die HÉlfte in die Richtung der TestflÉche A fliegen, ist ein Faktor / beim ImpulsÇbertrag zu berçcksichtigen. A / Die ImpulsÉnderung pro Zeit ergibt sich damit zu m ä Impulsbertrag Zeit ã nn A é ç Ñ Ñ Aät Ñ mê / ät å V na V (Hierbei wurde erwendet: olmasse N Ñ m ) A Der Druck p ist definiert als Kraft pro FlÉche. Nach dem Newtonschen Gesetz ist Kraft die zeitliche Ableitung des Impulses. p Druck F dpimpuls na Ñ Ñ A A dt A V n V

7 Physikalische Chemie Physikalische Chemie I SoSe 9 Prof. Dr. Norbert Hampp 7/4. Kinetische Gastheorie Da die Geschwindigkeitserteilung in alle Richtung gleich ist, gilt dies auch fçr das Quadrat der Geschwindigkeiten. y z p Druck n V mn V mn Ñ V Nehmen wir den obigen Ansatz fçr die Funktion f( ) f ( ) a Ñ ep( áb Ñ ) und den bereits ermittelten Zusammenhang zwischen den Werten fçr a und b, a so ergibt sich: Ü â Ñ f ( ) d Ña Ñep( áb ) d áü Ü Ü â áü b b Ñ â Ñep( áb ) d Ñ Ñ 4b b b

8 Physikalische Chemie Physikalische Chemie I SoSe 9 Prof. Dr. Norbert Hampp 8/4. Kinetische Gastheorie Verwendete Formeln: Ü â n e áb d ì ë b í n ã né ç ê å ì( n) ( n á )! fr ganzzahlig posities n ; ì( n) ( n á ) ì( n á ) ; ì( ) und ì( ) Durch Vergleich mit dem idealen Gasgesetz (!) findet man: Daraus folgt: RT it folgt dann. b FÇr a ergibt sich: pv n nrt V ÑV n n b a RT b RT

9 Physikalische Chemie Physikalische Chemie I SoSe 9 Prof. Dr. Norbert Hampp 9/4. Kinetische Gastheorie Aufstellen der Geschwindigkeitserteilungsfunktion Damit lésst sich die gewçnschte Verteilungsfunktion angeben: f ( a b RT RT ) Ñep( á ) Ñep( á Ñ ) FÇr die Funktion F() = [f( )] (siehe oben) ergibt sich mit : F( ) ã ep å ç é RT ê ã ç å á RT Ñ ã ep å ç é RT ê ã ç å á RT Ñ é ê é ê Die Geschwindigkeitserteilung ist kugelsymmetrisch. Daher ergibt sich die Zahl der Teilchen N mit einer Geschwindigkeit on, d.h. N(), als das ÜVolumenelementá in der Geschwindigkeitserteilung das sich aus der zu gehrigen OberflÉche 4Ç und der Dicke d des Volumenelements ergibt. dn ( ) N Ñ F ( ) d dn ( ) N 4 ã é RT RT d ç ê ep ã é ã é ç á ê 4 ç ê Ñ ep ã ç á å å å RT å RT é ê d

10 Physikalische Chemie Physikalische Chemie I SoSe 9 Prof. Dr. Norbert Hampp /4. Kinetische Gastheorie Die awell-boltzmann-geschwindigkeitserteilung fçr Gase ergibt sich zu: F ( ) Ñ ã e å ç é 4 ê Ñ Ñ RT á RT Die Geschwindigkeitserteilung héngt nur on der asse m (bzw. olmasse ) der Gasteilchen und on der Temperatur T ab, genau betrachtet sogar nur auf das VerhÉltnis /T. (Und sonst on nichts!) Geschw indigkeitserteilun g on N in Abhngigkeit on T,5,5 Geschw indigkeitserteilung,, F() [s/m],5, N, àc N, àc N, àc N, 5àC N, àc F() [s/m],5, N, àc N, àc C l, àc H, -8àC N, 9àC,5,5 [m /s] [m /s]

11 Physikalische Chemie Physikalische Chemie I SoSe 9 Prof. Dr. Norbert Hampp /4. Kinetische Gastheorie Drei fçr die Geschwindigkeitserteilung charakteristische Geschwindigkeiten lassen sich errechnen:. ittlere Geschwindigkeit Ü â Ü RT R T RT F d ã é á ç ê Ñ Ñe d ã é ç ê Ñ ã é 4 4 ( ) 4 ç ê å RT â 4 å RT å Ñ R T Ñ 8RT. Wahrscheinlichste Geschwindigkeit, d.h. df ( ) / d ã é î á á 4 ç ê Ñ Ñ Ñ ã é ó RT çá ê Ñ å ñ e RT e ï å ô RT RT ò á ã RT é Ñe çá Ñ ê ö å RT RT. ittlere quadratische Geschwindigkeit Ü â Ñ F d Ü ë í RT e 5 4 á ã é 4 ã é ì ( ) 4ç ê Ñ d 4 5 å RT â ç å RT ë í R T ê 5 RT R T RT

12 Physikalische Chemie Physikalische Chemie I SoSe 9 Prof. Dr. Norbert Hampp /4. Kinetische Gastheorie 8 Die drei charakteristischen Geschwindigkeiten stehen im VerhÉltnis: : : : : Charakteristische Geschwindigkeiten fçr N bei 5ÉC,4,, F() [s/m],8,6,4, [m/s] <â> <> * N, 5àC

13 Physikalische Chemie Physikalische Chemie I SoSe 9 Prof. Dr. Norbert Hampp /4. Kinetische Gastheorie Berechnung der StoÑzahl Das Volumen das ein Teilchen pro Zeiteinheit Üdurchfliegtá nennt man Kollisionszylinder. Er ergibt sich aus dem Durchmesser der Teilchen d und der mittleren Geschwindigkeit zu d Ñ ät Ç ät Der Radius des Stozylinders ist der Durchmesser der Teilchen. Da sich auch die anderen Teilchen bewegen, muss durch die Relatigeschwindigkeit ersetzt werden. In dem Kollisionszylinder ist die Teilchenzahldichte N / V, so dass es zu Z Ç N V Sten pro Zeit und pro Teilchen kommt. Da nicht nur das eine Teilchen Ste ausfçhrt, sondern alle, ergibt sich die Gesamtstozahl pro Zeiteinheit und Volumen Z durch ultiplikation mit N/V. Z Ç ã ç å N V é ê d ã ç å N V é ê 8RT

14 Physikalische Chemie Physikalische Chemie I SoSe 9 Prof. Dr. Norbert Hampp 4/4. Kinetische Gastheorie Die mittlere freie Weglnge ergibt sich indem der pro Zeit zurçckgelegte Weg durch die Zahl der wéhrend dieser Zeit erfolgenden Ste diidiert wird: eines Teilchens É V Ç V Z N Ç N kt Ç p pv N nrt N kn T NkT bzw V kt A. N p (Es gilt: ) A É [mâ] [m s - ] Z [s - ] Z [m - s - ] Ñ [m] H,7Ç Ç 9 Ç 4 Ç -8 N 4,Ç Ç 9 8,5Ç 4 6,8Ç -8