6. Quantenstatistik für Ladungsträger

Transkript

1 6. Quantenstatistik für adungsträger Bisher haben wir ausgehend von der Schrödingergleichung zahlreiche Eigenschaften der Elektronen in Halbleiterkristallen hergeleitet. Zum Abschluss des letzten Kapitels haben wir festgestellt, dass Elektronen im eitungsband und öcher im alenzband die Träger des Stromflusses im Halbleiter sind. Nun stellt sich die rage unter welchen Umständen wie viele Elektronen und öcher in den entsprechenden Bändern existieren und wie viele überhaupt in einem Band unterkommen. Um diese Probleme zu behandeln, benötigen wir die Konzepte der Zustandsdichte und müssen uns mit der ermi-erteilung beschäftigen, der die Elektronen gehorchen. Am Ende werden wir dann in der age sein, zu bestimmen, wie viele freie adungsträger in Abhängigkeit von gewissen Parametern im Halbleiter existieren Zustandsdichte Das Konzept der Zustandsdichte können wir uns wie folgt veranschaulichen: Eine Badewanne mit üllstandsanzeige werde mit Wasser gefüllt. Nun protokollieren wir mit, wie viele iter Wasser pro Zentimeter üllhöhe aus dem Hahn fließen. Der resultierende erlauf hängt von der orm der Wanne ab (Abbildung 6.1-1). Abbildung 6.1-1: Erläuterung zur Zustandsdichte je nach orm der Wanne passen unterschiedliche viele iter Wasser bei einer bestimmten üllhöhe pro Zentimeter in die Wanne. Analog dazu kann man eine Zustandsdichte für Elektronen oder öcher im Halbleiter definieren. Hier füllen wir ein Band mit Elektronen, der üllstandsmesser ist unsere Energieskala und tragen auf, wie viele Elektronen pro olumen und pro Energieeinheit ins Band passen (Abbildung 6.1-). 114

2 Energie in e Abbildung 6.1-: Zustandsdichte Die Zustandsdichte gibt an, wie viele Elektronen pro olumeneinheit und pro Energieintervall in einem System maximal vorhanden sein können, das heißt, wie viele Elektronenplätze es in dieser Energieregion gibt. Elektronen pro e und olumen Wir erinnern uns, dass Elektronen ermionen sind und wir deshalb wirklich von einem Auffüllen des Bandes sprechen können. Genauso wie zwei Wassermoleküle nicht am selben Platz sein können, können zwei Elektronen nicht am selben Platz dieselbe Energie haben. Wir müssen das zweite Elektron in den nächsthöheren Energiezustand packen. Aber wie viel Platz nimmt ein Elektron ein? Diese rage können wir mit Wissen aus Kapitel beantworten. Wir betrachten nochmals einen würfelförmigen Halbleiterbrocken mit der Kantenlänge. Die Überlegungen im Abschnitt. haben ergeben, dass nur Elektronen mit einer bestimmten Wellenzahl k in einem solchen Kristall existieren können. Diese Zahlen waren: k k k x y z π = n π = n π = n x y z Wobei die n i natürliche Zahlen sind. Etwas andere Wellenzahlen erhält man, wenn periodische Randbedingungen gewählt werden. Wir fordern also für die ösung der Schrödingergleichung ψ ( r + ) = ψ ( r) der Kristall wird also gedanklich periodisch fortgesetzt. Mit dieser Annahme kommen wir zu Wellenzahlen, die wie folgt aussehen: k k x y π = n x π = n y

3 k z π = n z Hier sind die n i diesmal die ganzen Zahlen. Der Abstand zwischen zwei erlaubten Zuständen ist also π/, da wir von einem Würfel ausgehen ist er in allen drei Raumrichtungen gleich. Wenn wir nun im k-raum jeden Punkt mit einem Kreuz markieren, der zu einem erlaubten Wellenvektor gehört, erhalten wir ein Gitter wie in Abbildung 6.1- (der besseren Übersichtlichkeit halber in zwei Dimensionen gezeichnet). Das Gitter der Kreuze für die erlaubten Zustände füllt den Raum aus, die Abstände zwischen zwei Kreuzen sind überall gleich. Abbildung 6.1-: Die erlaubten Zustände haben in jeder Richtung jeweils um π/ unterschiedliche Wellenvektoren. Deshalb kann man sie darstellen, indem man im k-raum jeden Punkt, der einen erlaubten Zustand darstellt, markiert. Es resultiert ein Gitter mit äquidistanten Punkten. Als läche, die ein Zustand einnimmt, kann man ein Quadrat mit der Kantenlänge π/ bezeichnen. Die ganze k x -k y -läche kann mit diesen Quadraten gekachelt werden, wobei in jedem nur ein Zustandskreuz liegt. Umschließt man nun jeden dieser Punkte mit einem Würfel (in der Zeichnung mit einem Quadrat), so dass der gesamte Raum ausgefüllt ist, hat jeder dieser Würfel die Kantenlänge π/. Innerhalb eines solchen Würfels liegt nur noch ein einziger Punkt, der zu einem erlaubten Zustand gehört. Daher kann man sagen, dass ein Zustand das olumen Zus tand 8π 8π = = Kristall im Zustandsraum einnimmt, wobei dem Gesamtvolumen des Kristalls im Ortsraum entspricht. In der parabolischen Näherung für die Bandverläufe gilt folgender Zusammenhang zwischen Energie und Wellenvektor: W k k k k = = m m ( x + y + z ) eff eff Durch einfaches Umformen gelangen wir zu folgender orm der Gleichung: 116

4 Wmeff = k + k + k x y z Nun vergleichen wir den Ausdruck mit der Gleichung, die eine Kugel mit dem Radius r beschreibt: r x y z = Wir erkennen, dass es mit Gleichung eine Kugel im k-raum mit dem Radius Wmeff definiert wird. Alle Zustände, die eine Energie kleiner als W haben, liegen innerhalb dieser Kugel (Abbildung 6.1-4, in zwei Dimensionen liegen die erlaubten Zustände innerhalb eines Kreises). Wmeff = k + k x y Abbildung 6.1-4: Zustände bestimmter Energie W liegen auf einem Kreis in der k x -k y -Ebene. Alle Zustände mit einer geringeren Energie liegen folglich innerhalb dieses Kreises. Um herauszufinden, wie viele Zustände einer Energie kleiner W existieren, kacheln wir den Kreis mit den Quadraten, die jeweils einen Zustand enthalten. In Realität ermöglicht die große Zahl der Zustände eine bessere Approximation des Kreises. In drei Dimensionen liegen die Zustände mit einer Energie niedriger als W folglich innerhalb einer Kugel. Nun haben wir fast alle oraussetzungen, die wir für die Berechnung der Zustandsdichte brauchen. Wir wissen zum einen, dass jeder Zustand ein gewisses olumen einnimmt und zum anderen, dass die Zustände, die höchstens eine bestimmte Energie W haben, innerhalb einer Kugel liegen. Wenn wir nun das olumen dieser Kugel durch das olumen eines Zustands teilen, erhalten wir die Anzahl der Zustände mit einer Energie kleiner W: ( Wm ) 4π 4π r NW ( ) = = = = W eff / alle Zustände ( meff ) / ein Zustand 8π 8π 6π / Da die Anzahl der Zustände sehr groß ist, kann man die ehler bei der Approximation einer Kugel durch Würfel vernachlässigen. Wir waren jedoch ursprünglich an der Dichte der Zustände, nicht der Gesamtzahl, interessiert. Da die Dichte die eränderung der Zustandszahl pro Energieintervall bezeichnet, berechnet sich diese durch Ableiten aus Gleichung (wir ersetzen 117

5 die diskrete unktion durch eine kontinuierliche, das ist erlaubt, weil die Zustände sehr dicht liegen). ( ) / m eff 1/ dn( W ) DW ( ) = = W dw 4π Nun müssen wir noch beachten, dass jeder Zustand von zwei Elektronen mit gegensätzlichen Spins besetzt werden kann, somit verdoppelt sich die Anzahl der möglichen Zustände. Wenn wir nun noch durch das olumen des Kristalls Kristall = teilen, erhalten wir das Endergebnis. 1 dn( W ) ge( W) = = dw π ( m ) / eff 1/ W Die Zustandsdichte der Elektronen hängt für einen dreidimensionalen Kristall also von der Quadratwurzel der Energie ab Zustandsdichte in der Parabelnäherung Um letztendlich die Zustandsdichte der Elektronen im alenz- und eitungsband zu erhalten, müssen wir lediglich den jeweiligen Bezugspunkt für die Energie, also das Maximum des alenzbandes und das Minimum des eitungsbandes, sowie die effektiven Massen in Gleichung einsetzen. Wir unterdrücken ab hier den Index eff für die effektive Masse, da wir uns fast ausschließlich mit Kristallelektronen beschäftigen. In der Parabelnäherung hatten wir eine konstante effektive Masse erhalten, was auch die Ausdrücke für die Zustandsdichten vereinfacht. g g e h 4 π( meff ) = W W h 4 π( meff ) = W W h Die orm der Zustandsdichten ist in Abbildung visualisiert. 118

6 W Abbildung 6.1-5: Im dreidimensionalen all erhalten wir wurzelförmige Zustandsdichten im alenz- und eitungsband. Die Dichte der Zustände ist klein in direkter Nähe der Bandkante und steigt im Anschluss an diese an. Zur vereinfachten Darstellung werden die äquivalenten Zustandsdichten eingeführt. Diese hängen von Materialparametern ab. W C W W N(W) Häufig werden die orfaktoren in so genannten äquivalenten Zustandsdichten, N und N, zusammengefasst. Diese werden angesetzt mit: N π m eff kt = und N h π meff kt = h ür die Zustandsdichte folgt daraus: g und g = = N W W π kt kt N W W π kt kt Besetzungsstatistik Jetzt wissen wir also, welche Zustände im Halbleiter existieren. Um weiter zu kommen, müssen wir aber noch klären, welche dieser möglichen Zustände auch wirklich von Elektronen besetzt sind. Unsere Strategie sieht wie folgt aus: Wir bestimmen für jeden Zustand die Wahrscheinlichkeit, dass er mit einem Elektron besetzt ist. Zwar erhalten wir dann nur statistische Aussagen, können diese aber wegen der großen Zahl der betrachteten Atome in einem gewöhnlichen Halbleiter direkt als Teilchendichten interpretieren. 119

7 6..1. orüberlegungen Eine erste Idee von den Parametern, die die Besetzungszahlen beeinflussen, kann man durch eitfähigkeitsmessungen an Halbleiterproben bekommen. Misst man bei niedrigen Temperaturen, so findet man eine verschwindende eitfähigkeit. Bei höheren Temperaturen nimmt diese stark zu. Im letzten Kapitel haben wir herausgefunden, dass die eitfähigkeit eines Halbleiters von der Anzahl der adungsträger und deren Beweglichkeit abhängt. Die eränderung der Beweglichkeit mit der Temperatur reicht allein nicht aus, um den starken Anstieg des Stroms zu erklären. Im Gegenteil, ab einer bestimmten Temperatur sinkt die Beweglichkeit sogar mit steigender Temperatur. Wir folgern, dass sich die Zahl der Elektronen im eitungsband oder der öcher im alenzband mit der Temperatur erhöht (Abbildung 6.-1). T = 0 K T = 150 K T = 00 K B B B B B B Abbildung 6.-1: Ein Halbleiterkristall zeigt mit steigender Temperatur steigende eitfähigkeit. Die adungsträgerbeweglichkeit ist zwar temperaturabhängig, zeigt aber nicht das gemessene erhalten. Daher muss die Anzahl der adungsträger im eitungsband mit der Temperatur stark steigen. Das gleiche Spiel kann man mit der Bandlücke betreiben. ür Halbleiter mit moderater Bandlücke (ca. 1 e) stellt sich bei Raumtemperatur eine gewisse eitfähigkeit ein. Isolatoren mit einer Bandlücke von 10 e zeigen keine eitfähigkeit. Bei Metallen erhält man auch für sehr kleine Temperaturen merklichen Stromfluss. Die zweite olgerung ist also, dass ein größerer Abstand zwischen alenzband und eitungsband die eitfähigkeit erniedrigt. Abbildung 6.-: Zusammenhang zwischen der Bandlücke und der Konzentration der adungsträger im intrinsischen all Wir haben gelernt, dass nur teilweise gefüllte Bänder Strom leiten. Im Grundzustand befinden sich alle Elektronen im Zustand tiefster Energie, daher im alenzband. Die eitfähigkeit ist Null. Unsere Überlegungen führen zu der ermutung, dass sich mit 10

8 höher werdenden Temperaturen mehr Elektronen im eitungsband befinden. Wir können sofort einsehen, dass eine größere Bandlücke die Zahl der Elektronen im eitungsband reduziert, da diese zumindest die Bandlückenenergie aufwenden müssen, um vom Grundzustand im alenzband ins eitungsband zu gelangen. Wir haben schon einige Male argumentiert, dass sich physikalische Systeme im stationären Zustand immer im Zustand niedrigster Energie befinden. Das ist ein Grundsatz der Thermodynamik. Wie aber kommt es dann, dass nicht immer alle Elektronen die energetisch niedrigsten Zustände im alenzband besetzen, sondern für höhere Temperaturen im eitungsband anzufinden sind (Abbildung 6.-1)? Die Ursachen hiefür liegen im Unterschied von freier Energie und innerer Energie U. Die freie Energie eines Systems berechnet sich zu: = U ST 6.-1 Wobei sich unter der ariable S die Entropie verbirgt. Wir verlangen weiter, dass die innere Energie minimal sein soll, fordern aber gleichzeitig, bei einer bestimmten Temperatur T, maximale Entropie herrscht. Bisher haben wir uns meistens älle angeschaut, bei denen wir von T=0 ausgegangen sind, hier entspricht die Minimierung der Gesamtenergie der der inneren Energie. Wie können wir nun die Entropie definieren? Grundsätzlich bezeichnet die Entropie die Anzahl der möglichen Realisierungen zu einem makroskopischen Zustand. Schauen wir uns ein Zweiniveausystem an. In Abbildung 6.- sind auf der linken Seite alle Elektronen auf dem niedrigsten Niveau. Abbildung 6.-: Entropie im Zweiniveau-System auf der linken Seite befinden sich alle Elektronen im Zustand E 0, da sie ununterscheidbar sind, hat dieser Zustand nur eine einzige Realisierungsmöglichkeit. Die Entropie wird folglich Null. ür den Zustand auf der rechten Seite gibt es unterschiedliche Realisierungen, die Entropie ist also größer als Null. Damit wird die innere Energie zu U=5E 0 ; im rechten Bild befindet sich ein Elektron im höheren Zustand, also U=4E 0 +E 1. Die Entropie der beiden Zustände ist auch unterschiedlich. Da die Elektronen ununterscheidbar sind, gibt es nur eine Realisierungsmöglichkeit für die Situation auf der linken Seite, dagegen fünf für die auf der rechten Seite (Abbildung 6.-4). Die Entropie berechnet sich zu: S = k lnp 6.- B Wobei P gerade die Anzahl der verschiedenen Mikrozustände (in unserem all Besetzungsmöglichkeiten der Energieniveaus), die zum selben Makrozustand (in unserem all gleiche innere Energie) führen, sind. Warum aber sind Zustände mit hoher Entropie wahrscheinlicher als solche mit niedriger Entropie? Hierzu eignen sich Gedankenexperimente mit Gasmolekülen besonders gut. 11

9 Abbildung 6.-4: ünf Realisierungsmöglichkeiten für den Zustand mit einem Elektron im höheren Zustand E 1. Nehmen wir an, wir beobachten ein Gas mit der Temperatur T, dass in einem Kasten eingeschlossen ist. Wir wissen, dass die gesamte kinetische Energie des Gases E Kin ist. Da sich in dem Kasten unzählige Teilchen befinden, kann die Energie unterschiedlich verteilt sein. Im Extremfall kann ein Gasmolekül die gesamte kinetische Energie tragen, Was wird geschehen? Das Molekül wird beim Durchfliegen des Raums auf andere Moleküle treffen und mit diesen kollidieren. Dabei wird kinetische Energie auf die Stoßpartner übergehen, nur mit sehr geringer Wahrscheinlichkeit bleibt der Zustand mit einem energietragenden Molekül erhalten. Irgendwann wird sich ein Zustand einstellen, in dem die Energie so verteilt ist, dass das System nicht mehr mit jedem Stoß in einen anderen Zustand, der wahrscheinlicher ist, übergeht. Das bedeutet, dass der Zustand mit den meisten Realisierungsmöglichkeiten unter denen, die mit der Randbedingung, eine bestimmte Gesamtenergie zu haben, übereinstimmen, der wahrscheinlichste ist. Da die Entropie direkt mit der Anzahl der Realisierungsmöglichkeiten zusammenhängt, hat der Makrozustand mit den meisten Realisierungsmöglichkeiten auch die größte Entropie. Um nun konkret für die erteilung der Elektronen auf erlaubte Energiezustände eine ösung zu finden, müssen wir lediglich herausfinden, wie wir eine Zahl Elektronen N auf die bekannten Zustände verteilen können. Dazu müssen wir beachten, dass jeder energetische Zustand wegen der ermionen-eigenschaft der Elektronen nur von einem Elektron besetzt werden darf. Der Rest ist pure Mathematik. 6.. Die ermi-dirac-eteilung Die Durchführung der im letzten Abschnitt skizzierten Methode zur Herleitung der Besetzungswahrscheinlichkeit ergibt folgenden Ausdruck: 1 fwt (, ) = W µ 1+ exp kt 6.-1 Ein elektronischer Zustand der Energie W ist bei der Temperatur T mit der Wahrscheinlichkeit f(w, T) besetzt. Eine Besetzungswahrscheinlichkeit der orm 6.-1 nennt man ermi-dirac-erteilung. In der ormel befindet sich die noch unbekannte Größe µ. Diese hat die Einheit einer Energie und soll deshalb ab hier ermienergie W heißen. Auf den ersten Blick erkennen wir, dass die Besetzungswahrscheinlichkeit bei W=W gleich ½ ist. Weitere olgerungen über die Bedeutung der ermienergie erwarten uns in den kommenden Kapiteln. In Abbildung 6.-1 sind die Besetzungswahrscheinlichkeiten für verschiedene Temperaturen aufgetragen. ür T 0 ergibt sich eine Stufenfunktion, die Zustände oberhalb der ermienergie sind unbesetzt, die unterhalb besetzt. ür höhere Temperaturen 1

10 schmiert die Stufe aus. Zustände, die oberhalb der ermi-energie liegen, sind nun mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit besetzt, während auch Zustände unterhalb der ermienergie unter Umständen leer bleiben. Als Abschätzung für die Breite des Ausschmierens kann k B T angesetzt werden. Abbildung 6.-1: ermi-erteilungsfunktion für T=0 und T 1 >0. ür T=0 erhalten wir einen Sprung von Besetzungswahrscheinlichkeit Null für Zustände mit einer größeren Energie als die ermienergie auf Eins für Zustände mit kleinerer Energie. Also sind alle Zustände mit W<W besetzt, alle mit W>W unbesetzt. Bei der größeren Temperatur schmiert der Sprung aus, auch Zustände oberhalb der ermienergie können besetzt sein. In genügendem Abstand von der ermienergie kann die ermi-dirac-erteilung durch eine Boltzmann- erteilung (----) angenähert werden Trägerdichten Aus dem ersten Abschnitt wissen wir, wie die energetische erteilung der Zustände im Halbleiter aussieht. Die ermi-dirac-erteilung macht nun eine Aussage, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein solcher Zustand bei Temperatur T besetzt ist. Um die wahrscheinliche Dichte der Elektronen beziehungsweise öcher zu berechnen, müssen wir lediglich beide Terme multiplizieren: 1 N W W nwt (, ) = f( WT, ) ρn( W) = W W kt kt 1+ exp π kt N W W pwt (, ) = (1 f( WT, )) ρp( W) = 1 W W kt kt 1+ exp π kt 6.4-1

11 ρ(w), Abbildung 6.4-1: Zu der Dichte der adungsträger im alenz- und eitungsband gelangt man, indem man die möglichen Zustände (Zustandsdichte, linkes Bild) mit der Realisierungswahrscheinlichkeit multipliziert (ermi-dirac-erteilung, mittleres Bild). Man muss dabei beachten, dass ein och ein nicht besetzter Elektronenzustand ist. Im alle der öcher muss man die Besetzungswahrscheinlichkeit von Eins abziehen, das ergibt gerade die Wahrscheinlichkeit, dass der Zustand nicht besetzt ist, sich also ein och dort befindet. Graphisch ist die Multiplikation aus den Gleichungen6.4-1 und 6.4- in Abbildung durchgeführt. Die Zustandsdichten hängen von der Quadratwurzel der Energie ab, aber erst in Kombination mit der ermi-erteilung ergibt sich die wirkliche erteilungsfunktion. Die hier berechneten Größen sind Wahrscheinlichkeiten, das muss noch mal erwähnt werden. In der olge werden die Größen n und p jedoch als reale Dichten n und p verwendet. Das Gesetz der großen Zahlen rechtfertigt diesen Übergang für unsere Probleme Boltzmann-Näherung Die Gleichungen und 6.4- haben eine etwas unhandliche orm. In bestimmten Bereichen können wir sie vereinfachen. In Abbildung sehen wir, dass das ermi-niveau sich in der Bandlückenmitte befindet. Bei einer typischen Bandlücke in der Größenordnung 1 e heißt das, dass sich erst im Abstand von einigen k B T vom erminiveau erlaubte Zustände befinden. ür den Exponentialterm in der ermi- Dirac-erteilung bedeutet das W W nkbt exp exp = exp( n) 1 kt kt 6.4- für die Zustände im eitungsband und W W nkbt exp exp = exp( n) 1 kt kt ür die Zustände im alenzband. Damit folgt für die erteilung 14

12 1 1 W W fwt (, ) = = exp W W kt W W B 1+ exp exp kt B kt B für die Elektronen und W W 1+ exp 1 1 kt B W W (1 fwt (, )) = 1 = exp W W kt W W B 1 exp 1 exp + + kt B kt B für die öcher. Diesen Schritt bezeichnet man als Boltzmann-Näherung, weil die resultierenden Terme einer Boltzmann-erteilung entsprechen, die in vielen Problemen der klassischen Physik eine Rolle spielt. Mit dieser Näherung stellen sich die Gleichungen etwas angenehmer dar als: N W W W W nwt (, ) = exp π kt kt kt N W W W W pwt (, ) = exp π kt kt kt Um die Gesamtdichte der freien Elektronen (oder öcher zu ermitteln), muss man über das gesamte eitungsband integrieren: n = n( W, T) dw n( W, T) dw th eitungs band / W meff W W W W = kt exp exp B N π = kt B kt B Wir konnten die Integrationsgrenzen bis auf unendlich ausdehnen, weil weit vom erminiveau die Besetzungsdichte stark abfällt, der ehler also nur klein ist Intrinsische adungsträgerdichte Im reinen Halbleiter entstehen Elektronen und öcher paarweise, das heißt ein Elektron wird vom alenzband ins eitungsband gehoben und hinterlässt ein och im alenzband. Deswegen ist: nth = pth = n i Man bezeichnet n i als intrinsische adungsträgerdichte. Wir erhalten n i als: 15

13 W G ni = nthpth = NN exp kt B Damit ist die intrinsische adungsträgerdichte nur von Materialeigenschaften wie effektiver Masse und Bandlücke, sowie von der Temperatur abhängig. In Abbildung 6.4- findet man auf der rechten Seite die intrinsischen adungsträgerdichten für wichtige Halbleiter bei T=9 K in Tabellenform. Abbildung 6.4-: Intrinsische adungsträgerdichten einiger Halbleiter bei T=9 K. Die Abbildung 6.4- zeigt die Entwicklung der intrinsischen adungsträgerdichte über die inverse Temperatur. Man erkennt deutlich den exponentiellen Abfall der adungsträgerdichten mit der Temperatur Abbildung 6.4-: Temperaturabhängigkeit der intrinsischen adungsträgerdichte verschiedener Halbleiter in der logarithmischen Auftragung erkennt man sehr gut den exponentiellen Abfall der adungsträgerdichten mit fallenden Temperaturen. 16

14 6.4.. age des erminiveaus im intrinsischen Halbleiter Wie bereits erwähnt, kann man mit der age des erminiveaus wichtige Aussagen über den Halbleiter treffen. Aus der Bedingung n th = p th folgt für die age des erminiveaus: 1 1 N 1 m eff, h W = ( W + W ) + kbt ln = ( W + W ) + kbt ln N 4 m eff, e ür T=0 liegt das erminiveau also genau in der Mitte der Bandlücke, für endliche Temperaturen bewegt es sich in Richtung des Bandes mit der größeren effektiven Masse. 17