19.2 Eulersche Formel und Folgerungen

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1 38 R Plato Teil II Analysis 1 Definition 191 (Sinus, Cosinus) Die Funktionen Sinus und Cosinus sind definiert durch sin D 1/ n 2nC1 2n C 1/Š D 3 3Š C 5 5Š ; (191) cos D 1/ n 2n 2n/Š D 1 2 2Š C 4 4Š ; (192) für 2C Der folgende Sat eigt, dass die Funktionen sin und cos wohldefiniert sind, d h die beiden unendlichen Reihen (191) und (192) konvergieren für jedes 2C Sat 192 Die beiden Reihen (191) und (192) konvergieren für jede komplexe Zahl absolut Beweis Folgt wie schon bei der Exponentialfunktion mit Hilfe des Quotientenkriteriums Details entfallen hier an beachte, dass sin 2 C und cos 2 C für komplexe Werte gilt Aus den Reihendarstellungen (191) und (192) wird klar, dass die reellen Einschränkungen der trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus reellwertig sind, d h für jede Zahl ' 2Rgilt sin ' 2R und cos ' 2R Der Verlauf der beiden reellen Einschränkungen sin W R! R und cos W R! R ist in Abbildung 17 dargestellt 1 cos ' sin ' ' Abb 17: Darstellung von sin ' und cos ' für ' 2 R Definition 193 Sei f W D! C mit Definitionsbereich D C, der symmetrisch um Ursprung liege, d h für jedes x 2 D gilt x 2 D a) an nennt die Funktion f gerade, falls f x/ D f x/ für jedes x 2 D erfüllt ist b) an nennt die Funktion f ungerade, falls f x/ D f x/ für jedes x 2 D erfüllt ist Der Graph eine geraden Funktion verläuft symmetrisch ur y-achse, und der Graph einen ungeraden Funktion liegt symmetrisch um Ursprung Beispiel Das onom x n ist gerade, falls n gerade ist; es ist ungerade, falls n ungerade ist Sat 194 Es ist die Funktion sin ungerade, und die Funktion cos ist gerade, d h sin / D sin ; cos / D cos für 2C: Beweis Das folgt sofort aus den beiden Reihendarstellungen (191) und (192) an hat nur die beiden Identitäten / 2nC1 D 1/ 2nC1 2nC1 D 2nC1 und / 2n D 1/ 2n 2n D 2n u berücksichtigen 192 Eulersche Formel und Folgerungen Wir betrachten nun die reellen Einschränkungen der trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus Die Variable 2C wird dabei durch ' 2Rersett Sat 195 a) Es gilt die eulersche Formel e i' D cos ' C i sin ' für ' 2R: (193) Es gilt also Re e i' D cos ' und Im e i' D sin ' für ' 2R b) Es gilt e i' D cos ' i sin ' für ' 2 R, wobei die rechte Seite offensichtlich gleich e i' ist Beweis a) Eine Zerlegung der Reihendarstellung von expi'/ in wei Summen mit geraden beiehungsweise ungeraden Werten von n liefert expi'/ D D n gerade i'/ n nš C n ungerade i'/ 2n X 1 2n/Š C i'/ 2nC1 2n C 1/Š i'/ n nš D 1/ n ' 2n 2n/Š C X 1 i 1/ n ' 2nC1 2n C 1/Š ; D cos ' C i sin '; ' 2R: Dabei sind die Identitäten i 2n D i 2 / n D 1/ n und i 2nC1 D i 2n i D 1/ n i verwendet worden b) Diese Identität erhält man so: e i' D cos ' i sin ' / D cos '/ C i sin '/ D e i' : Dabei resultiert die Identität / aus Sat 194, und die lette Gleichung folgt aus Teil a) dieses Sates Aus Sat 195 folgt unmittelbar die folgende Identität:

2 Abschnitt 19 Trigonometrische Funktionen R Plato 39 Sat 196 Es gilt die Identität je i' j 2 D cos 2 ' C sin 2 ' D 1 für ' 2R: (194) Beweis Das folgt so: je i' j 2 D e i' ei' / D e i' e i' / D e D 1: Dabei resultiert die Identität / aus Teil b) von Sat 195 auf der vorherigen Seite, und die Identität / folgt aus der Funktionalgleichung für die Exponentialfunktion (siehe Gleichung (163) auf Seite 34) Bemerkung Die Darstellung (194) bedeutet, dass der Punkt P D cos '; sin '/ für jedes ' 2R auf dem Einheitskreis desr 2 liegt Dass dabei für Werte ' 2 die Länge des Kreisbogens vom Punkt 1; / bis um Punkt P tatsächlich gleich ' ist und damit die hier eingeführten Funktionen Sinus und Cosinus mit den in Abschnitt 13 auf Seite 25 betrachteten Funktionen übereinstimmen, kann erst nach der Einführung von Kurvenintegralen hergeleitet werden Die Darstellung (194) impliiert weiterhin, dass die beiden Funktionen cos und sin jeweils nur Werte wischen 1 und 1 annehmen können Wir stellen nun ein für die Anwendungen wichtiges Additionstheorem für Sinus und Cosinus vor Sat 197 (Additionstheorem) Es gelten für jedes '; 2Rdie Identitäten sin' C / D sin ' cos C cos ' sin ; (195) cos' C / D cos ' cos sin ' sin : (196) Beweis Die angegebenen Identitäten ergeben sich leicht aus der eulerschen Formel (193) und der Funktionalgleichung für die Exponentialfunktion (siehe Gleichung (163) auf Seite 34): cos' C / C i sin' C / D e i'c / D e i' e i D cos ' C i sin ' cos C i sin D cos ' cos sin ' sin C i cos ' sin C sin ' cos : Ein Vergleich von Real- und Imaginärteil liefert die angegebenen Identitäten (195) und (196) Bemerkung Die Identitäten (195) und (196) leitet man sich bei Bedarf leicht mit Hilfe der Vorgehensweise im Beweis von Sat 197 her an benötigt dafür nur die Kenntnis der eulerschen Formel (193) und der Funktionalgleichung für die Exponentialfunktion (Gleichung (163) auf Seite 34) 193 Nullstellen und Periodiität Sat 198 it der Notation D 3; : : : gilt cos ' > für ' < 2 ; cos 2 / D ; sin ' > für < ' 2 ; sin 2 / D 1: Beweis Der Beweis hierfür entfällt Die Zahl 2 R ist dabei per Definition gerade so gewählt, dass =2 die erste positive Nullstelle des Cosinus ist Es gibt dabei noch keinen Zusammenhang ur Trigonometrie Sat 198 hat einige Konsequenen, die im weiteren Verlauf dieses Abschnitts usammengetragen werden Lemma 199 Es gilt e i=2 D i; e i D 1; e i3=2 D i; e 2i D 1: (197) Beweis Die erste Identität in (197) ist klar: e i=2 D cos 2 / C i sin 2 / D C i 1 D i: Die anderen Identitäten in (197) folgen dann aus der Identität e in=2 D e i=2 / n D i n für n 2N Die Lage der in Lemma 199 genannten komplexen Werte ist in Abbildung 18 dargestellt e i e i=2 e i3=2 e 2i Abb 18: Lage der Werte e i=2 ; e i ; e i3=2 und e 2i Aus Lemma 199 folgen einige einfache Additionstheoreme für die komplexe Exponentialfunktion Lemma 191 Für jedes ' 2 R gelten die folgenden e i'c2/ D e i' ; e i'c/ D e i' ; e i'c=2/ D ie i' : (198)

3 4 R Plato Teil II Analysis 1 Beweis Alle Identitäten in (198) ergeben sich direkt aus der Funktionalgleichung für die Exponentialfunktion (siehe Gleichung (163) auf Seite 34) und den passenden Identitäten in (197): e i'c2/ D e i'c2i D e i' e i'c/ D e i'ci D e i' e 2i ƒ D 1 D e i' ; ƒ e i D e i' ; D 1 e i'c=2/ D e i'ci=2 D e i' ƒ e i=2 D ie i' : D i Aus Lemma 199 folgen einige einfache Additionstheoreme für die trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus: Proposition 1911 Für jedes ' 2 R gelten die folgenden sin' C 2/ D sin '; cos' C 2/ D cos '; (199) sin' C / D sin '; cos' C / D cos '; (191) sin ' C / D cos '; cos ' C / D sin ': (1911) 2 2 Beweis Die angegebenen Identitäten erhält man unmittelbar aus den passenden Identitäten (198) durch Vergleich von Real- und Imaginärteil Wegen der Identität (199) sind die die trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus jeweils 2periodisch Die erste Identität in (1911) bedeutet, dass der Sinus dem Cosinus mit einem Abstand =2 hinterherläuft Aus Lemma 199 folgen einige weitere wichtige Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus: Proposition 1912 Es gelten für n 2 Z die folgenden cos n D 1/ n ; sin n D ; (1912) cosn C 1 2 // D ; sinn C 1 2 // D 1/n : (1913) Beweis Das ergibt sich direkt aus Lemma 199 auf der vorherigen Seite und der eulerschen Formel (193) auf Seite 38 sowie einem anschließenden Vergleich von von Real- und Imaginärteil Im Fall der Identität (1912) sieht die Herleitung B so aus: cos n C i sin n D e in D e i / n D 1/ n : Die Identiät (1913) erhält man analog Bemerkung Die im Beweis von Proposition 1912 verwendete Identität ist ein Speialfall der Formel von de oivre cos n' C i sin n' D cos ' C i sin '/ n ; ' 2R; (1914) die sich direkt aus der eulerschen Formel (193) auf Seite 38 sowie der Funktionalgleichung (163) auf Seite 34) ergibt it (1914) lassen sich die Werte cos n' und sin n' leicht aus der Kenntnis der Werte cos ' und sin ' berechnen 2 Komplexe Zahlen, Teil 2 21 Polarkoordinatendarstellung Komplexe Zahlen besiten neben der kartesischen Darstellung D a C ib eine weitere gebräuchliche Darstellung Sat 21 (Polarkoordinatendarstellung) Jede komplexe Zahl lässt sich eindeutig in der Form D re i' mit r D jj; ' < 2 (21) darstellen an schreibt arg WD ' und beeichnet ' als Argument oder auch als Phase von Beweis Es ist die Funktion Œ ; 2 /! D WD ¹ 2C j jj D 1º; ' e i' umkehrbar (ohne Beweis) Daher gibt es genau ein ' < 2 mit der Eigenschaft e i' D =j j Beispiel 22 Beispiele für Polarkoordinatendarstellungen sind i D e i=2 ; 2 D 2e i ; 3i D 3e i3=2 ; 1 C i D p 2e i=4 : Bemerkung a) Die Polardarstellung (21) lässt sich auch in der Form D jjcos ' C i sin '/ mit ' D arg schreiben Dies folgt unmittelbar aus der eulerschen Formel (193) auf Seite 38 b) Geometrisch lässt sich die Polarkoordinatendarstellung einer komplexen Zahl so interpretieren: Es gibt jj den Abstand um Nullpunkt an, und arg D ' ist der Winkel im Bogenmaß wischen dem Ortsvektor und der x-achse Die Situation ist in Abbildung 19 dargestellt c) Die Forderung arg < 2 in (21) gewährleistet die Eindeutigkeit des Argumentes von Wegen der Periodiität der Funktion e i' (siehe (198) auf der vorherigen Seite) gilt die Identität (21) aber auch für jedes ' D arg C 2n mit n 2Z

4 Abschnitt 2 Komplexe Zahlen, Teil 2 R Plato 41 jj sin ' jj 1 2 ' jj cos ' Abb 19: Polardarstellung einer komplexen Zahl 22 Anwendungen der Polarkoordinatendarstellung Die Polarkoordinatendarstellung ermöglicht B eine geometrische Interpretation der ultiplikation beiehungsweise Division weier komplexer Zahlen Sat 23 Für nichtverschwindende komplexe Zahlen ; 1 und 2 gelten die folgenden Aussagen: 1 2 D j 1 jj 2 je iarg 1Carg 2 / ; (22) 1 D j 1 j 2 j 2 j eiarg 1 arg 2 / ; (23) n D jj n e inarg n 2Z/: (24) arg arg 2 arg 1 C arg 2 Abb 2: ultiplikation weier komplexer Zahlen Nach dem Fundamentalsystem der Algebra (siehe Sat 115 auf Seite 21) besitt die Gleichung n D a genau n komplexwertige Lösungen Die Polarkoordinatendarstellung ermöglicht eine direkte Angabe dieser Lösungen Sat 24 Für jede komplexe Zahl a und jedes n 2 N hat die Gleichung n D a genau n komplexe Lösungen s D jaj 1=n e i2scarg a/=n ; s D ; 1; : : : ; n 1: (25) Beweis Die Identitäten (22) und (23) folgen beide aus der Polardarstellung (21) auf der vorherigen Seite angewendet mit den Zahlen 1 und 2 sowie aus der Funktionalgleichung (163) auf Seite 34 Die Darstellung (24) folgt durch wiederholte Anwendung von (22) Beispiel Es gilt B (siehe auch Beispiel 22 auf der vorherigen Seite) 1 C i/ 4 D p 2/ 4 e i4=4 D 4e i D 4: Bemerkung a) an beachte, dass es sich bei den rechten Seiten in Sat 23 war um Polarkoordinatendarstellungen handelt In (22) B gilt i Allg aber nicht arg 1 C arg 2 < 2 b) Die Darstellung (22) eigt, dass man Betrag und Argument der Polarkoordinatendarstellung des Produktes weier komplexer Zahlen erhält, indem man deren Beträge miteinander multipliiert beiehungsweise die Argumente addiert Die Situation ist in Abbildung 2 dargestellt Beweis Für die in (25) betrachteten Werte gilt n s D jaj1=n / n e i2scarg a/=n / n / i2scarg a/ / D jaje D jaje arg a D a: Dabei folgt die Identität / aus der Gleichung (24), und die Identität / resultiert aus der Gleichung (198) auf Seite 39 Die Zahlen 2s=n; s D ; 1; : : : ; n 1, liegen alle im Intervall Œ ; 2 / und sind paarweise verschieden, so dass die in (25) betrachteten komplexen Zahlen ; 1 ; : : : ; n 1 tatsächlich auch paarweise verschieden sind (beachte hieru den Beweis von Sat 21 auf der vorherigen Seite) Beispiel Die Gleichung n D 1 mit n 2 N besitt die n komplexen Lösungen (sie werden «n-te Einheitswureln» genannt) s D e i2s=n ; s D ; 1; : : : ; n 1: (26) Dabei ist arg 1 D verwendet worden

5 42 R Plato Teil II Analysis ẓ 1 ż 8 ż ẓ 3 ẓ 2 ẓ 1 ż ż Abb 21: Lage der 9-ten und 16-ten Einheitswureln in der komplexen Zahlenebene In Abbildung 21 sind die neun Lösungen der Gleichung 9 D 1 (links) sowie die sechehn Lösungen der Gleichung 16 D 1 (rechts) dargestellt 21 Harmonische Schwingungen Viele physikalische Vorgänge wie B die Bewegung eines an einer Feder befindlichen Körpers, eines Pendels oder der eitliche elektrische Wechselspannung beschreiben Schwingungsvorgänge Die einfachsten ungedämpften Schwingungen sind dabei harmonische Schwingungen, die B von der Form f t/ D a cos!t/; gt/ D b sin!t/ für t 2R (211) sind, wobei t eine Zeitvariable ist und f t/ beiehungsweise alternativ gt/ die Auslenkung des schwingenden Körpers aus der Ruhelage beschreiben soll Hierbei gilt Folgendes: es sind a; b > die Amplituden der beiden harmonischen Schwingungen; es nimmt die Funktion f Werte im Intervall Œ a; a an, und die Funktionswerte von g liegen im Intervall Œ b; b Die Zahl! > bestimmt Periodendauer und Frequen der beiden Funktionen; die Periodendauer beträgt wegen (199) in beiden Fällen offenbar T D 2!, d h mit dieser Wahl von T gilt f t C T / D f t/ und gt C T / D gt/ für jedes t 2 R Die Frequen ist damit 1=T D! 2 Die Überlagerung der beiden gleichfrequenten harmonischen Schwingungen aus (211) ergibt eine phasenverschobene harmonische Schwingung mit gleicher Frequen: Sat 211 Für a 2R; b 2R; c > und ' < 2 mit c D p a 2 C b 2 ; cos ' D b c sin ' D a c (212) gilt a cos!t/ C b sin!t/ D c sin!t C '/; t 2R: (213) Beweis Nach dem Additionstheorem für den Sinus (siehe (195) auf Seite 39) gilt für die noch u bestimmende rechte Seite von (213) für unächst beliebige Werte c > und ' < 2 Folgendes: c sin!t C '/ D c sin ' cos!t/ C c cos ' sin!t/ für t 2 R Ein Vergleich mit der linken Seite von (213) führt dann auf die Forderung c cos ' D b und c sin ' D a, was gleichbedeutend mit den beiden letten Identitäten in (212) ist Diese sind wegen der Identität (194) auf Seite 39 nur für eine Wahl von c mit a c /2 C b c /2 D 1 erfüllbar, was auf die erste Setung in (212) führt Die Situation ist in Abbildung 22 dargestellt (mit a < ) b a a b a cos!t/ c sin!t C '/ b sin!t/ Abb 22: Zwei gleichfrequente harmonische Schwingungen und ihre Überlagerung Wir betrachten harmonische Schwingungen der Form noch etwas genauer: ht/ D c sin!t C '/ für t 2R (214) Es ist c > die Amplitude der harmonischen Schwingung h; es nimmt h Werte im Intervall Œ c; c an Die Zahl! > bestimmt Periodendauer und Frequen der Funktion h; die Periodendauer beträgt wegen (199) offenbar T D 2, d h mit dieser Wahl von! T gilt ht C T / D ht/ für jedes t 2 R Die Frequen (D Anahl der Schwingungen pro Zeiteinheit) ist damit 1=T D! 2 2! t