Asymptotik und stetige Zufallsvariablen

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1 Asmptoti ud stetige Zullsvrile Verteilugsutioe Tschesche-Ugleichug Gesetz der große Zhle Stirlig-Formel Zetrler Grezwertstz Normlverteilug χ -Verteilug t-verteilug Epoetilverteilug Verteilug vo Atie-Returs Quiz

2 Die Verteilugsutio F eier Zullsvrile ordet jeder reelle Zhl die Whrscheilicheit zu. F Beispiel: ht eie Eiputverteilug mit λ F 0,, lls < 4 lls 4 distriutio uctio or cumultive distriutio uctio Beispiel: ht eie Beroulli-Verteilug mit p , 0.3 F 0, F , F , F , F, F

3 Beispiel: ht eie Biomilverteilug mit 5, p <- 5; p <- 0.3 diom,,p # diom0:,,p # 0,,,, F piom0:,,p # F0,F,F,,F <- c-0,0:,0; F <- piom,,p plot,f,tpe"s" # s: steps F Der Futioswert eier Sprugstelle ist immer so groß wie die Futioswerte ch dem Sprug, lso z.b. F0F0.00l. Die serechte Liie de Sprugstelle sollte icht echtet werde, sie werde ei dieser Art vo lots utomtisch gezeichet.

4 Ist eie disrete Zullsvrile, d ist F eie Treppeutio. Sid ω < ω < ω... die Elemete vo Ω, d gilt: 3 < F ω ω F ω ω F ω ω 3 ω ω ω3 ud umgeehrt ω F ω ω F ω F ω ω3 F ω3 F ω M M Für die Berechug der Momete eier disrete Zullsvrile ist lso die Ketis der Verteilugsutio vo usreiched. Beispielsweise ist der Erwrtugswert gegee durch E ω ω j ω j j ω ω j ωj j ω F ω ωj F ωj F ωj. j Disrete Zullsvrile mit der gleiche Verteilugsutio he dher uch die gleiche Momete. Die Zullsvrile,,... heiße idetisch, 3 verteilt 3, we sie die gleiche Verteilugsutio he, d.h.... R 3. 3 ideticll distriuted 3

5 Sid,,... idetisch verteilt mit, 3 E E E..., 3 d ist der Erwrtugswert des rithmetische Mittels 4 ür lle gegee durch... E E... 4 verge or smple me E... E... E.... Die Zullsvrile,,... heiße uhägig 5,, 3 we ür lle die Zullsvrile sid.,..., uhägig Die Zullsvrile,,... heiße i.i.d. 6, we, 3 sie uhägig ud idetisch verteilt sid. Sid,,... i.i.d. mit Erwrtugswert ud, 3 Vriz, d gilt ür lle vr vr... vr... vr... vr.... Die Vriz verschwidet ür. 5 idepedet 6 idepedet d ideticll distriuted 4

6 M sgt, dss die Folge vo Zullsvrile Y, Y,... im qudrtische Mittel 7 gege die Zullsvrile Y overgiert, lls E Y Y 0. Sid,,... i.i.d. mit Erwrtugswert ud Vriz, d overgiert die Folge,, 3 3,... der rithmetische Mittel im qudrtische Mittel gege die ostte Zullsvrile, die ur de Wert immt, weil E E E vr 0. Allgemei werde Aussge üer die Kovergez vo Gesetze der große Zhle 8 get. 7 coverges i me squre Kovergiert die Folge Y,,... im qudrtische Mittel Y gege Y, d overgiert uch die Folge der Verteilugsutioe vo Y,,... gege die Verteilugsutio Y vo Y Kovergez i Verteilug 9, d.h. Y F Y lle Stelle R, dee F stetig ist. 0 Es olgt lso us der Kovergez im qudrtische Mittel vo gege, dss uch i Verteilug gege overgiert. Die Verteilugsutio vo ähert sich dher mit wchsedem der Verteilugsutio eier Eiputverteilug mit rmeter. 8 lws o lrge umers LLN 9 covergece i distriutio or covergece i lw 0 Im Fll der Kovergez gege eie ostte Zullsvrile ist die Kovergez i Verteilug äquivlet mit der Kovergez i Whrscheilicheit welche erst später ehdelt wird. 5

7 Die Summe vo i.i.d. Zullsvrile,, immt de Wert mit der gleiche Whrscheilicheit wie ds rithmetische Mittel de Wert /: Ist diese Whrscheilicheit positiv, d ht die Verteilugsutio der Summe eie Sprugstelle der Stelle ud die Verteilugsutio vo der Stelle /. Die Sprughöhe sid gleich. Beispiel: Die Verteilugsutio des rithmetische Mittels vo uhägige, Beroulli-verteilte Zullsvrile mit rmeter p ähert sich mit wchsedem der Verteilugsutio eier eiputverteilte Zullsvrile mit rmeter p. p <- 0.3; <- 5 # or <- 00 or <- 500 <- c-0.,0:/,.; F <- piom,,p plot,f,tpe"s" Verteilugsutio vo ür 5, p0.3: Verteilugsutio vo ür 00, p0.3: Verteilugsutio vo ür 500, p0.3:

8 7 Tschesche-Ugleichug : 0 vr, > E, >0 < > Beweis ür disrete Zullsvrile: Ω < > < > > < > > < > > Komplemetär-Whrscheilicheit: > > Cheshev's iequlit Spezilll: : 5 0. < >, > Alog:, < Schwches Gesetz der große Zhle : Sid,, 3, i.i.d. mit E ud vr, d overgiert i Verteilug gege, d ür lle >0 vr vr vr vr vr >, vr vr vr vr 0 vr. we lw o lrge umers LLN

9 Der Erwrtugswert der zetrierte 3 Zullsvrile ist gegee durch E E E E E E E ud die Vriz der stdrdisierte 4 Zullsvrile durch E sd E vr sd sd 3 cetered 4 stdrdized vr vr E vr vr Sid,,... i.i.d. mit Erwrtugswert ud, 3 Vriz, d gilt ür lle ud vr vr vr vr vr vr. Im Uterschied zu Gesetze der große Zhle, die Aussge mche üer die Kovergez vo gege die degeerierte Zullsvrile, die Vriz 0 ht, mche zetrle Grezwertsätze 5 Aussge üer die Kovergez vo Y zw. Z / gege eie icht-degeerierte Zullsvrile mit Erwrtugswert 0 ud Vriz zw.. 5 cetrl limit theorems CLT 8

10 Beispiel: Zur Utersuchug des Grezverhltes ür smptotische Alse 6 der Verteilugsutio vo Z etrchte wir eie Folge vo uhägige ud idetisch Beroulli-verteilte Zullsvrile,, 3, mit Erwrtugswert p ud Vriz pp>0. Die Summe S ist iomilverteilt ud ihre Verteilugsutio sprigt de Stelle s0,,,, geu so wie die Verteilugsutio vo Z de Stelle s /, s0,,,. Es gilt ämlich s Z... s... s. p <- 0.3; <- 50; s <- 0:; F <- piom0:,,p plots-*p/sqrt*p-p,f,tpe"s",limc-3,3 # sqrt: squre root, lim: coordites rge 6 smptotic lsis Verteilugsutio vo Z ür 50, p0.3: Verteilugsutio vo Z ür 000, p0.3: Mit wchsedem werde die Sprüge immer leier, die Verteilugsutio vo Z ähert sich eier stetige Futio. 9

11 Die Verteilugsutio eier disrete Zullsvrile ist st üerll ostt ud wächst ur durch Sprüge de Stelle Ω. Die Sprughöhe der Stelle ist gegee durch. Die Summe ller Sprüge ist. Im Gegestz dzu git es ei eier stetige Verteilugsutio eie Sprüge. Ei Astieg vo F u F im Itervll [,] lässt sich lso icht mit eier Summe vo Whrscheilicheite eschreie. Jeder eizele Wert ht eie Whrscheilicheit vo 0. Beispiel: ist gleichverteilt u 0,]. 0,]: F 0, ] F 0. < F 0.5 F t dt 0. <- seq-,,0.00 # -, -0.00, -*0.00,, F <- pui,0, # uiorm distriutio etwee 0 d plot,f,tpe"l" # tpe"l": lies <- seq-,,0.00; F <- dui,0,; plot,f,tpe"l" 0

12 Eie Zullsvrile heißt stetig 7, we eie Futio : R [0, eistiert, sodss ür lle Borel-Mege A gilt: A t dt Eie solche Futio heißt Dichteutio 8 vo. Die zugehörige Verteilugsutio ist gegee durch F, ] t dt t dt ud ihre Aleitug F durch. A, ] 7 cotiuous 8 desit or proilit desit uctio

13 Beispiel:,, 3, i.i.d. Beroulli-verteilt Eie Approimtio der Biomilwhrscheilicheit!... p p 4 43!! ist ür große 9 gegee durch ep, π woei p, p p. 00, p0.3: Biomilwhrscheilicheite Dichteutio , p0.3: Verteilugsutio Verteilugsutio t dt > Ist diese Futio mit R ud 0 die Dichteutio eier Zullsvrile, d heißt diese Zullsvrile ormlverteilt 0 mit de rmeter ud. 9 over ormll distriuted

14 Zetrler Grezwertstz: Sid,,... i.i.d. mit Erwrtugswert ud, 3 Vriz, d overgiert j j i Verteilug gege eie stetige Zullsvrile Z mit Dichteutio φ ep π ud Verteilugsutio Φ φ t dt. Eie Zullsvrile mit so eier Dichteutio heißt stdrdormlverteilt. stdrd ormll distriuted Eie stdrdormlverteilte Zullsvrile ist ormlverteilt mit de rmeter 0 ud. <- seq-3,3,0.00; <- dorm,0, # m0, sigm plot,,tpe"l",limc-3, F <- porm,0,; plot,f,tpe"l",limc-3, pormc-,0,, # Z< qormc0.05,0.5,0.975,0.995 # Z<

15 log! log... log log... log log log... log log d siehe Aildug log log log log log log log C log log C log e log log C C e! e e Stirlig-Formel 3 : e! π log log3 log0 Fläche der Rechtece Itegrl vo log u [.5,0.5] rot umrdete Fläche e Die Approimtio wird geuer, we m e C durch π ersetzt. 3 Stirlig's ormul 4

16 5 Die Awedug der Stirlig-Formel e! π u die Biomilwhrscheilicheit p p!!! ergit mit pq q p p q,,,, ν q p e e e 3 π q p π ν ν ν ν π ν π. Für große sid ur Whrscheilicheite ür Werte i der Nähe vo relevt. Für diese Werte gilt 0, 0 ν ν. Mit Hile der Tlor-Approimtio 0 log ε ε ε ud p v erhält m log log log, p p p p p p log log ν ν, ep π ν π.

17 6 Der Erwrtugswert eier stetige Zullsvrile mit Dichteutio ist gegee durch d E. Beispiel: ist gleichverteilt u dem Itervll [,] > < lls 0, lls, lls 0, < < d d d d d d d 0 0 d E d d d d d d 0 0 d d E vr E E

18 Momete der Normlverteilug: Ist ormlverteilt mit de rmeter ud, d gilt: E, vr E 4 E 3 3 E E Schiee E Wölug E Sid Z,...,Z i.i.d. stdrdormlverteilt, d ist... Z Z χ -verteilt mit Freiheitsgrde 4. E E Z... E Z... vr Ist die stdrdormlverteilte Zullsvrile Z uhägig vo der mit Freiheitsgrde χ -verteilte Zullsvrile, d ist Z T t-verteilt mit Freiheitsgrde 5. > E 0 > vr 4 chi-squred distriuted with degrees o reedom 5 t-distriuted with degrees o reedom 7

19 Die Zullsvrile / i der Deiitio der t-verteilte Zullsvrile Z T overgiert ch dem Gesetz der große Zhle ls rithmetisches Mittel vo i.i.d. χ Zullsvrile gege de Erwrtugswert eier χ -Verteilug mit eiem Freiheitsgrd, lso gege. Für große wird T dher im Wesetliche ur vo Z estimmt. <- seq-5,5,0.00; <- dorm,0, # desit o N0, plot,,tpe"l" Zu diesem lot der Dichteutio eier Stdrdormlverteilug werde och weitere Liie hizugeügt, ämlich die Dichteutioe vo t-verteiluge mit 3 zw. 0 Freiheitsgrde. <- dt,3; lies,,col"orge" # desit o t3 <- dt,0; lies,,col"gree" # desit o t

20 Die Dichteutio eier mit Freiheitsgrde χ -verteilte Zullsvrile ist ür 0 gegee durch ep. Allgemei heißt eie stetige Zullsvrile mit Dichteutio ep τ τ ür 0 ud 0 ür <0 epoetilverteilt 6 mit dem rmeter τ. Die Verteilugsutio vo ist gegee durch F t t ep dt ep τ τ τ 0 0 ür 0 ud F0 ür <0. Weiters gilt: 6 epoetill distriuted E τ, vr τ ep τ Aürzuge: ~ N, ist ormlverteilt mit rmeter, ~ χ ist χ -verteilt mit Freiheitsgrde ~ t ist t-verteilt mit Freiheitsgrde ~ Ep τ ist epoetilverteilt mit rmeter τ overgiert i Verteilug gege m. s overgiert im qudrtische Mittel gege d. Es gilt: ~ N, ~ N, ~ N,, Y ~ χ, Y d ~ N ν, τ,, Yuhägig Y ~ N ν, τ ~ χ m,, Yuhägig Y ~ χ m, g stetig g g d 9

21 plotd[:],r,tpe"l",l"",l"" # o is lels Als Mß ür die Voltilität m die Vriz zw. die Stdrdweichug verwede, die m durch die Stichproevriz 8 s j r j r zw. die Stichproestdrdweichug 9 s s der - Log-Returs r,,r - schätze. Die Log-Returs sehe icht so us wie Zullszhle, die lle mit der gleiche Whrscheilicheitsverteilug erzeugt wurde. Oer git es eriode uterschiedlicher Voltiliät 7. I mche eriode sid die Schwuge viel größer ls i dere eriode. 7 voltilit cmir,mr,mer,sdr,vrr smple vrice or empiricl vrice 9 smple stdrd devitio or empiricl stdrd devitio 0

22 Im Fll eier Zullsstichproe vo eier stetige Whrscheilicheitsverteilug öte m die zugrudeliegede Dichteutio mit eiem Histogrmm pproimiere. histr,reqfalse,res,limc-0.,0. m <- mer; s <- sdr # R uses s s prmeter, ot s <- seq-0.5,0.5,0.00; <- dorm,m,s; lies,,col"red" <- seq ,0.3675,0.005 # repoits o cells histr,res # histogrm o r Für eie Vergleich des Histogrmms mit der Dichteutio eier Normlverteilug ormiere wir ds Histogrm so, dss seie Fläche gleich ist, ud wähle r ud s ls rmeter ür die Normlverteilug. Im Vergleich zu eier Normlverteilug git es ei de Log-Returs sowohl mehr Werte im Zetrum ls uch de Räder.

23 Eie t-verteilug ist ür die ris zu uleiel, weil ihr Erwrtugswert ud ihre Vriz vorgegee sid. Eie elieige Erwrtugswert ud eie elieige Vriz erhält m durch eie liere Trsormtio der Form Y g. Die Dichte Y der trsormierte Zullsvrile Y erhält m us der Dichte vo wie olgt: >0: Y F Y F ' ' F F Y Y <0: F F Y ' ' F F Y Y Eiheitliche Schreiweise ür 0: Y Bzw. llgemeier ür eie mootoe Trsormtio g: ' g g g Y

24 Eie lier trsormierte t-verteilug mit 4 Freiheitsgrde psst esser zu de Log-Returs ls eie Normlverteilug: <- 4; c <- s/sqrt/-; <- dt, liesm*c,/c,col"drgree" t-verteiluge mit 3 ud 5 Freiheitsgrde impliziere zu viele zw. zu weige Werte im Zetrum. Die Wölug ist hier ei geeigetes Mß zur Beschreiug dieses Verhltes, weil diese ur ür 5 eistiert. Eeso ist die Schiee ur edigt geeiget zur Beschreiug der Smmetrie, weil sie ur ür 4 eistiert. 3

25 Quiz {,,3}0.4, 7}0.3, 90.3, F8.5?, [4,8], [,]-/4, F5.6? [-,], ,,3? ~N-,3, E? ~χ 5, E? ~t6, E?,Y i.i.d. N0,, Z Y, vrz? ~N0,3, Y~N-,,,Y uh. 3Y~N,,? Kovergez i Verteilug: d 3, 3 d c, c? Lösuge F {,,3} F [4,5.6]5.6-4/40.4,3< E vre 9-3 E vre E vre 6/6-0.5 / Y/ ~χ, Z4/ Y/, vrz6 464 Y~N0-,94 3Y~N3, 3 5 d 3, g 3 stetig g d g35c,, i.i.d. t9, Y 7 d Y, vryr, r? 0/ 9/9 Y /3 d Z~N0, r9,, i.i.d. χ, Y - / d Y, vryr, r? <- piom,3,0.5porm,,0 # R code #? Z -/ d Z~N0, Y Z d Z ~χ, r