Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik 1, WS Wozu InformatikerInnen Folgen brauchen

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1 Prof. Dr. Wolfgg Koe Mthemtik WS Zhlefolge.. Wozu IformtikerIe Folge bruche Kovergez vo Folge ist die Grudlge der Alysis (Differetil- ud Itegrlrechug) Trszedete Gleichuge wie x l x = 50 k m äherugsweise über Folge löse (Fixpukt-Itertio) Jede Simultio im Computer zerlegt die Zeit i kleie Schritte ud berechet somit Folge f(t 0 ) f(t ) f(t )... >> WPF Spiele Simultio ud Dymische Systeme. Lufzeit vo Algorithme Worst-cse-Abschätzug durch obere Abschätzug zu bekte Folge. Oftmls schreibt m ei Progrmm ud k es für kleie Mege (z.b. =0) usteste ber i der Prxis wird es mit viel größere Mege (z.b. = ) lufe. Wie ist ds Verhlte im Grezwert großer Zhle? Dies führt uf Folge ud die Ldusche O()-Nottio. Eiordug: Ü Erstes Beispiel: Für dieselbe Aufgbe brucht ei Algorithmus A 00 + Schritte ei Algorithmus B brucht 5 Schritte. Welcher Algorithmus ist für große scheller? Zweites Beispiel: Ei Mitrbeiter Ihrer Abteilug ht herusgefude dss es für ei bestimmtes Optimierugsproblem zwei mögliche Algorithme gibt dere Lufzeit i Abhägigkeit vo der Problemgröße wie folgt skliert: Algorithmus C: C = + 50 ( + )! Algorithmus D: D = ( )! ( + ) Welche Algorithmus ehme Sie we Sie für sehr große scheller sei wolle? W. Koe ZDgesmt-ext.docx Seite 5

2 Prof. Dr. Wolfgg Koe Mthemtik WS Die Sche ist im. Beispiel schwierig zu überblicke wie löst m Aufgbe dieser Art systemtisch? Lösug i Vorlesug (m Ede des Kpitels ).. Defiitio ud Eigeschfte vo Folge Wir htte j bereits zur Defiitio reeller Zhle de Begriff der Zhlefolge beötigt. I diesem Kpitel soll der Begriff weiter vertieft werde. Def D-: Zhlefolge Uter eier (uedliche) Zhlefolge versteht m eie eideutige Abbildug der Mege N der türliche Zhle uf eie Zhlebereich. ( ) N =... Die Zhle... heiße Glieder der Folge ist ds -te Glied. Beispiel:.) = d.h. ( N ) = (Bem. : 0) Weitere Beispiele i Vorlesug Def D-: Mootoie vo Folge Eie Folge heißt: mooto wchsed ( ) flls für lle N gilt: + streg mooto wchsed flls für lle N gilt: < + mooto flled ( ) flls für lle N gilt: + streg mooto flled flls für lle N gilt: > + Def D-: Beschräktheit vo Folge Sei N. Eie Folge heißt: ch obe beschräkt (.o.b.) flls ei K R existiert so dß für lle gilt: K ch ute beschräkt (.u.b.) flls ei k R existiert so dß für lle gilt: k beschräkt flls sie ch obe ud ute beschräkt ist. W. Koe ZDgesmt-ext.docx Seite 6

3 Prof. Dr. Wolfgg Koe Mthemtik WS Beispiele:.) d.h. ( = + N ) = 0 5 Die Folge ist streg mooto wchsed ud beschräkt z.b. k = 0 K =..) d.h. ( = N ) = 8 6 Die Folge ist mooto flled ud beschräkt z.b. k = 0 K =... Grezwert eier Zhlefolge Eiführugsbeispiel ( ) = ( ) i Vorlesug Def D-: Grezwert eier Folge g heißt Grezwert (Limes) der Folge ( ) flls es zu jedem ε > 0 eie türliche Zhl o (ε) gibt so dss für lle ( ) gilt: o ε g <ε Existiert der Grezwert eier Folge d heißt die Folge koverget. M schreibt: = g oder g Eie Folge die keie Grezwert besitzt heißt diverget. Aschulich: Gibt es eie "ε-bd" i dem schließlich lle Folgeglieder liege? BEACHTE: Grezwert ud (obere/utere) Schrke sid icht dsselbe!! Die Folge ( ) ( ) = = ht die utere Schrke - die obere Schrke +/ ud de Grezwert 0: W. Koe ZDgesmt-ext.docx Seite 7

4 Prof. Dr. Wolfgg Koe Mthemtik WS Es gilt: Stz S- Eie kovergete Folge ist beschräkt. ur muss ebe der Grezwert icht mit oberer/uterer Schrke zusmmeflle. We llerdigs die Folge mooto wchsed ist d stellt ei Grezwert uch eie obere Schrke dr: (Dss diese Folge mooto ist ist icht selbstverstädlich m k es ber zeige) Die logische Umkehrug des Stzes ist mchml uch ützlich: Stz S- Eie ubeschräkte Folge ist diverget. Beispiele für Grezwerte: W. Koe ZDgesmt-ext.docx Seite 8

5 Prof. Dr. Wolfgg Koe Mthemtik WS ) = N d.h. ( ) = =0 Beweis i Vorlesug d.h. ( ) = =.) = N " Nullfolge".) d.h. ( = ( ) N ) = () ist diverget BEACHTE: Nicht jede divergete Folge ist uch ubeschräkt (!!).) d.h. ( = + 5 N ) = () ist ch Stz S- diverget weil () icht beschräkt ist. M sgt d () besitzt de ueigetliche Grezwert oder bzw. die Folge geht gege oder. () ist bestimmt-diverget. Schreibweise: = oder = 5.) α α = fllsα >0 = 0 fllsα >0 Beweis folgt weiter ute mit Stz S - d)e). 6.) q 0 für = für für q < q = q > " geometrisc he Folge" Beweis s. [Stigl S. 9] W. Koe ZDgesmt-ext.docx Seite 9

6 Prof. Dr. Wolfgg Koe Mthemtik WS Stz S - Fudmetle Nullfolge =0 q = 0 für q < α = 0 für α >0 Aus de elemetre Folge lsse sich durch folgede Rechegesetze uch die Grezwerte derer Folge bereche: Stz S - Rechegesetze für Grezwerte Seie ( ) (b ) kovergete Folge mit de Grezwerte ud b. D sid uch die r Folge ( + b )( b ) für(b 0b 0) ud ( ) b für r R koverget ud es gilt: ) ( ± b ) = ± b b) ( b ) = b c) (c ) = c d) e) b = b ( ) = r r Rechetechisch: M k de Limes uf die Eizelterme "ch ie ziehe" z.b. = oder = we der etstehede Term etscheidbr ist. Die Regel vo Stz S - sid uch utzbr we Folge oder b gege ± "kovergiere" we m folgede Regel verwedet Stz S -5 Sei c R d R + lso d>0 c + = d = + = = c = 0 ( ) d c + = ist so zu verstehe: Eie Folge die gege c kovergiert plus eie Folge die bestimmt diverget gege geht ergebe zusmme eie Folge die bestimmt diverget gege geht. = Dgege sid chfolgede Ausdrücke "uetscheidbr" d.h. ohe weitere Utersuchug k NICHTS usgesgt werde: W. Koe ZDgesmt-ext.docx Seite 0

7 Prof. Dr. Wolfgg Koe Mthemtik WS =? =? 0 =? =? 0 D muss m durch geeigete Umformuge versuche zu eier etscheidbre Situtio zu komme. I Vorlesug werde Folgeruge us Stz S - ud Stz S -5 gezeigt. Regel für die Berechug vo Grezwerte: Komplizierte Ausdrücke uf Summe / Produkt / Quotiet bekter Folge (meist Nullfolge ud kostte Folge) zurückführe. (D.h. we möglich de Limes "ch ie ziehe".) Bei Brüche durch die größte Potez im Neer dividiere (g.p.i.n.). We eie Summe vo Terme die Situtio - ergibt d schue ob eie Zusmmefssug (z.b. uf gemeisme Hupteer) Klärug brigt. W ist "ch ie ziehe" für Limes NICHT möglich? We ddurch eie "uetscheidbre" Situtio (s. gelbe Tbelle ch Stz S -5) etsteht. D muss m versuche erst derweitig zu vereifche. Beispiele: ) = ( ) + ( = (8) ( 5 7 ) ( ) + ( ) ) = = Hier hbe wir zuerst g.p.i.n. beutzt dmit kostte Folge oder Nullfolge etstehe ud wir so de Limes ch ie ziehe dürfe. 8 = Ü Zur Übug: 7 ) ) + + k k ) k k k Regel: Bei Grezwert-Betrchtug sid bei Summe die Terme iedriger Ordug uwichtig. Weitere Beispiele i Vorlesug: + ( ) ) Die Folge ist koverget. Der Grezwert heißt e (Eulersche Zhl). W. Koe ZDgesmt-ext.docx Seite

8 Prof. Dr. Wolfgg Koe Mthemtik WS ) Rekursive Folge = + f( ) = = (sog. Fixpukt-Itertio). Die Fixpukt-Itertio ist eie "quick-&-dirty"-methode um vo icht eifch lösbre Gleichuge (sog. trszedete Gleichuge) eie Lösug zu bestimme:. M brigt die Gleichug i die Form = f(). (Hierfür gibt es oft zhlreiche Möglichkeite ud m muss probiere welche Lösug zum Ziel führt). Jetzt strtet m mit eiem Wert ud bestimmt = f( ) = f( )... usw.. We die Folge ( ) eie Grezwert besitzt d ist eie Lösug der trszedete Gleichug. Beispiel: Wir suche eie umerische Lösug x für die Gleichug =. Lösug: Sei x 0. Wir ddiere x uf beide Seite ud dividiere mit x durch: = + = + = + Ersetze wir ds x uf der like Seite durch ud die x uf der rechte Seite durch - so erhlte wir die obige rekursive Folge ). Wir köe u mit dem Tscherecher (oder Excel) Werte eisetze ud erhlte: (i Excel vormche) = =.5 6 =.56 W. Koe ZDgesmt-ext.docx Seite

9 Prof. Dr. Wolfgg Koe Mthemtik WS Ldusche O()-Nottio [Teschl Bd. S. 0-0] oder [Hcheberger05 S. 8-87] I der Iformtik muss m oft die Lufzeit vo Algorithme bschätze. Beispiel Mtrixmultipliktio: M brucht Multipliktioe ud (-) Additioe lso isgesmt = Opertioe. Wie wächst die Lufzeit we die Mtrixgröße (Zeilezhl) steigt? Oft iteressiert m sich für ds Grezwertverhlte großer ud hier ist der domite Term : Def D-5: Ldusche O()-Nottio Seie A=( ) ud B=(b ) b 0 Folge. Wir defiiere die Mege "Groß-O" vo B durch O(B) = O(b) = { () Der Quotiet b ist beschräkt }. M sgt d: Die Folge A ist "vo der Ordug O(B)" ls Formel: A O(B). Für A O(B) schreibt m üblicherweise (we uch ugeu) A = O(B). Beispiele: de = + O( ber uch + O( ) oder O( ). O( ). ). 6 log() O( log()) +. WARNUNG: Ds Gleichheitszeiche i Aussge mit der O()-Nottio ist NICHT ds Gleichheitszeiche der Arithmetik soder ur eie (ugeue) Abkürzug für " O(B)". De us A=O(B) ud C=O(B) folgt NICHT A=B ud NICHT A=C. Mit der O()-Nottio drückt m us dss ds die Folge A B ud C für große zur selbe Wchstumsklsse (Mege) gehöre. Es gilt folgede Reihug für Wchstumsklsse: O() < O(log()) < O() < O( log()) < O( ) < O( log()) < < O( ) Hierbei bedeutet z.b. O(log()) < O(): Für jede Vertreter O( ) mit O(log( )) gilt: Mit dere Worte: O( ) log( ) ist diverget. wächst stärker ls log() c R c. [Hrtm0 S. 5-9] brigt die O()-Nottio uch llerdigs Schreibweise etws upräzise. W. Koe ZDgesmt-ext.docx Seite

10 Prof. Dr. Wolfgg Koe Mthemtik WS Ü Übug: Orde Sie de Folge ei möglichst eifches ud "billiges" O(B) zu. Folge () O( ) () () + log() () (5) I Vorlesug oder Übug: Tbelle mit Vergleich verschiedeer Lufzeitverhlte weiteres Bsp. zu Fixpukt-Itertio. Ü Übug: Löse Sie die Aufgbe us de Eiggsbeispiele ud etscheide Sie für die Fälle ud : Welcher Algorithmus ist jeweils für große scheller? Erster Algorithmus Zweiter Algorithmus Fll A = 00 + B = 5 Fll 5 A' = 00 + B' = 0! 0! Fll C = D = ( + )! ( )! ( + ) Hiweis: Bilde Sie jeweils Erster / Zweiter W. Koe ZDgesmt-ext.docx Seite

11 Prof. Dr. Wolfgg Koe Mthemtik WS Fzit zu Folge Wir hbe i diesem Kpitel folgede Begriffe keegelert: Grezwert: we schließlich lle Folgeglieder i eiem "ε-schluch" liege kovergete Folge: ht ei edliche Zhl ls Grezwert (Limes) divergete Folge: ds Gegeteil bestimmt-divergete Folge: ht + oder ls Grezwert (ueigetlicher G.) Wichtiges Resultt: Mit Grezwerte k m reche: Opertor Grudrecheopertioe. Techike: g.p.i.n. Hupteer vertuschbr mit de meiste Wir köe folgede Systemtik für Folge erstelle: koverget diverget beschräkte Folge ubeschräkte Folge beschräkt + koverget (leer) beschräkt + diverget ubeschräkt + diverget Ü Nchfolged Ü-Frge: jeweils DEM NACHBARN ERKLÄREN: Übug: Gebe Sie für jede der mögliche Qudrte ei Beispiel! Übug: Whr oder flsch? (Begrüde Sie Ihre Atwort): o Jede bestimmt-divergete Folge ist diverget. o Jede divergete Folge ist bestimmt-diverget. o Eie Folge ist etweder koverget oder sie strebt gege + oder gege -. Wäre icht die Folge ( ) = ½ / ¼ ei Beispiel für eie ubeschräkte ber doch kovergete Folge? W. Koe ZDgesmt-ext.docx Seite 5