Folgen und Grenzwerte

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1 Kapitel 2 Folge ud Grezwerte Die Grudlage der Aalysis ist der Begriff des Grezwertes. Er ist aus der Schule bekat bzw. sollte bekat sei) ud wird hier rekapituliert. Da es kaum eie Uterschied macht, Folge ud Grezwerte i R oder i C zu betrachte, formuliere wir die folgede Defiitioe ud Sätze i C, was R als Spezialfall umschließt. I de Beispiele ud Übuge werde hauptsächlich reelle Folge betrachtet Defiitioe, Beispiele, eiige Sätze Notatio: N = {, 2,... }, N 0 = {0,, 2,... }. Defiitio 2.: Folge) Eie Folge z ) = z, z 2, z 3... ), machmal auch z ) = z 0, z, z 2,... ), ist eie Zuordug Fuktio) Idex N bzw. N 0 ) Wert z C. Beispiel 2.2: a) x = ) ; N. Die Folge x ) ist,,,,... ). b) x = ; N. Die Folge x ) ist, 2, 3, 4,... ). c) x = 2 ; N. Die Folge x ) ist 0, 3 4, 8 9, 5 6, 24 25,... ). d) x = + ) ; N. Die Folge x ) ist 2, 9 4, 64 27, , ,... ) 2.0, 2.25, , , ,... ). 5

2 6 KAPITEL 2. FOLGEN UND GRENZWERTE Beispiel 2.3: Eiige simple Berechuge mit MuPAD. Folge köe z.b. als Fuktioe defiiert werde: >> x := -> + /)^ -> + /)^ Der Folgegeerator $ diet zur Erzeugug vo Folge: >> x) $ =..5 2, 9/4, 64/27, 625/256, 7776/325 Gleitpuktäheruge werde durch float erzeugt: >> floatx)) $ = , 2.25, , , Machmal sid Mootoieeigeschafte vo Folge iteressat. Da hierzu Folgeglieder vergliche werde müsse, ka Mootoie ur im Reelle betrachtet werde auf C gibt es keie sivolle Begriffsbildug der Art z < z 2 ). Bezeichug 2.4: Eie reelle Folge x ) heißt mooto wachsed bzw. mooto falled, we x x m bzw. x x m gilt für alle Idexpaare, m mit < m. Bei x < x m bzw. x > x m spricht ma vo streg mooto wachsed bzw. streg mooto falled. Zuächst die formale Defiitio vo Kovergez ud Grezwert, die etwas abschrecked sei mag, aber keie Agst!) später ur i de hier icht wirklich iteressierede) techische Beweise zum Eisatz kommt. Oft reicht es, eifache Vererbugsregle wie z.b. aus Satz 2.3 zu beutze, um Grezwerte mittels Arithmetikregel zu ermittel. Defiitio 2.5: Grezwerte vo Folge) Eie Folge z ) i C heißt koverget, we eie Zahl z C existiert, so dass sich ituitiv) alle Zahle z für großes dem Wert z beliebig geau aäher. Formal: zu jedem och so kleie ɛ > 0 läßt sich eie reelle Zahl Nɛ) agebe, so dass z z ɛ gilt für alle Idizes Nɛ). Aschaulich: alle Werte z weiche für Nɛ) maximal um de Wert ɛ vom Grezwert ab. Der Wert z heißt da Grezwert Limes ) der Folge z ). Schreibweise: z = lim z oder auch z z für.

3 2.. DEFINITIONEN, BEISPIELE, EINIGE SÄTZE 7 Eie icht kovergierede Folge heißt diverget. Kovergete Folge mit dem Grezwert 0 heiße auch Nullfolge. Bemerkug 2.6: Die Aussage für alle Nɛ) impliziert, dass ur hireiched große Idizes betrachtet zu werde brauche. Merke: für Kovergez ist das Verhalte der Folge für kleie Idexwerte völlig irrelevat. Geauer: ma ka immer edlich viele Folgeelemete abäder, ohe dass sich etwas a der Kovergez ädert: ma ka o.b.d.a. = ohe Beschräkug der Allgmeiheit) immer Nɛ) größer wähle als der größte Idex der geäderte Folgeglieder. Eie ituitive Iterpretatio der ɛ-defiitio der Kovergez lautet: Für jedes och so kleie) ɛ > 0 habe höchstes edlich viele Folgeglieder eie Abstad zum Grezwert, der größer ist als ɛ. Satz 2.7: Eideutigkeit vo Grezwerte) Grezwerte sid eideutig, d.h., zu z ) gibt es höchstes ei z mit der obige Eigeschaft. Beweis: Seie z ud z zwei Grezwerte. Zu jedem ɛ > 0 gilt für hireiched große Idizes : z z ɛ, z z ɛ z z = z z + z z z z + z z 2 ɛ. Da ɛ > 0 beliebig klei gewählt werde ka ud damit auch 2 ɛ beliebig klei sei ka, folgt z z = 0, also z = z. Eiige eifache Beispiele mit formalem Beweis: Beispiel 2.8: Die kostate Folge z ) = c, c, c,... ) ist koverget mit dem Grezwert z = lim z = c, de für alle gilt z z = c c = 0 ɛ, wie auch immer ɛ > 0 vorgegebe wird. Formal: zu ɛ > 0 wähle Nɛ) =. Nu ja, im obige Beispiel war sogar das formale Nɛ) Kriterium sehr eifach zu hadhabe. Im ächste Beispiel wird es ei klei weig komplizierter:

4 8 KAPITEL 2. FOLGEN UND GRENZWERTE Beispiel 2.9: Die Folge x = ist koverget mit dem Grezwert x = lim x = 0. Formaler Beweis: zu beliebigem ɛ > 0 wähle Nɛ) = ɛ. Da folgt für alle Nɛ): x x = x 0 = x = = Nɛ) = = ɛ. ɛ Ud och ei Beispiel mit formalem Beweis: Beispiel 2.0: Für c C gelte c <. Da ist die Folge z = c eie Nullfolge. Beweis: Für c = 0 ist alles klar. Sei u c 0. Defiiere h = c > 0, d.h., c = +h. Es gilt c = c = + h) = + h + ) h h > h. 2 Es folgt c < h ɛ für alle Idizes h ɛ =: Nɛ). Beispiele: c = 0.5 : c ) = 0.5, 0.25, 0.25, , ). Für c gilt diese Aussage icht! Z.B.: c = : c ) =,,,,... ) kovergiert gege ), c = i : c ) = i,, i,, i,,... ) kovergiert icht), c = 2 : c ) = 2, 4, 8, 6,... ) divergiert, bzw. kovergiert gege ). Beispiel 2.: Eiige Berechuge mit MuPAD: >> x := -> c^ >> x) $ =..0 -> c^ c, c, c, c, c, c, c, c, c, c Grezwerte werde mit limit berechet. Die Hilfeseite dazu wird mittels?limit agefordert: >>?limit Ohe Weiteres ka der Grezwert icht bestimmt werde, da er ja vo de Eigeschafte vo c abhägt:

5 2.. DEFINITIONEN, BEISPIELE, EINIGE SÄTZE 9 >> limitx), = ifiity) Warig: caot determie sig of lc) [stdlib::limit::limitmrv] limitc, = ifiity) Nehme wir a, c sei reell ud 0 < c < : >> assume0 < c < ): >> limitx), = ifiity) Nehme wir a, c > : >> assumec > ): >> limitx), = ifiity) 0 ifiity Ei Beispiel eier icht kovergierede Folge: Beispiel 2.2: Die Folge x = ), also x ) =,,,,... ) ist icht koverget hat keie Grezwert). Hier ei formaler Beweis damit i dieser Vorlesug weigstes eimal ei sauberer Nichtexistezbeweis vorkommt): zu ɛ = 2 läßt sich kei Nɛ) fide. Ageomme, ei Grezwert x existiert. Da müßte Nɛ) existiere mit für alle Nɛ). Es würde folge: x x ɛ, x + x ɛ x x + = x x + x }{{ x } + x x + x x + ɛ + ɛ = =. =0 Für die betrachtete Folge gilt aber x x + = 2 für jedes. Widerspruch! Damit muß die Aahme es existiert x falsch gewese sei. Die formale Defiitio mit ɛ ud Nɛ) ist uageehm ud ma möchte diese recht techische Betrachtuge ud Abschätzuge liebed ger vermeide. Wie geht ma beim praktische Reche vor? Es gibt Recheregel! Damit läßt sich ɛ ud Nɛ) praktisch immer verbae: Satz 2.3: Recheregel für Grezwerte) Seie x ), y ) kovergete Folge i C, sei c C eie Kostate. Da gilt: a) lim c x ) = c lim x,

6 20 KAPITEL 2. FOLGEN UND GRENZWERTE b) lim x ± y ) = lim x ± lim y, c) lim x y ) = lim x lim y, x ) lim x d) lim = y lim y, falls lim y 0 gilt!), e) lim x = lim x. Eie Beweisadeutug ur für techisch Iteressierte): Beweisskizze: Seie x bzw. y die Grezwerte vo x ) bzw. y ). a) Für c = 0 ist die Behauptug sicherlich richtig. Sei u c 0. Zu ɛ > 0 gibt es ei N, so dass x x ɛ c gilt für alle N. Für diese Idizes folgt c x c x = c x x ɛ c c = ɛ. b) Wähle ei beliebiges ɛ > 0. Da x ) ud y ) als koverget vorausgesetzt sid, gibt es Werte N x bzw. N y mit x x ɛ 2 bzw. y y ɛ 2 für alle N x bzw. N y. Für alle Nɛ) := maxn x, N y ) folgt x ± y x ± y ) = x x ± y y ) x x + ± y y ) ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. Die Aussage c) e) lasse sich mit ähliche etwas aufwedigere) Abschätzuge beweise. Beispiel 2.4: Wir wisse bereits, dass kostate Folge x = c gege c kovergiere, ud dass x = eie Nullfolge ist. Durch Eisatz der Recheregel folgt umittelbar: lim lim 3 = lim usw. Durch Iduktio ach k ergibt sich: Alle Folge der Form x = k 2 = lim = lim lim = 0 0 = 0, 2 = lim lim 2 = 0 0 = 0, mit positive Poteze k sid Nullfolge.

7 2.. DEFINITIONEN, BEISPIELE, EINIGE SÄTZE 2 Machmal muß ma etwas maipuliere ud umschreibe. Bei ratioale Ausdrücke i also Polyom)/Polyom)) gilt das allgemeie Rezept: ziehe i Zähler ud Neer die führede Potez vo raus ud kürze. Typischerweise verbleibe da ur och Nullfolge im Ausdruck, die zu 0 werde, we ma über die obige Recheregel de Grezwert i de Ausdruck reizieht : Beispiel 2.5: lim 2 = lim ) 2 2 ) = lim = 2 + lim lim 2 = = 2. Hierbei wurde beutzt, dass wir i de Beispiele 2.9 ud 2.4 bereits / ud / 2 als Nullfolge idetifiziert habe. Ma sieht, mit etwas Geschick eigesetzt, mache die Recheregel die Berechug vo Grezwerte oft sehr eifach. Machmal muß ma allerdigs trickse : Beispiel 2.6: lim + + ) ) + ) = lim = lim = lim + ) + + = lim = lim = lim = lim + + lim + + = lim = lim = lim lim = ) ) lim + ) = 0. Machmal helfe alle Recheregel ichts, ud ma muß techisch abschätze. Eie hilfreiche Aussage liefert der folgede Satz, der ur für reelle Folge gilt. Liege die Folgeglieder x i Itervalle [a, b ] ud kovergiere die Itervallede gege de selbe Wert, so bleibt der Folge ichts aderes übrig, als ebefalls gege diese Wert zu kovergiere die Itervallläge b a kovergiert gege 0):

8 22 KAPITEL 2. FOLGEN UND GRENZWERTE Satz 2.7: Itervallschachtelug) Seie a ), b ), x ) reelle Folge. Die Folge a ) ud b ) möge gege de selbe Grezwert kovergiere. Gilt für alle hireiched große Idizes a x b, so kovergiert auch x ) gege lim x = lim a = lim b. Beweis: Sei x der Grezwert vo a ) ud b ). Die Folge b a ) ist positiv ud eie Nullfolge. Zu ɛ > 0 gibt es Werte N bzw. N 2 mit b a = b a ɛ 2, a x ɛ 2 für alle N bzw. N 2. Für alle N := maxn, N 2 ) folgt x x = x a + a x x a + a x = x a + a x b a + a x ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. Beispiel 2.8: Sei x = 2 +. Offesichtlich gilt }{{} 0 x = = a }{{} b Die Itervallgreze a = 0 ud b = sid beides Nullfolge, also ist auch x eie Nullfolge.. Beispiel 2.9: Für positive reelle Zahle c defiiere wir z = c / als die positive reelle Lösug vo z = c. Fall : Sei c. Sicherlich gilt z. Setze z = + h mit h 0. Es folgt c = + h ) = + h + 2 ) h h 0 h c. Damit ist h eie Nullfolge, also z = + h für. Fall 2: Sei 0 < c. Sicherlich gilt 0 < z. Setze z = / + h ) mit h 0. Aalog zu Fall folgt c = + h ) = + h + ) h h 0 h 2 Damit ist h eie Nullfolge, also z = / + h ) für. Merke: lim c/ = für jedes reelle c > 0. c.

9 2.. DEFINITIONEN, BEISPIELE, EINIGE SÄTZE 23 Satz ud Defiitio 2.20: Sei z eie beliebige komplexe Zahl. Die Folge x = + z ) kovergiert gege eie vo z abhägede Grezwert x z), der auch als e z oder auch als expz) bezeichet wird. Die Fuktio exp : z e z heißt Expoetial-Fuktio. Der spezielle Grezwert e = e für z = heißt Eulersche Zahl : e = lim ) Der Beweis ist sehr techisch ud brigt keie wirkliche Erketisse. Nur der Vollstädigkeit halber wird eie Teilskizze agegebe: Beweisskizze: Wir betrachte ur de Fall z =. Ma zeigt jeweils per Iduktio, dass die reelle Folge x = + ) streg mooto wachsed i ist ud dass y = + ) = + ) + ) = x + ) streg mooto falled i ist. Da offesichtlich x < y < y 2 = 4 gilt, ist x mooto wachsed ud ach obe beschräkt. Dies reicht, um die Kovergez vo x ) zu folger Satz 2.28). Zusatz: y ist mooto falled ud ach ute durch y > x > x = 2 beschräkt, kovergiert also ebefalls. Es gilt lim y = lim x + ) = lim x lim + ) = lim x = lim x. Damit liefert jedes x eie utere ud y eie obere Schrake für die Eulersche Zahl, wobei das Itervall [x, y ], i dem sie zu fide ist, auf die Läge 0 zusammeschrumpft. Eie techische Vorüberlegug für de Beweis des kommede Satzes 2.22: Techischer Hilfssatz 2.2: Sei z ) eie komplexe Nullfolge mit der Eigeschaft, dass 2 z ) beschräkt ist d.h., es gibt eie Kostate c > 0, so dass für alle Idizes z c gilt). Da gilt 2 lim + z ) =

10 24 KAPITEL 2. FOLGEN UND GRENZWERTE Der Beweis ist sehr techisch ud brigt keie wirkliche Erketisse. Er ist ur der Vollstädigkeit halber agegebe: Beweis: Es gilt Aufgabe 8) für jedes z C: z = z ) + z + + z ). Für z = + z folgt + z ) = z + + z ) z ) ). Die Dreiecksugleichug liefert + z ) z + + z z ) z + + z ) z ) ). Mit + z ) k + z ) für alle k = 0,,..., folgt + z ) z + z ) + + z ) z ) ) = z + z ). Wege z c/ 2 gilt auch z c/: + z ) z + c ) z e c. Wege z c/ 2 gilt z c/: + z ) c ec. ) Damit gilt lim + z ) = 0, ud es folgt lim + z ) =. Der folgede Satz ist fudametal ud sehr wichtig: Satz 2.22: Fuktioalgleichuge der Expoetialfuktio) Für alle z, z, z 2 C, Z gilt: e 0 =, e z = e z, ez +z 2 = e z e z 2, e z ) = e z.

11 2.. DEFINITIONEN, BEISPIELE, EINIGE SÄTZE 25 Trotz aller Wichtigkeit des Satzes: der Beweis brigt keie wirkliche Erketisse ud ist ur der Vollstädigkeit halber für techisch Iteressierte agegebe: Beweis: Es gilt Die Folge + z + z ) 2 z ) z ) 2 = + z + z ) 2 z ) z )) 2 = z2 + z z 2 + z z z 2 z + z 2 ) ). 3 x = z2 + z z 2 + z z z 2 z + z 2 ) 3 = 2 z 2 + z z 2 + z2 2 + z z 2 z + z 2 ) ) erfüllt die im Hilfssatz 2.2 geforderte Bedigug x c/ 2 mit z 2 + z z 2 + z2 2 + z z 2 z + z 2 ) z 2 + z z 2 + z z z 2 z + z 2 ) Hilfssatz 2.2 liefert damit lim + z + z ) 2 ud folglich gilt: = lim + z + z 2 z 2 + z z 2 + z z z 2 z + z 2 ) =: c. z ) ) lim z 2 z ) = lim + x ) = ) lim z 2 = e z +z2 e z e z 2. Mit e 0 = lim + 0 = lim ) = folgt für z = z, z 2 = z: Für allgemeie z, z 2 folgt da: Hiermit folgt für N: = e 0 e z e z = e z e z e z = e z. = e z +z2 e z e z 2 e z +z 2 = e z e z 2. e z ) = e z e z e z = e z+z+ +z = e z. Mit e z = /e z folgt die selbe Eigeschaft auch für egative gazzahlige Poteze. )

12 26 KAPITEL 2. FOLGEN UND GRENZWERTE Beispiel 2.23: Eiige Rechuge mit MuPAD. Die Expoetialfuktio heißt exp: >> limit + /)^, = ifiity) exp) Mit % wird auf de letzte Wert zugegriffe: >> float%) >> exp20) = floatexp20)) exp20) = >> exp3 + I/2) = floatexp3 + I/2)) exp3 + /2 I) = I Für reelle Argumete ka die Expoetialfuktio mittels plotfuc2d gezeichet werde. Falls x vorher eie Wert zugewiese bekomme hatte, muß dieser zuächst mittels delete gelöscht werde: >> delete x: >> plotfuc2dexpx), x = -2..3) 2.2 Weitere Kovergezsätze I diesem Abschitt werde eiige allgemeie Sätze formuliert, die hilfreich sid, die Kovergez vo Folge zu prüfe. Als Vorbereitug wird zuächst das Supremumsaxiom vorgestellt. Es garatiert, dass R vollstädig geug ist, um die Existez diverser Grezwerte zu sicher Das Supremumsaxiom für R Welcher Uterschied besteht zwische der Mege R der reelle Zahle ud der Mege Q der ratioale Zahle? I beide Mege ist die Arithmetik Additio, Subtraktio, Multiplikatio, Divisio) defiiert ud verläßt die Mege icht. Mathematisch gesproche: beide Mege sid Körper. Die Eiführug der reelle Zahle als Verallgemeierug der ratioale Zahle ist dadurch motiviert, Gleichuge wie z.b. x 2 = 2 löse zu köe 2 ist eie irratioale Zahl, also i R, aber icht i Q). I diesem Sie ist R vollstädiger als Q. Worauf läuft dies mathematisch hiaus?

13 2.2. WEITERE KONVERGENZSÄTZE 27 Defiitio 2.24: Beschräktheit) Eie Teilmege A vo R heißt ach obe bzw. ach ute beschräkt, we es Zahle M R bzw. m R gibt, so dass a M bzw. m a für alle a A gilt. Die Zahl M bzw. m heißt obere bzw. utere Schrake für A. Eie sowohl ach obe als auch ach ute beschräkte Mege heißt beschräkt. Es gilt a max m, M ) für alle a A. Das Supremumsaxiom 2.25: Jede ach obe beschräkte ichtleere Teilmege A vo R besitzt eie kleiste obere Schrake das Supremum vo A): sup A = mi{m R; a M a A}. Jede ach ute beschräkte ichtleere Teilmege A vo R besitzt eie größte utere Schrake das Ifimum vo A): if A = max{m R; m a a A}. Hierbei braucht ma als Axiom eigetlich ur die Existez eie Supremums zu forder. Das Ifimum vo A ergibt sich da automatisch als das egative Supremum der Mege der egative Werte i A: if A = sup { a; a A}. Die Existez des Miimums/Maximums aller obere/utere Schrake, welche das Supremum/Ifimum defiiere, ist die gewüschte Vollstädigkeit der reelle Zahle, die R z.b. vo Q uterscheidet. Bemerkug 2.26: Existiert i A R ei maximales Elemet, so ist dieses Maximum auch das Supremum: sup A = max A. Aber icht jede beschräkte Mege hat ei maximales Elemet. Z.B. hat A = [0, ) kei Maximum, de das Supremum sup A = der eizige Kadidat für das Maximum) liegt icht i A. Beispiel 2.27: Beispielsweise garatiert das Supremumsaxiom, dass es eie positive reelle Zahl 2 gibt, dere Quadrat 2 ist. Betrachte dazu A = {a R; a 2 2}. Die beide Lösuge vo x 2 = 2 ergebe sich als 2 = sup A, 2 = if A.

14 28 KAPITEL 2. FOLGEN UND GRENZWERTE Das ist ituitiv plausibel, ka aber auch gaz formal bewiese werde. Wir betrachte hier ur das Supremum ud führe de Beweis vo sup A) 2 = 2 für techisch Iteressierte formal durch: Offesichtlich ist die Mege A beschräkt sicherlich gilt z.b. A [ 3/2, 3/2]). Es ist zu zeige, dass das Supremum ee wir es s) i der Tat s 2 = 2 erfüllt: Sicherlich gilt s > 0, also speziell 2 + s > 0. Ageomme, es gilt s 2 < 2. Da ka s keie obere Schrake vo A sei, de z.b. die Zahl a = s + 2 s2 = 2 s + s2 + 2 s 2 = s 2 + s 2 + s 2 + s }{{} >0 wäre echt größer als s ud liegt i A, de es gilt a 2 = s + 4 s2 2 + s) 2 = s + 2 s2 ) 2 2 s 2 ) 2 + s) 2 = s)2 2 2 s 2 ) 2 + s) 2 = s s) 2 } {{ } >0 Widerspruch! Ageomme, es gilt s 2 > 2. Da ka s icht die kleiste obere Schrake vo A sei, de z. B. die Zahl < 2. M = s + 2 s2 = 2 s + s2 + 2 s 2 = s 2 + s 2 + s 2 + s }{{} <0 ist kleier als s ud ist obere Schrake vo A, de wege gilt: M 2 = s + 4 s2 2 + s) 2 = s + 2 s2 ) + 2 s 2 2) 2 + s) 2 = s)2 + 2 s 2 2) 2 + s) 2 = s s) 2 } {{ } >0 > 2 a A a 2 2 a 2 < M 2 a < M. Im letzte Schritt wird ausgeutzt, dass wir bereits wisse, dass M = 2+2 s)/2+s) > 0 gilt, da sicherlich s > 0 gilt.) Widerspruch! Also muss s 2 = 2 gelte.

15 2.2. WEITERE KONVERGENZSÄTZE Kovergez mootoer reeller Folge Die folgede Aussage ist äußerst hilfreich, de sie geratiert Kovergez, ohe dass der kokrete Grezwert bekat zu sei braucht. Die Aussage beruht auf Mootoie ud ist daher ur auf reelle Folge awedbar. Die Kovergez basiert auf dem Supremumsaxiom 2.25 für R. Satz 2.28: Kovergez mootoer Folge) Sei x ) eie mooto steigede bzw. fallede reelle Folge. Ist die Folge ach obe bzw. ute beschräkt, also x M bzw. m x für alle Idizes, so ist x ) koverget. Es gilt lim x = sup {x ; N} M bzw. m lim x = if {x ; N}. Beweis: Betrachte eie mooto steigede ud durch M ach obe beschräkte Folge x ). Setze A = {x ; N}. Der gesuchte Grezwert ist x = sup A. Zum Beweis der Kovergez gege x sei ɛ > 0 beliebig vorgegebe. Da x die kleiste obere Schrake vo A ist, ist x ɛ keie obere Schrake, d.h., es existiert ei Idex Nɛ) mit x Nɛ) > x ɛ. Wege der Mootoie gilt für alle Idizes Nɛ): x x x Nɛ) x ɛ 0 x x ɛ x x ɛ. Da x die kleiste obere Schrake vo A ist, gilt für die obere Schrake M die Ugleichug x M. Die Kovergez mooto falleder, ach ute beschräkter Folge ist aalog zu beweise. Beispiel 2.29: Betrachte x = k=0 k! = +! + 2! + +!. Offesichtlich ist x ) mooto steiged ud ach obe beschräkt: x = }{{}! }{{} 2! }{{} 3! = 2 0 = 2 < }{{}! < 2 k=0 2 k = Die Folge kovergiert gege eie Grezwert 3 es ist die Eulersche Zahl ).

16 30 KAPITEL 2. FOLGEN UND GRENZWERTE Cauchy Folge, Häufugspukte vo Mege Wir betrachte eiige Aussage, die sowohl i R als auch allgemeier i C gelte. Zuächst wird der Zusammehag zwische reeller ud komplexer Kovergez vo Folge durch de folgede Satz aufgedeckt: Satz 2.30: Komplexe ud reelle Kovergez) Sei z = x + i y C mit x, y R. Die Folge z ) kovergiert da ud geau da gege z = x + i y x, y R), we Real- ud Imagiärteil eizel kovergiere: lim x = x, lim y = y Beweis: Es gilt z z 2 = x x ) 2 + y y ) 2. Gilt x ) x ud gleichzeitig y ) y, so ist z z 2 eie Nullfolge, also auch z z. Dies ist per Defiitio die Kovergez z ) z. Umgekehrt, es gelte z ) z. Mit 0 x x z z, 0 y y z z folgt mit Satz 2.7 umittelbar, dass x x ud y y Nullfolge sei müsse. Dies ist per Defiitio die Kovergez x ) x, y ) y. Die Defiitio der Kovergez 2.5 beötigt die Ketis des Grezwerts. Der folgede Satz 2.3 ist eie Existezaussage, mit der auch ohe Ketis des kokrete Grezwerts die Kovergez abgelese werde ka. Zuächst die etscheidede Begriffsbildug: Defiitio 2.3: Cauchy Folge) Eie Folge z ) i C heißt Cauchy Folge, we zu jedem ɛ > 0 eie reelle Zahl Nɛ) existiert, so dass für alle, m Nɛ) gilt: z z m ɛ. Satz 2.32: Die kovergete Folge sid die Cauchy Folge) Eie Folge i C kovergiert da ud geau da, we sie eie Cauchy Folge ist. Der Beweis ist techisch ud brigt keie wirkliche Erketisse. Er ist ur der Vollstädigkeit halber agegebe: Beweis: Wir betrachte zuächst Folge x ) i R. Kovergez Cauchy Folge: Ist x ) koverget mit Grezwert x, so gibt es zu ɛ > 0 ei Nɛ), so dass x x ɛ, x m x ɛ

17 2.2. WEITERE KONVERGENZSÄTZE 3 gilt für alle, m Nɛ). Für alle, m Nɛ/2) folgt x x m = x x + x x m x x + x x m ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ, d.h., x ) ist eie Cauchy Folge. Cauchy Folge Kovergez: Sei x ) eie Cauchy Folge mit x x m ɛ für alle, m N x ɛ). Hieraus folgt, dass die Mege A = {x m ; m } für jedes beschräkt ist: x m = x m x + x { x + x m x, x x m x, wobei z.b. x m x für m, N x ) gilt. Ma ka also defiiere: a := if {x m ; m }, b := sup {x m ; m }. Offesichtlich gilt a x b. Die Folge b ist mooto falled, da die Suprema immer kleierer Mege betrachtet werde. Aalog ist die Folge a mooto wachsed. Nach Satz 2.28 kovergiere damit a ) ud b ) gege gewisse Grezwerte a ud b mit a b. Wir zeige, dass a = b gilt. Ageomme, es gilt a < b. Betrachte ɛ = b a )/4 > 0. Wähle ei N x ɛ). Da a als Ifimum die größte utere Schrake vo A ist, ist a +ɛ keie utere Schrake vo A mehr: es gibt ei m, so dass x m < a + ɛ. Alog gibt es ei m 2, so dass x m2 > b ɛ. Wege der Mootoie vo a ) ud b ) gilt a a ud b b, also: Damit folgt b a b a = 4 ɛ. x m2 x m = x m2 b }{{ + b } a + a }{{} x m ɛ + 4 ɛ ɛ > ɛ. }{{} > ɛ 4 ɛ > ɛ Hierbei gilt m, m 2 N x ɛ). Mit der Cauchy Eigeschaft vo x ) müßte für solche Idizes aber x m2 x m ɛ gelte. Widerspruch! Damit ist gezeigt, dass reelle Folge x ) geau da kovergiere, we sie Cauchy Folge sid. Aalog zu Satz 2.30 ist leicht gezeigt, dass eie komplexe Folge geau da eie Cauchy Folge ist, we die Folge der Real- ud Imagiärteile beide Cauchy Folge sid. Zusamme mit Satz 2.30 ergibt sich damit, dass auch komplexe Folge geau da kovergiere, we sie Cauchy Folge sid.

18 32 KAPITEL 2. FOLGEN UND GRENZWERTE Auch we der Begriff Cauchy Folge sehr techisch ist, ist er für Aweduge sehr iteressat. Er taucht wegleich ur im Beweis versteckt) beim für die Praxis sehr wichtige Baachsche Fixpuktsatz für kotrahierede Abbilduge auf. I dieser Vorlesug gehe wir hierauf aber icht weiter ei. Noch eiige i der Literatur oft vorkommede Begriffe die i dieser Vorlesug aber icht wirklich zum Eisatz komme werde): Defiitio 2.33: Häufugspukte vo Mege) Ei Pukt z C heißt Häufugspukt eier Mege A C, we für jedes ɛ > 0 die sogeate ɛ-umgebug vo z Ū ɛ z ) = {z C; z z ɛ} midestes eie Pukt i A ethält: Ūɛz ) A. Geometrisch ist die ɛ-umgebug eies Puktes z ei Kreisgebiet mit Mittelpukt z ud Radius ɛ, wobei i der obige Defiitio der Kreisrad mit zur Umgebug gerechet wird. {z C; z z = ɛ} Beispiel 2.34: Offesichtlich ist jeder Pukt i A ei Häufugspukt vo A de dieser Pukt liegt i jeder ɛ-umgebug vo sich selbst). Es ka aber auch Pukte außerhalb vo A gebe, die Häufugspukte vo A sid. I R sid z.b. die Edpukte vo Itervalle stets Häufugspukte, selbst we das Itervall A = a, b) R offe ist. Z.B.: offesichtlich liegt für ɛ > 0 der Pukt x = mia + b)/2, a + ɛ) sowohl i A = a, b) als auch i der ɛ Umgebug vo a. Also ist a ei Häufugspukt vo A. Wir defiiere die Begriffsbilduge abgeschlossee Mege ud offee Mege : Defiitio 2.35: abgeschlossee Mege) Eie Mege A C heißt abgeschlosse, we jeder ihrer Häufugspukte i A liegt. Die Mege heißt offe, we ihr Komplemet C \ A = {z C; z A} abgeschlosse ist. Beispiel 2.36: Abgeschlossee Itervalle [a, b] i R sid abgeschlossee Mege. Die hier defiierte ɛ-umgebuge Ū ɛ z ) = {z C; z z ɛ} sid abgeschlossee Mege i C. Achtug: i der Literatur werde als ɛ-umgebuge oft die Mege U ɛ z ) = {z C; z z < ɛ}

19 2.2. WEITERE KONVERGENZSÄTZE 33 betrachtet, die de Kreisrad {z C; z z = ɛ} icht ethalte. Diese Mege sid icht abgeschlosse, de die Pukte des Kreisrads sid Häufugspukte. Die U ɛ sid offee Mege Teilfolge ud Häufugspukte vo Folge Nebe der Kovergez gibt es de schwächere) Begriff vo Teilkovergez, der sich i sogeate Häufugspukte vo Folge im Uterschied zum scho eigeführte Begriff Häufugspukte vo Mege ) maifestiert. Defiitio 2.37: Häufugspukte vo Folge) Ei Pukt z C heißt Häufugspukt der Folge z ), we i jeder ɛ-umgebug vo z uedlich viele Folgeglieder liege, also: zu jedem ɛ > 0 existiere uedlich viele Folgeglieder z mit z z ɛ. Beispiel 2.38: Die Folge x = ), also x ) =,,,,... ) hat die beide Häufugspukte x = ud x 2 =. Der Pukt x = ist Häufugspukt, de für alle Folgeglieder mit geradem Idex dies sid uedlich viele) gilt x x = 0 ɛ für jedes ɛ > 0. Der Pukt x 2 = ist Häufugspukt, de für alle Folgeglieder mit ugeradem Idex dies sid uedlich viele) gilt x x 2 = 0 ɛ für jedes ɛ > 0. Bemerkug 2.39: Sei < 2 <... eie streg mooto steigede Folge vo Idizes i N. Die Folge z i ) = z, z 2,... ) heißt Teilfolge der Folge z ). z ist geau da Häufugspukt der Folge z ), we es eie gege z kovergierede Teilfolge vo z ) gibt. Zu eiem gegebee Häufugspukt z folgt eie explizite Kostruktio eier kovergete Teilfolge. Zu ɛ = /k gibt es uedlich viele Folgeglieder z mit z z /k. Wähle i als de erste Folgeidex, für de der Abstad zwische z ud dem Häufugspukt de Wert /k uterschreitet: { k := mi ; > k ; z z } 0 := 0). k Nach Kostruktio gilt z k z k für alle k =, 2,... ud damit auch z j z j k für alle j k. Damit kovergiert z k ) gege z. Umgekehrt, gibt es eie gege z kovergete Teilfolge vo z ), so liege i jeder ɛ-umgebug vo z alle bis auf edliche viele Glieder der Teilfolge. Also ist z ei Häufugspukt vo z ).

20 34 KAPITEL 2. FOLGEN UND GRENZWERTE Beispiel 2.40: Für die Folge x ) =,,,,... ) aus Beispiel 2.38 kovergiert die Teilfolge x 2, x 4,... ) =,,,... ) gegebe de Häufugspukt ud die Teilfolge x, x 3,... ) =,,,... ) gegebe de Häufugspukt. Satz 2.4: Eie kovergete Folge besitzt geau eie Häufugspukt: de Grezwert. Beweis: Für de Grezwert z eier kovergierede Folge z ) gibt es für jedes ɛ > 0 ei Nɛ), so dass alle Folgeglieder mit Idizes Nɛ) i der ɛ- Umgebug vo z liege. Damit ist der Grezwert ei Häufugspukt. Gäbe es eie weitere davo verschiedee Häufugspukt z, gäbe es für ɛ = z z /3 > 0 midestes eie Folgepukt z mit Idex Nɛ) i dieser ɛ-umgebug vo z, ud es würde folge: 3 ɛ = z z = z z + z z z z + z z 2 ɛ. Widerspruch! Satz 2.42: Bolzao ) ud Weierstrass )) Eie Folge heißt beschräkt, we die Mege aller Folgepukte beschräkt ist. Es gilt: Jede beschräkte Folge besitzt midestes eie Häufugspukt. Wir verzichte auf die strege techische Durchführug des Beweises ud gebe ur die Idee a: Beweisidee: Die Folge liege ierhalb eies Quadrates i der komplexe Ebee. Zerlege dieses Quadrat i 4 gleichgrosse Teilquadrate der halbe Seiteläge. Midestes eies der Teilquadrate ethält uedliche viele der Folgeglieder. Wähle eies dieser Teilquadrate aus ud zerlege es wiederum i 4 Teilquadrate usw. Die so kostruierte Folge vo Quadrate schrumpft auf eie Pukt zusamme dies ist der Häufugspukt), i desse Nähe ach Kostruktio uedlich viele der Folgepukte existiere. Bemerkug 2.43: Nach Bemerkug 2.39 heißt dies: Jede beschräkte Folge besitzt eie kovergete Teilfolge.

21 2.3. UNENDLICHES, UNEIGENTLICHE KONVERGENZ Uedliches, ueigetliche Kovergez I diesem Abschitt geht es um eie oft ützliche Schreibweise, die i der hier vorgestellte Form ur bei reelle Folge sivoll ist. Die uedliche Werte ± sid keie reelle Zahle, soder diee ur als ützliche Abkürzuge, um gewisse Situatioe zu beschreibe. Wir lasse ± als ueigetliche ) Grezwerte reeller Folge zu: Defiitio 2.44: ± als Grezwert) Eie reelle Folge x ) kovergiert ueigetlich) gege, we die Folgeglieder jede beliebig vorgegebee Schrake c > 0 überschreite: zu jedem reelle c existiert eie reelle Zahl Nc), so dass x c gilt für alle Idizes Nc). Schreibweise: lim x =. Eie reelle Folge x ) kovergiert ueigetlich) gege, we die Folgeglieder jede beliebig vorgegebee Schrake c < 0 uterschreite: zu jedem reelle c existiert eie reelle Zahl Nc), so dass x c gilt für alle Idizes Nc). Schreibweise: lim x =. Beispiel 2.45: Die Folge x =, x = 2, x =, x = 2 kovergiere gege. Die Folge x =, x = 2, x =, x = 2 ) kovergiere gege. Beispiel 2.46: Achtug: die Folge x = ) also, 2, 3, 4, 5,... )) oder auch x = 2) also 2, 4, 8, 6, 32,... )) kovergiere icht gege oder, sie divergiere! 2.4 Wachstum vo Folge, Ladau-Symbole Algorithme werde typischerweise auf Problemklasse agewedet, die eie Größeparameter habe: Ivertierug vo Matrize, Sortiere eier Liste mit Elemete, Utersuchuge auf Graphe mit Kote usw. Die Laufzeit des Algorithmus wächst mit der durch gegebee Größe des Problems, ud ma möchte oft eie eifach zu lesede Kosteabschätzug i Abhägigkeit vo agebe. Hierzu diee die sogeate Ladau-Symbole O Big-Oh ), o Small-Oh ) etc.:

22 36 KAPITEL 2. FOLGEN UND GRENZWERTE Notatio 2.47: Seie f ), g ) Folge komplexer Zahle. f = Og ) heißt, dass die Folge f / g ach obe beschräkt ist. f = og ) heißt, dass die Folge f /g eie Nullfolge ist. f = Ωg ) heißt, dass die Folge g / f ach obe beschräkt ist. f = ωg ) heißt, dass die Folge g /f eie Nullfolge ist. f = Θg ) heißt, dass die Folge f /g ud g /f ach obe beschräkt sid: es existiere positive Kostate c ud C, so dass c g f C g gilt für alle hireiched große. Hierbei immt ma implizit a, dass ma sich für große Werte vo iteressiert. Eigetlich sollte ma geauer sage: f = Og ) im Limes etc. Beispiel 2.48: 2 + = O 2 ), 2 + = O 3 ), 2 + = O 4 ), 2 + = O2 ), ) + = O, + = O ), 2 = o 3 ), 2 = o2 ), + = o ), 2 + = Ω), = ω), 3 2 = Ω3 ), 2 7 = ω2 ), 2 + = Θ), 3 2 = Θ3 ). Beispiel 2.49: Ma ka lieare Gleichuge für Ubekate umerisch stets mit höchstes etwa 3 /3 Multiplikatioe löse. Also: Die Koste der Lösug eies lieare Systems ist O3 ). Ist die Koeffizietematrix eie obere oder utere Dreiecksmatrix, kommt ma mit höchstes 2 /2 Multiplikatioe aus. Die Koste sid i diesem Fall O 2 ). Die Koste, alle Eigewerte ud -vektore eier -Matrix umerisch zu bestimme, sid O 3 ). Das Sortiere eier Liste mit Elemete kostet O log 2 )) Vergleichsoperatioe. Geauer: es existiere Sortieralgorithme, die mit diesem Aufwad auskomme).