Analysis Übungen Hausaufgaben für 4. April

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1 Aalysis Übuge Hausaufgabe für 4. April Reihe sg 1. AN 8.2. c), AN 8.9. a). 2. Beweise die otwedige Bedigug für die Kovergez eier Reihe: we a koverget ist, da lim a = 0. (I der Praxis: we lim a 0, da ist a diverget.) 3. Utersuche, ob die folgede Reihe die otwedige Bedigug erfülle. ( 1 ) ( 1 ) 2! (a) (b) (c). (d) AN 8.8 c). (e) AN 8.8 d). =1 4. Alterierede Reihe. =1 =1 =1 We die Vorzeiche der Glieder i eier Reihe abwechseld positiv ud egativ sid, da spreche wir vo eier alterierede Reihe. Formal: ( 1) a, wobei a 0 für alle (oder a 0 für alle ). Leibiz-Kriterium für alterierede Reihe: we die Folge a i der obe ageführte Formel mooto falled ist ud gege 0 kovergiert, da ist die alterierede Reihe koverget. (Also das ist eie hireichede Bedigug für die Kovergez eier alterierede Reihe.) (a) Verwede das Leibiz-Kriterium um zu zeige, dass die alterierede harmoische Reihe skip ( 1) +1 1 koverget ist. =1 (Bei de Taylor-Reihe wird ma sehe, dass =0 ( 1) +1 1 = l(2).) =1 =1

2 (b) Ist das Leibiz-Kriterium awedbar für die Reihe ). Ist die Reihe koverget or diverget? =1 ( 1) ( 1 (c) Zeige durch ei Beispiel, dass das Leibiz-Kriterium ohe die Mootoie der Folge a icht gelte würde. Also: führe ei Beispiel a, wobei a eie Nullfolge ist, a icht mooto falled ist, ud die Reihe ( 1) a divergiert. Zwei Beispiele: = Warbeispiel 2 vo Kriterium (d) OPTIONALE AUFGABE. Gilt die Umkehrug des Lebiz-Kriteriums? Also: we kovergiert, da ist a eie Nullfolge ud a ist mooto falled? 5.(a) Zeige mit Hilfe des Leibiz-Kriteriums, dass die Reihe ist. Überprüfe die beide Eigeschafte ausführlich: (i) (a ) ist eie Nullfolge, (ii) (a ) ist mooto falled. Hiweise sg zur Mootoität: 1. Lösugsweg: ( 1) a =0 ( 1) ( ) koverget Nach geeigetem Umforme des Ausdrucks a = utersucht ma die Mootoität der Folge log a, de a ist mooto falled log a ist mooto falled. =1

3 2. Lösugsweg: Betrachte wir die kovexe Fuktio f(x) = 2 1/x. (Später werde wir die Kovexität dieser Fuktio beweise.) Wede die Defiitio der Kovexität (siehe Aufgabe 10.) auf die Fuktio f(x) = 2 1/x ud auf λ 1 = λ 2 = 1/2 mit geeigete x 1, x 2 a. ( (b) Bestimme die Summe der folgede teleskopische Reihe: ). (c) Zeige wieder, diesmal mit Hilfe der absolute Kovergez (siehe Seite 113 im Skriptum), dass die Reihe ( 1) ( ) koverget ist. =1 =1 Geometrische sg Reihe 6. AN 8.4 a), AN 8.5 a), d). Fuktiosreihe, sg Potezreihe Eiesguedliche Summe vo Fuktioe heißt Fuktiosreihe: Fürsg jede feste Wert vo x ist das Objekt Methode sg köe verwedet werde. f (x) = f 1 (x) + f 2 (x) +... =1 f (x) eie Reihe, also alle bei de Reihe ageführte =1 Bemerke, sg dass f (x) ( = 1, 2,...) i dieser Defiitio eie beliebige R R Fuktio bezeiche ka. sg 7. AN 8.6 a), b). Bereche die Summe!

4 Potezreihe sg We sg die Glieder eier Fuktiosreihe i der Form f (x) = a x sid, (d.h. sie sid Potezfuktio- esgmultipliziert mit de Koeffiziete a R ), da spreche wir vo Potezreihe. a (x x 0 ) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) =0 Oftsg ist der Etwickluspukt x 0 = 0. Da habe wir a x = a 0 + a 1 x + a 2 x =0 Ausschlaggebed sg für die Wichtigkeit vo Potezreihe ist, dass viele bekate Fukioe auch i der Form sg eier Potezreihe ausgedrückt werde köe. Sowohl sg bei Reihe als auch bei Potezreihe werde zwei Frage utersucht. Reihe: a =0 Ist die Reihe koverget? Potezreihe: a (x x 0 ) =0 Für welche Werte vo x ist die Potezreihe koverget? Falls koverget, was ist ihre Summe? Falls koverget, was ist ihre Summe als Fuktio vo x? Zuerst sg befasse wir us mit der erste Frage. Die Atwort ist durch die folgede Aussage gegebe. DersgKovergezbereich eier Potezreihe ist immer ei symmetrisches oder fast symmetrisches" Itervall sg um x 0. Kokret ka es durch (x 0 R, x 0 + R), [x 0 R, x 0 + R), (x 0 R, x 0 + R], oder sg [x 0 R, x 0 + R] gegebe sei. R heißt sg der Kovergezradius. Er ka sogar die Werte 0 oder aehme ud ka durch die achstehede sg Formel berechet werde: 1 R = lim sup a +1 a = we der Grezwert existiert a +1 lim a, 1 R = lim sup a we = der Grezwert existiert lim a.

5 We sg R scho bestimmt wurde, da muss ma die zwei Edpukte des Itervalls utersuche, ob sie sg (oder eier vo de beide) auch zum Kovergezitervall gehöre. 8. AN 8.7. (a) bis (l): ma wähle die Formel aus, die eie Potezreihe defiiere. Bestimme das Kovergezitervall, d.h. Kovergezradius + Edpukte, bei jeder achstehede Aufgabe. (Optioale Frage (später wird es verpflichted sei zu wisse): zu welcher bekate Fuktio gehört die jeweilige Potezreihe? ) AN 8.7. a), AN 8.7. b), AN 8.7. c), AN 8.7. e), AN 8.7. h). OPTIONALE AUFGABE: AN 8.7. g). Hiweis: Utersuche zuerst de Spezialfall α = 1/2. Kovexe sg / kokave Fuktioe 9.(a) Jesesche Ugleichug. Ma zeige durch vollstädige Iduktio die folgede Variate der Ugleichug: we ϕ eie kovexe Fuktio ist, λ 1,..., λ 0 ud λ λ = 1, da ϕ(λ 1 x λ x ) λ 1 ϕ(x 1 ) λ ϕ(x ). Amerkug: für eie kokave Fuktio ϕ gilt die aaloge Ugleichug ϕ(λ 1 x λ x ) λ 1 ϕ(x 1 ) λ ϕ(x ). (b) Verwede die Jesesche Ugleichug mit der kokave Fuktio ϕ(x) = log x, um die aritmetische-geometrische Ugleichug zu beweise. 10. Sei f eie kovexe Fuktio im Itervall [0, 1], sodass f(0) = 0, f(1) = 1. Zeige, dass f(x) x für alle 0 x 1.

6 Weitere sg Aufgabe zum Übe 11. Welche Aussage ist richtig, welche ist falsch? (Beweise oder zeige ei Gegebeispiel.) (a) We a > 0, ud lim a = 0, da lim a = 0. (b) We a > 0, ud lim a = 1, da lim a = Ma bestimme ud beweise de Grezwert der Folge a = 2!. 13. AN c), d).