1 Übungszettel. Beispiel 1.1. Beweisen Sie den binomischen Lehrsatz, d.h. für alle a, b 2 R, n 2 N gilt. (a + b) n = a k b n k. k
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- Monika Heinrich
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1 1 Übugszettel Beispiel 1.1. Beweise Sie de biomische Lehrsatz, d.h. für alle a, b 2 R, 2 N gilt (a + b) =! X a k b k. k HINWEIS: Berücksichtige Sie, dass für alle,k 2 N mit 1 k gilt k=0!!! + 1 = +. k k k 1 Beispiel 1.2. Es seie a, b reelle Zahle. Zeige Sie a) a 2 = b 2 ) a = b _ a = b, b) a 2 = b 2 ^ ab 0 ) a = b. Verwede Sie dazu ur die Axiome der reelle Zahle. Beispiel 1.3. Zeige Sie ahad vo Beispiel 1.2, dass ab = a b für alle reelle Zahle a,b gilt. HINWEIS: Zeige Sie zuerst ab 2 = ( a b ) 2 ahad der Defiitio des Betrags. Beispiel 1.4. Beweise Sie mit vollstädiger Iduktio, dass für alle a 2 R, 2 N gilt Y k=0 Beispiel 1.5. Zeige Sie, dass für alle 2 N gilt: a) = 2, b) ( 1) = 0. Beispiel 1.6. Für welche 2 N gilt 3 > 3? k a 2 +1 X 1 = a k. k=0
2 2 Übugszettel Beispiel 2.1. Beweise Sie, dass für alle x R mit 0 < x < 1 ud alle N \ {0} gilt: (1 x) 1 < 1 + x. Beispiel 2.2. Zeige Sie, dass für alle x R \ {0} gilt: x Beispiel 2.3. Es seie a,b,c,d 0 reelle Zahle. Zeige Sie x a) b) c) ( ) a + b 2 ab, 2 ( ) a + b + c + d 4 abcd, 4 ( ) a + b + c 3 abc. 3 HINWEIS zu c): Verwede Sie b) mit d = a+b+c 3. Verwede Sie dazu ur die Axiome der reelle Zahle. Beispiel 2.4. Es sei m 1 eie feste atürliche Zahl. Beweise Sie mit vollstädiger Iduktio: Für jede atürliche Zahl gibt es eideutig bestimmte atürliche Zahle q ud r, so dass = q m + r, r < m gilt. Beispiel 2.5. Beweise Sie mit vollstädiger Iduktio, dass für alle N \ {0} gilt: Sid a 1,..., a > 0, so gilt ( )( ) 1 a j 2. j =1 j =1 a j
3 3 Übugszettel Beispiel 3.1. Es seie g 2 N, g 2udk 2 N. Ferer seie a 0, a 1,..., a k 2 {0,1,..., g 1}. Zeige Sie: kx a) 0 a i g i g k+1 1, b) i=0 kx a i g i g k, we a k 6= 0. i=0 Beispiel 3.2. Es sei wieder g 2 N, g 2. Zeige Sie: a) Für alle 2 N \ {0} existiert ei k 2 N mit g k < g k+1. b) Für alle 2 N \ {0} existiere ei k 2 N ud a 0, a 1,..., a k 2 {0,1,..., g 1}, sodass = Fordert ma a k 6= 0, so sid k ud a 0,..., a k durch eideutig bestimmt. kx a i g i gilt. Beispiel 3.3. Es seie (I ) 2N ud (J ) 2N Itervallschachteluge, h wobei I = [a,b ] ud J = [c,d ] mit a,b,c,d > 0 für alle 2 N ist. Zeige Sie, dass 1 b, 1 a i 2N ud ([a c,b d ]) 2N ebefalls Itervallschachteluge sid. Beispiel 3.4. Es sei a > 1, also a = 1 + " mit " > 0. Zeige Sie:! a) Für alle,k 2 N gilt a +k+1 + k + 1 " k+1. k + 1 b) Für alle,k 2 N gilt a 1 " k+1 k+1. (k + 1)! a c) Es seie k 2 N ud C > 0 beliebig aber fest gewählt. Da existiert ei 0 2 N, sodass a C k für alle 2 N mit 0 gilt. Beispiel 3.5. Es seie A ud B icht leere Teilmege vo R. Beweise Sie die folgede Aussage uter der Aahme, dass die agegebee Suprema jeweils existiere. a) A µ B ) sup A supb, b) sup(a \ B) mi(sup A,supB), c) sup(a [ B) = max(sup A,supB). Beispiel 3.6. Es sei Ω µ M := x 2 R x = 1 m 3 æ, m 2 N, 2 N \ {0}. 2 Bestimme Sie das Supremum, Ifimum, Miimum ud Maximum vo M. i=0
4 4 Übugszettel Beispiel 4.1. Skizziere Sie folgede Teilmege i C: (a) A = {z C: Re(z + 1) = z 1 }. (b) B = {z C: 2z + 3 = 3z 2 }. (c) C = {z C: Im z 2 < α}, α R. Beispiel 4.2. Es seie a, b ud c komplexe Zahle mit a = b = c ud a + b + c = 0. Da gilt a b = b c = a c. Hiweis: z 2 = z z. Beispiel 4.3. Es seie H = {z C: Im z > 0}, E = {z C: z < 1} ud Φ: C \ { i} C die Abbildug z z i z+i. Zeige Sie, daß ϕ = Φ H eie Bijektio vo H auf E darstellt ud bestimme Sie ϕ 1. Beispiel 4.4. Fide Sie die beste Kostate i de Abschätzuge α x 1 x 2 β x 1, x R, wobei x 1 = x j, ud j =1 x 2 = x 2 j. Beispiel 4.5. Überprüfe Sie ob folgede Abbilduge Metrike sid. (a) (Frazösische Eisebahmetrik) Sei N ud x 0 R. Die Abbildug d : R R R, sei defiiert durch { x y falls y {z R : z = x + λ(x 0 x), λ R} d(x, y) := x x 0 + y x0 j =1 sost. Dabei ist : R R eie beliebige Norm auf R. (b) d : R 2 R 2 R, gegebe durch d(x, y) := x2 y 2. Beispiel 4.6. Es sei (X,d) ei metrischer Raum ud ϱ: X X R gegebe durch ϱ(x, y) = d(x,y) 1+d(x,y). Zeige Sie, daß ϱ eie Metrik auf X defiiert. Beschreibe Sie für X = R die ε-kugel für ϱ(x, y) = x y 1+ x y.
5 Ausgewählte Lösuge des 4. Übugsblatts Beispiel 4.2. Aus a + b + c = 0 folgt c = a + b, folglich erhält ma b c 2 = 2b + a 2 = (2b + a)(2b + a) = (2b + a)(2 b + ā) = 4b b + 2a b + 2bā + aā = 4 b 2 + 2a b + 2bā + a 2 a c 2 = 2a + b 2 = (2a + b)(2a + b) = (2a + b)(2ā + b) = 4aā + 2a b + 2bā + b b = 4 a 2 + 2a b + 2bā + b 2 Wege a = b sid die rechte Seite beider Gleichuge idetisch ud es folgt a c = b c. Aufgrud der Symmetrie lasse sich die restliche Idetitäte aalog zeige (zyklisches Vertausche der Variable). Beispiel 4.5. (a) Es hadelt sich um eie Metrik. Offesichtlich gilt immer d(x, y) 0. Bevor wir die 3 Eigeschafte eier Metrik achweise, stelle wir folgede Vorüberlegug a. Ist x 6= x 0 ud y 6= x 0, so gilt y = x + (x 0 x), x = y 1 (x 0 y), x 0, x, y liege auf eier Gerade mit 6= 1. Ist higege x = x 0, so gilt x = y +1(x 0 y) für jedes y 2 R aber es existiert ur da ei i R mit y = x + (x 0 x) we y = x 0 ist. (i) Beweis vo (m 1 ): Wir uterscheide 4 Fälle: Fall 1: x = y = x 0 _ (x 6= x 0 ^ y 6= x 0 ^ x 0, x, y liege auf eier Gerade). Da gilt Fall 2: x = x 0 ^ y 6= x 0. Da gilt d(x, y) = x y = y x = d(y, x). d(x, y) = kx x 0 k + y x0 = y x = d(y, x). Fall 3: x 6= x 0 ^ y = x 0. Aalog zu Fall 2 ur mit vertauschtem x ud y. Fall 4: x 0, x, y liege icht auf eier Gerade. Da gilt (ii) Beweis vo (m 2 ): d(x, y) = kx x 0 k + y x0 = d(y, x). Ist y = x, d.h. y = x + 0(x 0 x), so gilt d(x, y) = x y = 0. Ist y 6= x, so gilt sowohl x y 6= 0 als auch kx x0 k+ y x0 6= 0 (es ka icht gleichzeitig x = x 0 ud y = x 0 gelte). Also gilt d(x, y) 6= 0. (iii) Beweis vo (m 3 ): Aus de Überleguge zu (m 1 ) ergibt sich d(x, y) = ( x y falls x 0, x, y auf eier Gerade liege kx x 0 k + y x0 sost ud es gilt i jedem Fall x y d(x, y) kx x0 k + y x0. Zu zeige ist d(x, z) d(x, y) + d(y, z). Wir uterscheide dazu folgede Fälle:
6 Fall 1: x 0, x, z liege auf eier Gerade. Da gilt d(x, z) = kx zk x y + y z d(x, y) + d(y, z). Fall 2: x 0, x, y liege icht auf eier Gerade. Da gilt d(x, z) kx x 0 k + kz x 0 k kx x 0 k + y x0 + z y d(x, y) + d(y, z). Fall 3: x 0, y, z liege icht auf eier Gerade. Da gilt d(x, z) kx x 0 k + kz x 0 k x y + y x0 + kz x0 k d(x, y) + d(y, z). Fall 4: y = x 0. Da gilt d(x, z) kx x 0 k + kz x 0 k = x y + z y d(x, y) + d(y, z). Die 4 Fälle sid zwar icht disjukt, aber es gibt keie weitere, de we weder Fall 1 och Fall 2 och Fall 3 eitrit, d.h. sowohl x 0, x, y als auch x 0, y, z liege auf eier Gerade, aber x 0, x, z icht, da muss y = x 0 sei. (b) d ist keie Metrik, de für x = (1,0), y = (0,0) gilt x 6= y ud d(x, y) = 0. D.h., Eigeschaft (m 2 ) gilt icht. Beispiel 4.6. Aus d(x, y) 0 folgt Ω(x, y) 0. Wir beweise jetzt die Eigeschafte (m 1 )-(m 3 ). (m 1 ): d(x, y) Ω(x, y) = 1 + d(x, y) d(y, x) = = Ω(y, x). 1 + d(y, x) (m 2 ): Ω(x, y) = 0, d(x, y) = d(x, y), d(x, y) = 0, x = y. (m 3 ): Die Fuktio ist mooto wachsed. Daraus folgt d(x, z) Ω(x, z) = 1 + d(x, z) d(x, y) 1 + d(x, y) ( ) f : R +! R +, t 7! t 1 + t = 1 1 t + 1 d(x, y) + d(y, z) 1 + d(x, y) + d(y, z) = d(x, y) 1 + d(x, y) + d(y, z) + d(y, z) 1 + d(x, y) + d(y, z) d(y, z) + = Ω(x, y) + Ω(y, z), 1 + d(y, z) wobei die Ugleichug (*) aus der Mootoie der Fuktio f ud der Eigeschaft (m 3 )fürd folgt.
7 "-Kugel für X = R ud d(x, y) = Ø Ø x y Ø Ø: Es gilt Ø Ø x y Ω(x, y) = 1 + Ø Ø < ", Ø Ø Ø Ø x y < "(1 + Øx yø) x y, (1 ") Ø Ø x y Ø Ø < ". Im Fall " 1 gilt (1 ") Ø Ø x y Ø Ø 0 < " für alle x, y 2 R. Also ist B(x,") = R für alle x 2 R. Im Fall " < 1 gilt (1 ") Ø Ø x y Ø Ø < ", Ø Øx y Ø Ø < " 1 " Also ist B(x,") = x " 1 ", x + " 1 "., y 2 x " 1 ", x + ". 1 "
8 5 Übugszettel Beispiel 5.1. Zeige Sie: lim!1 p p 1 = 0. HINWEIS: Defiiere Sie x = p 1 ud fide Sie eie geeigete Abschätzug für p x ählich wie im Beweis vo p! 1 aus der Vorlesug. 1 Beispiel 5.2. Die Folge (x ) 2N Ω R kovergiere gege a 2 R. Zeige Sie: lim!1 (x x ) = a. HINWEIS: 1 X x i a = 1 X (x i a). i=1 i=1 Beispiel 5.3. Es sei (a ) 2N eie Folge positiver reeller Zahle ud es existiere a = lim a +1!1 a. Zeige Sie: Ist a < 1, so kovergiert die Folge (a ) 2N, ist a > 1, da divergiert die Folge. Was ist im Fall a = 1 möglich? HINWEIS: Im Fall a < 1 beweise ud verwede Sie die folgede Aussage: 8" > 0 9N = N(") : > N ) a < a N (a + ") N (a + "). Beispiel 5.4. Es seie (a ) 2N ud (b ) 2N Folge reeller Zahle. Ma beweise bzw. gebe ei Gegebeispiel für jede der folgede Behauptuge a. (a) (a ) 2N ud (b ) 2N kovergiere geau da, we (a +b ) 2N ud (a b ) 2N kovergiere. (b) We (a ) 2N ud (b ) 2N diverget sid, so auch (a + b ) 2N ud (a b ) 2N. (c) Sid (a ) 2N ud (b ) 2N koverget, so ist auch (max{a,b }) 2N koverget. (d) Gilt a > 0ud a +1 a < 1 für alle 2 N, so kovergiert (a ) 2N. Beispiel 5.5. Für die Folge (a ) 2N reeller Zahle gelte a +1 a q a a 1 für alle 1, wobei 0 < q < 1 sei. Ma zeige mit Hilfe des Kovergezkriteriums vo Cauchy, dass die Folge (a ) 2N koverget ist. Lässt sich die Kovergez der Folge auch beweise, we lediglich die Bedigug a +1 a < a a 1 erfüllt ist?
9 6 Übugszettel Beispiel 6.1. Es sei (x ) Ω R beschräkt ud Æ 2 R. Zeige Sie die Äquivalez folgeder Aussage. (a) limsup x = Æ.!1 (b) (i) Æ ist ei Häufugswert vo (x ), (ii) 8" > 0 9N(") 2 N 8 > N("): x < Æ + ". Beispiel 6.2. Für welche Werte a 2 C kovergiert die Reihe P 1 k=1 (ak a k 1 )? Bestimme Sie gegebeefalls de Wert der Reihe. Beispiel 6.3. Zeige Sie HINWEIS: Verwede Sie die Darstellug 1X 1 k(k + 1)(k + 2) = 1 4. k=1 1 k(k + 1)(k + 2) = Æ k + Ø k k + 2 für geeigete Æ, Ø, 2 R um die -te Partialsumme zu bestimme (Teleskopsumme). Beispiel 6.4. Beweise oder widerlege Sie folgede Aussage: (a) P 1 k=1 a k ist koverget ) P 1 k=1 a2 ist koverget. k (b) P 1 k=1 a k ist absolut koverget ) P 1 k=1 a2 ist absolut koverget. k (c) P 1 k=1 a2 k ist absolut koverget ) P 1 k=1 a k ist absolut koverget. Beispiel 6.5. Utersuche Sie das Kovergezverhalte der Reihe P 1 k=1 a k für (a) a = a 1+a, a > 0, (b) a = ( p 1) 2, (c) a = 5!. Beispiel 6.6. Es sei S die -te Partialsumme der harmoische Reihe. Zeige Sie 8p 2 N: lim!1 S +p S =0. Warum ist dies kei Widerspruch zum Cauchy-Kriterium?
10 7 Übugszettel Beispiel 7.1 (Dezimalbruchetwicklug). Es sei g 2 N, g 2. Für y 2 R sei byc := max{m 2 Z m y}. ( Gaußklammer ). Da gilt immer byc y <byc+1. Zeige Sie (a) Für alle 0 x < 1 ud alle 2 N gilt a :=bg +1 xc g bg xc2{0,1,..., g 1}. (b) Es gilt 1X a x = g +1. =0 Beispiel 7.2 (Abelsche Summatio). Seie 2 N, a 1,...,a 2 C ud b 1,...,b 2 C. P Defiiere A k := k a j. Zeige Sie j =1 X X a k b k = A b +1 + A k (b k b k+1 ), k=1 k=1 für beliebiges b +1 2 C. P Beispiel 7.3. Seie (a ) 2N,(b ) 2N µ C. We die Reihe 1 a absolut koverget ud die Folge P (b ) 2N beschräkt ist, da ist auch die Reihe 1 a b absolut koverget. =1 =1 Beispiel 7.4 (Dirichletsches Kovergezkriterium). Seie (a ) 2N,(b ) 2N µ R. P Sid die Partialsumme der Reihe 1 a beschräkt ud ist (b ) 2N eie mootoe Nullfolge, so ko- P vergiert die Reihe 1 a b. Ka daraus das Leibizsche Kriterium gefolgert werde? Hiweis: Bsp =1 P Beispiel 7.5. Es sei f (x):= 1 a x für x 2 ( a, a), a > 0, eie gerade Fuktio. Was folgt daraus für die Koeffiziete a k, k 2 N? =0 Beispiel 7.6. Bestimme Sie de Kovergezradius der Potezreihe =1 (a) (b) 1P a 2 z, a 2 C, k=0 1P 2! 3 5 (2+1) z. k=0
11 8 Übugszettel Beispiel 8.1. Gegebe sei die Fuktio f : [1,1)! R, f (x) = 3p x. Bestimme Sie für jedes beliebige " > 0 ud jedes x 0 1 jeweils ei passedes ± > 0 so, dass aus x x 0 < ± die Ugleichug Ø f (x) f (x0 ) Ø < " folgt. Beispiel 8.2. Zeige Sie, dass die Abbildug f : R! R, x 7! bxc+ 3p x bxc überall stetig ist ud streg mooto wächst. Beispiel 8.3. Überprüfe Sie, ob folgede Aussage zutreffe. (a) Ist f stetig, da ist auch f stetig. (b) Ist fgstetig, da sid auch f ud g stetig. (c) Sid f ud g stetig, da ist auch max{f, g } stetig. Beispiel 8.4. Bestimme Sie die Grezwerte (a) s 3 lim! , (b) lim 1! Beispiel 8.5. Die reelle Fuktioe f, g seie auf [a, b] defiiert ud stetig. Zeige Sie: we f (q) ud g (q) für alle ratioiale Zahle q i [a, b] übereistimme, da sid die Fuktioe gleich. HINWEIS: Aus Beispiel 7.1 folgt, dass jede reelle Zahl der Grezwert eier Folge ratioaler Zahle ist. Beispiel 8.6. Gegebe sei die Folge (f ) 1 der Fuktioe : f : [0,1]! R gegebe durch f (x) = (a) Zeige Sie, dass f stetig ist für jedes 1. ( 1 für0 x 1 1, (1 x) für1 1 < x 1. (b) Zeige Sie, dass für alle x 2 [0, 1] der Grezwert lim!1 f (x) =: f (x) existiert. (c) Ist f stetig auf [0,1]?.
12 9 Übugszettel Beispiel 9.1. Es sei f : [0,1]! R eie stetige Fuktio mit f (0) = f (1). Zeige Sie: es gibt ei c 2 [0, 1 2 ] so, dass f (c) = f (c ). HINWEIS: Betrachte Sie die Fuktio g (x) = f (x) f (x )fürx 2 [0, 1 2 ]. Beispiel 9.2. Bereche sie folgede Grezwerte. µ (a) lim µ 1 + 1!1 (b) lim x!0 e x 1 x x(e x 1) HINWEIS: Verwede Sie die Potezreiheetwicklug vo e x. Beispiel 9.3. Es sei f : D! C eie Folge stetiger Fuktioe. Zeige Sie: We die Folge (f ) gleichmäßig gege eie Grezfuktio f : D! C kovergiert, da ist f stetig. Beispiel 9.4. Es sei f (x) = x + 1 für x 0. Zeige Sie, dass da zwar (f ) 1, aber weder ( 1 f ) 1 och (f 2 ) 1 gleichmäßig auf R + koverget ist. Beispiel 9.5. Zeige Sie: Eie stetige Fuktio f :(a,b)! R, 1 < a < b <1, besitzt geau da eie stetige Fortsetzug F :[a,b]! R auf das kompakte Itervall [a,b], we f auf (a,b) gleichmäßig stetig ist. Beispiel 9.6. Betrachte Sie de metrische Raum (R,d) mit der Metrik d(x, y) = 1+ x y x y (vgl. Aufgabe 4.6). Zeige Sie, dass es dari eie bzgl. d abgeschlossee ud beschräkte Mege gibt, die icht kompakt ist. DEFINITION: Sei(X,d) ei metrischer Raum. Eie Mege A µ X heißt beschräkt bzgl. d, falls es ei x 0 2 X ud ei M > 0 gibt, so dass d(x 0, a) < M für alle a 2 A gilt.
13 10 Übugszettel Beispiel Beweise Sie die folgede Ugleichuge (a) h 1 + e h 0 für alle h 0. (HINWEIS: Zeige Sie zuerst e h (h 1 + e h ) 0. Verwede Sie die Potezreiheetwicklug der Expoetialfuktio.) (b) x 1 + ae x l a für alle a > 0 ud alle x l a. (HINWEIS: Verwede Sie Teil (a) mit h = x l a.) (c) h e h/2 e h/2. (HINWEIS: Verwede Sie die Potezreiheetwicklug der Expoetialfuktio.) Beispiel (a) Zeige Sie, dass für a > 0udx 0 l a die rekursiv durch x +1 = x 1 + ae x defiierte Folge mooto fällt ud ach ute (durch l a) beschräkt ist. (HINWEIS: 10.1.(b)) (b) Zeige Sie lim!1 x = l a. (c) Zeige Sie 0 x l a r e x r a a e x. (HINWEIS: 10.1.(c)) Beispiel (a) Zeige Sie (cos x + i si x) = cos(x) + i si(x) für alle 2 N ud x 2 R. (b) Zeige Sie für alle 2 N ud x 2 R: b 2 c! X cos(x) = ( 1) k cos 2k (x)si 2k (x) k=0 2k b 1 2 c! X si(x) = ( 1) k cos 2k 1 (x)si 2k+1 (x) 2k + 1 k=0 (c) Zeige Sie si(º/6) = cos(º/3) = 1/2 ud cos(º/6) = si(º/3) = p 3/2 ur durch Verwedug vo Aussage aus der Vorlesug ud obiger Gleichuge. Beispiel Die Hyperbelfuktioe sih : R! R ud cosh : R! R werde wie folgt defiiert Zeige Sie: cosh(x) = ex + e x, sih(x) = ex e x. 2 2 (a) cosh 2 (x) sih 2 (x) = 1 für alle x 2 R. (b) cosh(x + y) = cosh(x)cosh(y) + sih(x)sih(y) für alle x, y 2 R. (c) sih(x + y) = sih(x)cosh(y) + cosh(x)sih(y) für alle x, y 2 R. (d) sih ist bijektiv ud für die Umkehrfuktio arsih := sih 1 gilt arsih(y) = l(y + p y 2 + 1).
14 11 Übugszettel Beispiel Die Fuktio f : R! R sei differezierbar i a 2 R. Zeige Sie: Sid (x ) 2N ud (y ) 2N zwei Folge mit x < a < y für alle 2 N ud lim x = lim y = a, da ist!1!1 f (y ) f (x ) lim = f 0 (a).!1 y x HINWEIS: Für alle x 2 R gilt f (x) = f (a) + f 0 r (h) (a)(x a) + r (x a) wobei lim h!0 h = 0 ist. Beispiel Es sei f : R! R differezierbar ud es existiere der Grezwert a = lim x!1 f 0 (x) i R := R [ {+1, 1}. Beweise oder widerlege Sie folgede Aussage: (a) lim (f (x + 1) f (x)) = a. x!1 (b) Ist f beschräkt, da ist a = 0. (c) Ist a = 0 ud f beschräkt, da existiert lim x!1 f (x) i R. (HINWEIS: Suche Sie ei Gegebeispiel.) Beispiel Es sei I Ω R ei Itervall ud f : I! R differezierbar. Zeige Sie, dass folgede Aussage äquivalet sid. (a) f ist auf I streg mooto steiged. (b) Es ist f 0 (x) 0 für alle x 2 I ud es gibt kei Teilitervall [Æ,Ø] Ω I, Æ < Ø, auf welchem f 0 idetisch ull ist. Beispiel Bereche Sie folgede Grezwerte: (a) lim (b) (c) x Æ a Æ x!a x Ø a lim x!0 + a + b 1 x p a+ lim!1 2 Ø für a > 0udØ 6= 0, p b x für feste a > 0udb > 1, = p ab, a, b > 0. Beispiel Zeige Sie, dass die Fuktio f : R! R, f (x) = x + e x eie differezierbare Umkehrfuktio besitzt. Bereche Sie ferer (f 1 ) 0 (1) ud lim y!1 f 1 (y).
15 12 Übugszettel Beispiel Das folgede Beispiel zeigt, dass die gleichmäßige Kovergez der Ableitugsfolge icht otwedig ist für die Vertauschbarkeit vom Limes ud Ableitug: f :[ 1,1]! R, f (x) = 1 e 2 x 2. Arbeite Sie die Details aus. Beispiel f ud g seie stetig auf [a,b] ud differezierbar auf (a,b). Ferer sei f (a) = g (a)ud f 0 (x) < g 0 (x) für alle x 2 (a,b). Zeige Sie, dass da f (x) < g (x) für alle x 2 (a,b] gilt. Beispiel Beweise Sie die folgede Aussage: Es sei f :[a,b]! R stetig ud icht egativ. Gilt R b a f (x)dx = 0, da muss f 0 sei. Beispiel Es sei f :[a,b]! R stetig. Die Fuktioe ', : [Æ,Ø]! [a,b] seie differezierbar auf [Æ, Ø]. Zeige Sie: d dx Z (x) '(x) f (t)dt = f ( (x)) 0 (x) f ('(x))' 0 (x) auf [Æ,Ø].
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