1. Funktionen einer reellen Variablen

Transkript

1 . Fuktioe eier reelle Variable Wohe_7. Grafishe Darstellug im kartesishe Kooriatesystem Eie Fuktio y f() lässt sih als Kurve im rehtwiklige Kooriatesystem arstelle. Eifahe Äeruge es Fuktiosverlaufs / Kurvebils er Fuktio f(): f(-) spiegele f() a y-ahse - f() spiegele f() a -Ahse - f(-) spiegele f() am Kooriateursprug f(-a) f() + b vershiebe f() um a ah rehts vershiebe f() um b ah obe Die Fuktio f() heißt gerae bzw. ugerae we f () f ( ) bzw. f () f ( ) gilt. Die gerae Fuktio ist symmetrish bzgl. er y-ahse ie ugerae symmetrish zum Kooriateursprug. Jee Fuktio f() ist eieutig als Summe aus eier gerae u eier ugerae Fuktio arstellbar f () [ f () + f ( ) ] + [ f () f ( ) ]. gerae ugerae Umkehrfuktio iverse Fuktio Bei eieieutiger Zuorug er Elemete es Werte- u es Defiitiosbereihs vo y f () lässt sih als Fuktio g(y) vo y auffasse. g(y) ist ie Umkehrfuktio vo y f () oer ie zu y f () iverse Fuktio. Aus y e wir l y. Die Logarithmusfuktio l y e y l e. l y ist ivers zur Epoetialfuktio y e. Es gilt

2 Im Fall er Fuktio y etsprehe eiem y- zwei utershielihe -Werte. Die beie Äste er Parabel si eizel ivertierbar y y für 0 < y y für - < 0 AUFGABE: Type elemetarer Fuktioe wieerhole (z.b. Brostei Kap..). Stetigkeit eier Fuktio Die Fuktio y f() ist a er Stelle a stetig we sie i er Umgebug vo a sowie i a selbst efiiert ist u we er Grezwert lim f () a f (a) eistiert u gleih em Fuktioswert a er Stelle a ist. Aers ausgerükt: ε > 0 δ( ε) so ass f () f (a) < ε für alle aus a < δ. Eiseitige Stetigkeit. I a eistiere ur rehts- oer liksseitiger Grezwert iese si gleih em Fuktioswert: lim a 0 f () f (a) oer lim f () f (a). a + 0

3 Ustetigkeitsstelle eier Fuktio wie Polstelle Sprüge usw. köe vershieee Ursahe habe z.b. f(a) iht efiiert f (a) lim f () a lim f () a eistiert iht Fuktiosverlauf is Uelihe (Polstelle) p() Gebrohe ratioale Fuktio f () p() u q() Polyome besitze q() Polstelle bei a we p (a) 0 q(a) 0. Vershwie Zähler u Neer gleihzeitig bei a muss ie Vielfahheit er Nullstelle es Neers größer als ie es Zählers sei. Sprug er Fuktio f() beim Durhlaufe es Puktes a a y e besitzt eie ueliher Sprug a er Stelle a a lim a 0 e a 0 u lim e a+ 0 a. Häufig auftretee Arte vo Ustetigkeite vgl. Brostei Kap...5.:

4 . Differezierbarkeit vo Fuktioe. Ableitug eier Fuktio y f() Defiitio u Shreibweise: Ableitug a er Stelle y f f ( + ε) f () f () lim ε 0 ε vorausgesetzt er Grezwert eistiert. Ashaulihe geometrishe Beeutug er Ableitug: Der Grezwert ε 0 etspriht em Übergag er Sekate zwishe e Pukte P ( + ε f( + ε)) u P ( f()) i ie Tagete a ie Kurve f() im Pukt P. Es gilt f '() ta α wobei α er Tageteeigugswikel ist. Differezierbarkeit: y f() ifferezierbar i a geau a we liks- u rehtsseitiger Grezwert es Differetialquotiete eistiere u eiaer gleih si. Ist y f() a er Stelle a ifferezierbar so ist sie ort auh stetig. Beispiele: lim ε 0 ε ( + ε) lim [ ] ε + ε ε 0 + ( + ε) ε + ε ε lim lim 0 0 ε ε ε( + ε) + ε "Prouktregel" [ f () g() ] lim f ( + ε) g( + ε) f ()g( + ε) + f () g( + ε) f () g() ε 0 ε "ahrhafte Null" [ f () g() ] [ f ()] g() + f () [ g() ] "Ketteregel" usw.

5 Ustetigkeit er Ableitug y i 0 iht ifferezierbar a Grezwert / Tagete zur -Ahse y e e e ist bei stetig aber iht ifferezierbar e rehts- u liksseitiger Grezwert si vershiee. Ableitug: e e > y e e e e < y ( ± 0) Ableitug er iverse Fuktio y f () y f () g(y) y f () Merkregel: Differetialquotiete. Orug si wie Brühe behaelbar. y os y si 0 π aros y y si os y Ableituge höherer Orug y y f () zweite Ableitug y f () f () () -te Ableitug f () f () 5

6 . Approimatio vo Fuktioe Potezreihe I er Physik were Fuktioe f() häufig urh Potezreihe f () a 0 approimiert. Ist f() beispielsweise ie ubekate Lösug eier gewöhlihe Differetialgleihug ka ma zur Lösug eie Potezreiheasatz versuhe. Lasse sih ie kostate Koeffiziete a bestimme u ie Reihe kovergiert i eiem -Itervall so stellt sie ort ie gesuhte Fuktio f() ar. Offesihtlih ethalte Reihe geraer (ugeraer) Fuktioe ur gerae (ugerae) Poteze. 0 kovergiert für < (geometrishe Reihe) Taylor-Reihe für uelih oft ifferezierbare Fuktioe f() () f () f () ( a)! a 0 0 f (a)! () ( a)! ( )( )... ( Fakultät) Geometrish etspriht ie Taylor-Reihe er Approimatio eier Fuktio urh Polyome e !! e 0! + + O( ) O( ) usw. si je ah geforerter Geauigkeit ützlihe Approimatioe für <<. 6

7 Weitere Beispiele: 5 si +...! 5! 0 ( ) + ( + )! + folgt aus [ l( ) ] l( ) bzw. l( + ) + ± amit l l( + ) l( ) usw. 5 Die Etwiklug i eie Taylor-Reihe ist häufig ützlih bei er Bestimmug vo Grezwerte oer bei er Utersuhug es asymptotishe Verhaltes vo Fuktioe: ε e ε lim lim ε + + ε ε ε ε si /! ±... lim lim lim ±! ~ für + Durh Etwiklug ah Poteze vo / für >> fiet ma "geauer" + + / + ±... + O Beahte: Niht jee Fuktio ka überall i eie Taylor-Reihe etwikelt were. Beispielsweise ist f () e a er Stelle 0 iht urh eie Taylor-Reihe approimierbar a Fuktioswert u Ableituge beliebiger Orug hier ivergiere (wesetlihe Sigularität). Fazit: Potezreihe si i er Physik ützlih um Fuktioe zu approimiere. Wir were später sehe ass sie hilfreih bei er Lösug vo Differetial- oer Itegralgleihuge u bei er Störugsrehug si. 7

8 Beispiel: Relativistishe Eergie eies Teilhes (A. Eistei 905) E(v) m m(v). v Gesuht wir ie Reiheetwiklug ah Poteze vo v / <<. v f (v) f (v) / v v f (v) / f (0) / v v v v + v 5 / / also f (0) 0 v v / v + v 5 / also f (0) usw. Wir fie v E m + + v m { Ruheeergie Masse Eergie + m v { ihtrelat. ki. Eergie v + mv 8. relat. Korrektur +... ( ) Aerer Lösugsweg: Betrahte ( ) f () ( + ) kovergiert für <. Für atürlihe Zahle ist as ie Biomishe Reihe. Die Taylor-Etwiklug f () ( + ) f () ( + ) f (0) f () ( )( + ) f (0) f (0) ( ) zeigt ie allgemeiere Gültigkeit. Im vorliegee Fall ist v v + +! v v << also / + v v wie obe ( ). 8