2. Grundlagen der Differentialrechnung

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1 . Kovergez vo Folge ud Reihe 8. Grudlage der Differetialrechug. Kovergez vo Folge ud Reihe Folge (geauer: uedliche Folge reeller Zahle) sid aschaulich ausgedrückt eie Aeiaderreihug vo Zahle. Diese Be- bzw. Umschreibug ist aber als strege Defiitio ubrauchbar. (Warum?) Defiitio: Uter eier uedliche Folge reeller Zahle ( ) = (,, 3,...) versteht ma eie Fuktio f: Õ *, f() =. Beispiele: = / : (, /4, /9, /6,...) = : (,,,...) ist eie kostate Folge. = 5, + = ( + 5/ )/ für =,,3,... ergibt (5, 3, /3,...) ud ist eie rekursiv defiierte Folge. = + ( )d ist eie arithmetische Folge (= eie lieare Fuktio mit Defiitiosmege Õ*). Es gilt: ( ) ist geau da eie arithmetische Folge, we gilt: + = d Õ* bzw. + = + d Õ* = q ist eie geometrische Folge (= eie Epoetialfuktio mit Defiitiosmege Õ*). Es gilt: ( ) ist geau da eie geometrische Folge, we gilt: + = q N* bzw. + = q N* Eigeschafte vo Folge (i) Folge köe mooto sei. Die Folge ( ) sei rekursiv defiiert gemäß =, + = ( + 4)/ für =,,3,..., d.h. (*) =, =, 3 = 3, 4 = 3 /, 5 = 3 3/4,... Diese Folge ist offesichtlich streg mooto wachsed. Defiitio: Eie Folge ( ) heißt streg mooto wachsed, we Õ * : < + streg mooto falled, we Õ * : > + mooto wachsed, we Õ * : + mooto falled, we Õ * : +

2 . Kovergez vo Folge ud Reihe 9 (ii) Folge köe beschräkt sei. Für die Glieder obiger Folge (*) gilt stets 4, die Folge ist (ach ute ud ach obe) beschräkt. Defiitio: Eie Folge heißt beschräkt, we es Zahle a, b gibt, sodass a b für alle Õ *. Dabei ist a eie utere, b eie obere Schrake. (Jede beschräkte Folge besitzt i sogar eie kleiste obere Schrake (Supremum) ud eie größte utere Schrake (Ifimum).) (iii) Folge köe eie oder mehrere Häufugswerte besitze. Die Glieder der Folge (*) häufe sich bei 4, d.h., i jeder Umgebug vo 4, etwa jedem Itervall ]4 ε, 4 + ε[ mit ε > liege uedlich viele Folgeglieder. Die Folge /, /3, /3, /4, 3/4, /5, 4/5,..., /m, (m )/m,... higege hat zwei Häufugswerte, ämlich ud. Defiitio: Eie Zahl c heißt Häufugswert eier Folge ( ), falls i jeder Umgebug vo c, also i ]c-ε,c+ε[, uedlich viele Glieder der Folge liege, d.h., falls für jedes ε > gilt c < ε für uedlich viele Õ *. Es gilt der Satz vo Bolzao-Weierstraß: Jede beschräkte reelle Zahlefolge besitzt midestes eie Häufugswert. (iv) Folge köe eie Grezwert besitze. Die Folge (*) hat bei 4 ihre eizige Häufugswert, welcher Grezwert (oder Limes) geat wird: I jeder ε-umgebug vo 4 liege fast alle (d.s. alle bis auf edlich viele) Folgeglieder. Ma schreibt lim = 4. Defiitio: Eie Zahl c heißt Grezwert der Folge ( ), falls i jeder ε-umgebug vo c fast alle Glieder der Folge liege, d.h., falls es zu jedem ε > eie Ide N(ε) gibt, sodass gilt c < ε für alle N(ε). Eie Folge, die eie Grezwert besitzt, heißt koverget, aderefalls diverget.

3 . Kovergez vo Folge ud Reihe 3 Zur Bestimmug vo Grezwerte vo Folge sid (u. a.) achstehede Sätze ützlich:. Jede kovergete Folge ist beschräkt.. Eie mootoe Folge ist geau da koverget, we sie beschräkt ist (Hauptsatz für mootoe Folge). 3. Für Summe, Differeze, Produkte ud Quotiete kovergeter Folge gilt: lim =, lim y = y lim( lim( lim y ± y y = y ) = ± y ) = y (falls y, y ) Beispiele: = ( ) : (,,,,...) ist beschräkt ud besitzt zwei Häufugswerte. = / ist streg mooto falled, beschräkt ud daher koverget, lim =. = ist streg mooto wachsed, icht ach obe beschräkt ud daher auch icht koverget, jedoch bestimmt diverget mit lim =. = ( + )/(3 ) ist koverget mit dem Grezwert lim + + = lim = lim 3 3 = q, d.i. die geometrische Folge q, q, q 3,... erfüllt limq = für < q < für q = für q > = ( + /) hat de Grezwert e =, = hat de Grezwert. + = = Reihe Edliche Reihe sid eigetlich ur Summe vo (meist) viele (meist) gleichartige Summade, z. B.: + / + /4 + / / 3 Vo besoderer Bedeutug sid die (edliche) geometrische Reihe, d. s. Reihe, dere Glieder eie (edliche) geometrische Folge bilde. Obiges Beispiel ist eie solche geometrische Reihe. Für solche gibt es eie eifache Summeformel:

4 . Kovergez vo Folge ud Reihe 3 + q + q q = q q bzw. : b + bq + bq bq q = b q Beispiel aus der Fiazmathematik: Ei Kapital K wird auf ei Sparkoto gelegt, ud jeweils am Ede eies jede Jahres wird ei gleichbleibeder Betrag E eigezahlt. Da beträgt der Edwert K aller geleistete Zahluge ach Jahre bei eiem jährliche Zissatz r K = K ( + r) = K ( + r) = K ( + r) + E( + r) + E ( + ( + r) + + ( + r) ) ( + r) + E r + + E( + r) + E Bezieht ma sämtliche Zahluge auf de Begi des Zahlugszeitraumes, erhält ma daraus de Barwert B gemäß B K ( + r) ( + r) r( + r) = = K + E. I der Reterechug setzt ma K =, ud B ist da jeer Betrag, de ma jetzt aufbrige muss, um Periode hidurch eie Rete E zu erhalte. So etspricht beispielsweise eiem Eimalerlag (Barwert) B 5 = 5.,- bei eiem jährliche Zissatz vo r = 4% eie 5-jährige jährliche Rete i folgeder Höhe: 5 ( + r),4 = E = E = 5. E = 44.97, r( + r),4,4 B. 5 Uedliche Reihe Eie uedliche Reihe = sieht zwar eier edliche Reihe sehr = ählich, ist aber etwas prizipiell Neues (isb. gelte für uedliche Reihe z. T. adere Regel wie für edliche Reihe) ud erforder daher eie eigee Defiitio: Defiitio: Uter eier uedliche Reihe der Partialsumme s = s s = = = = versteht ma die Folge

5 . Kovergez vo Folge ud Reihe 3 We der Grezwert lim s = s eistiert, so heißt die Reihe Σ koverget ud s ihre Summe, aderfalls heißt die Reihe diverget. Beispiel: Für die uedliche geometrische Reihe + q + q +... gilt s = + q + q q = ( q )/( q) ud weiter lim s = lim( q )/( q) = /( q), falls q <, also = q = + q + q + = für q <. q Beispiel: = =, = = 9 Eie otwedige (aber keie hireichede) Bedigug für die Kovergez eier Reihe Σ ist lim =. D. h., we Σ kovergiert, da gilt: lim = De we Σ kovergiert, da gilt für die Partialsummefolge lim s = s, ud daraus folgt lim = lim (s s ) = s s =. Adererseits ist die harmoische Reihe = diverget, ud deoch gilt lim / =. = = 4 We bei eier Reihe Σ auch die Reihe aus de Beträge, also Σ kovergiert, da ist auch Σ selbst koverget. I diesem Fall et ma Σ absolut koverget. So kovergiert z.b. mit der Reihe Σ / (siehe obe) automatisch auch die Reihe Adererseits ist die Reihe = ( ) = + ( ) = + = =. + = l 4 koverget, obwohl die zugehörige Reihe der Absolutbeträge, ämlich die harmoische Reihe (siehe obe!) divergiert. Ma spricht i diesem Fall vo bedigter Kovergez. Für uedliche Reihe ergibt sich damit folgede Eiteilug: kovergete Reihe uedliche Reihe absolut kov. Reihe bedigt kov. Reihe divergete Reihe Absolut kovergete Reihe köe wie edliche Summe beliebig umgeordet werde, ohe dass sich der Wert oder das Kovergezverhalte äder. Eie Umordug bedigt kovergeter Reihe ist jedoch icht zulässig.

6 . Kovergez vo Folge ud Reihe 33 Zum Nachweis der absolute Kovergez (ud damit der Kovergez) eier Reihe Σ stehe folgede Kovergezkriterie zur Verfügug:. Gilt y für fast alle ud ist Σy koverget, da ist Σ absolut koverget (Majoratekriterium). +. Gilt q < für fast alle, da ist Σ absolut koverget (Quotietekriterium). 3. Gilt q für fast alle, da ist Σ absolut koverget (Wurzelkriterium). < Fuktioereihe Nebe Folge ud Reihe aus Zahle sid i der Mathematik auch Folge ud Reihe, dere Glieder Fuktioe sid, vo großer Bedeutug. 3 Beispiel: Die Reihe k = ist für alle koverget, de ach! 3! k= k! dem Quotietekriterium gilt sobald geüged groß ist. + ( + )!! = q <, + Diese Reihe ist deshalb vo besoderem Iteresse, da gilt: k= k = k! e (Vgl. später!)

7 . Stetige Fuktioe 34. Stetige Fuktioe Aschaulich: Ma et eie Fuktio stetig, we ihr Graph eie durchgehede Liie ist. Wie aber ka ma de Begriff stetig mathematisch präzise beschreibe (defiiere)? Eiige Beispiele vo icht durchgezeichete Graphe: Fig. a Fig. b Fig. c Aus obige Zeichuge erket ma: We p icht zur Defiitiosmege gehört, da muss der Graph a der Stelle p uterbroche sei. Aber auch we p ei Elemet der Defiitiosmege ist, ka der Graph uterbroche sei: Fig. d Fig. e Fig. f Fig g Der Graph eier a eier Stelle p stetige Fuktio hat im Gegesatz zu obige Fuktioe - folgede Eigeschaft Defiitio: Eie Fuktio f: D heißt stetig a der Stelle p D, we für jede Folge ( ), die gege p kovergiert, die Folge der dazugehörige Fuktioswerte (f( )) gege f(p) strebt. (Begrüde Sie selbst, dass das i de obige Figure icht zutrifft!) Die obige Defiitio der Stetigkeit eier Fuktio f a eier Stelle p ist ei spezieller Fall eies Grezwerts vo Fuktioe, der auch i adere Zusammehäge vo Bedeutug ist.

8 . Stetige Fuktioe 35 Grezwerte vo Fuktioe Betrachte wir u die Fuktio f: \{}, f() = Loch si. Gege welche Wert strebt f(), we gege geht? Aus dem Fuktiosgraphe ersehe wir: der Fuktioswert f() kommt beliebig ahe, we geüged ahe bei liegt. si Geauer: Für jede Folge ( ) mit ud lim = folgt lim f( ) =, also: lim = Allgemei: Defiitio: Eie Fuktio f besitzt a der Stelle de Grezwert c, we für jede Folge ( ) mit gilt lim = lim f ( ) = c. Kurz: c= lim f( ) Oder aders ausgedrückt: Defiitio: Eie Fuktio f besitzt a der Stelle de Grezwert c= lim f( ), we es zu jedem ε > eie Zahl δ = δ(ε) > gibt, sodass gilt < δ f () c < ε für alle D,. Beide Grezwertdefiitioe sid äquivalet. Aalog köe die Grezwerte lim f () = c, lim f () = oder rechtsseitige) Grezwerte defiiert werde. oder auch eiseitige (d.s. liks- () lim f () = c, () lim f () = c, (3) lim f () =, (4) eistiert icht lim f ()

9 . Stetige Fuktioe 36 Zur Berechug vo lim f() stehe folgede Möglichkeite zur Verfügug:. Ausützug der Defiitio des Grezwerts. Awedug vo Recheregel zur Bestimmug des Grezwerts vo Summe ud Produkt vo Fuktioe (etspreched de Grezwertregel für Folge) 3. Umformug des f() darstellede Ausdrucks 4. Etwicklug vo f() i eie Reihe Beispiele: 3 + lim(3 + ) 4 lim = = = + lim( + ) lim = lim = = si lim = lim ( ) = lim( ) = 3! 5! 3! 5! lim = = = + 9e lim( + 9e ) + Mit Hilfe des Grezwertbegriffs köe wir auch de Begriff Stetigkeit eakt defiiere: Defiitio: Eie Fuktio f: A heißt stetig a der Stelle, we. der Grezwert lim f () eistiert ud. gleich dem Fuktioswert f( ) ist. Eie stetige Fuktio f ädert also ihre Fuktioswert f() ur weig, we sich das Argumet weig ädert. Beispiele für stetige Fuktioe sid alle elemetare Fuktioe (auf de jeweilige Defiitiosmege). Summe, Produkte, Zusammesetzuge usw. vo stetige Fuktioe sid wieder stetig. Beispiele für Ustetigkeitsstelle sid etwa Sprugstelle vo Fuktioe. Stetige Fuktioe besitze uter aderem - achfolgede Eigeschafte:. Ist f: I = [a,b] stetig ud ist f(a) <, f(b) >, da eistiert midestes eie Nullstelle [a,b], also eie Stelle mit f( ) = (Nullstellesatz).. Ist f: I = [a,b] stetig, so immt f auf dem Itervall I eie kleiste Wert m = mi{f() I}, eie größte Wert M = ma{f() I} (Satz vom Maimum/Miimum) 3. ud alle Werte i [m,m] midestes eimal a. (Zwischewertsatz; = Verallgemeierug des Nullstellesatzes)

10 .3 Differezierbarkeit vo Fuktioe 37.3 Differezierbarkeit vo Fuktioe Beispiel: Die Geschwidigkeit eies bewegte Körpers ka mittels seier Weg-Zeit- Fuktio s = s(t) folgedermaße beschriebe werde: Gibt ma ei Zeititervall [t,t ] vor, so beschreibt der Quotiet zurückgelegter Weg i [t, t] s(t) s(t v = = Läge des Zeititervalls[t, t ] t t ) s = t die mittlere Geschwidigkeit des Körpers i [t,t ]. Für t t erhält ma daraus s( t) s( t ) s v( t ) = lim = lim, t t t t t t d.i. die Mometageschwidigkeit zum Zeitpukt t. f( ) y Tagete P Sekate f( ) P y y = f() Sei u f: D, y = f(), eie beliebige reellwertige Fuktio. Das Äderugsverhalte vo f i eiem Itervall [, ] wird beschriebe durch die absolute Äderug des Fuktioswerts y = f( ) f( ) bzw. durch die relative Äderug des Fuktioswerts f () f ( ) y =. Defiitio: f ( ) f ( ) = y heißt Differezequotiet vo f im Itervall [, ]. Der Differezequotiet ka geometrisch als Astieg der Sekate P P (siehe Abbildug) gedeutet werde. Die relative Äderug des Fuktioswerts a der Stelle erhält ma daraus durch Grezübergag f () f ( ) y lim = lim.

11 .3 Differezierbarkeit vo Fuktioe 38 Dieser Grezwert falls er überhaupt eistiert heißt Differetialquotiet oder Ableitug vo f a der Stelle ud etspricht geometrisch dem Astieg der Tagete i P. Defiitio: Uter der Ableitug (dem Differetialquotiete) eier Fuktio f: D im Pukt D versteht ma de Grezwert f () f ( ) f '( ) = lim. Eistiert dieser Grezwert, heißt f i differezierbar. Eistiert der Grezwert a alle Stelle D, so heißt f i D differezierbar ud die Fuktio f () die Ableitug vo f. df d Schreibweise: f ( ), y ( ), ( ), f ( ), dy d d d, dy, (d/d)(f( )) d = Bemerkug: Ma et d, dy Differetiale ud daher dy de Differetialquotiete. d Uter Differetiale stellte sich Mathematiker früherer Zeite so etwas wie uedlich kleie Zahle vor. Diese Vorstellug führt aber auf logische Schwierigkeite. Deoch ist der Differetialquotiet - abgesehe vo der Bezeichug Quotiet - sivoll ud mit obiger Defiitio präzise defiiert. Iterpretatioe des Differetialquotiete: Tageteastieg = f ( ) = ta(α). Die Gleichug der Tagete a die Kurve y = f() i lautet da y = f( ) + f ( ) ( ). Mootoieverhalte: Ist f ()> für alle ]a,b[, so ist f i [a,b] streg mooto wachsed. Ist f ()< für alle ]a,b[, so ist f i [a,b] streg mooto falled. (Etsprechedes gilt auch für ubeschräkte Itervalle.) i der Physik: Geschwidigkeit ds/dt (Wegäderug pro Zeiteiheit), Stromstärke dq/dt (Ladugsäderug pro Zeiteiheit), Iduktiosspaug dφ/dt (zeitliche Äderug des magetische Flusses) i der Wirtschaft: Grezkoste: K () Zuwachs der Koste pro Megeeiheit i Abhägigkeit vo der produzierte Mege, Koste der letzte Eiheit : K ( o ) = K() K( lim ) K() K( we ahe bei liegt, also we sehr klei im Verhältis zu ist (ma schreibt dafür: << ). Setzt ma isbesodere = +, so erhält ma: ), K ( ) K( +) - K( ) bzw. K( +) K( ) + K ( )

12 .3 Differezierbarkeit vo Fuktioe 39 Elastizität: ε = K () gibt a, um wie viel % sich K ugefähr ädert, we sich K() um % ädert. De es gilt: K () K( + ) Κ( ), we klei ist. Sei =, (Erhöhug um %), da gilt: ε Beispiele: K( +,) Κ( ) K(,) Κ( ) = K(), K() K(,) Κ( ) ε K() ε K(, ) K() ( + ) f () f ( ) f() = c (kostat) f '( ) = lim = lim = für alle f() = + f '( + ( + ) ( ) ) = lim = lim = lim ( + ) = 4 für alle, d.h. f () = 4 f () f () > f () = =, = = =, < < d.h. f () eistiert icht ud f() = ist a der Stelle icht differezierbar (aber stetig). Umgekehrt gilt jedoch: Jede i differezierbare Fuktio ist i auch stetig, de aus f () f ( ) f () = f ( ) + ( ) folgt durch Grezübergag lim f () = f ( ) + f '( ) = f ( ), d.h., f ist stetig i.

13 .3 Differezierbarkeit vo Fuktioe 4 Ableituge eiiger Grudfuktioe: f() f () Bemerkuge C Õ oder >, e e l() / > a a l(a) a > si() cos() cos() si() ta() /cos π/ + kπ (k Ÿ) arcta() /(+ ) Zur Berechug der Ableitug stehe weiters folgede Regel zur Verfügug:. (cf) = c f (Regel vom kostate Faktor). (u + v) = u + v (Summeregel) 3. (u v) = u v + uv (Produktregel) 4. (u/v) = (u v uv )/v (Quotieteregel) 5. F(t) = f((t)) F (t) = f () (t), kurz df/dt = df/d d/dt (Ketteregel) 6. y = f() streg mooto (f ) (y) = /f (), kurz d/dy = /(dy/d) (Ableitug der Umkehrfuktio) Beispiele: f() = l() f () = / f() = ( + )e f () = e + ( + )e = ( + )e f() = ta() = si()/cos() f () = (cos + si )/(cos ) = /cos = + ta f() = + f () = ()/( + ) = / + y = f() = arcta, d.h. = tay f () = dy/d = /(d/dy) = /( + ta y) = /( + ) Gesucht ist die Gleichug der Tagete a die Parabel y = im Pukt (,y ). Wo scheidet die Tagete die -Achse? Aus y = folgt y ( ) =, ud die Gleichug der Tagete i (,y = ) ist demach gegebe durch y = ( ) bzw. y =. Diese Tagete scheidet bei = / die -Achse (woraus sich eie eifache Tagetekostruktio für die Parabeltagete ergibt).

14 .3 Differezierbarkeit vo Fuktioe 4 Höhere Ableituge Nebe der erste Ableitug eier Fuktio f köe auch höhere Ableituge gebildet werde. Ist f: I eie differezierbare Fuktio, so eistiert (d/d)f() = f () für alle I, die erste Ableitug vo f. Ist die Fuktio f : I wieder differezierbar, so eistiert auch (d/d)f () = f () für alle I, die zweite Ableitug vo f. Wir schreibe d f (), y (), f () d d y oder. d Aufgabe: Begrüde Sie, dass die zweite Ableitug das Krümmugsverhalte charakterisiert: Ist f ()> für alle ]a,b[, so ist f i [a,b] liksgekrümmt. Ist f ()< für alle ]a,b[, so ist f i [a,b] rechtsgekrümmt Aalog sid die weitere Ableituge f (), f (4) (),..., allgemei die -te Ableitug f () () erklärt. Beispiele: f() = + f () = 4, f () = 4, f () = f (4) () =... = f() = si() f () = cos(), f () = si(), f () = cos(), f (4) () = si(), usw. f() = l() f () = /, f () = /, f () = / 3, f (4) () = 6/ 4, usw., allgemei ist f () () = ( ) ( )!/ (Beweis durch vollstädige Iduktio) Beim freie Fall ist die Weg-Zeit-Fuktio gegebe durch s(t) = (g/)t, die Geschwidigkeit durch v(t) = ds/dt = gt ud die Beschleuigug durch b(t) = d s/dt = g. Differetiatio komplewertiger Fuktioe Abschließed betrachte wir komplewertige Fuktioe ud dere Ableituge. Die Fuktio z:, z(t) = (t) + j y(t) ist eie komplewertige Fuktio eier reelle Variable ud beschreibt i.a. eie Kurve (i Parameterdarstellug) i der Gaußsche Zahleebee. Beispiele: z(t) = r(cos(t) + j si(t)) = r e jt, t < π Kreis im Ursprug mit Radius r z(t) = cos(mt) + j si(t), t < π, m, Õ Lissajou-Figur (siehe Abbildug)

15 .3 Differezierbarkeit vo Fuktioe 4 Grezwerte ud Ableituge für komplewertige Fuktioe sid jeweils für Real- ud Imagiärteil wie bei reellwertige Fuktioe erklärt: lim z(t) = lim (t) + jlim y(t) t t t t t t bzw. dz/dt = d/dt + j dy/dt, wobei dz/dt als Tagetevektor a die Kurve z(t) gedeutet werde ka. Für de Eiheitskreis z(t) = e jt = cos(t) + j si(t) beispielsweise lautet die Ableitug bzw. der Tagetevektor dz/dt = si(t) + j cos(t).