9 Differenzierbare Funktionen

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1 9 Differezierbare Fuktioe Lerziele: Kozept: Ableitugbegriff Reultat: Ketteregel Defiito. E ei I R ei Itervall. Eie Fuktio f : I R eißt ifferezierbar im Pukt a I, fall er Grezwert f (a) := lim x a f(a;x) = lim x a f(x) f(a) (1) exitiert. f (a) eißt a ie Ableitug vo f a er Stelle a I. Beipiele. a) Für eie affie Fuktio f : x cx+ at ma f(a;x) = (cx+) (ca+) = cx ca = c u omit f (a) = c für alle a R. I er Tat it er Grap vo f eie Gerae, ie atürlic i jeem Pukt ire eigee Tagete it. b) Für ie Potezfuktio p 2 : x x 2 gilt alo p 2 (a) = 2a für a R. c) Für ie Wurzelfuktio w 2 : x x gilt w 2 (b) = 1 2 für b > 0 ac (8.3); i 0 b agege it w 2 ict ifferezierbar. Bemerkuge. a) Obige Defiitio erfaßt auc recteitige Ableituge f +(a) u likeitige Ableituge f (a) (vgl. Bemerkug c) auf S. 39) b) Der Differezequotiet i (1) wir mit x := oft i er Form f(a;x) = f gecriebe; füreie Limef (a) = lim üblic: x 0 f x x it aer auciefolgeebezeicug f (a) =: f (a) =: ( f)(a). (2) x x 9.1 Fettellug. Eie i a I ifferezierbare Fuktio it ort auc tetig. Beipiel. Die Umkerug vo Fettellug 9.1 gilt i.a. ict. So it etwa ie Betragfuktio A : x x auf R tetig, i 0 jeoc ict ifferezierbar. I er Tat gilt A (0) = 1 u A + (0) = +1.

2 Ableitug er Potezfuktioe. Für ie Betimug er Ableitug er Potezfuktioe p : x x, N, gebe wir zwei Metoe a; eie weitere folgt i Beipiel b) auf S. 45. a) I er geometrice Summeformel (2.5) (1 q)(1+q + +q 1 ) = 1 q etze wir für a R u x 0 eifac q = a x mit x ie Formel für N ei u eralte ac Multiplikatio ()(x 1 +ax 2 + +a 1 ) = x a für N. (3) Offebar it iee auc für x = 0 rictig. Damit ergibt ic u mittel Satz 8.2a) p (a;x) = x a = x 1 +ax 2 + +a 1 a 1 für x a. Somit gilt p (a) = a 1 für alle a R u N; ac obigem Beipiel a) it ie auc für = 0 rictig. Mit er Bezeicug au (2) gilt alo x (x ) = x 1 für alle x R u N 0. (4) b) Mit := gilt für e Lime i (1) auc f (a) = lim 0 f(a+) f(a). (5) Nu liefert er biomice Satz 3.2 (a+) a = a 1 + ( ) 2 a a 1 +, u mittel Satz 8.2 folgt arau für 0: p (a+) p (a) = a 1 + ( ) 2 a a 1. Beacte Sie bitte, aß für iee Argumet ie geaue Keti er Biomialkoeffiziete ict erforerlic it; e geügt ie vorläufige Variate (3.1) e biomice Satze. Ableitug vo Siu u Koiu. a) Wir zeige zuäct ie Auage lim 0 i = 1. (6) Offebar gilt ie Abcätzug i für 0 < < π 2. (7) Aerereit gilt auc i co für 0 < < π 2. (8)

3 I er Tat it i ie Läge er Strecke QA i Abb. 9a, u 1 it er Fläceialt e Dreieck OQA. Etprece it 1 er Fläceialt e Kreiektor co 2 co 2 OQP (vgl. 15 u??), u amit it (8) offeictlic. Au (7) u (8) folgt co i 1 für 0 < < π 2. (9) Au limco = 1 (vgl. S. 41) ergibt ic u i 1 für 0 +, u wege 0 i( ) = i folgt ie auc für 0. Damit it (6) gezeigt. b) Für 0 < < π 2 ac (6) alo gilt weiter co 1 1 = co2 1 co+1 lim 0 = i co+1 i, co 1 = 0. (10) c) Au e Fuktioalgleicuge (4.10) u (4.11) owie (6) u (10) ergibt ic i(x+) i x co(x+) co x = ix co+cox i ix = co 1 ix+ i = cox co ix i cox = co 1 cox cox, i cox i ix ix für x R, alo i x = cox, co x = ix, x R. (11) 9.2 Satz. Si f, g : I R i a I ifferezierbar, o gilt ie auc für ie Fuktioe f +g, f g u, im Fall g(a) 0, für f. E gelte ie Regel g (f +g) (a) = f (a)+g (a), (12) (f g) (a) = f (a) g(a)+f(a) g (a) (Prouktregel), (13) Bewei. [A1], ( f g ) (a) = f (a) g(a) f(a) g (a) g(a) 2 (Quotieteregel). (14) Beipiele. a) Wir gebe eie Iuktiobewei für Formel (4): Für = 0 u = 1 it x (x ) = x 1 offebar rictig. Gilt ie für, o folgt mit (13) x (x+1 ) = x (x x ) = 1 x +x x 1 = (+1)x. b) Für x 0 u N ergibt ic ie Ableitug vo x x = 1 x zu x (x ) = x 1 x 2 = x 1 aufgru er Quotieteregel. Formel (4) gilt alo für alle gaze Zale Z. c) Für x > 0 u N ergibt ic aufgru vo (8.3) u er Prouktregel ie Ableitug er Fuktio x x +1 2 := x x zu x (x+1 2) = x 1 x+x 1 2 x = (+ 1 2 )x 1 2. (15)

4 Tage. a) Der Tage wir außeralb er Nulltelle e Koiu al Quotiet vo Siu u Koiu erklärt, alo tax := ix cox, x R\{kπ + π 2 k Z}. Wege ta( x) = i( x) = ix i(x+π) = tax u ta(x + π) = = i x = co( x) cox co(x+π) co x ta x it er Tage auf eiem Defiitiobereic eie ugerae u π- perioice Fuktio. b) Nac er Quotieteregel at ma für x R\{kπ + π 2 k Z}: ta x = cox cox ix ( ix) = 1 co 2 x co 2 x (16) = co2 x+i 2 x = 1 + ta 2 x. co 2 x (17) 9.3 Satz (Ketteregel). E eie I, J R Itervalle u f : I J owie : J R Fuktioe. It f ifferezierbar i eiem Pukt a I u ifferezierbar im Pukt b := f(a) J, o it auc f : I R ifferezierbar i a, u e gilt ( f) (a) = (f(a)) f (a). (18) Bewei. Wir uterceie zwei Fälle: a) E gibt δ > 0 mit f(x) f(a) für alle x I mit 0 < x a < δ. Für eie Folge I\{a} x a gilt a f(x ) f(a) aufgru er Stetigkeit vo f owie f(x ) f(a) für große. Für iee gilt a ( f)(a;x ) = (f(x)) (f(a)) x a u e folgt ( f)(a;x ) (f(a)) f (a). = (f(x)) (f(a)) f(x ) f(a) f(x ) f(a) x a, (19) b) Gilt ie Vorauetzug vo a) ict, o gibt e zu N Pukte z I mit 0 < z a < 1 u f(z ) = f(a). Die impliziert offebar f (a) = lim f(z ) f(a) z a = 0. Wir zeige, aß a auc ( f) (a) = 0 gelte muß, (18) alo erfüllt it: Wege (b;y) (b) gilt δ > 0 y J : 0 < y b < δ (y) (b) y b (b) +1. (20) Nu ei (x ) eie Folge i I\{a} mit x a. Für Iize N mit f(x ) f(a) gilt a (19), wege (20) alo ( f)(a;x ) ( (b) +1) f(x) f(a) x a (21) für große. Für alle aere Iize it aber ogar ( f)(a;x ) = 0, (21) alo ert rect erfüllt. Au f(a;x ) 0 folgt omit ( f)(a;x ) 0, u ie zeigt ( f) (a) = 0.

5 Beipiele. a) Für g : x (x 2 +1), Z, at ma g = f mit f : x x 2 +1 u : y y. Au (18) u (4) folgt alo g (x) = (x 2 +1) 1 2x. b) Die Wurzelfuktio w 2 : [0, ) R it ac Satz 6.12 tetig u ac Beipiel c) auf S. 43 auf (0, ) ifferezierbar. Für eie ifferezierbare Fuktio f : I [0, ) it omit g := f auf I tetig u außeralb er Nulltelle vo f ifferezierbar, u ort gilt g (x) = 1 2 f(x) f (x) (für f(x) 0). (22) c) Speziell für f : x r 2 x 2 it ie Fuktio g : x r 2 x 2 auf [ r,r] tetig u auf ( r, r) ogar ifferezierbar mit g (x) = x r 2 x 2, x < r. ) Si i er Situatio vo Satz 9.3 ie Fuktioe u f Umkerfuktioe voeiaer, gilt alo ( f)(x) = x für alle x I, o impliziert (18) ofort (f(a)) f (a) = 1 (23) (vgl. S. 37), ibeoere alo f (a) 0 u (f(a)) 0. Defiitioe. a) Eie Fuktio f : I R eißt ifferezierbar auf em Itervall I, we f i jeem Pukt vo I ifferezierbar it. b) It f : I R ifferezierbar auf I u ie urc f : x f (x) efiierte Ableitugfuktio vo f tetig, o eißt f tetig ifferezierbar auf I. Mit C 1 (I) wir ie Mege aller tetig ifferezierbare Fuktioe auf I bezeicet. c) It f : I R ifferezierbar auf I u f : I R ebefall ifferezierbar auf I, o eißt f zweimal ifferezierbar auf I. Die Ableitug f := (f ) : I R vo f eißt zweite Ableitug vo f. Zweite Ableituge. a) Wie auf S. 37 bezeice (t) e Ort eie Maepukte auf eier Gerae zur Zeit t R. It ie Fuktio zweimal ifferezierbar, o it ire Ableitug v = ṡ ie Gecwiigkeit, ire zweite Ableitug b = v = ie Becleuigug e Maepukte. I er Pyik were Ableituge ac er Zeit meit urc eie Pukt = bezeicet. Auc für aere zeitabägige Größe t it ere Ableitug al Äeruggecwiigkeit zu iterpretiere. b) Die geometrice Beeutug zweiter Ableituge wir i Abcitt?? ikutiert.

6 Beipiele. a) Die Ableitug eier ifferezierbare Fuktio it i. a. ict tetig. Ei olce Beipiel it gegebe urc ie ozillieree Fuktio (vgl. S. 42) u 2 : x x 2 u(x) = { x 2 co 1 x, x 0 0, x = 0 E it u tetig auf R, u für x 0 berece wir Weiter gilt u 2(x) = 2xco 1 x +x2 ( i 1 x ) ( 1 x 2 ) = 2xco 1 x +i 1 x. (24) u 2 (x;0) = u 2(x) u 2 (0) x = x co 1 x 0 für x 0, u omit exitiert u 2(0) = 0. Wege (24) exitiere aber ie eieitige Grezwerte u 2 (0+ ) u u 2 (0 ) ict; folglic it u 2 auf R ifferezierbar, u 2 i 0 aber utetig. { x 2, x 0 b) Die Fuktio f : x x x = x 2 it ifferezierbar auf R\{0} mit, x < 0 f (x) = 2 x für x 0. Weiter at ma f(0;x) = x x 0 x 0 = x 0 für x 0, alo f (0) = 0. Somit gilt f (x) = 2 x für alle x R, u aer f C 1 (R). Da aber f i 0 ict ifferezierbar it, it f ict zweimal ifferezierbar. 9.4 Defiitio. a) Für 2 m N efiiere wir rekuriv C m (I) := {f C 1 (I) f C m 1 (I)} u etze f (m) := (f ) (m 1) für f C m (I). b) Fuktioe, ie i jeem C m (I) liege, eiße uelic oft ifferezierbar auf em Itervall I, Notatio: f C (I). Für f C m (I) eißt f (m) C(I) ie m-te Ableitug vo f. Wir creibe auc f (1) = f, f (2) = f, f (3) = f, allgemei f (m) (x) = m f (x) = (( x m x )m f)(x), u für m = 0 auc f (0) := f. Beipiele. a) Für ie Potezfuktio p : x x ( N) at ma p (x) = x 1, p (x) = ( 1)x 2, p (x) = ( 1)( 2)x 3, p () (x) =! u p(k) (x) = 0 für k >. (25) Ibeoere gilt p C (R). b) Für ie Iverio j : x 1 / x gilt über R\{0}: j (x) = 1 x 2, j (x) = 2 x 3,..., j (m) (x) = ( 1) m m! x m+1,..., (26)

7 wie ma leict iuktiv betätigt. Alo it j C (0, ) u j C (,0). c) Au (11) ergibt ic ofort i C (R) u co C (R). Da ie Differetiatioregel 9.2 u 9.3 igemäß auc für C m - Fuktioe gelte (vgl. e folgee Satz 9.5), it auc er Tage eie C - Fuktio auf eiem Defiitiobereic. Au e Sätze 9.2 u 9.3 ergibt ic: 9.5 Satz. E eie I,J R Itervalle u 0 m. a) Au f C m (I) u g C m (I) folgt auc f +g C m (I). b) Au f C m (I) u g C m (I) folgt auc f g C m (I). c) E eie f C m (I) mit f(i) J u C m (J). Da folgt auc f C m (I). ) It f C m (I) u f(x) 0 für x I, o folgt auc 1 f Cm (I). Bewei. [A1], Die Mege C m (I) i alo Vektorräume, ogar Algebre. Der Raum C(I) = C 0 (I) it auc ei Vektorverba, a au f C(I) auc f C(I) folgt. Letztere gilt ict für C m (I) u m 1. Frage: 1. E eie I R ei offee Itervall u f : I R i jeem Pukt x I ifferezierbar mit f (x) > 0. Zeige Sie, aß f treg mooto wace it. 2. E eie I R ei offee Itervall u f : I R i jeem Pukt x I ifferezierbar mit f (x) = 0. Zeige Sie, aß f kotat it. 3. Veruce Sie, Fuktioe f C 1 (0, ) zu fie mit f (x) = 5x 2 3 x 2, f (x) = co 2 x ix, f (x) = 4 1+x 2, f (x) = 1 x, f (x) = ix x.