INHALTSVERZEICHNIS MITTWOCH

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1 Luca Turi / Vorkurs: Matematik Recefertigkeite 6 / UNIZH / Mittwoc - I - VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN 6 Mittwoc: Aweduge der scriftlice Polyomdivisio wie «Abspalte vo Nullstelle» ud «Bestimmug eier Asymptote» Ratioale Fuktioe, Grezwerte, Differetialrecug: Ableitug ud Ableitugsregel INHALTSVERZEICHNIS MITTWOCH POLYNOME UND ABSPALTEN VON NULLSTELLEN Ekurs: Scriftlices Divisiosverfare für Polyome RATIONALE FUNKTIONEN4 GRENZWERTE 6 Folge6 Kovergete Folge ud Grezwert 6 Grezwertsätze für Folge 7 Grezwert eier Fuktio 7 Die eulersce Zal e 9 Zusammeag zu de Logaritme: 9 4 DIFFERENTIALRECHNUNG 4 Eifürug 4 Die Ableitug 4 Receregel 4 Epoetialfuktio ud Logaritmusfuktio 5 4 Trigoometrisce Fuktioe 6 44 Bestimmug des Sceitelpukts eier Parabel: Eie Awedug 6 45 Die Ableitug vo f r für reelle Epoete r 7

2 Luca Turi / Vorkurs: Matematik Recefertigkeite 6 / UNIZH / Mittwoc - - POLYNOME UND ABSPALTEN VON NULLSTELLEN Die lieare ud quadratisce Fuktioe, dee wir i de vorige Abscitte begeget sid, sid Spezialfälle eier grössere Klasse vo Fuktioe: Die Polyom-Fuktioe Das sid Fuktioe vo der Form f : lr lr, a a a K a a, mit ln, ud a, K, a lr Die öcste Zal m mit a m eisst der Grad vo f Die Zale a, K, am eisse die Koeffiziete vo f Ma ka sic frage, ob Nullstelle vo allgemeie Polyome geauso eifac zu fide sid, wie die vo lieare ud quadratisce Fuktioe Die allgemeie Atwort auf diese Frage ist ei Wie sco bemerkt, wurde sogar bewiese, dass es für Polyome vom Grad 5 keie allgemeie Formel für die Nullstelle gibt, wie etwa die Auflösugsformel für die quadratisce Gleicuge Aber es gibt ei Verfare, welces das Fide vo Nullstelle bei eiem Polyom -te Grades, auf das Fide vo Nullstelle eies Polyoms vom Grad reduziert Dieses Verfare eisst scriftlice Polyomdivisio oder auc «Abspalte vo Nullstelle» Nac eiem kleie Ekurs über die scriftlice Polyomdivisio, werde wir das Verfare a eiem Beispiel erläuter Ekurs: Scriftlices Divisiosverfare für Polyome Ma ka ict ur Zale scriftlic dividiere, soder auc Polyome Wir füre dazu ei Divisiosverfare ei Dabei lasse wir us durc die scriftlice Divisio vo Zale ispiriere: Beispiel: 76 : Wir screibe jetzt alle Zwiscescritte a, auc die, die wir ormalerweise im Kopf durcfüre: 76 : i 7 mal abziee 6 i 6 mal abziee Es bleibt kei Rest übrig Aalog recet ma mit Polyome ² 5 6 : ² : ² ² abziee 6 : 6 6 abziee Es bleibt kei Rest übrig Probe durc Ausmultipliziere: Ok! Koeffiziet auc Beizal geat [lateiisc co «zusamme mit» ud efficies «bewirked»]

3 Luca Turi / Vorkurs: Matematik Recefertigkeite 6 / UNIZH / Mittwoc - - Beispiel: Die Zal ist eie Nullstelle der Polyomfuktio f : a Ma teile f durc Was sid die Nullstelle vo f? Dass der Rest bei Teilug vo durc ull war, ist kei Zufall! Satz Sei f ei Polyom vom Grad, ud a eie Nullstelle vo f Da ist der Rest bei Teilug vo f durc a ull Das eisst, ma ka f screibe als a g, wobei g ei Polyom vom Grad ist Die Nullstelle vo f bestee da aus der Nullstelle a ud aus de Nullstelle vo g Nu ka ma sic frage: Wie errät ma eie Nullstelle eies Polyoms? Nu, im Allgemeie ist das scwierig, aber im folgede Fall get es relativ leict Satz Sei f : a a K a ei Polyom mit gazzalige Koeffiziete a, K, a Z Da sid alle gazzalige Nullstelle vo f Teiler vo a Der Beweis dieser Aussage ist ict so asprucsvoll ud sei dem Selbststudium überlasse: Sei ämlic m eie gazzalige Nullstelle vo f Da gilt am K a m a Dies lässt sic durc Ausklammer vo m auc so screibe: m am am a a 444 K 444 : k Z Der Ausdruck m k a mit m ud k gazzalig, bedeutet u aber icts aderes, dass m ei Teiler vo a ist! qed

4 Luca Turi / Vorkurs: Matematik Recefertigkeite 6 / UNIZH / Mittwoc Beispiel: Fide Sie die Nullstelle vo f Atwort zur Kotrolle:, /, / RATIONALE FUNKTIONEN Eie Fuktio : a f / g, bei der f ud g Polyome sid, eisst eie ratioale Fuktio I de Nullstelle vo g ist ict defiiert; diese Stelle eisse Defiitioslücke vo Falls eie Nullstelle vo g keie Nullstelle vo f ist, so eisst eie Polstelle vo Falls aber Nullstelle vo g ud f ist, so ka ma beide Fuktioe durc dividiere Ma erält da eie eue Fuktio f / g, die für alle gleic ist We i defiiert ist d we g ist, so eisst eie aufebbare Defiitioslücke vo Eie ratioale Fuktio ka auc merere Polstelle ud aufebbare Defiitioslücke abe Beispiel: Sei die Fuktio gegebe durc mit Defiitioslücke ± Mit Hilfe eier biomisce Formel lässt sic der Neer zerlege, ud mit Hilfe eier Polyomdivisio auc der Zäler Somit gilt:

5 Luca Turi / Vorkurs: Matematik Recefertigkeite 6 / UNIZH / Mittwoc Zäler ud Neer vo sid also beide teilbar durc, ud ac der Teilug eralte wir [ ud utersceide sic ur durc die aufebbare Lücke bei 5] Nu ist keie Nullstelle vom Neer mer, also war eie aufebbare Defiitioslücke vo Die Lücke ist jetzt Nullstelle vom Neer, aber ict vom Zäler, also ist eie Polstelle vo Im Grap vo erket ma das a der Tatsace, dass die vertikale Gerade mit Gleicug eie sogeate Asymptote vo ist Um das Veralte vo für zu bestimme, füre wir eie Polyomdivisio mit Rest durc ud fide, also at für eie sogeate sciefe Asymptote mit Gleicug y Merke: Der Term gibt i Abägigkeit vo de Uterscied zwisce de Fuktioswerte vo ud y a Für «ser grosse» -Werte wird dieser Uterscied verscwided klei Die Kurve scmiegt sic also immer besser der sciefe Asymptote a Noc eie Bemerkug zum Begriff «aufebbare Defiitioslücke»: Der Grap vo at a der Stelle ei «kleies Loc» ; ebe eie Defiitioslücke; die sic aber so aufebe lässt: ~,, für für Asymptote [griecisc «ict zusammefalled»]: eie Gerade, a die sic eie Kurve «ascmiegt», oe sie zu berüre

6 Luca Turi / Vorkurs: Matematik Recefertigkeite 6 / UNIZH / Mittwoc GRENZWERTE Folge Defiitio Uter eier Folge reeller Zale verstet ma eie Abbildug vo ln ac lr Jedem ln ist also ei a lr zugeordet Ma screibt ierfür a oder a, a, a N, K I der Matematik ist eie Ideierug ab ebefalls gebräuclic: N a oder a, a, a, K Besoders übersictlic sid Folge für die es ei eplizites Bildugsgesetz gibt, d eie Zuordugsvorscrift durc eie Term Beispiele: a :, { a,,, { { { 4 a a a 4 K, sog Folge der Stammbrüce a :,,,, K, sog alterierede Folge Das Vorzeice alteriert 4 a :,,,, K a :,,,, K, sog geometrisce Folge Kovergete Folge ud Grezwert, K Defiitio Ei Grezwert eier Zalefolge a, a, a ist eie Zal a mit der Eigescaft, dass der Abstad a a beliebig klei gemact werde ka, we ireiced gross gewält wird Geauer meit ma damit folgedes: Für jede oc so kleie Zal ε > fidet ma eie atürlice Zal ε, so dass für alle Zale > ε die Ugleicug a a < ε gilt Eistiert eie solce Zal a, da wird die Folge koverget geat ud wir screibe lim a lies: «Limes vo a für a gege uedlic gleic a», aderfalls et ma die Folge diverget Beispiele: Für die Folge a < ε, falls aus Bsp 4 obe gilt: lim a De für ei beliebiges ε > gilt: > Ist etwa ε, so muss > '' '' Dies lässt sic oc umforme zu: ε log / ε > log gefordert werde, dies ist für erfüllt Die Folge a ist diverget Sie at aber zwei sog Häufugspukte: ud

7 Luca Turi / Vorkurs: Matematik Recefertigkeite 6 / UNIZH / Mittwoc Für die Folge a :,,,, K 4 gilt offesictlic lim a 4 a at de Grezwert Durc folgede Umformug ud Awedug vo Bsp wird dies klar: a Es wurde mit gekürzt / i Vermeide Sie diese äufige Feler: lim??!! ist ei ubestimmter Ausdruck ud dieser lässt sic ict eifac kürze! Hier sollte ma so vorgee: lim lim lim Kurz gesagt: Forme Sie de Term um, bis der Grezwert klar ersictlic ist! Grezwertsätze für Folge Die Folge a ud die Folge b seie koverget Da gilt: lim a b lim a lim b lim a b lim a lim b lim a b lim a lim b a lim a lim b, sofer lim lim b b ist Beispiel: lim lim lim Grezwert eier Fuktio De Grezwertbegriff für eie Fuktio ka ma auf de Grezwertbegriff für Folge zurückfüre Auf eie formale Defiitio verzicte wir ier Es soll jedoc eie «ascaulice» Bescreibug gegebe werde: lim f c ae bei gewält wird bedeutet, dass der Fuktioswert f beliebig ae bei c liegt, falls ireiced

8 Luca Turi / Vorkurs: Matematik Recefertigkeite 6 / UNIZH / Mittwoc Beispiele: Wir betracte die Fuktio f Gesuct ist: lim Eifac für eizusetze, brigt us ict weiter Wir müsse umforme ud zwar durc Erweiterug des Bructerms mit Hilfe der dritte biomisce Formel: Jetzt lässt sic der Grezwert ablese: 54 lim lim Wir betracte die Fuktio f si Gesuct ist: si lim Dieser Grezwert eistiert ict Wie aus dem Grape ersictlic ist, oszilliere die Fuktioswerte ser stark, falls die Argumete ae bei Null liege f Es gilt: lim liks vo, rects vo lim ud lim Diese Grezwerte lasse sic ict ur aus dem Grape ablese, soder auc durc gescickte Überleguge erleite! Versuce Sie's!

9 Luca Turi / Vorkurs: Matematik Recefertigkeite 6 / UNIZH / Mittwoc Die eulersce Zal e Der Scweizer Matematiker Leoard Euler at im 8 Jarudert eie Zal i die Matematik eigefürt, die mit «e» bezeicet wird ud seiter ict mer wegzudeke ist Wie π ist sie eie irratioale Zal, ud ire Dezimaldarstellug begit folgedermasse: Eulersce Zal: e Die Zal e ist folgedermasse defiiert: e lim Der Grezwert lässt sic ict so eifac wie bei de obige Beispiele durc Umforme erkee Wir sid auf die umerisce Uterstützug des TR agewiese: ' '' usw usw Zusammeag zu de Logaritme: i Logaritme zur Basis e 788 bezeicet ma als atürlice Logaritme Statt log a screibt ma l a e Da der atürlice Logaritmus «l» i der Matematik ud Tecik eie grosse Rolle spielt, ist eutzutage auf de meiste Tascerecer eie LN - Taste vorade Ei Beispiel dazu: LN 465 e 465 Bemerkug: Da die Receregel für Logaritme für beliebige Base gelte, ka ma eie Epoetialgleicug astatt mit dem Zeerlogaritmus LOG auc mit Hilfe des atürlice Logaritmus löse Beispiel: 5 7 Wir bilde auf beide Seite de atürlice Logaritmus «l», ud wede die Receregel für Logaritme a: 5 7 l 5 l 7 l 7 Die Lösug lautet somit: 9 l 5 Leoard Euler * 5 April 77 i Basel; 8 September 78 i St Petersburg

10 Luca Turi / Vorkurs: Matematik Recefertigkeite 6 / UNIZH / Mittwoc DIFFERENTIALRECHNUNG 4 Eifürug Betracte Sie auf eiem Hügel eie Weg, desse Seiteasict durc de Grape der Fuktio g, [, ] gegebe ist; zeice Sie diese Grape Was ist der Astieg dieses Weges? Das eisst: We ma sic dem Grape etlag bewegt, ud dabei oder sage wir Meter i waagrecte Rictug zurücklegt, wie viel Meter legt ma da i sekrecte Rictug zurück? I diesem Beispiel ist es klar, dass die Atwort bzw ist Betracte Sie u aber de Weg, gegebe durc f, [ ; ] ud zeice Sie diese Grape Was soll u der Astieg sei? Oder: wie steil ist dieser Weg? Es ist Ie wol klar, dass diese Frage, so formuliert, keie Si mact: Gaz ute ist der Weg steiler als gaz obe Also müsse wir de Pukt auf dem Weg spezifiziere, i dem wir de Astieg bestimme möcte: Was ist der Astieg des Weges im Pukt, f, für ei bestimmtes [ ; ]? Betracte Sie zum Beispiel de Pukt 4 Um dort de Astieg zu bestimme, sceit es verüftig, eie Tagete a de Grape vo f i diesem Pukt zu zeice, ud de Astieg dieser Tagete zu bestimme Mit eiem Lieal lässt sic das eifac ausfüre, ud we wir geau gezeicet abe, messe wir als Astieg der Tagete: Die ituitive Defiitio des Astieges eier Fuktio a eier Stelle ist also: Der Astieg eier Fuktio f : D lr, a der Stelle Grape vo f im Pukt, f D ist der Astieg der Tagete a de Wie berecet ma u diese Astieg, oe sic auf Messwerte zu verlasse? Für diese Zweck abe sic versciedee berümte Persoe aus der Matematik de folgede Grezwertprozess ausgedact: Statt der oc ict rictig defiierte Tagete betractet ma folge-

11 Luca Turi / Vorkurs: Matematik Recefertigkeite 6 / UNIZH / Mittwoc - - de Gerade: Für jedes, die Gerade durc die Pukte, f ud, f, welce beide auf dem Grape vo f liege Zeice Sie Diese Gerade et ma Sekate a de Grape vo f Der Astieg eier solce Sekate ist gleic f f f f Dieser Quotiet eisst Differezequotiet Die Tagete im Pukt, f erält ma aus de Sekate, idem ma immer kleier mact, oder geauer, durc de Grezübergag Der Astieg, der auf diese Weise eraltee Gerade ist gleic f f lim ud dieser Ausdruck eisst Differetialquotiet Actug: Dieser Grezwert lässt sic ict berece, idem ma eifac obe ud ute setzt, da sost obe ud ute Null stet! Also muss ma bei der Berecug eies solce Differetialquotiete vorsictiger vorgee, wie wir i versciedee Beispiele see werde Wir defiiere u: 4 Die Ableitug Defiitio Ableitug a der Stelle Sei f : D lr eie reelle Fuktio ud sei D Da eisst f differezierbar i, falls der Differetialquotiet f f lim eistiert df I diesem Fall wird dieser Quotiet mit f ' oder auc mit bezeicet, ud eisst Ableitug vo f a der Stelle d

12 Luca Turi / Vorkurs: Matematik Recefertigkeite 6 / UNIZH / Mittwoc - - Beispiel: Kere wir zurück zur Fuktio f, [ ; ] ud betracte wir wieder die Stelle / A dieser Stelle ist der Differezequotiet vo f gleic f f Nu teile wir obe ute durc, was wir mace dürfe, da wir ja für ie ull eisetze Der Differetialquotiet ist u gleic lim Wie wir sco geat atte! Bemerkug Im Differezequotiete solle ur solce Werte vo eigesetzt werde, für welce im Defiitiosbereic D liege, ud etspreced durcläuft das bei der Berecug des Grezwertes alle solce erlaubte Werte Im Normalfall etält D ei offees Itervall um ; es sid also sowol positive als auc egative Werte vo im Differezequotiete erlaubt Es ka aber auc vorkomme, dass zum Beispiel D [ ; b ist I diesem Fall bescräkt ma sic bei der Grezwertbildug f f lim vo rects auf > Ma «äert sic also dem Grezwert vo rects» Desalb sprict ma bei eiem solce Differetialquotiete vo der Rectsableitug a der Stelle Aalog defiiert ma die Liksableitug Als Beispiel betracte ma die obige Fuktio f, [ ; ] i de Grezpukte des Itervalls: ud We D doc ei offees Itervall um etält, so gilt: f ist a der Stelle differezierbar die Liksableitug als auc die Rectsableitug eistiere, ud die beide Ableituge sid gleic Defiitio Ableitug eier Fuktio Ist die Fuktio f a alle Stelle ires Defiitiosbereics differezierbar, so et ma die Fuktio f differezierbar bezeicet, ud eisst Ablei- df Die reelle Fuktio a f ' wird da mit f ' oder auc mit d tug vo f

13 Luca Turi / Vorkurs: Matematik Recefertigkeite 6 / UNIZH / Mittwoc - - Beispiel : Bestimme Sie mit Hilfe des Differetialquotiete die Ableitug der Fuktio f : y Beispiel : Die Betragsfuktio f ist a der Stelle ud ur dort ict differezierbar Die Rectsableitug beträgt die Liksableitug beträgt - Keie eideutige Tagetesteigug! Bemerkug: Allgemei ka ma salopp ausgedrückt sage: Überall dort wo der Grap vo f «Ecke» at, ist f ict differezierbar Da solce Probleme bei Grape vo Polyomfuktioe ict auftrete weder Ecke oc Defiitioslücke sid diese überall differezierbar 4 Receregel Damit wir ict immer eie Grezwert ausrece müsse, ee wir eiige Regel, mit dere Hilfe ma die Ableitug eier kompliziertere Fuktio ausrece ka Diese Regel köe mit Hilfe des Differetialquotiete ergeleitet werde Satz Seie f, g ud reelle Fuktioe Weiter seie f ud g a der Stelle differezierbar ud a der Stelle f differezierbar Da gilt: cf ' c f ' für alle Kostate c Kostateregel f g' f ' g' Summeregel f g' f ' g f g' Produktregel f f ' 4 We g ist, so gilt g f g g ' g' Quotieteregel 5 f ' ' f f ' Ketteregel: «äussere Ableitug mal iere Ableitug» Bemerkug Beweis als Übug Eie weitere Regel i der Literatur auc als Potezregel bezeicet lautet folgedermasse: Die Ableitug eier Potezfuktio f, ln lautet f ' Ma ka zeige siee weiter ute, dass diese Regel auc für reelle Epoete gültig ist

14 Luca Turi / Vorkurs: Matematik Recefertigkeite 6 / UNIZH / Mittwoc Beispiele: Zu Bestimme ist jeweils die Ableitug der gegebee Fuktio: f c, c lr f ' Die Ableitug eier kostate Fuktio ist ull Das siet ma etweder mit Hilfe des f f c c Differetialquotiete: lim lim lim lim, oder aus der Tatsace, dass die Steigug eier kostate Fuktio überall gleic ull ist ud somit f ' gelte muss f Die Potez als Summe auszuscreibe ud da die Summade eizel abzuleite, wäre ier ei möglicer Weg, aber zu aufwedig! Effizieter get es mit der Ketteregel: f Die Ableitug erfolgt ier mit Hilfe eier Kombiatio «Produktregel Ketteregel»: 5 4 f Eie erste Möglickeit wäre ier die Quotieteregel azuwede: Eie zweite Möglickeit ergibt sic durc Umformug des Fuktiosterms: 5 5 f 5 5 f ' 5 5

15 Luca Turi / Vorkurs: Matematik Recefertigkeite 6 / UNIZH / Mittwoc Epoetialfuktio ud Logaritmusfuktio Wir möcte die Ableitug der Fuktio f e ermittel Wir bilde zuerst de Differezequotiete f f ud forme i um: e e e e e e e e e Nu betracte wir de Differetialquotiete: e e 44 lim f ' lime lime lim e e e Wie sco i de Übuge gesee gilt: lim Somit abe wir folgedes eralte: f e f ' e Aus dieser Erketis, aus der Tatsace dass e l a a ist ud mit Hilfe der Ketteregel lässt sic u auc die Ableitug der Epoetialfuktio f a, a > ermittel ict zu verwecsel mit der Potezfuktio f : a ' [ e l a l a l a { l a { a ]' e ' e l a e l a a l a l a a äussere Abl iere Abl a Auf älice Weise lässt sic die Ableitug der Logaritmusfuktio aus der Idetität durc Ableite auf beide Seite ud durc Umformuge ermittel Beweis als Übug : a log a k log Wir fasse usere Resultate zusamme: a k' l a Satz Ist a > ud die Fuktio lr lr, a a, so ist überall differezierbar, mit der Ableitug ' l a a Ist isbesodere a e, so gilt ' e Also: e ' e Umgekert ist die Fuktio k : lr lr a log differezierbar mit der Ableitug k' Ist isbesodere a e, so gilt l a a k' Also: l '

16 Luca Turi / Vorkurs: Matematik Recefertigkeite 6 / UNIZH / Mittwoc Trigoometrisce Fuktioe Scliesslic gebe wir oe matematisce Beweis oc die Ableitugsregel für Sius ud Cosius a: sowol a si als auc a cos sid differezierbar auf lr, ud ire Ableituge sid: si' cos ud cos' si Zur Illustratio bestimme wir die Ableitug vo y si «grafisc»: 44 Bestimmug des Sceitelpukts eier Parabel: Eie Awedug Wir erier us a das gestrige Resultat: i Der Grap der quadratisce Fuktio f: y a b c ist die ac obe a > bzw ac ute a < geöffete, zu y a deckugsgleice Parabel mit dem Sceitel u v; wobei die Sceitelkoordiate u v aus de Koeffiziete a, b ud c zu berece sid: u b, v a b 4ac 4a Mit Hilfe der Differetialrecug wolle wir das u beweise: Sei f a b c, a eie quadratisce Fuktio Der Grap ist, wie wir wisse, eie Parabel Die Steigug im Sceitelpukt der Parabel muss ull betrage, da wir dort eie orizotale Tagete abe Somit suce wir ac der Stelle mit f ' Es ist also die folgede Gleicug ac aufzulöse: f ' a b b Die Lösug lautet: ud wir abe die -Koordiateformel des a Sceitelpukts ergeleitet Wolle wir auc oc die y-koordiateformel erleite, brauce wir ur oc b f zu rece: a b b f a a a b b b c a a 4a b b c a b 4ac b 4ac b 4a 4a 4ac 4a qed

17 Luca Turi / Vorkurs: Matematik Recefertigkeite 6 / UNIZH / Mittwoc Die Ableitug vo f r für reelle Epoete r Für die Ableitug eier Potezfuktio f mit eiem atürlice Epoete ln abe wir weiter obe die folgede Ableitugsregel eigefürt ud i de Übuge bewiese: f ' f Wir wolle u zeige, dass diese Regel gaz aalog auc für reelle Epoete gilt: Satz Die Ableitug vo f r, mit r lr lautet f ' r r Beweis: Sei r lr Der Fuktiosterm f r ka als Potezterm zur Basis e umgeformt werde: f r l r r l e e Nu leite wir ab Wir beutze dabei die Ketteregel ud die Tatsace, dass l ' gilt: f ' r l r l e äussere Ableitug r [l ]' 44 iere Ableitug e r r r r r Somit gilt: f ' r r qed