3.3 Grenzwert und Stetigkeit
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- Irma Schuster
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1 50 KAPITEL 3. FUNKTIONEN 3.3 Grezwert ud Stetigkeit Wichtige Eigeschafte eier Fuktio f a eier Stelle 0 sid mit ihrem Verhalte bei beliebiger Aäherug a 0 verbude. Eier dieser Eigeschafte ist die Stetigkeit a der Stelle Stetigkeit graphisch We ma de Graphe eier Fuktio zeiche ka, ohe de Stift abzusetze, da ist die Fuktio stetig auf ihrem Defiitiosbereich. Beispielsweise sid alle elemetare Fuktioe im Sie vom Abschitt 3.2 stetig auf ihrem Defiitiosbereich. Der Graph hat keie Sprüge ierhalb des Defiitiosbereiches (a Polstelle ist eie Fuktio icht defiiert). Ustetigkeit etsteht dagege etwa, we eie Fuktio stückweise defiiert wird, ud die Werte liks ud rechts vo eiem Rad verschiede sid. Ma deke hierfür a Stufefuktioe icht stetig am Treppeabsatz. Beispiele sid Portofuktioe oder empirische Verteilugsfuktioe (s. Statistik) Grezwerte für Fuktioe Mathematisch führt ma die Bildug eies Grezwertes eier Fuktio auf die Bildug des Grezwertes eier Folge zurück. Dazu betrachte wir eie Folge {a } reeller Zahle mit lim a = 0. Das Verhalte vo f a der Stelle 0 lässt sich durch beschreibe. lim f(a ) Beispiele (i) Für die Bildug des Grezwertes lim 2 der Fuktio f() = 2 a der Stelle 0 betrachte wir z. B. 0 die Folge {a } mit a =. Wege lim = 0 erhält ma lim f(a ) = lim (a ) 2 = lim ( ) 2 = lim 2 = 0. (ii) Die Folge{a } mita = 2 hat de gleiche Grezwert wie die harmoische Folge, lim 2 = 0, ud für f() = 2 erhält ma ebefalls ( lim f(a ) = lim (a ) 2 = lim ) 2 2 = lim 4 = 0.
2 3.3. GRENZWERT UND STETIGKEIT 5 Defiitio. Eie Fuktio f sei i eier Umgebug vo 0 defiiert. We eie Zahl g R eistiert, so dass für jede Folge {a } aus dem Defiitiosbereich D(f), die gege 0 kovergiert, lim f(a ) = g gilt, da heißt g der Grezwert vo f a der Stelle 0. Schreibweise: lim 0 f() = g Beispiele (i) Die Fuktio f() = { +, 0, < 0 besitzt a der Stelle 0 = 0 keie Grezwert, da ma für die Folge {a } = { } erhält ud für {a } = { } gilt. ( ) lim f(a ) = lim + = lim f(a ) = lim ( ) = (ii) Die Fuktio f() = besitzt a der Stelle 0 = 0 ebefalls keie Grezwert, de lim f() = lim 0 0 = lim = lim a = lim = für {a } = { } ud lim f() = lim 0 0 = lim = lim a { = lim ( ) = für {a } = }. (iii) Auch f() = besitzt a der Stelle 0 = 0 keie Grezwert, da lim f() = lim 0 0 = lim = lim a a = lim = für {a } = ud lim f() = lim 0 0 = lim = lim = lim = für {a } = { } { }.
3 52 KAPITEL 3. FUNKTIONEN Bezeichug (i) Falls ei gemeisamer Grezwert lim f() = lim f( 0 + a ) = g für jede Nullfolge {a } mit + 0 positive Glieder eistiert, heißt g rechtsseitiger Grezwert. (ii) Falls ei gemeisamer Grezwert lim f() = lim f( 0 a ) = g für jede Nullfolge {a } mit 0 positive Glieder eistiert, heißt g liksseitiger Grezwert. Grezwerte im Uedliche Schließlich betrachte wir och das Verhalte eier Fuktio im Uedliche, d. h. für oder. Dazu betrachte wir divergete Folge {a } mit lim a = bzw. lim a =. Defiitio. We für jede Folge {a } aus D(f) mit lim a = gilt lim f(a ) = g, da heißt g der Grezwert vo f für. Aalog heißt g der Grezwert vo f für, falls für jede Folge {a } aus D(f) mit lim a = gilt lim f(a ) = g. Beispiele (i) (ii) (iii) (iv) (v) f() =, f() =, f() = e, f() = , lim f() = 0, lim lim f() =, lim lim f() =, lim lim f() = 0, lim f() = 0 f() = f() = 0 f() = 0 3( 2 ) lim + ( 2 ) = 3 lim + = 3 lim (+)( ) = 3 lim + ( ) = 3 ( 2) = Stetigkeit Defiitio. Eie Fuktio, die i eier Umgebug vo 0 defiiert ist, heißt stetig i 0 D, we lim f() = f( 0 ), 0 d. h., Grezwert ud Fuktioswert stimme a dieser Stelle überei.
4 3.3. GRENZWERT UND STETIGKEIT 53 Umgekehrt gilt auch die folgede Aussage, die für die Berechug des Grezwertes eier Folge wichtig ist: Satz. Sei f eie i 0 stetige Fuktio, da gilt für jede kovergete Folge {a } mit lim a = 0 ( ) lim f(a ) = f lim a = f( 0 ). Bemerkuge (i) Stetigkeit ist eie (puktweise) Eigeschaft, die ur i de Pukte des Defiitiosbereiches eier Fuktio gelte ka. A Stelle, wo die Fuktio icht defiiert ist (z. B. a Polstelle), ist sie per Defiitio ustetig. (ii) Eie Fuktio, die a jeder Stelle ihres Defiitiosbereichs stetig ist, heißt stetige Fuktio. Die elemetare Fuktioe im Sie vo Abschitt 3.2 sid stetig. (iii) Eie Fuktio heißt ustetig i 0, we 0 / D oder lim 0 f() f( 0 ) oder der Grezwert lim 0 f() icht eistiert. Beispiele (i) Die Fuktio f() = { +, 0, < 0 ist ustetig i 0 = 0. (ii) Die Fuktio f() = (iii) Die Fuktio ist stetig i ihrem gesamte Defiitiosbereich D(f) = R\{0}. f() = { e, 0 0, < 0 ist ustetig i 0 = 0. (iv) Die Fuktio f() = {, 0 2, < 0 ist stetig. (v) Die Fuktio f() = { 2, 0, = 0 ist ustetig i 0 = 0.
5 54 KAPITEL 3. FUNKTIONEN Bemerkuge (i) Eistiere die Grezwerte lim f() ud lim g(), da gelte Recheregel aalog zu dee für 0 0 kovergete Folge, vgl. Seite 29. So gilt z. B. lim (f()+g()) = lim f()+ lim g() (ii) Es seie f() ud g() stetige Fuktioe i 0. Da sid auch die Verküpfuge (f +g)() = f()+g(), (f g)() = f() g(), f f() () = g g() stetig i 0. Außerdem sid die Ausdrücke f()+c ud c f() stetig i 0 für c R. (iii) Ist die Fuktio g() stetig i 0 ud ist f(y) stetig i u 0 = g( 0 ), da ist auch die durch h() = (f g)() = f(g()) defiierte Fuktio h stetig i 0. Beispiele (i) die Polyome 2 ud 2 +2 sid stetig, also ist die ratioale Fuktio stetig (wo sie defiiert ist...) (ii) Sei h() = (f g)() mit f() = ud g() = e +, d. h. h() = e +. Die Fuktio h() ist stetig i 0 = 0, de die Fuktio e + ist stetig i 0 = 0, ud die Fuktio ist stetig im Pukt u 0 = e 0 + = 2. Satz (Zwischewertsatz). Ist eie Fuktio f : [a,b] stetig für alle [a,b], da ist jede beliebige Zahl y, die zwische de Werte f(a) ud f(b) liegt, d. h. f(a) < y < f(b), ei Fuktioswert vo f, d. h. es gibt eie Zahl 0 mit a < 0 < b, sodass y = f( 0 ). Siehe auch Abbildug 3.9. Als eie spezielle Form des Zwischewertsatzes gilt och die folgede Aussage: Satz (Satz vo Bolzao). Sei f eie auf dem Itervall [a,b] stetige Fuktio, ud es gelte f(a) f(b) < 0. Da gibt es midestes eie Wert 0 (a,b) mit f( 0 ) = 0. Das bedeutet, 0 ist eie Nullstelle vo f. Der Satz vo Bolzao liefert also ei Kriterium für die Eistez eier Nullstelle der Fuktio f im Itervall (a, b). Da ka ma die Nullstelle mit Itervallhalbierug bereche (Approimatio).
6 3.4. BEISPIELE FÜR ÖKONOMISCHE FUNKTIONEN 55 f() f(a) a 0 b f(b) Abbildug 3.9: Graphische Darstellug zur Erläuterug des Satzes vo Bolzao. 3.4 Beispiele für ökoomische Fuktioe 3.4. Übersicht ökoomische Größe Folgede Variableame sid üblich für die Bezeichug ökoomischer Größe ud werde i Beispiele ud Aufgabe verwedet: : Output, Absatz (megemäßig) K: Kostefuktio [machmal auch Kosum], die Summe der Fikoste K f ud variable Koste K v k: Stückkostefuktio k() = K() p: Preis (auch Zisfuß) t: Zeit r: Iput (Ressource) E,U: Erlös, Umsatz (wertmäßig) U = p [U machmal auch Nutze] G: Gewi G() = U() K() Y : Eikomme C: Kosum S: Sparquote S(Y) = Y C(Y) i: Zissatz Ökoomisches Wachstum Lieares Wachstum Die Zuwächse y i Zeititervalle der gleiche Läge sid gleich groß. Mathematische Beschreibug y = mt+b für 0 t T
7 56 KAPITEL 3. FUNKTIONEN b = y(t = 0) Afagswert m Zuwachs der Kezahl y i eiem Zeititervall der Läge. Graphisch: ei Geradeabschitt. Epoetielles Wachstum Vo Zeiteiheit zu Zeiteiheit wächst die Kezahl um de gleiche Prozetsatz. Typisches Beispiel: Wachstum des Guthabes bei Ziseszis (i ist der Zissatz). y = y 0 (+i) t für 0 t T Adere Modellbeschreibug mit e w = +i, also w = l(+i). y = y 0 e wt für 0 t T Gebremstes Wachstum Bei eiem Sättigugsprozess erscheit das gebremste Wachstum. Mathematische Beschreibug y(t) = c +ae bt für 0 t, a,b,c > 0 c Sättigugswert. Zuerst epoetielles Wachstum, da immt de bremsede Eifluss die Überhad. Beispiel Der Ausstattugsgrad gibt a, wie viele vo 00 Haushalte im Durchschitt über ei gewisses Kosumgut, Waschmaschie etwa, verfüge. Der maimale Wert, auch Sättigugswert geat, ist offesichtlich 00. Jeder Ausstattugsgrad ist daher durch de Sättigugswert 00 ach obe beschräkt ud ach ute durch 0. Der jährliche Zuwachs ist am Afag stärker. Am Ede, we es sich a de Sättigugswert ähert, wächst er lagsam. Als Modell für dieses Verhallte gibt es die sogeate logistische Fuktioe. Sie habe eie charakteristische S-förmige Graphe, wie ma ih auch bei Kostefuktioe fidet Kostefuktioe Umsatz=Verkaufspreis mal Absatzmege d. h. U = p() Verschiedee Modelle für p (kostat, liear,...). Koste=variable Koste+Fikoste K() = K v ()+K f = k() Gewi=Umsatz-Koste G() = U() K().
8 3.4. BEISPIELE FÜR ÖKONOMISCHE FUNKTIONEN 57 Gewizoe: Mege der mit G() > 0 Verlustzoe: Mege der mit G() < 0 Greze zwische beide: Gewischwelle (Break-Eve-Poit), bzw. Gewigreze Stückgewi=Gewi geteilt durch Absatzmege g() = G() Lieare Koste Bei lieare Gesamtkoste sid die variable Durchschittskoste kostat. Sie stelle die uveräderliche Steigug der Gesamtkoste dar. Im Beispiel K() = k() = 00/+20 K f ()/ = k f () = 00/ K v ()/ = k v () = 20 Progressive Koste, quadratischer Verlauf Bei quadratische Gesamtkoste wachse die variable Durchschittskoste mit kostater Steigug.
9 58 KAPITEL 3. FUNKTIONEN Im Beispiel K() = k() = K f ()/ = k f () = 00/ K v ()/ = k v () = +5 Ertragsgesetzliche Koste, kubischer Verlauf Bei ertragsgesetzliche Gesamtkoste verlaufe die variable Durchschittskoste gemäß eier quadratische Fuktio kove. Im Beispiel K() = K f ()/ = k f () = 00/ k() = 00/ K v ()/ = k v () =
10 3.4. BEISPIELE FÜR ÖKONOMISCHE FUNKTIONEN 59 Degressive Koste, Verlauf ach eier Wurzelfuktio Hier verlaufe alle Durchschittskostefuktioe hyperbolisch ud strebe für große Mege gege Null. Im Beispiel K() = K f ()/ = k f () = 00/ k() = 00/+00/ K v ()/ = k v () = 00/ Beispiel ach Arresberg Eie schwedische Firma stellt Spuks her ud geht vo eier Gesamtkostefuktio K aus. (K() i GE; : produzierte Mege i ME). K() = } 3 9 {{ } +,6. }{{} K v() K f Aus techische Grüde köe höchstes 2 ME Spuks produziert werde, d.h. [0;2] ud alle werde verkauft. Der Umsatz U beträgt U() = 24 Die Stückkoste ergebe sich aus: k() = K() = bzw. k v () = K v() Der Verkaufspreis pro abgesetzte Eiheit ist = p() = U() = 24
11 60 KAPITEL 3. FUNKTIONEN Der Gewi ist gegebe durch G() = U() K() G() = = ( )( 2)( 8) G() > 0? Gewi für 2 < < 8. G() < 0? Verlust für < 2 ud > 8.
Reelle Folgen. Definition. Eine reelle Folge ist eine Abbildung f : N R. liefert ( 7 9, 37
Reelle Folge Der Begriff der Folge ist ei grudlegeder Baustei der Aalysis, weil damit u.a. Grezprozesse defiiert werde köe. Er beschreibt de Sachverhalt eier Abfolge vo Elemete, wobei die Reihefolge bzw.
4.1 Dezimalzahlen und Intervallschachtelungen. a) Reelle Zahlen werden meist als Dezimalzahlen dargestellt, etwa
20 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit 4 Kovergete Folge 4. Dezimalzahle ud Itervallschachteluge. a) Reelle Zahle werde meist als Dezimalzahle dargestellt, etwa 7,304 = 0+7 +3 0 +0 00 +4 000. Edliche Dezimalzahle
n gerade 0 n ungerade (c) x n = a 1 n, a R + (d) x 1 := 2, x n+1 = 2 + x n (e) x n = (f) x n = exp(exp(n)) (g) x n = sin(n)
Übugsaufgabe Aalysis I Aufgabe. Beweise oder widerlege Sie: a Jede i R kovergete Folge ist beschräkt. b Es gibt Cauchy-Folge im R, die icht kovergiere. c Beschräkte Folge sid koverget. d Folge mit eiem
4 Konvergenz von Folgen
4 Kovergez vo Folge Defiitio 4.. Sei M eie Mege. Ist 0 Z ud für jedes Z mit 0 ei a M gegebe, so et ma die Abbildug { Z; 0 } M, a eie Folge i M. Abkürzed schreibt ma für eie solche Abbildug auch a ) 0 oder
Zahlenfolgen und Konvergenzkriterien
www.mathematik-etz.de Copyright, Page of 7 Zahlefolge ud Kovergezkriterie Defiitio: (Zahle-Folge, Grezwert) Eie Folge ist eie Abbildug der atürliche Zahle i die Mege A. Es ist also im Fall A: ; f: mit
Aufgaben zur Analysis I
Aufgabe zur Aalysis I Es werde folgede Theme behadelt:. Logik, Iduktio, Mege, Abbilduge 2. Supremum, Ifimum 3. Folge, Fuktioefolge 4. Reihe, Potezreihe 5. Mootoie ud Stetigkeit 6. Differetialrechug 7.
1. Man zeige, daß (IR n, d i ), i = 1, 2, metrische Räume sind, wenn für x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) IR n die Abstandsfunktionen durch
Ma zeige, daß IR, d i ), i,, metrische Räume sid, we für x x,, x ), y y,, y ) IR die Abstadsfuktioe durch d x, y) x y, d x, y) x y ), d x, y) max x y gegebe sid Lösug: Ma muß für alle drei Fuktio d i x,
3. Taylorformel und Taylorreihen
Prof Dr Siegfried Echterhoff Aalysis Vorlesug SS 9 3 Taylorformel ud Taylorreihe Sei I R ei Itervall ud sei f : I R eie Fuktio Ziel: Wolle utersuche, wa sich die Fuktio f i eier Umgebug vo eiem Pukt I
Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. WS 05/06 04..05 Höhere Mathematik für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zum 6. Übugsblatt Aufgabe
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3 Folge, Reihe, Grezwerte 3.1 Zahlefolge Beispiele: 1, 2, 3, 4, 5,. 1, 3, 5, 7, 9, 3, 6, 9, 12, 15, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 10, 100, 1.000, 10.000, 1 3 Folge, Reihe, Grezwerte 3.1 Zahlefolge Defiitio: Eie
Aufgabe 4.2. (a) lim 7 + = (b) lim. ( 2n 3 6n 2 + 3n 1. (c) lim n n 2 ( 1) n n 3) = lim. (d) n n + 1. lim. (e) n n. Aufgabe 4.3.
Folge Eie Folge ist eie Aordug vo reelle Zahle. Die eizele Zahle heiße Glieder der Folge. Kapitel 4 Folge ud Reihe Formal: Eie Folge ist eie Abbildug a : N R, a Folge werde mit a i i oder kurz a i bezeichet.
Resultate: Vertauschbarkeit von Grenzprozessen, Konvergenzverhalten von Potenzreihen
26 Gleichmäßige Kovergez ud Potezreihe 129 26 Gleichmäßige Kovergez ud Potezreihe Lerziele: Kozepte: Puktweise ud gleichmäßige Kovergez Resultate: Vertauschbarkeit vo Grezprozesse, Kovergezverhalte vo
Stetigkeit und Differenzierbarkeit
Didaktik der Mathematik der Sek II Umkehrfuktioe Ableitugsregel für Umkehrfuktioe (Umkehrregel) Beispiele für die Awedug der Umkehrregel Stetigkeit ud Differezierbarkeit Neuma/Roder Umkehrfuktio Fuktio
Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz
LGÖ Ks VMa Schuljahr 6/7 Zusammefassug Folge ud Kovergez Ihaltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 5 Für Experte 7 Defiitioe ud Beispiele
Grenzwert. 1. Der Grenzwert von monotonen, beschränkten Folgen
. Der Grezwert vo mootoe, beschräkte Folge Der Grezwert vo mootoe, beschräkte Folge ist eifacher verstädlich als der allgemeie Fall. Deshalb utersuche wir zuerst diese Spezialfall ud verallgemeier aschliessed.
Analysis I Lösungsvorschläge zum 3. Übungsblatt Abgabe: Bis Donnerstag, den , um 11:30 Uhr
Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Lars Machiek Dipl.-Math. Sebastia Schwarz WS 206/207 03..206 Aalysis I Lösugsvorschläge zum 3. Übugsblatt Abgabe:
Bsp.: Kostenfunktion: Gerade, nichtlineare Kurve Stichwort: Fixkosten, Variable Kosten, proportional/überproportional steigend
FerUNI Hage WS 00/0 Differetialrechug für Fkt. Eier Variable Ziel: Maß für lokale Äderuge eier Fuktio Bei Etscheiduge sid of icht die absolute Koste iteressat, soder vielmehr die Veräderug, die eie Produktio
Exponentialfunktionen und die e- Funktion. Bei den bisher betrachteten Funktionen traten Exponenten nur als Zahlen auf.
R. Brikma http://brikma-du.de Seite.. Eiführug Epoetialfuktioe ud die e- Fuktio Bei de bisher betrachtete Fuktioe trate Epoete ur als Zahle auf. q Potezfuktio : f a mit q Beispiel: f Fuktioe mit positiver
Die erste Zeile ("Nummerierung") denkt man sich also dazu. Häufig wird eine Indexschreibweise benutzt um ein Folgenglied zu kennzeichnen.
Folge ud Reihe (Izwische Stoff der Hochschule. ) Stad: 30.03.205. Folge Was sid Zahlefolge? Z.B. oder Das ist die vereifachte Wertetabelle eier Fuktio geschriebe wie üblich bei Fuktioe i eier Wertetabelle.
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KAPITEL 7. Zahlenfolgen. 7.1 Konvergente Zahlenfolgen Grenzwertbestimmung Grenzwertbestimmung durch Abschätzung...
KAPITEL 7 Zahlefolge 7. Kovergete Zahlefolge.............................. 30 7.2 Grezwertbestimmug............................... 32 7.3 Grezwertbestimmug durch Abschätzug..................... 35 7.4
von solchen Abbildungen. Eine solche Folge bestimmt für jedes x M die Folge der Werte f n. Schreibt man dies noch einmal formal hin, so erhält man:
Gleichmäßige Kovergez Wir betrachte im Folgede Abbilduge f : M N, wobei M eie Mege ud N ei metrischer Raum ist. Isbesodere iteressiere ud Folge f vo solche Abbilduge. Eie solche Folge bestimmt für jedes
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Michael Buhlmann Mathematik > Analysis > Newtonverfahren
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Normierte Vektorräume Wir betrachte im Folgede ur Vektorräume über R 1. Sei also V ei Vektorraum. Wir möchte Metrike auf V betrachte, die im folgede Sie mit der Vektorraumstruktur verträglich sid:, y,
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Kapitel 2 Differetialrechug i eier Variable 2. Folge ud Grezwerte 2.. Defiitio Eie Folge ist eie Zuordug N R, a, geschriebe als Liste (a,a 2,...) oder i der Form (a ) N. Hier sid ei paar Beispiele: 2,4,6,8,...
KAPITEL 8. Zahlenreihen. 8.1 Geometrische Reihe Konvergenzkriterien Absolut konvergente Reihen
KAPITEL 8 Zahlereihe 8. Geometrische Reihe................................. 53 8.2 Kovergezkriterie................................. 54 8.3 Absolut kovergete Reihe............................ 64 Lerziele
Übungen zu Einführung in die Analysis, WS 2014
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Methoden: Heron-Verfahren, Erweiterung von Differenzen von Quadratwurzeln
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Aufgabe 1: (6 Pukte) Zeige Sie für alle N die Formel: 1 2 + 2 3 + 3 4 +... + ( + 1) = ( + 1)( + 2). 3 Lösug: Beweis durch vollstädige Iduktio. Iduktiosafag: Für = 1 gilt: 1 2 = 2 = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 Iduktiosschritt:
8. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen
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Aufgabe 8.24 Bestimme das Minimum und das Maximum der stetigen Funktion
58 II. ANALYSIS Aufgabe 8.24 Bestimme das Miimum ud das Maximum der stetige Fuktio f : [ 2,2] R : x 1 2x x 2. Aufgabe 8.25 Überprüfe, ob die folgede Fuktioe f eie Umkehrfuktio besitze ud bestimme diese
Herzlich Willkommen zur Vorlesung. Analysis I SoSe 2014
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Repetitionsaufgaben Potenzfunktionen
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13. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik I für Informatik
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Thomas Streicher Dr. Sve Herrma Dipl.-Math. Susae Pape 3. Übugsblatt zur Vorlesug Mathematik I für Iformatik Witersemester 009/00 6./7. Jauar 00 Gruppeübug Aufgabe G (Reihe)
4.3.3 Beschränktheit von Funktionen
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10 Aussagen mit Quantoren und
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