Wegen der (mit einem Fehler von nur +1,0 recht guten) Näherung an die Kreiszahl

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1 Seite 1 Fiboacci-Wachstum Axel Köig Es werde stetige Wachstumsfuktioe vorgestellt, die diskretes additives Wachstum ach Fiboacci optimal approximiere. Darüber hiaus wird die Vermutug aufgestellt, dass es für uedliche Fiboacci- Folge ud dere Partialsummefolge keie geauere Näheruge als die achfolged vorgeschlagee Fuktioe gibt. 1. Diskretes Wachstum ach Fiboacci Bildet ma aus gazratioale Zahle eie Zahlefolge ( a k = a 0, a 1, a, a 3,... a k Z k N /1/ durch die Awedug der simple Regel, dass alle Glieder die Summe ihrer beide vorhergehede Glieder sid, so läßt sich dieses rekursive Bildugsgesetz ak = ak + ak 1 k >1 // defiitiosgemäß icht auf die erste beide Glieder a 0 ud a 1 awede, die somit uabhägig sid. Je ach Kombiatio dieser beide Uabhägige erhält ma da ab Glied a etweder eie mooto wachsede oder eie mooto fallede Zahlefolge aus gazratioale Zahle. Nur die Kombiatio a 0 = 0 ud a 1 = 0 ergibt gemäß dem Bildugsgesetz // eie Folge vo Nulle. Dieses Wachstum wird als diskret - oder vielfach auch als iteger - bezeichet, da sich vo eiem Wachstumsschritt zum ächste eie Vermehrug ur i ugebrochee ( uverletzte Eiheite eistelle ka. Dies ist eie wichtige Bedigug für Natürliches Wachstum - bei dem da allerdigs i der Regel ur positive Mege relevat sid. Bildet ma u (für k > 0 aus jedem Glied a k eier solche Folge ach /1/ ud // ud seiem Vorgägerglied a k 1 de Quotiete, so erket ma, dass sich dieses Verhältis mit asteigedem k - i Abhägigkeit der beide Uabhägige a 0 ud a 1 mehr oder weiger schell - dem Goldee Schitt = + 1 = 1 = 4 o 1 3 si = = + 1 = ,... /3/ ähert. Die Etdeckug dieses Zusammehages wird Leoardo vo Pisa (ca.1180 bis 10 zugeschriebe, der uter seiem Rufame Fiboacci bekat wurde. (Deshalb werde im Folgede geerell alle Folge gemäß /1/ ud // ud dere Partialsummefolge /9/ als Folge ach Fiboacci bezeichet. Etspreched de uter /3/ aufgeführte Zusammehäge, ist das Verhältis des Goldee Schittes uschwer als positive Lösug der folgede quadratische Gleichug zu idetifiziere: 1 = 0 /4/ Wege der (mit eiem Fehler vo ur +1,0 recht gute Näherug a die Kreiszahl π 4 // ist das Verhältis des Goldee Schittes außerdem uverzichtbar für alle, die zeicherisch Quadrate i Kreise (oder umgekehrt umwadel wolle. Also: Obwohl jede Folge ach /1/ ud // durch Additio additiv - geeriert wurde, kovergiert sie mit fortschreitedem Wachstum zu eier geometrische Folge mit dem Wachstumsfaktor. Ob dies u erstaulich oder schlicht trivial ist, sei eimal dahigestellt. Hierbei geieße zwei Folge eie herausragede Stellug : Die berühmte Fiboacci-Folge ( a k = 0, 1, 1,, 3,, 8, 13, 1, 34,... /6/ ( 0;1

2 Seite wird vo de Uabhägige a 0 = 0 ud a 1 = 1 bedigt, ud mit a 0 = ud a 1 = 1 erhält ma eie iteressate Folge, die ach ihrem Etdecker Lukas-Folge heißt: ( a k =, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 9, 47,... /7/ ( ;1 Bildet ma u aus de Folge ach /1/ ud //, ausgehed vom Afagszustad a 0, edliche Reihe, die sogeate Partialsumme s = ak ak, s Z k, N /8/ mit als Azahl der Etwicklugsschritte, so lasse sich diese Partialsumme wiederum zu streg mooto wachsede bzw. fallede Partialsummefolge sequeziere: ( s = s 0, s1, s, s 3,... s Z N /9/ Führt ma dies mit der Fiboacci-Folge /6/ durch, so erhält ma als Ergebis jee Zahlefolge, dere eizele Glieder die diskrete Mege ach abgeschlossee atürliche Etwicklugsschritte darstelle ud die deshalb i de meiste Kulture eie herausragede Bedeutug habe oder gar als heilig gelte. Sie stehe allgemei für Eiheit ud Vollstädigkeit - also durchaus für diskrete Mege : ( s = 0, 1,, 4, 7, 1, 0, 33, 4, 88,... /10/ ( 0;1 Beachte: Um de Megezuwachs durch Etwicklugsschritte zu erhalte, muss vo der Partialsumme s die Afagsmege s0 = a 0 subtrahiert werde!. Berechug diskreter Werte für das Wachstum ach Fiboacci Möchte ma die diskrete Folgeglieder bzw. ihre Partialsumme bereche, ohe zuerst die gesamte Folge additiv geeriere zu müsse, so bedarf es Fuktioe i Abhägigkeit der beide Afagsglieder ud der Zahl der Etwicklugsschritte: a k = f (a 0, a1, k /11/ s = a k = f (a 0, a1, /1/ Eie exakte Berechug ist aber icht immer möglich. Für eiige weige, mathematisch herausragede Afagsbediguge werde i diesem Abschitt exakte, aber ustetige Gleichuge aufgezeigt. Geerell ist jedoch die stetige Approximatio ach Abschitt 3 möglich. Die Eiführug des sogeate Afagsterms a 0 + a1 A(a0; a 1 = + /13/ ermöglicht im Weitere eie durchgägige Formulierug des Wachstums ach Fiboacci. Damit gilt gemäß der Forderug /11/ für beliebige Folge ach Fiboacci der geerelle Asatz ak = A(a0; a 1 Z (k /14/ ud gemäß Forderug /1/ für beliebige Partialsumme bzw. Partialsummefolge: s = A(a0; a 1 Z ( + a1 /1/.1 Wachstum aus dem Nichts Für die Afagsbedigug a 0 = 0 (Fiboacci-Wachstum ohe Ausgagsmege ist der ustetige Wachstumsterm Z, der die exakte Berechug vo diskrete Werte ermöglicht, bekat:

3 a0 = 0 m N /16/ m m Z ( 0; a 1 = ( 1 Seite 3 Hierbei wird für Folgeglieder m = k ud für Partialsumme m = + gesetzt. Mit der Afagsbedigug a 0 = 0 spezifiziere sich der Afagsterm /13/ zu A das Folgeglied /14/ zu a1 =, a 0 = 0 /17/ ( 0; a 1 ud die Partialsumme /1/ zu: k k ( ( 1 a1 ak( 0; a 1 = a0 = 0 k N /18/ s ( 0; a 1 ( + ( 1 + a1 = a 1 a0 = 0 N /19/ Dieser Vorgabe gehorcht atürlich auch die Fiboacci-Folge /6/ mit a 1 =1. I /18/ eigesetzt ergibt sich die wohlbekate, ach dem Mathematiker J.P.M. Biet ( beate, Biet-Formel: ( 1 1 k k a k( 0; a 1 = ( a = 0 a = 1 k N /0/. Wachstum ach Lukas Für das Verhältis der Afagsglieder a0 = a1 lasse sich ebefalls alle Folgeglieder ud Partialsumme exakt bestimme. Folge gemäß dieser Bedigug heiße - über die spezielle Gleichug /7/ hiaus - Lukas-Folge. Für sie vereifacht sich der Afagsterm /13/ zu: Mit m A( a 1 ; a 1 = a1 a0 = a1 /1/ = k für Folgeglieder ud m = + für Partialsumme gilt hier für das (ustetige Wachstumsglied: a = a m N // m m Z ( a1 ; a 1 = + ( 1 Somit ergebe sich für jede Lukas-Folge das Folgeglied /14/ zu ud die Partialsumme /1/ zu: k k ( a k( a a a 1 ; = ( a0 = a1 k N /3/ ( + ( 1 + s( a a a a 1 ; = a0 = a1 N /4/ Amerkug: Alle obe im Abschitt aufgeführte Fuktioe ethalte irratioale Zahle. Deshalb stellt sich atürlich die Frage, ob dere gazzahlige Fuktioswerte ratioaler oder irratioaler Art sid. 3. Approximatio des diskrete Wachstums durch stetige Fuktioe Für die icht uter die Bediguge der Abschitte.1 ud. fallede Kombiatioe vo a 0 ud a 1 ist eie exakte Berechug der Folgeglieder ud Partialsumme ach /11/ bzw. /1/ icht möglich. Allerdigs besteht für beliebige Afagsbediguge immer die Möglichkeit, die ute vorgestellte stetige Approximatiosgleichuge zur Berechug der Glieder vo Folge ud Partialsummefolge zu utze ud bei Bedarf mittels Rudug zu diskretiere. Für solche stetige Approximatioe führt der erste Griff zu de bekate Expoetialgleichuge der Geometrische Reihe. (Zur Uterscheidug vo de exakte Werte werde die Begriffe der stetige Approximatioe mit dem Buchstabe s idiziert. Mit dem Wachstumsfaktor q ergibt sich das k-te Glied

4 Seite 4 (der k-te Etwicklugsschritt eier jetzt expoetiell wachsede Zahlefolge aalog zu /1/, aber mit reelle astatt der gazratioale Glieder: a = a 0 q // ks s k Für die Partialsumme (Reihe ach Etwicklugsschritte gilt: q ss = aks = a 0s 1 q k, N /6/ Ersetze wir u q durch de spezielle Wachstumsfaktor, de Grezwert des Fiboacci-Wachstums, so stellt sich das Problem i Form des stetige Afagsgliedes a 0s ; es ist ubekat ud muss für die Gleichuge // ud /6/ erst aufwedig mittels geeigeter mathematischer Verfahre approximiert werde. Wüscheswert wäre deshalb auch hier stetige Wachstumsfuktioe ach /11/ ud /1/, die i Abhägigkeit der Etwicklugsschritte k bzw. ud der diskrete Uabhägige a 0 ud a 1 additives Wachstum ach Fiboacci optimal approximiere. Diese Gleichuge werde im Weitere vorgestellt. Der für die Asätze /14/ ud /1/ beötigte stetige Wachstumsterm Z(m ergibt sich auf eifache Weise, i dem das ustetige Glied ( 1 m aus /16/ ud // verachlässigt wird: Z(m m = /7/ Der bereits i Abschitt vorgestellte Afagsterm /13/ a 0 + a1 A(a0; a 1 = + /8/ ist das ubekate Afagsglied a 0s der Gleichug //. Hiermit ergibt sich die gesuchte stetige Approximatio eier beliebige Folge ach Fiboacci durch /7/ i /14/ mit m = k : k aks = A /9/ Mit de Afagsbediguge a 0 = 0 ud a 1 = 1 der Fiboacci-Folge /6/ erhalte wir die stetige Form der Biet-Formel: a k ( k s 0;1 = Durch /7/ i /1/ mit m = + ergibt sich die stetige Approximatio eier Partialsummefolge ach Fiboacci: a = 0 a = 1 /30/ + s1 1 s = A a /31/ Mit de Vorgabe a 0 = 0 ud a 1 = 1 der Fiboacci-Folge /6/ ergibt sich vereifacht: + s s1 ( 0;1 = 1 a = 0 a = 1 /3/ Ist astatt der Azahl der Etwicklugsschritte das (diskrete -te Glied a eier Folge ach Fiboacci bekat, so lässt sich dere Partialsumme s auch durch die Beziehug s a a1 N /33/ s = äher. Wie im folgede Abschitt 4 ausgeführt wird, erreicht /33/ allerdigs icht die hohe Geauigkeit der Näherug /31/. Die Güte der Gleichuge der Abschitte ud 3 - ob u wohlbekat oder eu vorgestellt - lässt sich am Beispiel der Lukas-Folge /7/ ud ihrer Partialsummefolge dem umerische Arbeitsblatt Tabelle 1 etehme.

5 Seite 4. Fehlerbetrachtug der stetige Approximatioe Bildet ma zwische jedem diskrete Glied eier uedliche Folge ach Fiboacci ud seier Approximatio ach /9/ das sogeate Fehlerquadrat ak = ( aks ak k N /34/ ud bildet aus ihe wiederum eie uedliche Reihe, so kovergiert der Wert dieser uedliche Reihe - wie bereits obe agedeutet - zu eiem edliche Grezwert größer ull. Dieser Grezwert eier uedlich fortschreitede Aufsummierug der Fehlerquadrate wird im Folgede vereifacht als Summe der Fehlerquadrate bezeichet. Durch Eiführug des Terms B(a ; a = ( a a /3/ 1 0 ergibt sich die Summe der Fehlerquadrate für die Approximatio eier uedliche Folge ach Fiboacci für Gleichug /9/ zu: ak = B k N /36/ Aufgrud der Gültigkeit dieser Gleichug /36/ ka vermutet werde, dass es sich bei der Fuktio /9/ um die bestmögliche stetige Approximatio a jede uedliche Folge ach Fiboacci hadelt. Völlig aalog hierzu lasse sich die Fehlerquadrate für Approximatioe a uedliche Partialsummefolge ach Fiboacci s = ( ss s N /37/ behadel. Wurde die Partialsummefolge ach /31/ approximiert, so liefert s1 = = 0 B N /38/ de gesuchte Wert ud für die Näherug /33/ ergibt sich die Summe der Fehlerquadrate zu: s = B N /39/ =0 Da der Koeffiziet dieser Gleichug um de Faktor 34,... größer als der Koeffiziet ( aus /38/ ist, ist die Näherug /31/ der Fuktio /33/ vorzuziehe. Aufgrud der Gültigkeit vo Gleichug /38/ ka auch hier vermutet werde, dass Gleichug /31/ die bestmögliche stetige Approximatio a jede uedliche Partialsummefolge ach Fiboacci darstellt. I Tabelle sid eiige ausgewählte Fehlerquadratsumme ach /36/, /38/ ud /39/ ausgewiese. Des weitere erket ma, dass eie Miimierug des Terms /3/ (durch Abstimmug vo a 0 ud a 1, sowohl für die uedliche Folge ach Fiboacci, als auch für dere Partialsummefolge das Miimum der Summe der Fehlerquadrate bedigt. Geht ma u vo der atürliche Problemstellug aus, dass etwas i diskrete Eiheite mit a 0 = 0 aus dem Nichts (i das Positive wachse soll, so fide wir mit a 1 = 1 das Miimum B (0 ; 1 = 1. Somit ist jetzt mathematisch bestimmt, wie der erste Wachstumsschritt eier solche Folge ach Fiboacci aussehe sollte: Die beste diskrete Aäherug a expoetielles Wachstum mit dem Wachstumsfaktor ist bei eier Ausgagsmege vo ull ei erster Wachstumsschritt vo ur eier Eiheit. Dies erscheit auch vollkomme plausibel, ist dies ist doch für eie erste Schritt das absolute Miimum. Relativ betrachtet ist dieser miimale Schritt allerdigs sehr groß - ämlich uedlich groß.

6 Seite 6 Letztedlich erhalte wir u jee berühmte Fiboacci-Folge, die Mutter Natur stets awedet, we etwas i diskrete Eiheite, expoetiell ud zugleich aus dem Nichts erwachse soll: ( a k = 0, 1, 1,, 3,, 8, 13, 1, 34,... ( 0;1 Quelle: Lexikographisches Istitut Müche: Das Bertelsma-Lexiko i 4 Bäde, 199/96, Bertelsma-Verlag Bartsch, Has-Joche: Taschebuch Mathematischer Formel, 18. Auflage 1999, Fachbuchverlag Leipzig Kott, Ro: The Mathematics of the Fiboacci series, , Tabelle : = 1, a 0 a 1 B = (a 1 -a 0 Σ a k = B/ Σ s 1 = B( 1/ -/ Σ s = B /3/ /36/ /38/ /39/ 1 0, , , , , , , , , , ,74178, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,7341, , , , , , , , , , , , , , , , ,07139, , , , , , , , , , , , , , ,806, , , , , , ,6309 7, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,089 4, , ,881 47, , , , , , , , , , , , , , , , , ,339887

7 Seite 7 a 0 = A = 1 = 1, a 1 = 1 B = s (0, a1 = s (a1, a1 = a k = a k(0, a1 = a k(a1, a1 = a ks = a k = s = A( A( s s1 = s 1 = s s = s = k; a k- + a k-1 A( k - (1- k A( k + (1- k A k (a ks - a k Σa k ( ( a 1... ( a 1 A + - a 1 (s s1 - s a - a 1 (s s - s // /7/ /18/ /3/ /9/ /34/ /8/ /19/ /4/ /31/ /37/ /33/ /37/ , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,3104E-04 46, , , , , , , ,73070E-04 74, , , , ,3104E , , ,61070E-, , , , ,73070E , ,000,06E-97, ,631E , , ,61070E , , ,64488E-06 31, ,303E , ,000,06E-0 0 0, , ,68401E-06 19, ,63E , , ,64488E , , ,40717E-06 84, ,844E , , ,68401E , ,000733,37490E , ,8401E , , ,40717E , ,99947,0303E-07 06,0063 7,0384E , ,000733,37490E , ,0008 7,84188E ,998361,6874E , ,99947,0303E , ,99987,9933E , ,06E , ,0008 7,84188E , , ,14411E , ,9094E , ,99987,9933E , , ,37013E , ,49767E , , ,14411E , , ,6694E ,99976,707E , , ,37013E , , ,3794E ,0001,1807E , , ,6694E , ,0000,4339E , ,3461E , , ,3794E , ,3037E ,0001 3,18797E , ,0000,4339E ,316E ,1769E ,3037E ,370E ,610E ,316E ,1840E ,7767E ,370E ,9809E ,78610E ,1840E ,643E ,9190E ,9809E ,8900E ,9009E ,643E ,103E ,78148E ,8900E ,368E ,446E ,103E ,6047E ,4974E ,368E ,4101E ,11667E-13 Σ = 1704 Σ = 1, Σ = 0, Σ = 8, B / = 1, B( 1/ -/ = 0, B = 8,