HM I Tutorium 2. Lucas Kunz. 3. November 2017

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1 HM I Tutorium 2 Lucas Kuz 3. November 2017 Ihaltsverzeichis 1 Theorie Reelle Zahle Itervalle Beträge Natürliche Zahle Beweise durch vollstädige Iduktio Folge ud Kovergez Theorie über das Tutorium hiaus Axiomatische Kostruktio vo R Gaze ud Ratioale Zahle Formel ud Recheregel Wurzel ud Expoete Besodere kovergete Folge Aufgabe Aufgabe

2 1 Theorie 1.1 Reelle Zahle Bevor mit de reelle Zahle (wie aus der Schule bekat) i aller Ausführlichkeit gerechet werde ka beötigt ma eiige Begrifflichkeite (für die Beschreibug der axiomatische Kostruktio vo R sei auf Kapitel 2.1 dieses Dokumets verwiese): Eie Mege heißt ach obe beschräkt, we γ R : x γ x M. I diesem Fall bezeichet ma γ als obere Schrake vo M. Da ma beliebig viele dieser Zahle γ fide ka (sid alle Elemete vo M kleier gleich 10, da sid sie auch kleier gleich 11,12,13,...) ist ur die kleiste vo Bedeutug. Diese kleiste obere Schrake eier Mege et ma ihr Supremum. Liegt dieses γ ierhalb der Mege selbst, da bezeichet ma es auch als ihr Maximum. Gaz aalog wird die größte utere Schrake als Ifimum ud das kleiste Elemet vo M als Miimum bezeichet. Es gilt immer if M sup M ud etspreched auch mi M max M. Weiterhi gilt: Ist B A R ud A ist ach obe/ute beschräkt, da ist auch B ach obe/ute beschräkt ud es gilt sup B sup A bzw. if B if A. Ist A ach obe beschräkt ud γ eie obere Schrake vo A, da ist γ = sup A ɛ > 0 x A mit x > γ ɛ. Die Werte x A komme dem Supremum also beliebig ahe, alle adere obere jedoch Schrake icht. Ist A ach ute beschräkt ud γ eie utere Schrake vo A, da ist γ = if A ɛ > 0 x A mit x < γ + ɛ. Die Werte x A komme dem Ifimum also beliebig ahe, alle adere utere jedoch Schrake icht. 1.2 Itervalle Nach der Eiführug dieser Begriffe magelt es zur Rechug ur och a Schreibweise ud eier spezielle Operatio. Aus de erstgeate ist isbesodere eie eifache Methode relevat, Teilmege aus R zu defiiere, sogeate Itervalle. Die Beschreibug derer verläuft (wie bereits aus der Schule bekat) folgedermaße: Geschlossees Itervall: [a, b] := {x R : a x x b}. Rechtsseitig offees Itervall: [a, b) := {x R : a x x < b}. Liksseitig offees Itervall: (a, b] := {x R : a < x x b}. Offees Itervall: (a, b) := {x R : a < x x < b}. Ist die eie Seite eies Itervalls offe (bis ), da schreibt ma dies als [a, ) := {x R : a x}. Aalog verläuft dies mit (, b] := {x R : x b}. 1.3 Beträge Die erwähte wichtige Operatio ist der Betrag eier Zahl. Für ei beliebiges x R ist dieser bekatlich defiiert als { x falls 0 x x = x falls x < 0. (1.1) Sid a, b, c R wobei 0 c, da gehorcht diese Operatio de folgede Regel: 2

3 a 0, a = 0 a = 0 a b = a b a a, a a a c c a c Dreiecksugleichug: a + b a + b umgekehrte Dreiecksugleichug: a b a b 1.4 Natürliche Zahle Eie Mege A wird als Iduktiosmege bezeichet, we 1. 1 A ud 2. aus A immer folgt, dass + 1 A. Sei a := {A R : A ist eie Iduktiosmege} die Mege aller solche Iduktiosmege. Beispiele für solche Mege sid Itervalle wie [1, ) oder gaz R. Ma defiiert die atürliche Zahle wie folgt: N := A a A := {B a : B A A a}. (1.2) Die atürliche Zahle sid also der Schitt aller Iduktiosmege, also das, was i jeder dieser Mege A ethalte ist. Dadurch sid sie selbst auch die kleistmögliche Iduktiosmege. Aufgrud der zweite Aforderug a Iduktiosmege ist N icht ach obe beschräkt bzw. die Folge 1 mit N kommt der 0 beliebig ahe. 1.5 Beweise durch vollstädige Iduktio Es sei A() eie Aussageform i Abhägigkeit der Variable mit de Eigeschafte, dass eierseits A(1) wahr ist ud adererseits aus der Wahrheit vo A() immer folgt, dass auch A( + 1) wahr ist. I diesem Fall ist A wahr für alle N. Um dies zu zeige muss ma also ur das Afagselemet A(1) betrachte (Iduktiosafag) ud diese Aussage auf Wahrheit überprüfe sowie für ei beliebiges (allgemeies) wahres A() (z. B. jees für = 1, Iduktiosvoraussetzug) zeige, dass daraus auch folgt, dass A( + 1) wahr ist (Iduktiosschluss oder -schritt). Diese Heragehesweise mag zu Begi weig ituitiv erscheie, wird aber für sehr viele Beweise verwedet. 1.6 Folge ud Kovergez Ist X eie Mege ud p Z, da heißt die Abbildug a : {p, p+1,..., 0, 1, 2,... } X eie Folge i X. Hierbei schreibt ma auch a statt a() ud bezeichet dieses Elemet als das -te Folgeglied. Meist wählt ma p = 0 oder p = 1, sodass ma ur positive Zahle im Idex stehe hat. Grudsätzlich ka eie Folge aber wie i der obige Defiitio mit eier beliebige gaze Zahl begie, solage alle folgede Idizes asteige. Näher sich Folgewerte mit steigedem Idex immer äher eiem feste Wert a, so 3

4 et ma diese Grezwert. Existiert ei solcher Grezwert bezeichet ma die Folge als koverget. Mathematisch formuliert ma diese Zusammehag folgedermaße: a heißt koverget gege a, we ɛ > 0 0 = 0 (ɛ) : a a < ɛ > 0. (1.3) Diese Formulierug bedeutet, dass ab eiem gewisse Idex 0 die Differeze der Folgewerte vom Grezwert kleier sid als ei willkürlich gewähltes ɛ, vo dem besagter Idex dabei atürlich abhägig ist. A eiem Beispiel wird dieser Sachverhalt klarer: Sei a := 1. Diese Folge kovergiert für größer werdede gege de Grezwert a = 0. Wir wähle zuächst ɛ = 1. I diesem Fall ist das i Gleichug 1.3 erwähte Kriterium 12 erfüllt ab eiem Idex 0 = 13. Wählt ma higege ɛ = 1, da muss 20 0 = 21 gewählt werde. So lässt sich zu jedem och so kleie ɛ ei passedes 0 fide, weshalb die Folge a etspreched der obige Defiitio (i 1.3) als koverget bezeichet werde ka. Folge köe sowohl i R als auch i C defiiert werde ud kovergiere. Für reelle ud komplexe Folge gelte bezüglich ihrer Kovergez die folgede Regel: Kovergiert eie Folge, so ist ihr Grezwert eideutig bestimmt. Jede kovergete Folge ist beschräkt, also c > 0 : a < c. Ist a C ud a a, da gilt Ra Ra ud Ia Ia. Kovergiert a a, da auch a a. Der Grezwert eier reelle Folge ist auch reell. Kovergiert α gege 0 ud gilt a a < α für fast alle (für alle außer edlich viele), da kovergiert a gege a. Hierbei bezeichet ma α als Majorate. Kovergiere a a ud b b ud gilt a b für fast alle, da folgt a b. Kovergiere a a ud c a ud gilt a b c für fast alle, da kovergiert auch b a (Eischürugssatz/Sadwich-Theorem). Gilt a a ud b b, da folgt a + b a + b, αa αa für α R, a b a b ud falls b 0 ud b 0 weiterhi 1 b 1 b. Ist eie Folge mooto ud beschräkt i der Richtug ihres Wachstums (ach obe beschräkt bei mootoem Wachstum/ach ute bei mootoem Fall), da ist sie koverget ud der Grezwert ist das Supremum/Ifimum der Folgewerte. 2 Theorie über das Tutorium hiaus 2.1 Axiomatische Kostruktio vo R Die reelle Zahle R sid die Grudmege der Aalysis. Auf dieser Mege sid zwei Verküpfuge Plus + : R R R ud Mal : R R R defiiert, die jeweils zwei Elemete aus R auf ei drittes abbilde, das ebefalls i R liegt. Weiterhi ehme wir isgesamt 15 Axiome als gegebe a: 1. Assoziativgesetz der Additio: a, b, c R : (a + b) + c = a + (b + c). 4

5 2. Neutrales Elemet der Additio: 0 R a R : a + 0 = a. 3. Iverses Elemet der Additio: a R a R : a + ( a) = Kommutativgesetz der Additio: a, b R : a + b = b + a. 5. Assoziativgesetz der Multiplikatio: a, b, c R : (a b) c = a (b c). 6. Neutrales Elemet der Multiplikatio: 1 R a R : a 1 = a. 7. Iverses Elemet der Multiplikatio: a R \ {0} a 1 R : a a 1 = Kommutativgesetz der Multiplikatio: a, b R : a b = b a. 9. Distributivgesetz: a (b + c) = a b + a c. Diese eu Axiome bezeichet ma als die Körperaxiome. Diese werde icht ur vo R, soder vo jedem mathematische Körper erfüllt (siehe Tutorium 1). Über diese hiaus gelte für R aber auch die sogeate Aordugsaxiome. Diese beziehe sich auf die auf R defiierte Ordugsrelatio : 10. a, b R : a b oder b a. 11. Aus a b ud b a folgt stets a = b. 12. Aus a b ud b c folgt stets a c. 13. Aus a b folgt a + c b + c c R. 14. Aus a b ud a c folgt a c b c. Das letzte der bereits erwähte 15 Axiome ist das sogeate Vollstädigkeitsaxiom. Dieses lautet folgedermaße:. 15. Ist M R ud ist M ach obe beschräkt, so existiert das Supremum sup M. Aalog existiert für ach ute beschräkte Mege M das Ifimum if M. 2.2 Gaze ud Ratioale Zahle Auf Basis der ebe eigeführte atürliche Zahle lasse sich auch eiige weitere häufig verwedete Zahlemege defiiere: Natürliche Zahle mit 0: N 0 := N {0}. Gaze Zahle: Z := N 0 { : N}. Ratioale Zahle: Q := { p q : p Z, q N}. Da Z icht kotiuierlich ist (ma fidet zwische zwei beliebige Zahle aus Z icht uedlich viele weiter Zahle i Z) existiert bei Beschräkug icht ur ei Supremum/Ifimum, soder auch immer ei Maximum/Miimum. Weiterhi existiere zwische jeweils zwei Zahle aus Z immer uedlich viele Zahle i R ud i Q. 5

6 2.3 Formel ud Recheregel Es seie a, b R ud N, da: ( ) a +1 b +1 = (a b) a k b k. (2.1) Mit = 1 folgt daraus die aus der Schule bekate dritte biomische Formel. Setzt ma Higege a = 1 ud beet b = q 1, da ergibt sich eie Möglichkeit zur Auswertug der geometrische Reihe: q k = 1 q+1 1 q. (2.2) k=0 Die adere beide bekate biomische Formel ergebe sich als Spezialfälle des biomische Satzes für = 2: ( ) (a + b) = a k b k. (2.3) k k=0 Ist x R ud x 1 sowie N, da gilt weiterhi die Beroulli sche Ugleichug: 2.4 Wurzel ud Expoete k=0 Der Expoet a mit a R ud N ist defiiert als (1 + x) 1 + x. (2.4) a := a } a {{... a}. (2.5) Faktore Die Umkehrug desse ist die -Wurzel. Ist b = a, da ist b := a. Diese Wurzel ist zu jeder positive Zahl existet ud eideutig bestimmt. Als Wurzel wird im reelle immer ur ei positiver Wert bezeichet. Ma defiiert x 0 ud damit x2 := 2 x 2 := x. (2.6) Achtug: Die Lösuge quadratischer Gleichuge sid deoch auch egative Zahle. Ist z.b. x 2 1 = 0, da ist x = ± 1 = ±1. Es ist jedoch 4 = 2 ud 4 2. Im Falle ratioaler Zahle r = p Q ist der Expoet folgedermaße defiiert: q a r = a p q = ( q a ) p. (2.7) Wie geau der Bruch p erweitert ist spielt dabei für das Ergebis keie Rolle, z. B. ergibt q 5 das selbe wie 1. Ebeso ist es egal, ob ma ( q a) p oder q (a 10 2 p ) berechet. Was bei Expoete weiterhi beachtet werde sollte ist ihr Grezwertverhalte ud ihr Eifluss auf die Ordug ( ). Ist a > 1, da strebt a für gege. Ist higege a < 1, da gilt a 0 für. Aus diesem Grud kovergiert die uedliche Reihe ( = ) i Gleichug 2.2 ur für q < 1. Uabhägig vo Grezwertprozesse gilt aber für x, y R mit x y für alle N, dass auch x y. Fürderhi existiert auch für beliebige N eie Ugleichug zwische geometrischem ud arithmetischem Mittel: a1 a 2... a a 1 + a a. (2.8) Die zweite dieser Methode der Mittelwertbildug etspricht der aus Schule bekate. 6

7 2.5 Besodere kovergete Folge Es existiere eiige Folge, dere Grezwert bei weitem komplexer achzureche ist als jeer des vorherige Beispiels 1. Da diese deoch häufig auftrete werde sie hier kurz zusammegefasst (es gilt jeweils ): 1, c 1 c R. Kovergiert a a, da auch p a p a für beliebige p N. s := 1 z+1 1 z 1 1 z für z < 1, asoste diverget. ( ) e, ( 1 + x ) e x mit x R (Expoetialfuktio). 3 Aufgabe Die Musterlösuge der Tutoriumsaufgabe 8, 10 ud 12 fide sich auf der Iteretseite der Vorlesug uter Es gibt aber auch auf diesem Blatt alterative Wege, die verstädlicher ud zeitspareder sid: 3.1 Aufgabe 8 Natürlich wurde Ableituge ud Grezwerte i der Vorlesug och icht eigeführt, aber sobald dies geschehe ist sid Ifima ud Suprema mit diese wesetlich bequemer zu bereche. Bereits aus der Schule bekat ist, dass ma Extrema eier Fuktio bestimmt, idem ma die Nullstelle der Ableitug sucht. Im gegebee Fall hätte ma also die Nullstelle der Ableituge vo x + 1 bzw. vo x2 suche müsse. Im letztere Falle x 1+x 2 liege diese eimal bei x = 0 ud eimal asymptotisch bei x. Für diese Fall ist also ebe der Differetialrechug der bereits erwähte Grezwert voöte: lim x 1 ( x + 1 x ) x 2 x 2 = 2 = if A ; lim = 0 = if B ; lim = 1 = sup B. x x2 x 1 + x2 Damit ma aber sicher sei ka, dass z. B. das Supremum vo B im Grezfall x auftritt müsste ma weiterhi zeige, dass die Fuktio x2 (die B defiiert) mooto 1+x 2 wachsed ist im Itervall [0, ). Dies wiederum setzt atürlich auch die Differetialrechug voraus, weil Mootoie durch das Vorzeiche der erste Ableitug bedigt ist. Da diese Rechevorschrifte allerdigs bislag icht i der Vorlesug eigeführt wurde (auch we sie atürlich aus der Schule bekat sid) fide sie trotz des gerigere Recheaufwads i der Musterlösug seites der Übugsleitug keie Awedug. 7