Kapitel 11. Zentrale Grenzwertsätze Lokaler Grenzwertsatz von Moivre-Laplace

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1 Kapitel 11 Zetrale Grezwertsätze Viele zufällige Größe i der Natur, Wirtschaft ud Gesellschaft sid das Ergebis eier Überlagerug zahlreicher leier zufälliger Eiflüsse, die weitgehed uabhägig voeiader wire. So ist der tägliche Schlussurs eier Atie das Ergebis eier i. Allg. große Zahl vo Käufe ud Veräufe, Messergebisse werde häufig durch zahlreiche Eiwiruge zufälliger Art beeiflusst Temperatur, Ablesefehler u. a.. Die Wahrscheilicheitstheorie widmet sich diese Frage, idem sie die Wahrscheilicheitsverteiluge der Summe eier große Azahl vo eizele Zufallsgröße studiert. Wie oft i der Mathemati üblich, geht ma dabei zum Grezwert für über, um übersichtliche Resultate zu erziele. Eie Gruppe etsprecheder Sätze, die sogeate zetrale Grezwertsätze, befasst sich mit Bediguge a die zugrude liegede Zufallsgröße, uter dee eie Normalverteilug im Limes erscheit Loaler Grezwertsatz vo Moivre-Laplace Es sei X, 1 ei Beroullischema mit dem Parameter p 0, 1. Da besitzt S = X beatlich siehe Aussage 6.3 eie Biomialverteilug =1 mit de Parameter ud p: P S = = p 1 p =: b, p;, = 0, 1,...,

2 38 Uwe Küchler Es gilt vgl. Beispiele 4.13 c ud 4.1 c ES = p, ud D S = pq mit q = 1 p. Wir utersuche, wie sich die Verteilug vo S bei ubegrezt wachsedem verädert. Offebar wachse ES ud D S ubeschrät falls ach uedlich strebt, ud b, p; overgiert für bei feste p ud gege Null. Beachte Sie b, p; < = p 1 p 1! 1 p. Um deoch etwas über die asymptotische Eigeschafte der Biomialverteilug für aussage zu öe, gehe wir zur stadardisierte Zufallsgröße S über: S = S ES D S = S p pq. Diese Zufallsgröße hat die mögliche Werte x := p pq, die sie jeweils mit der Wahrscheilicheit b, p; aimmt, = 0, 1,...,. Die x = 0, 1,..., bilde ei Gitter mit dem Gitterabstad := pq 1, dem leiste Gitterput x 0 = p ud dem größte x q = q. Wir führe eie Futio ϕ p auf folgede Weise ei: ϕ x = b, p; [ falls x x, x = 0, 1,...,. + ϕ x = 0, falls x < x 0 oder falls x x. ϕ beschreibt ei Säulediagramm mit + 1 serechte Säule der Höhe ϕ x, der Breite ud de Säulemitte x, = 0, 1,...,. Die Fläche der -te Säule beträgt b, p; ud die Gesamtfläche uter der Oberate des Säulediagramms ist gleich Eis.

3 Zetrale Grezwertsätze 39 Satz 11.1 Loaler zetraler Grezwertsatz vo Moivre-Laplace Für alle a > 0 gilt [ wobei ϕx = 1 π exp lim sup ϕ x ϕx = 0, x a ] x die Dichte der Stadard-Normalverteilug auf R 1 ist: Φx = 1 π x e s ds, x R1. Beweis: siehe z. B. Siraev, I, 6. Der Beweis stützt sich im Wesetliche auf die Stirlig sche Formel der Approximatio vo Faultäte!. Der loale Grezwertsatz vo Moivre-Laplace wird häufig beutzt, um Wahrscheilicheite der Form P S l äherugsweise zu bestimme. Es gilt ämlich wege S = S p pq die Beziehug P S l = l b, p; m = m= p P S pq l p = pq P x S x l = x + x ϕ sds Aalog erhält ma x + x ϕsds = Φ x l + Φ x 11.a P S < l Φ x l Φ x 11.b

4 40 Uwe Küchler P < S l Φ x l + Φ x m + 11.c P < S < l Φ x l + Φ x. 11.d Häufig trifft ma auf die folgede etwas ugeauere Approximatioe, die wir als grobe Approximatio bezeiche wolle, im Gegesatz zu der vorhergehede feie Approximatio. P <S <l Φx l Φx, wobei auf der lie Seite jeweils etweder oder < steht. Sie liefert für größeres ebefalls brauchbare Werte. Beispiel maliges Werfe eier reguläre Müze. Wie groß ist die Wahrscheilicheit, dass midestes sechs ud höchstes zehmal die Zahl obe liegt? 1. Exates Resultat: = 16, p = 1, = 6, l = 10, p = 8, pq = 4 P 6 S =. Grobe Approximatio: [ , , , 196 = 0, ] 16 = 8 P 6 S = P 1 S 16 1 Φ1 Φ 1 = Φ1 1 = 0, 686

5 Zetrale Grezwertsätze Feie Approximatio: P 6 S = P S Φ1, 5 Φ 1, 5 = Φ1, 5 1 = 0, = 0, 788. Die Approximatio ist icht so gut für p 1. Ma bereche sie für = 16, p = 0,. 11. Der zetrale Grezwertsatz vo Feller- Lévy Voraussetzug 11.3 Es seie X, 1 eie Folge uabhägiger, idetisch verteilter Zufallsgröße mit σ := D X 1 0, ud S := X. Isbesodere gilt =1 ES = EX 1, D S = σ Das Gesetz der große Zahle besagt, dass die arithmetische Mittel M = 1 S P -fast sicher gege EX 1 overgiere. Isbesodere strebe im vorliegede Fall auch die Streuuge D M = σ gege Null. Daraus folgt, dass die Verteiluge vo M gege die ausgeartete Verteilug, die i EX 1 ozetriert ist, overgiere. We ma dagege S zetriert ud ormiert zu S = S ES D S Stadardisierug so hat S de Erwartugswert Null ud die Streuug Eis, ud zwar für jedes 1. Der folgede Grezwert stellt fest, dass die Verteiluge der S Stadard-Normalverteilug overgiere. gege die

6 4 Uwe Küchler Satz 11.4 Zetraler Grezwertsatz vo Feller-Lévy Für die stadardisierte Zufallsgröße S, 1 gilt lim sup a<b P a < S b Φb Φa = 0, 11.4 wobei Φ die Verteilugsfutio der Stadard-Normalverteilug ist. Der Beweis erfolgt mittels des Faltugs- ud des Stetigeitssatzes für charateristische Futioe, vgl. auch Übug 1.6. Die Beweisidee lässt sich folgedermaße sizziere: ϕ S u = Ee ius iu = Ee X X µ σ = [ iu ] E exp σ X 1 µ X µ = [ iu ] E exp[ σ X 1 µ] = ], e iuµ σ u R1. [ ϕ X1 u σ Da ach Voraussetzug EX 1 < gilt, ist die charateristische Futio ϕ X1 zweimal stetig differezierbar, ud es gilt ud ϕ X1 v = 1 + iµv v EX 1 + ov ud ma erhält mit v = e iw = 1 + iw w + ow uµ bzw. w = σ u σ die Beziehug ϕ S u = [1 u 1 ] + o e u, u R1. Der Grezwert ist aber gerade die charateristische Futio der Stadard- Normalverteilug. Nu ergibt sich die Aussage des Satzes aus dem Stetigeitssatz für charateristische Futioe ud der Tatsache, dass die w-kovergez

7 Zetrale Grezwertsätze 43 vo Verteilugsfutioe F gege eie Verteilugsfutio F siehe Bemeruge ach Stetigeitssatz 9.6 im Falle, dass F stetig ist, gleichmäßig erfolgt Übug Der ebe agegebee Zetrale Grezwertsatz ist ei geeigetes Hilfsmittel, um mit guter Näherug Wahrscheilicheite bestimme zu öe, die im Zusammehag mit arithmetische Mittel uabhägiger, idetisch verteilter Zufallsgröße stehe. Wir werde dafür eiige Beispiele agebe. Sie stütze sich alle auf folgede Näherugsgleichug: Auf Grud des Zetrale Grezwertsatzes gilt F S x := P S x Φx, x R Wir werde im Folgede diese Näherug verwede, die i Awedugsfälle meist für icht allzu große geüged geau erfüllt ist. Zur geaue Kovergezgeschwidigeit siehe die Ugleichug Isbesodere folge die häufig ützliche Formel: P S xσ + µ Φx, x R 1, 11.6 y µ P S y Φ σ, y R 1, 11.7 P S µ > c 1 Φ c σ, c > 0, 11.8 P S c µ c Φ 1, c > σ Die Werte der Stadard-Normalverteilugsfutio Φ etimmt ma eier etsprechede Tabelle. Eriert sei a die Voraussetzug 11.3.

8 44 Uwe Küchler Im Folgede gebe wir eiige Aweduge dieser Formel a. Dabei setze wir voraus, dass X, 1 de Voraussetzuge 11.3 des Satzes vo Feller Lévy geügt ud defiiere wie gehabt S = X. =1 a Mit welcher Wahrscheilicheit weicht das arithmetische Mittel S mehr als c vom Erwartugswert µ ab? um Atwort: Wege 11.7 mit der Wahrscheilicheit P S µ > c 1 Φ c σ. Mit welcher Wahrscheilicheit überdect das zufällige Itervall c, S + c de Erwartugswert µ? Atwort: Mit der Wahrscheilicheit siehe 11.8 S P c µ S + c = P S µ c = 1 P S c µ > c Φ 1 σ S b Es seie α 0, 1 ud vorgegebe. Wie groß muss ma c midestes wähle, damit gilt P S µ > c α? Atwort: Wege 11.7 wählt ma c midestes so groß, dass 1 Φ c α erfüllt ist. Das bedeutet σ c = > q 1 α σ,

9 Zetrale Grezwertsätze 45 wobei q p das p-quatil der Stadard-Normalverteilug bezeichet. Siehe Defiitio 3.35 ud Aussage 3.38 sowie die Normalverteilugstabelle. Mit der Wahrscheilicheit 1 α gilt da für die Beziehug c = q 1 α µ q 1 α σ S µ + q 1 α σ, d.h. µ q 1 α σ S µ + q 1 α σ c α 0, 1 ud c > 0 seie gegebe. Wie groß sollte ma midestes wähle, damit gilt: Atwort: P S µ c = 1 P P S µ c 1 α S µ > c c 1 1 Φ 1 α σ Also sollte ma midestes so groß wähle, dass σ gilt, d. h. c Φ 1 α σ σ c q 1 α also [ σ ] 0 = c q 1 α + 1, wobei [z] = max{ 0 N, z}, z > 0 gesetzt wird. Um die Kovergezgeschwidigeit im zetrale Grezwertsatz vo Lévy-Feller abschätze zu öe, ist folgede Ugleichug ützlich.

10 46 Uwe Küchler Ugleichug 11.5 vo Berry-Esse Uter de Voraussetzuge des Satzes vo Feller-Lévy ud der Aahme E X 1 3 < gilt: sup F S x Φx C E X 1 µ 3 x σ mit eier Kostate C, für die π 1 < C < 0, 8 gilt. Die Kovergezordug 1 a im Allgemeie icht verbessert werde. Siehe z. B. Siraev 1988, Kap. III, 4. Der Spezialfall der Biomialverteilug Für de Fall, dass die X, 1 ei Beroullischema mit dem Parameter p bilde, gilt atürlich der zetrale Grezwertsatz vo Feller-Lévy ud wird aus historische Grüde als globaler zetraler Grezwertsatz vo Moivre-Laplace bezeichet. Mit gilt also i diesem Fall S = =1 X, S = S p pq, 1 lim sup a<b P a < S b Φb Φa = 0. Eie ähliche Ugleichug wie die vo Berry-Esse 11.9 lautet hier vgl. Siraev, Kap. I, 6. sup F S x Φx p + q x R 1 pq

11 Zetrale Grezwertsätze 47 Bemerug 11.6 Als Praxiserfahrug gibt Heze 006 i seiem Kap. 7 die Faustregel pq 9 als für pratische Zwece ausreiched a. Ist pg 9 icht erfüllt, aber icht zu lei, so ist evtl. der Poisso sche Grezwertsatz awedbar vgl. Übug 6.6: Ist p 0, mit p λ > 0 so gilt für jede 0 p 1 p = λ! e λ =: π λ. lim p 0 p λ Für p 1, 1 ud λ := p < 9 a ma mit der Näherug reche. p 1 p π λ Zahlebeispiele 11.7 a I eiem Computerprogramm wird ach jeder Operatio auf die j-te Dezimale gerudet. [ Rudugsfehler ] addiere sich, sid uabhägig ud 10 gleichverteilt auf j ; +10 j, = 10 6 Operatioe werde ausgeführt. Wie groß ist die Wahrscheilicheit dafür, dass der absolute Rudugsfehler im Edresultat größer als c = j ist? Atwort: Hier sid X 1,..., X uabhägig, idetisch verteilt, EX i = 0, D X i = 10 j 1 Auf Grud des Zetrale Grezwertsatzes vo Lévy-Feller ist S = S 1 10 j aäherd Stadard-ormalverteilt. Für die gesuchte Wahrscheilicheit erhalte wir P S > j = P S > =

12 48 Uwe Küchler P S > 3 1 Φ 3 = 1 0, 9584 = 0, 083. Will ma dage eie Schrae, die mit Sicherheit gilt, rechet ma mit dem ugüstigste Fall, dass alle Fehler gleiches Vorzeiche habe ud sich summiere. Da a ma ur sage, dass mit Sicherheit [ S 106 j ], j gilt. Das sid Schrae, die weit größer als die vorher bestimmte sid. b Ei regulärer Spielwürfel wird 1000mal uabhägig voeiader geworfe. Der Erwartugswert der Augesumme beträgt I welchem möglichst leiem Itervall [3500 c, c] wird die Augesumme mit der Wahrscheilicheit 0, 950, 99 bzw. Eis liege? Atwort: Die Wahrscheilicheit P S c = P S 1000 c σ c Φ 10 3 σ soll gleich 0, 95 sei. σ = Streuug der Augezahl eies Wurfes =, 917. Daraus folgt Φ c σ 10 1 = 0, 95 also Φ c 3 σ 10 = 0, 975 ud 3. c = 9, 3 q 0,975 = 180, 8 Für 0, 99 a Stelle 0, 95 ergibt sich c = 37, 5 ud für 1 a Stelle 0, 95 erhalte wir c = 500.

13 Zetrale Grezwertsätze 49 c Wie oft muss ma eie Put rei zufällig aus dem Eiheitsquadrat auswähle, um mit der i Abschitt beschriebee Methode die Zahl π mit eier approximative Wahrscheilicheit vo 0, 95 auf m Stelle geau zu 4 bestimme? Atwort: Mit α = 0, 05 gilt 0 = [q 1 α π 4 1 π ] 4 10 m 0 = 0, m Der zetrale Grezwertsatz vo Lideberg- Feller Es seie im Weitere X, 1 eie Folge uabhägiger, aber icht otwedig idetisch verteilter Zufallsgröße, S := X. Die Verteilugsfutio vo X werde mit F bezeichet. Problem: Uter welche Bediguge gibt es Zahlefolge a ud b mit b > 0, so dass die Verteiluge vo S a b schwach d. h. i Verteilug gege die Normalverteilug overgiere? Ohe weitere Voraussetzuge a ma Kovergez gege die Normalverteilug icht erwarte. =1 Beispiel 11.8 Alle X seie Cauchyverteilt mit dem Parameter a. Da ist auch S Cauchyverteilt mit dem Parameter a. Beweis mittels charateristischer Futioe. Das heißt für a 0 ud b = erhalte wir die Kovergez vo S a b für, aber icht gege die Normalverteilug. Eie wesetliche Rolle bei der Lösug des obe gestellte Problems spielt der folgede Begriff.

14 50 Uwe Küchler Defiitio 11.9 Ma sagt, die Folge X erfüllt die Lideberg-Bedigug L, falls gilt D X <, 1 ud falls lim 1 D S =1 {x: x EX εσ } x EX F dx = 0 ε > 0. L Dabei werde σ = D S gesetzt. Falls die Lideberg-Bedigug L gilt, so folgt lim max D X = 0. F 1 D S Die Eigeschaft F wird auch als Feller-Bedigug bezeichet. Beweis: Es gilt D X = < ε + 1 [ ] E X D S D EX 1 { X EX S εσ }. Daraus folgt für jedes ε > 0. D X max ε D S D S Aus L folgt umehr F. =1 [ ] EX EX 1 { X EX εσ }. Die Feller-Bedigug besagt aschaulich, dass jede der Streuuge D X, = 1,...,, für große verschwided lei ist im Vergleich zur Streuug D S der Summe X 1 + X X. Aus der Feller-Eigeschaft F ergibt sich eie weitere Eigeschaft der Folge X, die ma als Asymptotische Kleiheit der X, := X EX σ bezeichet: lim max P X EX 1 σ > ε = 0. AK Der Beweis ergibt sich umittelbar aus F mittels der Tschebyschev sche Ugleichug:

15 Zetrale Grezwertsätze 51 X EX P σ > ε D X, = 1,...,. σ ε Numehr habe wir alle Begriffe, um folgede Satz zu formuliere. Satz Zetraler Grezwertsatz vo Lideberg-Feller Es sei X, 1 eie Folge uabhägiger Zufallsgröße über Ω, A, P mit 0 < D X <. Da sid folgede Aussage äquivalet: 1 Die X, = X EX σ, = 1,..., ; 1 mit σ = D S sid asymptotisch lei im Sie vo AK ud es gilt lim sup a<b P a < S ES D S b Die Lideberg-Bedigug L gilt. Beweis: Siraev, 1988, Kap. III, 4. b Φb Φa = 0. Beispiele a X uabhägig, EX EX 1 = m, D X D X 1 = σ 0,. Da ist die Lideberg-Bedigug erfüllt, de es gilt 1 σ σ 1 {x x m σ ε} {x x m σε} x m df 1 x = x m df 1 x 0 wege P X 1 {x x m σε} D X 1 σ ε 0

16 5 Uwe Küchler b Für ei δ > 0 sei die folgede Ljapuov-Bedigug erfüllt: 1 σ +δ 1 E X m +δ 0 Ljap. Da gilt die Lideberg-Bedigug L. Beweis: Für jedes ε > 0 habe wir X m +δ = x m +δ df x R 1 x m +δ df x ε δ σ δ x m df x {x x m εσ } = 1 σ 1 1 ε δ σ +δ {x x m εσ } {x x m εσ } x m df x E X m +δ 0 =1 X EX Es gibt Folge X uabhägiger Zufallsgröße mit S =1 = D S w N0, 1, wo weder L gilt och Asymptotische Kleiheit AK vorliegt: Die Zufallsgröße X, 1 seie uabhägig ud ormalverteilt mit EX 0, D X 1 = 1, D X =,. Da ist die Streuug D S vo S = X gleich D X = 1. Wir setze wie üblich S = 1 D S =1 X, 1. =1 =1

17 Zetrale Grezwertsätze 53 Die Folge X, 1 geügt icht der Lideberg-Bedigug, da isbesodere die Fellereigeschaft F icht gilt: D X max =1,..., D S X D S ; = max =1,..., = 1 1. Außerdem sid die X, := = 1,..., ; 1 icht asymptotisch lei im Sie vo AK, da für alle ε > 0 ud 1 die Gleichug erfüllt ist. max P X X > ε = P =1,..., D S > ε = 1 Φε > 0 1 Adererseits geügt X, 1 trivialerweise dem zetrale Grezwertsatz: S ist für jedes 1 Stadard-ormalverteilt.