k + n + 1. t k+n dt =

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1 7 Orthogoalpolyome Beispiel Sei f : [,] R stetig. Aufgabe: Bestimme die Bestapproximatio P P N mit P f Q f für alle Q P N bezüglich der Norm u = u,u mit dem Salarprodut u,v = u(t)v(t). Lösug : Wähle Moombasis,t,t,...,t N. Nu lässt sich Satz (.3) awede: Löse Ax = b mit ( ) A = t,t,=,...,n R(N+) (N+) ( ) b = f,t =,...,N RN+ Damit ergibt sich die Bestapproximatio P(t) = N Zur Bestimmug vo A bereche wir t,t = t t = t + = = x[]t. t = + +. Die Matrix A heißt Hilbert-Matrix. Sie ist symmetrisch positiv defiit, ud mithilfe der Cholesyzerlegug A = LL T gilt LL T x = b, also Ly = b ud L T x = y. Allerdigs gilt i diesem Beispiel κ (A) > 6 für N > 5; somit ist das Gleichugssystem extrem schlecht oditioiert. Lösug : Bereche eie Orthoormalbasis Q,...,Q N vo P N. Damit ergibt sich A = ( ) Q,Q = I N+ P(t) =, N = f,q Q (t) Also: Mit Orthogoalpolyome lasse sich also effiziet optimale Approximatioe bereche. Daher studiere wir die Kostrutio ud ihre Eigeschafte. Allgemei: Sei a < b, I = (a,b) R ei Itervall, W : I (, ) eie stetige positive Gewichtsfutio ud auf V = C(I) defiiere u,v V = b damit ist (V,, ) ei eulidischer Vetorraum. Beispiel a u(t)v(t)w(t) u V = u,v V ; A) Legedre: (a,b) = (,) W = B) Chebychev: (a,b) = (,) W(t) = t C) Jacobi: (a,b) = (,) W(t) = ( t) α ( +t) β D) Laguerre: (a,b) = (, ) W(t) = exp( t) E) Hermite: (a,b) = R W(t) = exp( t ) 59

2 Orthogoalisierug Setze R, ρ = R V, Q = ρ R. Für =,,...,N : R + (t) = tq (t) = h Q (t), mit h = Q,tQ V, Q + (t) = h +, R + (t), mit h +, = R + V. Idutiv ergibt sich tq P + \P = R + P + \P = R + = h +,. Weiterhi ist Q,tQ V = b ud somit h = h. Falls + <, gilt Zusamme erhalte wir Nu defiiere a Q (t)tq (t)w(t) = Q,tQ V tq P = h = tq,q V =. + tq (t) = h Q (t) + R + (t) = h Q (t) = = = h +, Q + (t) + h Q (t) + h, Q (t) ρ + = h +, = R +,Q + V = tq,q + V >, β = Q,tQ V = h. (7.) Satz Für die Orthogoalpolyome Q,Q,... i V gilt Q, Q ρ, ud ρ + Q + = (t β )Q ρ Q für > mit ρ = b a W(t), ρ = Q,tQ V > für >, ud β = tq,q V. Bemerug Häufig werde icht-ormierte Orthogoalpolyome verwedet mit eifachere Koeffiziete als ρ = t β V /ρ ud ρ + = (t β )Q V + ρ verwedet. Beispiel A) Legedre: (a, b) = (, ), W = ; die Polyome L (t) = ( ) d (t ) = t +...! 6

3 sid orthogoal, de für > gilt: b a ( ) d ( ) d ( ) d + (t ) (t ) = (t )( ) (t ) =. Beobachtug Mit ρ + Q + (t) = (t β )Q (t) ρ Q + (t) erhalte wir aus de Orthogoalpolyome Q,Q,...,Q P (t) = = ρ Q (t) = t +... P P ist das charateristische Polyom der symmetrische irreduzible Tridiagoalmatrix β ρ ρ β ρ A =. ρ β.., ρ > P,P,P,..., also auch Q,Q,Q,... bilde eie Sturmsche Kette, vgl. Satz (4.9). Also hat Q die verschiedee Nullstelle λ () <... < λ () mit λ () < λ ( ) < λ () + für < ud es gilt λ () < t # { j {,...,} : Q j (t)q j (t) < }. Wir zeige u zusätzlich a < λ () < λ () < b. (7.) Satz Q hat verschiedee Nullstelle i (a,b). Beweis. Seie a < λ <... < λ r < b alle Nullstelle vo Q i (a,b), i dee Q das Vorzeiche wechselt. Da defiiere wir P(t) = ± r = (t λ ) ud wähle das Vorzeiche so, dass P(t)Q (t) für alle t (a,b) ud damit P,Q V = b a P(t)Q (t)w(t) > gilt. Aahme: r <. Da wäre P P r P ud somit P,Q V =. Widerspruch! Beispiel B) Chebychev-Polyome: (a,b) = (,), W(t) = t. Defiiere T (t) = cos(arccost), t [,] Mit der Substitutio t = cosx ergibt sich für π T (t)t t (t) = cos(x)cos(x)dx =. 6

4 Zeige: T P T, T (t) = t. Für gilt T (t) + T + (t) = cos(( )x) + cos(( + )x) (wede u Additiostheoreme a) = cos(x) cos( x) si(x) si( x) +cos(x)cosx si(x)six }{{}}{{} =cosx = six = cos(x)cosx = t T (t). Also gilt T + (t) = t T (t) T (t). Für t gilt weiterhi die Idetität T (t) = de aus T, T = t + t = t ud ( ) t + t ( ) + t t ( ( ) t ± t ) = t ± t t +t = t t ± t folgt ebefalls die Dreitermreursio T + (t) = tt (t) T (t). (7.3) Folgerug (für Chebychev-Polyome) Sei ξ / [,]. Da gilt für P(t) = T (ξ ) T (t) max P(t) max Q(t) für alle Q P mit Q(ξ ) =. t [,] t [,] Beweis. Aahme: Es existiert ei Q P mit Q(ξ ) = ud max Q(t) < t [,] T (ξ ) max T (t) = t [,] T (ξ ) Für t = cos( π ) ( =,...,) gilt T (t ) = cos(π) = ±. Betrachte R(t) = Q(t) T (ξ ) T (t) P. = R(ξ ) = ud R(t ) = Q(t ) T (ξ ) cos(π) = R(t )R(t ) < für =,..., = R hat eie Nusllstelle i (t,t ) für =,..., = R hat Nullstelle i [, ] ud die Nullstelle ξ [, ] = R hat + Nullstelle = R = Q = T (ξ ) T Widerspruch! 6

5 (7.4) Folgerug Sei < a < b. Da gilt mi P P P()= max P(t) t [a,b] b a b a + Beweis. Defiiere φ : R R, x + b a (x a), d.h. φ ((a,b)) = (,), ud P(x) := T (φ(x)) T (φ(x)) P = P,[a,b] T (ξ ) mit ξ = φ() < Defiiere κ = b a >. Zu zeige: ( +κ ) T κ κ+ κ. Für t = κ +κ gilt ud T (t) = t ± t = + κ ± 4κ κ = ( ± κ ) ( κ )( + κ ) = ± κ κ, ( t + ) ( t + t ( t ) ergibt T (t) ) κ+. κ Aweduge i der umerische lieare Algebra Das cg-verfahre Seie A,B R N N symmetrisch positiv defiit, b R N, x R N ud o.e. r = b Ax. Wir approximiere die Lösug x = A b iterativ. Sei x x = A r / K = K (BA,Br ) = {P(BA)Br : P P }, da ist dimk = (Lem. (5.8)). Defiiere auf P das Salarprodut P,Q A,B = (x x ) T P(AB)AQ(BA)(x x ). Da gilt für x x + K mit x x A y x A für alle y x + K = x = x + P (BA)Br für ei P P = x + P (BA)Br x A = tp A,B tq A,B Q P = x x A mi tq A,B = mi R A,B Q P R P R()= Nu folgt aus (7.4) für σ(ba) [a,b] ud κ = b a ( ) κ R A,B x x A max R(λ) λ σ(ba) x x A max R(t) x x A. t [a,b] κ + 63

6 Das Laczos Verfahre Sei A R N N symmetrisch, z R N \ { N } zufällig. Zu < N defiiere K = K (A,z) = {P(A)z : P P } Voraussetzug: dimk = Da ist P,Q A = z T P(A)Q(A)z ei Salarprodut i P Orthogoalisierug: ρ = z, v = ρ z. Für =,..., : z + = Av h j v j j= mit h j = (Az ) T v j v + = ρ z + mit h +, = ρ = z + = ρ = v T + z + = v T + Av = h,+, β = h = v T Av = Av = + h j v j j= = AV = V H + h +, v + mit V = (v v ) R N ud β ρ ρ β ρ der irreduzible, symmetrische Tridiagoalmatrix H =. ρ β Bemerug. Der Laczos-Algorithmus hat die Form z + = (A β I N )v ρ v, β = v T Av, ρ = z, v + = ρ z +.. Die Eigewerte vo H approximiere eiige Eigewerte vo A (isbesodere de größte ud de leiste Eigewert). Sie sid Nullstelle der zugehörige Orthogoalpolyome. 64

7 Approximatio mit Orthogoalpolyome (7.5) Satz (Approximatiossatz vo Weierstraß) Jede stetige Futio f C(R) lässt sich im Itervall [a, b] gleichmäßig durch Polyome approximiere, d.h. zu jedem ε > existiert ei P P mit P(t) f (t) < ε, t [a,b] Beweis. Ohe Eischräug sei [a, b] = [.5,.5] ud f (t) = für t.5. Da ist f gleichmäßig stetig auf R, also existiert zu jedem ε > ei δ > mit f (t + s) f (t) < ε für t R ud s < δ. Defiiere R (t) = r ( t ) P Wir betrachte u die Faltug P (t) = (R f )(t) = R mit R (s) f (t s)ds = ( R (t) =, d.h. r = ( t ) ). R R (t x) f (x)dx = Zu t,x R existiere Koeffiziete a j R mit R (t x) = P (t) = j,=.5 a j t.5 Für t.5 ud s.75 gilt f (t s) = ud damit P (t) f (t) = Hieraus folgt P (t) f (t) R (s) f (t s)ds f (t) R (s)ds } {{ } = s <δ x j f (x)dx P. =.5.5 R (t x) f (x)dx. a j t x j, also gilt j,= R (s)( f (t s) f (t)) ds. R (s)( f (t s) f (t)) ds + R (s)( f (t s) f (t)) ds s (δ,) max s <δ f (t s) f (t) + r ( δ ) f ε + ε mit ( δ ) Sei L (,) der Hilbertraum der L -Futioe ud u,v = ε 4 f r für große. u(t)v(t) das L -Salarprodut. Da gilt: Die Orthogoalpolyome Q,Q,... zu, bilde eie Hilbertbasis vo L (,): 65

8 (7.6) Folgerug Für jede stetige Futio f C[,] overgiert die Folge der Orthogoalprojetioe p ( f ) = = f,q Q P i Beweis. f p ( f ) = mi P P P f P f P f. Da die stetige Futioe i L dicht liege, gilt die Aussage für alle L -Futioe. Bemerug. p : C[,] P Orthogoalprojetio, de es gilt p (p ( f )) = p ( f ), d.h. p p = p, ud p ( f ) f, p ( f ) = f,q j Q j = f,q Q f, = j=. Die Kovergez a beliebig lagsam sei! 3. Es gilt f = f,q. = 4. I [,] overgiere die Bersteipolyome ( ) B (t) = ( t) t f = gleichmäßig gege stetige Futioe f i [,]. j= ( f,qj f,q j ) f,q j = (7.7) Satz Es existiert C >, sodass für alle f C [,] gilt: P ( f ) f C ( ) d f. Beweis. Beweis für de Fall =,. ( ) P Die Orthogoalpolyome i L (,) sid salierte Orthogoalpolyome, d.h. es gilt Q = q ( d ) (t ) mit Normierugsfator q R. (i) Es gilt Zeige: Die Orthogoalpolyome sid Lösug der Sturm-Liouville-Differetialgleichug d [ ( t ) d ] Q = λ Q mit λ = ( + ). Q = q ( d ) (t ) = q!t +... = = Q,Q = q! t,q. 66

9 Daraus ergibt sich für j < : d [ ( t )Q ],Qj = d [ ( t )Q ] Q j = ( t )Q Q j + [ ( t )Q ] Q j = Q ( t )Q j d [ Q ( t )Q j] = }{{} P j Isgesamt ergibt sich also aus Q (t) = q!t ud Q (t) = q!( )t P d [ ( t )Q ] d = j= ( t )Q,Q j Q j d [ = ( t )Q ],Q Q = tq ( t )Q,Q Q = q! t + (( ))t,q Q = ( + ( ))q! t,q Q = ( + )Q = λ Q. (ii) Defiiere die Norm f s = λ s f,q ud de Hilbertraum H s = { f L (,) f s < }. Zeige Es gilt p ( f ) f λ+ s f P s für alle f H s, P P. p ( f ) f = f,q j λ+ s λ j s f,q j = λ+ s λ j s f P,Q j j> j> j> λ s + j λ s j f P,Q j = λ s + f P s. Im Folgede ersetze f durch f t f (), also o.e. f () =. (iii) Zeige: Es gilt f = d ( ( t ) ) d f. Dazu betrachte f = f,λ Q = λ f,q (i) = f,( t )Q = = f, d [ ( t )Q ] d [ ( t ) f ],Q = (iv) Zeige: Es gilt [ d ( t ) f ] 3 f. Mit d [ ( t ) f ] = t f + ( t ) f ud t f = t f (t) = t f (t) f () }{{} = ( t ) t f (s)ds f 67 = d ( t ) f t = 3 f.

10 folgt isgesamt d [ ( t ) f ] t f + ( t ) f 3 f + f 3 f. Zusamme ergibt sich damit p ( f ) f f t f 3 () λ + ( + )( + ) f. Bemerug Im Beweis habe wir gezeigt, dass Legedre-Polyome L (t) = ( ) d (t ) P Q = L! L die Sturm-Liouville Eigewert-Aufgabe d ( ( t) d ) L (t) = λ L (t) mit λ = ( + ) löse, ud dass sich damit eie Sala vo Hilberträume für s { } H s := f L (,) : λ s f,q < H = L (,) mit s = mit dem Salarprodut f,g s = λ s f,q g,q defiiere lässt. Bemerug. Die Berechug vo P erfordert Itegratio. Diese ist im Allgemeie ur approximativ möglich.. Qualitative Kovergez erfordert Regularität! 3. Die Auswertug vo P = = a Q a der Stelle t mit der 3-Term-Reursio beötigt ur O() Operatioe! 4. Effizieter (aber icht besser) ist Iterpolatio (siehe Kapitel 8). 5. Auch für allgemeie Jacobi-Polyome zum Gewicht W(t) = ( t) α ( +t) β gilt: J (α,β) (t) = W(t) ( d ) ( t) α+ ( +t) β+, t < löst eie Sturm-Lioville-Eigewertaufgabe ( t )u + (β α + (α + β + )t)u + (α + β + + ) u =. }{{} λ 68