Ganze Funktionen endlicher Ordnung und Anwendungen auf die Riemannsche Zeta-Funktion

Transkript

1 edlicher Ordug ud Aweduge auf die Riemasche Zeta-Fuktio Vortrag zum Semiar zur Fuktioetheorie Floria Goy

2 Gaze Fuktioe edlicher Ordug Wir utersuche zuächst gaze Fuktioe edlicher Ordug, um damit die Produktsätze vo Weierstrass ud Hadamard zu formuliere. Aschließed wede wir diese Resultate auf die Riemasche Zeta-Fuktio a. Gaze Fuktioe edlicher Ordug Im erste Paragraphe betrachte wir zuächst gaze Fuktioe edlicher Ordug, bevor wir die Produktsätze vo Weierstrass ud Hadamard formuliere, mit dee wir gaze Fuktioe als abzählbare Produkte gazer Fuktioe darstelle köe. Im Hiblick auf das Ziel des Gesamtvortrags sid wir somit i der Lage, die weiter ute defiierte, gaze Fuktio ξ, die als Produkt meromorpher Fuktioe eigeführt wird, als abzählbares Produkt holomorpher Fuktioe darzustelle. Wir erhalte mit diese Resultate weiterhi eie Aussage über die Nullstelle der Riemasche Zeta-Fuktio. Wir erier zuächst a die Defitio eier gaze Fuktio edlicher Ordug. Eie gaze Fuktio f heißt vo edlicher Ordug, falls es ei α > 0 ud ei c > 0 gibt, sodass wobei I diesem Fall et ma M f R c expr α für alle R > 0, M f R = max{ f z : z = R}. o f := if{α > 0 : M f R exp R α ist beschräkt für R > 0} die Ordug vo f. Da f als holomorphe Fuktio für R 0 > 0 auf dem Kompaktum B R0 0 beschräkt ist, geügt es die Ugleichug für alle R > R 0 zu zeige. Dazu betrachte wir zuächst die. Beispiele. a Ist f eie gaze Fuktio vo edlicher Ordug, so ist auch f vo edlicher Ordug ud es gilt

3 Gaze Fuktioe edlicher Ordug o f = o f. Wir zeige die Aussage i mehrere Schritte.. Schritt: Es seie r > 0 ud z C mit z = r. Da f eie Stammfuktio vo f ist, erhalte wir f z f 0. Dreiecksugl. f z f 0 f tdt. Dreiecksugl. =. Dreiecksugl. [0,z] [0,z] f t dt. Dreiecksugl. sup{ f t : t [0, z]} z. Nach dem Maximumprizip immt die Eischräkug vo f auf B r 0 ihr Maximum auf B r 0 a. Da ist M f r z =r = max{ f z : z = r} max{sup{ f t : t [0, z]} z + f 0 : z = r} z =r = r max{sup{ f t : t [0, z]} : z = r} + f 0 z =r r max{ f t : t B r 0} + f 0 z =r = r max{ f t : t = r} + f 0 z =r = r M f r + f Schritt: Es seie r > 0 ud z 0 C mit z 0 = r. Da folgt mit de Cauchy- Ugleichuge f z 0 Maximumprizip =. Dreiecksugl. z 0 =r Maximumprizip = r max{ f ξ : ξ z 0 = r} r max{ f ξ : ξ z 0 r} max{ f ξ : ξ r} r max{ f ξ : ξ = r}. r 3

4 Gaze Fuktioe edlicher Ordug Das impliziert M f r r M f r Schritt: Damit zeige wir u die Behauptug. Sei wieder r > 0 beliebig ud f vo edlicher Ordug mit κ := o f. Es sei ε > 0, da existiert ei c > 0, sodass M f r 3 r M f r + f 0 r c expr κ +ε + f 0 r c expr κ +ε + c c r expr κ +ε + }{{} > c r + expr κ +ε, wobei c := max{c, f 0 } > 0. Weiterhi existiert zu ε > 0 ei c > 0, sodass für alle r > 0 Somit erhalte wir r + c expr ε. c r + expr κ +ε c c expr κ +ε + r ε c c expr κ +ε +ε für ei geeigetes R > 0 ud alle r R. Da ε > 0 ud ε > 0 beliebig ware, erhalte wir folglich o f o f. Ist adererseits f vo edlicher Ordug mit κ := o f, so gibt es zu ε 3 > 0 ei C > 0, sodass für alle r M f r 4 r M f r C r exprκ+ε 3 C expr κ+ε 3 gilt. Weiterhi existiert zu ε 4 > 0 ei r 0 > 0, sodass für alle r r 0 gilt r κ+ε 3 r κ+ε 3+ε 4. 4

5 Gaze Fuktioe edlicher Ordug Für alle r max{, r 0 } gilt da M f r C expr κ+ε 3+ε 4. Da ε 3 > 0 ud ε 4 > 0 beliebig ware, folgt o f o f ud damit die Behauptug. b Wir wolle u die Ordug eier Potezreihe bestimme. Sei also f eie gaze Fuktio, gegebe durch die Potezreihedarstellug f z = Wir verwede folgede Abkürzug λ := lim sup a z. =0 l, l a ud zeige, dass λ = o f gilt. Da f eie gaze Fuktio ist, ist isbesodere f = k=0 a <. Demach ist a N0 Eischräkug a < für alle N 0 aehme. eie Nullfolge. Wir dürfe also ohe Ohe Eischräkug sei λ > 0, da o f 0. Für 0 < c < λ ist ach Defiitio des Limes superior { } l I := N 0 : l a c uedlich. Es gilt l l a c l c l a l a l. c Mit de Cauchy-Ugleichuge erhält ma für r > 0 a r = f 0! r max{ f ζ : ζ = r} = M f r. 5

6 Gaze Fuktioe edlicher Ordug Das impliziert lm f r l a + lr lr l. 5 c Wir wähle u eie spezielle Folge r I, defiiert durch Da gilt für alle I r = e c. l M f r 5 lr l c l e = l c c = l + l c Damit folgt = c = c = rc c e. r c c e M f r r c exp c e. Ud schließlich gilt für ei beliebiges 0 < ε < c M f r exp r c ε r c exp c e c e r c ε c e = exp c e rc r c+ε. Da ε > 0 ud c < λ beliebig ware, folgt λ o f. Wir ehme ohe Eischräkug λ < a, da sost sofort o f λ folgt. Sei ε > 0, da gibt es ach Defiitio des Limes superior ei 0 N, sodass 6

7 Gaze Fuktioe edlicher Ordug Es gilt l l a λ + ε für alle 0. l l a λ + ε l λ + ε l a l a l λ + ε a exp l λ + ε. Für z B r 0, r > gilt f z = =0 =0 0 =0 a z a z a r + } {{ } c r 0 c r 0 + exp = 0 λ+ε r = 0 mit eier geeigete Kostate c > 0. Wege existiert ei N, sodass λ+ε r lim λ+ε r = 0 λ+ε r λ+ε r l λ + ε r 6 λ+ε r r λ+ε für alle. Wir wähle := r λ+ε. Da gilt 7

8 Gaze Fuktioe edlicher Ordug Es folgt für δ > 0 beliebig r λ+ε r λ+ε +. f z 6 c r 0 + λ+ε r = 0 } {{ } c r c r 0 + c r + c r = c e lr c e rλ+ε lr c δ e rλ+ε+δ + λ+ε r }{{} = mit geeigete Kostate c, c, c δ > 0, de der atürliche Logarithmus wächst lagsamer als jede Potez. Da ε > 0 ud δ > 0 beliebig ware, folgt Bevor wir ei erstes Resultat beweise, ei vorbereitedes. Lemma. Sei p ei Polyom vom Grad N. Da gilt o f λ. pc = C. Beweis. Sei w C beliebig. Da ist q : C C, z pz w ebefalls ei Polyom vom Grad. Isbesodere ist q icht kostat. Mit dem Fudametalsatz der Algebra folgt die Existez eies z = zw C, sodass Das impliziert qz = 0. pz = w. 8

9 Gaze Fuktioe edlicher Ordug Damit ist p surjektiv ud es folgt die Behauptug. Nu komme wir zu dem ageküdigte.3 Satz. f ist geau da eie icht-kostate gaze Fuktio edlicher Ordug ohe Nullstelle, we es ei icht-kostates Polyom p gibt mit I diesem Fall gilt f z = e pz für alle z C. o f = degp. Beweis. Sei p ei Polyom vom Grad N. Da ist f z = e pz = 0 für alle z C. Da f auf C als Verkettug holomorpher Fuktioe holomorph ist, ist f eie gaze Fuktio. Nach Lemma. existiere z, w C, sodass pz = 0 ud pw = πi. Da ist f z = e 0 = ud f w = e πi =. Demach ist f icht kostat. Nach [], II. ist f vo edlicher Ordug. Sei f gaz, ullstellefrei, icht kostat ud vo edlicher Ordug. Da C eifach zusammehäged ist, besitzt f ach [], IV 4.6 eie holomorphe Logarithmus. Das heißt es existiert eie gaze Fuktio g : C C mit f z = e gz für alle z C. Sei u λ > o f. Nach Defiitio eier gaze Fuktio edlicher Ordug gibt es ei c > 0, sodass f z c exp z λ für alle z C. 9

10 Gaze Fuktioe edlicher Ordug Mit der Mootoie der atürliche Logarithmusfuktio folgt Regz = le Regz = l e Regz+i Imgz = l e gz = l f z lc exp z λ = lc + z λ für alle z C. Nach [], II.5 ist g ei Polyom mit degg λ. Da λ > o f beliebig, folgt degg o f Es folgt u mit [], II. o f = oe gz degg o f Also gilt oe gz = degg, dies war och zu zeige. Als Folgerug formuliere wir das.4 Korollar. Sei f eie icht-kostate, gaze Fuktio vo icht-gazzahliger Ordug. Da besitzt f uedlich viele Nullstelle. Beweis. Wir führe de Beweis idirekt. Ageomme, f hat ur edlich viele Nullstelle a,..., a, für ei N, mit Wiederholug gemäß Vielfachheit. Defiiere pz = k= z a k für z C. Da ist p ei Polyom vom Grad. Die Fuktio g : C C, z f z pz ist holomorph auf C \ {a k : k } ud ach [], III 3.8 ud dem Riemasche Hebbarkeitssatz auch eie gaze Fuktio, isbesodere wohldefiiert. g ist ullstellefrei, de 0

11 Gaze Fuktioe edlicher Ordug Falls w C \ {a k : k }, sid f w = 0 ud pw = 0. Damit ist gw = 0. Falls w {a k : k }, wähle wir ohe Eischräkug w = a, j N sei die Vielfachheit der Nullstelle a ud a = = a j. Nach [], III 3.8 existiert ei r > 0 ud eie auf B r a holomorphe Fuktio h mit ha = 0. Da ist gw = f w pw = w a j hw w a k k= = hw w a k k=j+ Die Fuktio g ist icht kostat, de ageomme es gibt ei c C, sodass gz = c für alle z C, da ist f z = c pz ei Polyom ud somit ach [], II. o f = 0. Dies ist aber ei Widerspruch zur Voraussetzug. Sei u α = o f, das heißt zu beliebigem R 0 > 0 ud ε > 0 existiert ei c 0 > 0, sodass f z c 0 exp z α+ε für alle z B R0 0. = 0. Da p ei Polyom vom Grad ist, gibt es zu diesem R 0 Kostate c, c > 0, sodass c z pz c z für alle z C mit z R 0. Uter diese Voraussetzuge gilt da gz = f z pz f z c f z z c R 0 c exp z α+ε für alle z C mit z R 0, wobei c := c 0 c R 0. Somit ist g vo edlicher Ordug mit og α, da ε > 0 beliebig. Wege α Z gilt α > 0. Um og α zu zeige, sei 0 < ε < α beliebig. Weiterhi seie γ > 0 ud δ > 0, sodass 0 < γ < ε < α ud 0 < δ < α ε. Da gibt es ei R 0 > 0, sodass für alle R > R 0 ud z = R R α ε R α γ R δ gilt. Das impliziert e Rα ε e Rα γ e Rδ.

12 Gaze Fuktioe edlicher Ordug Damit ergibt sich gz e Rα ε = f z pz e Rα ε f z c z e Rα ε f z e Rα γ }{{} ubeschräkt e Rδ c R }{{}. Also ist der der Ausdruck gz e Rα ε für R ubeschräkt. Es folgt og α. Damit köe wir Satz.3 awede ud erhalte ei Polyom q mit degq α, sodass gz = e qz für alle z C. Satz.3 liefert außerdem og = degq < α, de α / Z. Das ist ei Widerspruch zu og = α. Es folgt die Behauptug. Bevor wir us dem Produktsatz vo Weierstrass zuwede köe, müsse wir eie Kovergezbegriff für uedliche Produkte eiführe ud zitiere zwei Resultate aus der Fuktioetheorie ohe Beweis.

13 Gaze Fuktioe edlicher Ordug.5 Defiitio. Sei z k k eie Folge komplexer Zahle. Das Produkt z k heißt koverget, we k= es ei m N gibt, sodass i z k = 0 für alle k m ud ii die Folge z k gege eie Wert i C kovergiert, de wir mit z k k=m m k=m bezeiche. Wir setze da z k := k= m z k z k. k= k=m Ei kovergetes Produkt k= N gibt, sodass z = 0 gilt..6 Beispiele. a Für alle k N ist k Deswege ist k k= z k kovergiert also geau da gege 0, we es ei = 0, aber für N gilt k 0. k= icht koverget. b Für p, q R mit q < ud p > 0 ist p qk k=0 koverget, de wege der Stetigkeit der Expoetialfuktio erhält ma mit der geometrische Reihe p qk = k=0 exp q k lp k=0 = exp lp exp lp = p q. q k k=0 q 3

14 Gaze Fuktioe edlicher Ordug Zur kürzere Schreibweise verwede wir folgede Notatio E 0 s := s, E s := s exp k= s k, s C, N. k.7 Lemma. Für q N 0 ud z C mit z gilt E q z z q+..8 Lemma. Seie U C offe ud f k : U C, k N, holomorphe Fuktioe. We das Produkt k= f k absolut ud lokal gleichmäßig kovergiert, so ist die Grezfuktio f : C C, z f k z k= holomorph. Dabei heißt k= f k absolut ud lokal gleichmäßig koverget, falls k= f k absolut ud lokal gleichmäßig kovergiert. Weiterhi gilt ord a f = ord a f k für alle a U. k= 4

15 Gaze Fuktioe edlicher Ordug.9 Produktsatz vo Weierstrass. Sei a k k N eie Folge i C mit der Eigeschaft lim k a k =. Weiter sei q k k N eie beliebige Folge i N 0, sodass Da ist R qk + < für alle R > 0. a k= k f : C C, s s E qk a k= k eie gaze Fuktio, die geau i de Stelle a k, k N verschwidet ud sost irgeds. Falls a C ud {k N : a k = a} = m, so gilt ord a f = m. Beweis. Sei R > 0 fest. Da existiert ei k 0 N mit a k R für alle k k 0. Für z R hat ma da Damit kovergiert a z k ud zak.7 Eqk a z q k + qk + k R a k k= mit E qk für k N auch z E q k gleichmäßig auf B R 0. Nach Lemma.8 ist a k f : C C, eie gaze Fuktio. Weil z E qk zak z z E qk a k= k zwar vo erster Ordug, gilt ebefalls ach Lemma.8 geau i z 0 = a k eie Nullstelle hat ud ord a f = {k N : a k = a} für alle a C. Das ist die Behauptug. 5

16 Gaze Fuktioe edlicher Ordug.0 Bemerkug. Im Produktsatz vo Weierstrass erhält ma die Kovergez der Reihe zum Beispiel für q k = k. R qk + a k= k Beweis. k + Wähle zu R > 0 ei k N mit a k R für alle k k. Da gilt R a k k k für alle k k ud ist ach der geometrische Reihe eie kover- gete Majorate. k=k Als weitere Awedug beweise wir de. Produktsatz vo Hadamard. Sei f 0 eie gaze Fuktio vo edlicher Ordug o f = κ ud α = κ. Sei m = ord 0 f ud seie a, a,... die Nullstelle vo f i C mit Wiederholug gemäß Vielfachheit. Da existiert ei Polyom p mit degp α, sodass z f z = e pz z m E α für alle z C. a k k Beweis. Es gilt α + > κ. Für beliebiges R > 0 ist also die Reihe R α+ = R α+ a k k k a k α+ ach [], II.4 koverget. Damit köe wir de Produktsatz vo Weierstrass.9 awede ud erhalte eie gaze Fuktio h : C C, z z E α. a k k Da 6

17 Gaze Fuktioe edlicher Ordug h : C C, z z m als Polyom eie gaze Fuktio ist, ist auch g : C C, z z z m E α a k k als Produkt vo h ud h eie gaze Fuktio ud g hat die gleiche Nullstelle wie f. Nach [], III 3.8 ud dem Riemasche Hebbarkeitssatz ist f g eie gaze Fuktio ohe Nullstelle. Es geügt zu zeige, dass f g vo edlicher Ordug mit o f g κ ist. Satz.3 ud dem zugehörige Beweis etimmt ma die Existez eies Polyoms p mit degp κ mit f z gz = epz für alle z C. Da degp N 0, folgt degp α. Damit gilt die Behauptug. Wir zeige also och, dass f g vo edlicher Ordug mit o f g κ ist. Dazu weise wir ach, dass zu jedem β > κ Zahle γ, c > 0 existiere, sodass gz c e γ Rβ für alle z = R ud eie Folge R = R ν. Zuächst halte wir fest, dass z Rez Rez für alle z C. 7 Wir wähle ohe Eischräkug m = 0, de sost betrachte wir z f z a, mit a C \ {a k : k }. Sei β > κ beliebig. Weil ach [], II.4 kovergiert, wird die positive reelle k a k β Achse durch B ak β a k k icht überdeckt, de sost wäre die reelle Achse i eiem edliche Itervall ethalte, da die Reihe, die die Radie der Kugel aufsummiert, edlich ist. Also gibt es eie Folge R = R ν mit R a k > a k β für alle k. 8 7

18 Gaze Fuktioe edlicher Ordug Nur solche R betrachte wir ud schätze für z = R ab. Wir uterscheide drei Fälle.. Fall: a k R. Es ergibt sich z E α = a k. Dreiecksugl. 7. Dreiecksugl. zak α zak exp = z α zak a exp Re }{{} k = R = R α zak exp = α zak exp = = exp R a k R R β α = exp exp α = α = γ R a k R a k β R β a k für γ := α ud alle R = R ν. = 8

19 Gaze Fuktioe edlicher Ordug Es folgt k: a k R E α z a k exp k: a k R γ R β a k = exp γr β a k: a k R k β exp γδr β, 9 wobei 0 < δ := k a k β <.. Fall: a k R. Wir zeige zuächst eie Ugleichug. Für die Fuktioe gilt f : [ ] [ ] 0, R, x e x ud g : 0, R, f 0 = = g0 ud f = e = g. x x Weiterhi ist g liear ud f kovex, de f x = 4e x > 0 für alle x [ ] 0,. Demach ist f x gx ud ach Lemma.7 sowie der. Dreiecksuglei- Ma erhält a z k = R a k R R = chug ist für κ < β α + z E α für alle x [ 0, ]. 0 a k z 0 a z k a k e z ak α+ e R ak β. α+ 9

20 Gaze Fuktioe edlicher Ordug Daraus erhält ma k: a k R z E α a k k: a k R β e R a k = exp R β k: a k R a k β e δrβ 3. Fall: Für α R < a k < R mit s := gilt wege 8 = z E α = z exp Re a k a k 7 Dreiecksugleichuge a z k 8 R= z a k z a exp k a k z a k a k z a k α = exp e s a k β+ e s a k R R β+ e s. α = zak a z k α zak = Nach [], II. gibt es c, c > 0, sodass { k N R < a k < R} c + c l M f R. Da β > κ ist, gibt es eie Kostate c 3 >, sodass M f R c 3 e Rβ. 0

21 Gaze Fuktioe edlicher Ordug Damit gilt also c + c l M f R c + c l c 3 e Rβ Defiiere c 4 := c + c lc 3 > 0. Da gilt also = c + c l c 3 + c R β. { k N R < a k < R} c4 + c R β. Damit folgt z E α a k k: R< a k <R R β+ e s }{{} k: R< a k <R ach Wahl vo R R β+ e s c 4 +c R β = exp l R β+ c4 +c R β s = exp c 4 + c R β β + lr s = exp R β c4 R β + c β β + lr + l + s exp R β A + B lr für geeigete A, B > 0. Isgesamt ergibt sich aus 9,, : gz = z m z E α a k k z m exp γδ + δ + A + B lrr β c e ρrβ+ε für alle ε > 0 mit geeigete c, ρ > 0. Da o f = κ, gibt es zu 0 < ε < ε ei c 0 > 0, sodass f z c 0 exp z κ+ε für alle z C mit z = R. Wir wähle ε so, dass κ + ε > β + ε gilt. Weil β > κ ud ε > 0 beliebig sid, ka auch ε beliebig klei gewählt werde. Aus der obige

22 Gaze Fuktioe edlicher Ordug Abschätzug für g erhält ma damit u f z gz c 0 expr κ+ε c exp ρr β+ε = c 0 c exprκ+ε + ρr β+ε = c 0 c exprκ+ε + ρr β+ε κ ε. Da β + ε κ ε < 0, folgt für ε > 0 ud R > 0, das etspreched groß gewählt wird, f z gz c 0 c expr κ+ε + ρ c 0 c expr κ+ε +ε. f Das impliziert o g κ. Dies war och zu zeige. Vorbereited auf de zweite Paragraphe beweise wir das. Lemma. Sei f eie gaze Fuktio erster Ordug mit Nullstelle z k Wiederholug gemäß Vielfachheit. We die Reihe k z k C, k, ud kovergiert, gibt es ei c > 0, sodass f z e c z für alle z. Ma beachte, dass f 0 = 0 durchaus zugelasse ist, wir diese Nullstelle aber icht als Summade berücksichtige. Beweis. Vorbemerkug: Für alle w C gilt w e w + x e x + w erew e w e w = e w. Da o f =, folgt f 0. Sei m = ord 0 f. Da folgt aus dem Produktsatz vo Hadamard. die Existez vo A, B C, sodass

23 Gaze Fuktioe edlicher Ordug z f z = e A+Bz z m E = e A+Bz z m z k k zzk z e z k, für alle z C. k Damit gilt für ei geeigetes c > 0 ach der Vorbemerkug f z e A + B z z m e z zk k = e A + B z z m exp = z m e A exp z z k z k B + z k k e c z, für alle z C mit z. 3

24 Aweduge auf die Riemasche Zeta-Fuktio Aweduge auf die Riemasche Zeta-Fuktio Uter aderem aus der Fuktioetheorie sid sowohl die Riemasche Zeta-Fuktio ζ : {s C : Res > } C, s = s, als auch die komplexe Gamma-Fuktio Γ : H C, z 0 t z e t dt bekat, wobei H := {z C : Rez > 0} die rechte Halbebee bezeiche. Nach [], I 5.6 besitzt die Riemasche Zeta-Fuktio eie meromorphe Fortsetzug auf H. Die Fortsetzug ζ ist holomorph bis auf eie eifache Pol i s =. Die Γ - Fuktio besitzt ach [], II 3. eie meromorphe Fortsetzug auf C. Die Fortsetzug ist holomorph bis auf eifache Pole i de Pukte s = m, m N 0. Die Fuktio ξ : H C, s π s Γ s ζs besitzt ach [], II 4. eie meromorphe Fortsetzug auf C, die wir wieder mit ξ bezeiche. Die Fortsetzug ist holomorph bis auf eifache Pole i s = 0 ud s = mit de Residue Res 0 ξ = ud Res ξ =. Es gilt die Itegraldarstellug wobei ϑy = = ξs = s s + ϑy y s + y s y e πy e 0 =. Die gleichmäßige Kovergez dieser Reihe für y wird i der Fuktioetheorie bewiese. Damit formuliere wir das dy, 4

25 Aweduge auf die Riemasche Zeta-Fuktio. Korollar. Die Fuktio ξ : C C, s s s ξs ist eie gaze Fuktio erster Ordug. Beweis. Die Fuktio ξ hat eifache Pole i s = 0 ud s =. Nach [], III 3.8 ud dem Riemasche Hebbarkeitssatz ist ξ eie gaze Fuktio. Nach [], II 4.5 ist ξ ivariat uter der Trasformatio s s. Deshalb geügt es Res zu betrachte, de für s C mit Res < gilt Zuächst gilt für Res ud y Re s = Res =. y s + y s y s + y s = e s ly + e s ly = e Res ly + e Res ly e Res ly + e 4 ly = y Res + y 4 y Res + y Res = y Res y s. 3 Wege der gleichmäßige Kovergez der Reihe ϑy für y gilt für c > 0 lim ϑy c e y = lim y y = = = 0. = e πy c e y lim y e πy lim c e y y Also existiert zu ε > 0 ei y 0 >, sodass für alle y y 0, 5

26 Aweduge auf die Riemasche Zeta-Fuktio ϑy c e y < ε. Weiterhi existiert eie Kostate c > 0, sodass für y [, y 0 ] gilt ϑy c e y c. Das impliziert ϑy c e y + c. Wege e y e y 0, gibt es ei c > 0, sodass ϑy ce y. I beide Fälle erhalte wir also die Existez eies c > 0, sodass ϑy ce y. Da 0 ϑy c e y für alle y, liefert die Itegraldarstellug für ξ ξ s s s + + ss 3 + ss c ss c e y y s + y s y e y y s } {{ } 0 ϑy y s + y s dy + ss c e y y s dy = + ss c Γ 0 s. dy y dy 6

27 Aweduge auf die Riemasche Zeta-Fuktio Nach [], II 3.0 gilt für H s = s + k + l k=0 s H cos arg = = 3. 4 cos 0 s 4 + s + k Damit folgt für jedes ε > 0 mit [], II 3.0 ud geeigete Kostate c ε > 0, abhägig vo ε, ud c > 0 ξ s + ss c π e s l c e s l c e s l c ε e s +ε, s s s s s e 3 da der atürliche Logarithmus lagsamer wächst als jede Potez. Da ε > 0 beliebig, ist ξ vo edlicher Ordug mit oξ. Bevor wir die adere Richtug zeige, halte wir fest: für a := 4 e! gilt a für alle N, de a = e ud a N ist mooto wachsed, da a = 4 e! a + = }{{} e e + +! + } {{ } e. 4 7

28 Aweduge auf die Riemasche Zeta-Fuktio Für N erhält ma mit Γ =! ud ζ = ξ 4 = Γ π ζ 4 = 4! π ζ 4 4! π πe 4 k = k= 4 = e l lπ. 5 Für 0 < ε gibt es ei 0 N ud ei c > 0, sodass für alle 0 gilt ξ e ε e l lπ ε e c ε. Dieser Ausdruck ist für ubeschräkt. Es folgt oξ ud damit die Behauptug.. Korollar. Seie s k, k die Nullstelle vo ξ mit Wiederholug gemäß Vielfachheit. Da gilt s k = 0 ud 0 Res k für alle k. Die Reihe k s k divergiert, aber k s k +ε kovergiert für alle ε > 0. Es gibt ei B C, sodass ξ s = e B s s s e s k für alle s C. s k k 8

29 Aweduge auf die Riemasche Zeta-Fuktio Beweis. Nach [], I 5.6 hat die Riemasche Zeta-Fuktio keie Nullstelle z mit Rez >. Wege der Produktdarstellug ξ s = s s π s Γ s ζs, vergleiche hierzu Korollar. ud die Eiführug der Fuktio ξ, hat ξ auch keie Nullstelle mit Rez >, de Γ ist ach [], II 3.4 ullstellefrei auf C, ebeso s π s ud s s = 0 für alles s C mit Res >. Wege der Ivariaz vo ξ uter der Trasformatio s s hat ξ auch keie Nullstelle mit Rez < 0. Weiter gilt Würde s k k Das widerspricht 5. ξ 0 = lim s 0 s s ξs = Res 0 ξ = = 0. kovergiere, so existiert ach Lemma. ei c > 0, sodass ξ s e c s für alle s. Die Kovergez vo s k k +ε folgt mit [], II.4. Da ach Korollar. oξ = gilt, folgt mit dem Produktsatz vo Hadamard. die Existez vo A, B C mit ξ s = e A+B s s s e s k für alle s C. s k k Wege e A = ξ 0 = folgt die Behauptug. Mit Hilfe des Produktsatzes vo Hadamard habe wir also die gaze Fuktio ξ, die wir als Produkt meromorpher Fuktioe eigeführt habe, als Produkt gazer Fuktioe dargestellt. Wege der Darstellug ud der Tatsache, dass ξ s = s sπ s Γ s ζs 9

30 Aweduge auf die Riemasche Zeta-Fuktio ζ0 = = 0 ud ζ = 0 π 0 lim s 0 Γs cos π 0 ζ0 = lim s 0 Γs = 0, vergleiche dazu [], II 4.4, ud der Nullstellefreiheit vo s π s ud der Gamma-Fuktio ach [], II 3.4, sid die Nullstelle vo ξ geau die ichttriviale Nullstelle der Riemasche Zeta-Fuktio. Die triviale Nullstelle der Zeta-Fuktio sid ach [], II 4.4 gegebe durch die Mege { N 0 }. 30

31 Literatur Literatur [] A. Krieg, Aalytische Zahletheorie, RWTH Aache 009 [] A. Krieg, Fuktioetheorie I, RWTH Aache 00 3