Niveaubestimmende Aufgabe zum Fachlehrplan Mathematik Gymnasium

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1 Niveaubestimmede Aufgabe zum Fachlehrpla Mathematik Gymasium Kreistagswahl (Schuljahrgäge 11/1) (Arbeitsstad: ) Niveaubestimmede Aufgabe sid Bestadteil des Lehrplakozeptes für das Gymasium ud das Fachgymasium. Die achfolgede Aufgabe soll Grudlage uterrichtlicher Erprobug sei. Rückmelduge, Hiweise, Areguge ud Vorschläge zur Weiteretwicklug der Aufgabe sede Sie bitte über die Eigabemaske (Bildugsserver) oder direkt a petra.behlig@lisa.mb.sachse-ahalt.de A der Erarbeitug der iveaubestimmede Aufgabe habe mitgewirkt: Petra Behlig Halle (Leitug der Fachgruppe) Thomas Brill Schulpforte Uta Flieger-Hoppstock Osterburg Atje Noack Halberstadt Udo Piper Witteberg Herausgeber im Auftrag des Miisteriums für Bildug des Lades Sachse-Ahalt: Ladesistitut für Schulqualität ud Lehrerbildug Sachse- Ahalt Riebeckplatz Halle Die vorliegede Publikatio, mit Ausahme der Quelle Dritter, ist uter der Creative Commos -Lizez veröffetlicht. CC BY-SA 3.0 DE Sie dürfe das Material weiterverbreite, bearbeite, veräder ud erweiter. We Sie das Material oder Teile davo veröffetliche, müsse Sie de Urheber ee ud kezeiche, welche Veräderuge Sie vorgeomme habe. Sie müsse das Material ud Veräderuge uter de gleiche Lizezbediguge weitergebe. Die Rechte für Fotos, Abbilduge ud Zitate für Quelle Dritter bleibe bei de jeweilige Rechteihaber, diese Agabe köe Sie de Quelle etehme. Der Herausgeber hat sich itesiv bemüht, alle Ihaber vo Rechte zu beee. Falls Sie us weitere Urheber ud Rechteihaber beee köe, würde wir us über Ihre Hiweis freue.

2 Aufgabe Kreistagswahl 1. Bei eier Kreistagswahl i Sachse-Ahalt betrug die Wahlbeteiligug i eiem Ladkreis 44,9 %. Betrachtet werde im Folgede ur wahlberechtigte Persoe dieses Ladkreises. Die Zufallsgröße X beschreibe i eier Stichprobe vom Umfag jeweils die Azahl der Persoe, die sich a dieser Kreistagswahl beteiligt habe. a) Begrüde Sie, dass die Zufallsgröße X als biomialverteilt agesehe werde ka. b) Gebe Sie ei Ereigis im Sachzusammehag a, desse Wahrscheilichkeit sich durch de Term 5 k 0 50 k 50 k 0,449 0,551 k bereche lässt. c) Bereche Sie die Wahrscheilichkeit dafür, dass sich vo 100 zufällig ausgewählte Persoe midestes 50 a dieser Kreistagswahl beteiligt habe. d) Bereche Sie die Wahrscheilichkeit P( X1000 μ 10) ud iterpretiere Sie diese im Sachzusammehag. e) Ermittel Sie, welche Umfag eie Stichprobe midestes habe muss, damit sich i dieser Stichprobe mit eier Wahrscheilichkeit vo midestes 95 % midestes ei Nichtwähler befidet.. Für die Neuwahl des Kreistages möchte eie Partei A die absolute Mehrheit aller Stimme erhalte. Bei eier Meiugsumfrage i eier Stichprobe vo 5000 wahlberechtigte Persoe gabe 600 a, dass sie die Partei A wähle würde. a) I eier Wahlsedug ach dieser Meiugsumfrage wird gesagt: Trotz dieser güstige Umfragewerte ist es deoch möglich, dass die Partei A bei der Wahl icht die absolute Mehrheit 1 aller Stimme errige werde wird. Erläuter Sie, wie sich bei der Utersuchug dieser Aussage der Gegestad der beurteilede Statistik widerspiegelt. b) Utersuche Sie, ob die Partei A bei eier Vertraueswahrscheilichkeit vo 95 % die absolute Mehrheit aller Stimme erreiche ka. 1 Die absolute Mehrheit ist diejeige Abstimmugsmehrheit, die mehr als die Hälfte aller abgegebee Stimme umfasst. Seite vo 5

3 Erwarteter Stad der Kompetezetwicklug Aufg. 1a 1b 1c 1d 1e a b Hiweise zur Lösug Begrüde, z. B.: Für jede der Persoe köe geau zwei Ergebisse uterschiede werde: Die Perso hat sich a der Wahl beteiligt ud Die Perso hat sich icht a der Wahl beteiligt. Da ageomme werde ka, dass die Etscheidug zur Wahlbeteiligug eier Perso uabhägig vo der Etscheidug der adere Persoe getroffe wird, bleibt die Wahrscheilichkeit p = 0,449 uverädert. Agebe z. B.: Vo 50 zufällig ausgewählte Persoe habe sich höchstes 5 a dieser Kreistagswahl beteiligt. Bereche, z. B.: 100 P(X 50) 100 k 100 k 100 0,449 0,551 0,1774 k k 50 Bereche ud Iterpretiere, z. B.: μ 449; P(439 X ) 0, 4956 P( X1000 μ 10) ist die Wahrscheilichkeit dafür, dass bei 1000 zufällig ausgewählte Persoe die Azahl derer, die sich a dieser Kreistagswahl beteiligt habe, um höchstes 10 vom Erwartugswert abweicht. Ermittel, z. B.: Y: Azahl der Persoe, die sich icht a dieser Wahl beteiligt habe mit Y ~ B ; 0, 551 ; P(Y 1) 0, 95 ; 3,7... Der Umfag der Stichprobe muss midestes vier Persoe betrage. Erläuter, z. B.: Für de ubekate Wählerateil p der Partei A lässt sich aus de Kegröße eier Stichprobe i Abhägigkeit vo der Vertraueswahrscheilichkeit ei Vertrauesitervall agebe, das p ethält. Damit ist aber icht ausgeschlosse, dass p i Wirklichkeit außerhalb dieses Vertrauesitervalls liegt. Die Wahrscheilichkeit dieses Irrtums lässt sich begreze ud bereche. Utersuche, z. B.: Z: Azahl der Persoe, die die Partei A wähle Aahme: Z ~ B 5000 ; p ; Ergebis der Stichprobe: 600; Z Schätzwert der ubekate Wahrscheilichkeit p: pˆ 0, 5; σ 148 σ σ 0,5 1,96 p 0,5 1,96 ; 0,506 p 0, 533 Die kleiste Erfolgswahrscheilichkeit, mit der das Stichprobeergebis verträglich ist, beträgt 50,6 %. Damit ka die Partei A mit eier Vertraueswahrscheilichkeit vo 95 % mit eier absolute Mehrheit reche. I II III Seite 3 vo 5

4 Areguge ud Hiweise zum uterrichtliche Eisatz Die Aufgabe bildet ei breites Spektrum der allgemeie ud ihaltsbezogee mathematische Kompeteze, letztere überwieged aus dem Ihaltsbereich Date ud Zufall, ab. Ausgehed vo eiem reale Sachverhalt werde Grudvorstelluge über biomialverteilte Zufallsgröße mit typische Fragestelluge der beurteilede Statistik vereit. Exemplarisch wurde i der Aufgabe b eie Vertraueswahrscheilichkeit vo 95 % gewählt. Es empfiehlt sich für die Uterrichtsarbeit, ebe dieser auch die Vertraueswahrscheilichkeite 90 % bzw. 99 % zu betrachte. (siehe Aufgabevariatio). Die Aufgabekostruktio etspricht im Wesetliche der eier Prüfugsaufgabe. Je ach Schwerpuktsetzug im Uterricht, z. B. für die Etwicklug allgemeier mathematischer Kompeteze, biete Aufgabe ud Aufgabevariatioe weitere didaktisch-methodische Eisatzmöglichkeite. Isbesodere fide sich im Teil der Aufgabe ud i de Aufgabevariatioe Aufträge, die kooperatives Lere ermögliche. Variatiosmöglichkeite Ermittel Sie für eie Stichprobe vom Umfag = 1000 zur Vertraueswahrscheilichkeit vo 90 % ei Vertrauesitervall k 1 ; k für die Azahl der Persoe, die sich tatsächlich a der Kreistagswahl beteiligt habe. Beurteile Sie folgede Aussage: Bei eu vo zeh Stichprobe wird die Azahl der Persoe, die sich tatsächlich a der Wahl beteiligt habe, midestes k 1 ud höchstes k betrage. Hiweise zur Lösug X ~ B 1000 ; 0, 449 ; μ 449, σ 47, ,64 σ X ,64 σ 43,04 X , ; 475 Die Aussage ist falsch. Erst bei hireiched viele Stichprobe wird i durchschittlich 9 vo 10 Stichprobe die Azahl der Persoe, die sich tatsächlich a der Wahl beteiligt habe, im Vertrauesitervall [k 1 ; k ] liege. Die Aussage deutet die relative Häufigkeit eu Zehtel dafür, dass die Azahl der Persoe, die sich tatsächlich a der Wahl beteiligt habe, als Vertraueswahrscheilichkeit 90 %. Jedoch köe bei dieser Vertraueswahrscheilichkeit durchaus i weiger als 9 vo 10 Stichprobe die Azahl der Persoe, die sich tatsächlich a der Wahl beteiligt habe, im Itervall [k 1 ; k ] liege. Seite 4 vo 5

5 Aufgabe Kreistagswahl Art der Aufgabe Hilfsmittel Arbeitszeit Schuljahrgäge Klausuraufgabe WTR/CAS 45 mi 11/1 Eiordug i de Fachlehrpla Kompetezschwerpukte Zufallsgröße Biomialverteilug Beurteilede Statistik zu erwartede mathematische Kompeteze Wahrscheilichkeite vo Ereigisse, die durch biomialverteilte Zufallsgröße beschriebe werde köe, ermittel Kegröße biomialverteilter Zufallsgröße bereche ud iterpretiere Gegestad der beurteilede Statistik ahad vielfältiger Awedugssituatioe erläuter i eifache Fälle aus Stichprobe auf eie Grudgesamtheit ud exemplarisch auch aus Parameter eier Grudgesamtheit auf solche eier Stichprobe schließe Schätzwerte für eie ubekate Wahrscheilichkeit biomialverteilter Zufallsgröße ermittel ud Vertrauesitervalle um diese Schätzwerte zu kokrete Vertraueswahrscheilichkeite agebe Bezug zu grudlegede Wissesbestäde P(k1 X k) Erwartugswert ud Stadardabweichug biomialverteilte Zufallsgröße Grudgesamtheit, Stichprobe σ - Umgebug Itervallschätzug Vertraueswahrscheilichkeit, Vertrauesitervall Eiordug i das Kompetezmodell Aufg. ihaltsbezogee mathematische Kompeteze allgemeie mathematische Kompeteze I II III 1a x 4 4 1b 3 1 1c x x 1, 3 3 1d x x 3, e x 4, 6 4 a x 1 b x x 3, Seite 5 vo 5