Kerncurriculum Berufliche Gymnasien Niedersachsen Stochastik

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1 Jes Hellig Herausgeber: Klaus Schillig Kercurriculum Berufliche Gymasie Niedersachse Stochastik Darstelle Auswerte Beurteile 2. Auflage Bestellummer 03330

2 Habe Sie Areguge oder Kritikpukte zu diesem Produkt? Da sede Sie eie a @bv-1.de Autore ud Verlag freue sich auf Ihre Rückmeldug. Bildugsverlag EINS GmbH Hasestraße 115, Köl ISBN Copyright 2013: Bildugsverlag EINS GmbH, Köl Das Werk ud seie Teile sid urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzug i adere als de gesetzlich zugelassee Fälle bedarf der vorherige schriftliche Eiwilligug des Verlages. Hiweis zu 52a UrhG: Weder das Werk och seie Teile dürfe ohe eie solche Eiwilligug eigescat ud i ei Netzwerk eigestellt werde. Dies gilt auch für Itraets vo Schule ud sostige Bildugseirichtuge.

3 Vorwort Vorwort Bei der Erstellug dieses Schulbuches wurde besoderer Wert auf eie für Schülerie ud Schüler aschauliche ud verstädliche Darstellug der mathematische Ihalte ud Verfahre gelegt, damit sie mit diesem Buch eigestädig im Uterricht ud zu Hause arbeite köe. Bereche Sie für die Mege A {7,9; 10,8; 12,9; 15,9} das arithmetische Mittel x, we für das arithmetische Mittel die Formel x 1 x i gilt. Das brauche ich i meiem Lebe ie wieder! So gaz Urecht habe Schülerie ud Schüler mit dieser Aussage icht. Diese Art vo Aufgabe ist weig motiviered ud vermittelt ihe ei falsches Bild vo Mathematik. Mathematik ist mehr als Formel ud Defiitioe. Mathematik ist eie Wisseschaft, die us täglich begleitet ud die wir täglich awede. We wir mit usere Freude is Lokal um die Ecke gehe ud wir dort vier Gerichte für 7,90 EUR, 10,80 EUR, 12,90 EUR ud 15,90 EUR bestelle, ka ma mit der Formel bereche, wie viel jeder vo us durchschittlich bezahlt hat. Der vorliegede Bad ist eier vo vier Bäde aus der Reihe Kercurriculum Mathematik ud ist exakt auf das Kercurriculum 2010 i Niedersachse abgestimmt. Er diet dem Erwerb der für die Qualifikatiosphase beschriebee Kompeteze ud strebt dabei sowohl die Förderug der ihaltsbezogee als auch der prozessbezogee Kompeteze der Schülerie ud Schüler a. Eie zu alle vier Bäde passede Formelsammlug ist ebefalls erhältlich. Eie große Zahl vo Lersituatioe mit ausführlich dargestellte, algebraische ud rechergestützte Lösuge ermöglicht de Schülerie ud Schüler eie selbststädige Erwerb der ihaltsbezogee Kompeteze. Sämtliche Situatioe mit Lösugsweg sid mit dem ebestehede Puzzle-Symbol ud eiem blaue Balke gekezeichet. Wichtige Iformatioe für die Lersituatioe ud die dazugehörige Lösuge sid mit eiem Iformatiossymbol ud eiem gelbe Balke markiert. i 1 Der Großteil der Aufgabe ka auch mit eiem grafikfähige Tascherecher (GTR) oder eiem Computer-Algebra-System (CAS) gelöst werde. Ei Tascherechersymbol kezeichet Lösuge, die mit eiem TI-84 Plus berechet wurde. Darüber hiaus befidet sich im Ahag eie Übersicht mit alle wichtige Fuktioe des Tascherechers für das Sachgebiet Stochastik. Übugsaufgabe werde durch das Verzahugssymbol ud eie grüe Balke gekezeichet. GTR 3

4 Vorwort Am Ede zahlreicher Kapitel fide sich weitere offee Lersituatioe zum jeweils voragegagee Kapitel. Diese eige sich besoders zur Verküpfug der ihalts- ud prozessbezogee Kompeteze ud köe auch zum Eistieg i ei eues Themegebiet verwedet werde. Ich hoffe, mit diesem Buch viele Leser die Agst vor dem Zufall zu ehme, ud wüsche alle Schülerie ud Schüler sowie alle Kollegie ud Kollege viel Erfolg im Uterricht. Jes Hellig 4

5 Ihaltsverzeichis Ihaltsverzeichis Vorwort... 3 Ihaltsverzeichis... 5 Mathematische Zeiche ud Symbole Date darstelle ud auswerte Erfassug ud Darstellug vo Date Aufgabe der beschreibede Statistik Grudbegriffe der beschreibede Statistik Systematische Erfassug ud Aufbereitug vo Date Grafische Darstellug des Zahlematerials Kegröße eier Stichprobe Häufigkeitsverteilug Lageparameter Arithmetisches Mittel (Durchschittswert, Mittelwert) Gewichtetes arithmetisches Mittel Quatile Streuugsmaße Offee Lersituatioe zu de Kegröße eier Stichprobe Klassierug großer Stichprobe Klassebildug Arithmetisches Mittel klassierter Date Variaz ud Stadardabweichug klassierter Date Offee Lersituatioe zur Klassierug großer Stichprobe Mit dem Zufall reche Zufallsexperimete Aufgabe der Wahrscheilichkeitsrechug Grudbegriffe der Wahrscheilichkeitsrechug Wahrscheilichkeit Zusammehag zwische relativer Häufigkeit ud Wahrscheilichkeit Laplace-Experimet Grudlegede Wahrscheilichkeitsrechug Mehrstufige Zufallsversuche Baumdiagramme ud Pfadregel Bedigte Wahrscheilichkeit Uabhägigkeit vo Ereigisse Grudlage der Kombiatorik

6 Ihaltsverzeichis Beroulli-Experimet Offee Lersituatioe zur grudlegede Wahrscheilichkeitsrechug Allgemeie Wahrscheilichkeitsverteiluge Zufallsgröße Wahrscheilichkeitsverteilug der Zufallsgröße Erwartugswert der Zufallsgröße Stadardabweichug ud Streuugsitervall der Zufallsgröße Offee Lersituatioe zu allgemeie Wahrscheilichkeitsverteiluge Biomialverteilug Eizele ud kumulierte Wahrscheilichkeite Verhältiszeiche Erwartugswert biomialverteilter Zufallsgröße Variaz ud Stadardabweichug biomialverteilter Zufallsgröße Sigma-Regel (Itervalle um de Erwartugswert) Offee Lersituatioe zur Biomialverteilug Normalverteilug Dichte- ud Verteilugsfuktio Stadardormalverteilug Approximatio der Biomialverteilug durch die Normalverteilug Offee Lersituatioe zur Normalverteilug Date beurteile Grudbegriffe der beurteilede Statistik Idee der Vertrauesitervalle Vertrauesitervalle zu kokrete Vertraueswahrscheilichkeite Vertrauesitervalle zu beliebige Vertraueswahrscheilichkeite Offee Lersituatioe zu Vertrauesitervalle Ahag Tabelle zur Biomialverteilug Tabelle zur Normalverteilug Formelsammlug GTR-Befehle Sachwortverzeichis Bildquelleverzeichis

7 Mathematische Zeiche ud Symbole Mathematische Zeiche ud Symbole Zeiche, Symbol Sprechweise/Bedeutug Beispiel gleich 4 4 ugleich 3 4 ist ugefähr gleich 2 1,41 kleier als 3 4 größer als 5 4 kleier gleich x 3 größer gleich x 4 Betrag vo 3 3 uedlich daraus folgt {0;1;2;3; } 1 gilt geau da, we ; ist äquivalet mit ud oder 2x 4 x 2 {1 ; 2 ; 3} Mege mit de Elemete 1, 2, 3 A {1;2;3} vereiigt, Vereiigugsmege {1; 2} {3; 4} {1;2;3;4} geschitte, Schittmege {1; 2; 3} {2;3;4} {2; 3} [a ; b ] geschlossees Itervall (vo eischließlich a bis eischließlich b ) (a ; b ) offees Itervall (vo ausschließlich a bis ausschließlich b ) {x a x b } {x a x b } [a ; b ) halb offees Itervall (vo eischließ- {x a x b} lich a bis ausschließlich b ) (a ; b ] halb offees Itervall (vo ausschließ- {x a x b } lich a bis eischließlich b ) wird zugeordet s i x Stichprobeumfag p Wahrscheilichkeit q Gegewahrscheilichkeit q 1 p x i Merkmal x i x Arithmetisches Mittel, Mittelwert, Durchschittswert eier Zahlereihe x Media, Zetralwert eier Zahlereihe m Erwartugswert mü s Stadardabweichug sigma 7

8 Mathematische Zeiche ud Symbole Zeiche, Symbol S i 1 E E P (E) e i Sprechweise/Bedeutug Summe Beispiel x i 3 Summe aller x i vo i 1bisi x i Ereigis icht E Wahrscheilichkeit für Ereigis E Ergebis S Ergebismege S {e 1 ; e 2 ; e 3 ; ;e }! Fakultät 3! über k (Biomialkoeffiziet) Fakultät geteilt durch das Produkt aus ( k) Fakultät ud k Fakultät k! k! ( k)! 3 5 5! b a i 1 f(x)dx 1 0 x 2 d x Itegral f vo x d x vo a bis b 3! (5 3)! 10 8

9 1 Date darstelle ud auswerte 1.1 Erfassug ud Darstellug vo Date Aufgabe der beschreibede Statistik Die beschreibede Statistik ist ei Teilgebiet der Stochastik. Mit de Methode der beschreibede Statistik werde Date erfasst, zusammegestellt, sortiert ud grafisch veraschaulicht. Da häufig große Datemege vorhade sid, müsse diese vor eier Auswertug aufbereitet werde. Die aufbereitete Date köe als Etscheidugshilfe diee. Als Date werde i der Statistik alle Fakte bezeichet, die durch Umfrage, Erhebuge, Kotrolle, Auszähluge, Messuge oder Ähliches zusammegestellt wurde. Dies köe z. B. die Absatzzahle eies Automobilkozers i eiem bestimmte Zeitraum, die Arbeitslosequote i de verschiedee Budesläder, die Bezipreise a jedem Tag des Jahres, 9

10 3 Date beurteile 3.1 Grudbegriffe der beurteilede Statistik Die wichtigste Grudbegriffe der beurteilede Statistik werde ahad eies eifache Beispiels erläutert. Die eizele Begriffe werde im Rahme vo Beispielaufgabe aufgegriffe. Beispiel Eie Fast-Food-Kette möchte eie für die Produktiosmege verwertbare Aussage darüber treffe, wie groß die Wahrscheilichkeit ist, dass die Kude i Hamburg eie eue Burger kaufe würde. A eiem Kosumetetest i Hamburg ehme daher zufällig ausgewählte Kude teil ud werde ach eier Verkostug zu ihrer Kaufbereitschaft befragt. Die Gesamtheit aller Kude i Hamburg wird als Grudgesamtheit bezeichet. Um ei absolut exaktes Ergebis zu erhalte, müsste der Kozem alle Kude 186

11 3.2 Idee der Vertrauesitervalle befrage. Dies wäre eie Vollerhebug. Es wird allerdigs ur ei Teil der Kude befagt, daher spricht ma vo eier Teilerhebug. Da die Kude zufällig ausgewählt wurde, hadelt es sich um eie Stichprobe. Die Azahl der befragte Persoe bezeichet ma als Stichprobeumfag. We die Stichprobe die gleiche Eigeschafte hat wie die Grudgesamtheit, also Essgewohheite, Eikomme etc., da spricht ma vo eier repräsetative Stichprobe. 3.2 Idee der Vertrauesitervalle I der Realität werde Date sehr häufig als (repräsetative) Stichprobe erhobe, die da als Grudlage für Aussage über die Grudgesamtheit heragezoge werde. Das eigetliche Problem ist die sehr gerige Wahrscheilichkeit, dass die Ergebisse vo eier Stichprobe ud der Grudgesamtheit exakt übereistimme. Nehme wir a, die Fast-Food-Kette würde jede ihrer Hamburger Kude befrage. Es wäre u möglich, dass geau Kude de eue Burger kaufe würde. Dies etspricht eier relative Häufigkeit vo h(x i ) i ,099 9,9 % Nähme ma stattdesse 10 repräsetative Stichprobe mit eiem Umfag vo jeweils Persoe, so köte sich folgede relative Wahrscheilichkeite ergebe. Stichprobe h (x i ) 9,5% 10,1% 10% 9,9 % 10,3% 10,2% 9,7% 10,3 % 9,4% 10,6% Die Tabelle zeigt, dass möglicherweise ur eie Stichprobe das idetische Ergebis liefert. Daher ist es icht möglich, ahad eier Stichprobe eie geaue Aussage über die Grudgesamtheit zu treffe. Mithilfe statistischer Überleguge ud Berechuge ist es aber möglich, ahad vo Stichprobe eie Badbreite oder ei Itervall beliebiger Geauigkeit festzulege, i dem sich der Wert der Grudgesamtheit wahrscheilich befidet. Dieses Itervall wird als Vertraues- oder Kofidezitervall 1) bezeichet. Nehme wir a, der Fast-Food-Kozer hätte lediglich Kude befragt ud die Befragug hätte ergebe, dass 10 % de eue Burger kaufe würde. Nu köte z. B. drei uterschiedliche Aussage aufgestellt werde. 1. Der Ateil der Grudgesamtheit beträgt ebefalls geau 10 %. 2. Der Ateil der Grudgesamtheit liegt zwische 0 % ud %. 3. Der Ateil der Grudgesamtheit liegt zwische 9 % ud 11 %. 1) vo lateiisch cofidere: vertraue 187

12 3 Date beurteile Die erste Aussage ist sehr uwahrscheilich. Die zweite Aussage ist auf jede Fall richtig, aber weig sivoll, da ahad dieser Zahle icht geplat werde ka. Die dritte Aussage scheit brauchbar zu sei. Es fehlt jedoch eie Agabe darüber, wie wahrscheilich es ist, dass der Ateilswert der Grudgesamtheit i diesem Itervall liegt. Diese Wahrscheilichkeit wird als Sicherheits- oder Vertraueswahrscheilichkeit bezeichet. Die Wahrscheilichkeit, dass der Ateilswert der Grudgesamtheit icht i diesem Itervall liegt, heißt Irrtumswahrscheilichkeit. Irrtumswahrscheilichkeit ud Vertraueswahrscheilichkeit ergebe zusamme immer %. Bei der erste Aussage muss wege des sehr kleie Itervalls die Vertraueswahrscheilichkeit sehr gerig ud die Irrtumswahrscheilichkeit im Gegezug sehr hoch sei, wie zur Tabelle überlegt wurde. Bei der zweite Aussage higege ist es geau umgekehrt. Aus de voragegagee Überleguge ergibt sich, dass die Vertraueswahrscheilichkeit ud Itervallbreite zusammehäge. Je breiter das Itervall, desto größer ist die Vertraueswahrscheilichkeit ud desto kleier ist die Irrtumswahrscheilichkeit. Wie dicht der tatsächliche Wert der Grudgesamtheit a dem Stichprobewert liegt, hägt dabei gaz etscheided vom Stichprobeumfag ud dem Stadardfehler, der Stadardabweichug mehrerer Stichprobeergebisse, ab. Es gilt: Je größer der Stichprobeumfag, desto uwahrscheilicher ist es, dass der Stichprobewert weit vom Wert der Grudgesamtheit etfert ist. Je kleier der Stadardfehler ist, desto uwahrscheilicher ist es, dass der Stichprobewert weit vom Wert der Grudgesamtheit etfert ist. Der Ateil der Grudgesamtheit wird häufig als wahrer Ateil bezeichet. Ei agegebees Vertrauesitervall lässt sich ur da sivoll iterpretiere, we die dazugehörige Vertraueswahrscheilichkeit, also die Wahrscheilichkeit, dass der Wert der Grudgesamtheit i dem agegebe Itervall liegt, agegebe ist. Üblich sid Vertraueswahrscheilichkeite vo 90 %, 95 % ud 99 %. Es ist aber möglich, das Itervall für jede beliebige Vertraueswahrscheilichkeit zu bestimme. 3.3 Vertrauesitervalle zu kokrete Vertraueswahrscheilichkeite Zu jedem Vertrauesitervall gehört eie Vertraueswahrscheilichkeit. Die achfolgede Grafik ist bereits aus dem Kapitel Sigma-Regel bekat. Sie zeigt die Wahrscheilichkeitsverteilug eier biomialverteilte Zufallsgröße mit ud p 0,5. 188

13 3.3 Vertrauesitervalle zu kokrete Vertraueswahrscheilichkeite P(X=k) 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 [μ 3σ; μ+3σ] [μ 2σ; μ+2σ] [μ σ; μ+σ] μ 68% 95,5% 99,7% k Es ist gut zu erkee, dass i dem Itervall [m 3 s; m 3 s] praktisch alle für die Gesamtwahrscheilichkeit relevate Eizelwahrscheilichkeite ethalte sid. Die Gesamtwahrscheilichkeit aller Werte, die außerhalb des Itervalls liege, ist aäherd ull. Die Näheruge werde mit zuehmedem Stichprobeumfag immer besser. Nebe de drei i der Grafik gezeigte Sigma-Regel werde häufig die drei s-umgebuge 1,64 s 90 %, 1,96 s 95% ud 2,58 s 99 % verwedet. Die Wahrscheilichkeite, die mit eier Sicherheit vo 90 %, 95% bzw. 99 % i das dazugehörige Vertrauesitervall falle, lasse sich mithilfe der achfolgede Formel bereche. p h c p p 2 mit h X Wahrscheilichkeite ierhalb eies Vertrauesitervall Wobei c für die jeweilige Breite der Sigma-Umgebug steht: 90 % c 1,64 oder 95 % c 1,96 oder 99% c 2,58 Das Vertrauesitervall I lautet: 2 I c2 h c c2 h (1 h) 2 4 c 2 1 ; c 2 2 h c c2 h (1 h) 2 4 c 2 1 exakt bestimmtes Vertrauesitervall Situatio 1 I eiem kuststoffverarbeitede Betrieb werde rote ud grüe Plastikeimer produziert. Als Stichprobe werde der laufede Produktio Eimer etomme. Geau die Hälfte dieser Eimer ist rot. Wie groß ist mit eier Sicherheitswahrscheilichkeit vo 95% der Ateil der rote Eimer i der Produktio? 189

14 3 Date beurteile Algebraische Lösug Zuächst wird die Zufallsgröße X: Azahl roter Eimer defiiert. Die relative Häufigkeit dafür, dass ei Eimer der Stichprobe rot ist, beträgt somit h(x i ) h X 50 0,5 50 %. Darüber hiaus werde der Erwartugswert m ud der Stadardfehler, also die Stadardabweichug der Stichprobe s, beötigt. Für biomialverteilte Zufallsgröße gilt m p. Die Wahrscheilichkeit p ist i diesem Fall jedoch icht bekat. Nach dem empirische Gesetz großer Zahle 1) ähert sich die relative Häufigkeit h mit steigedem Stichprobeumfag jedoch immer weiter dem Wert vo p a. Daher gilt für de Erwartugswert m h 0,5 50. Für die Stadardabweichug gilt demetspreched s h (1 h) 0,5 (1 0,5) 5. Außerdem gehört zum 95%- Vertrauesitervall die 1,96 s-umgebug. Uterstellt ma u, dass der ahad der Stichprobe ermittelte Ateil vo 50 % dem wahre Ateil roter Eimer etspricht, so würde sich folgedes Histogramm ergebe: 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 X h= [μ 1,96σ; μ +1,96σ] Ei Ergebis vo 50 rote Eimer ist mit der Wahrscheilichkeit vo 50 % vereibar, da es im 1,96 s-itervall um de Erwartugswert liegt. Dies bedeutet aber icht, dass der Wert der Stichprobe mit dem wahre Wert der Grudgesamtheit übereistimme muss μ = 50 X 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 X h= [μ 1,96σ; μ +1,96σ] μ = 41 X Gesucht sid u alle Wahrscheilichkeite, bei dee der Erwartugswert ierhalb des 1,96 s-itervall liegt. Verrigert ma die Wahrscheilichkeit, so verschiebt sich das Histogramm auf der x-achse ach liks. Die gerigste Wahrscheilichkeit, die mit der Stichprobe vereibar ist, liegt bei 41 %, da der ursprügliche Erwartugswert 50 u gerade och rechts im Itervall liegt. 1) vgl. Seite

15 3.3 Vertrauesitervalle zu kokrete Vertraueswahrscheilichkeite 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 X h= [μ 1,96σ; μ +1,96σ] μ = 59 X Erhöht ma die Wahrscheilichkeit, so verschiebt sich das Histogramm auf der x-achse ach rechts. Die maximale Wahrscheilichkeit, die mit der Stichprobe vereibar ist, liegt bei 59 %, da der ursprügliche Erwartugswert 50 u gerade och liks im Itervall liegt. Das 95%-Vertrauesitervall umfasst somit alle Werte zwische 41 % ud 59 %. Der Ateil der rote Eimer i der Produktio beträgt daher mit eier Wahrscheilichkeit vo 95 % zwische 41 % ud 59 %. Das Problem lässt sich aber icht ur grafisch, soder auch algebraisch löse. Gesucht ist zuächst das Itervall [m 1,96 s; m 1,96 s] oder aders ausgedrückt m 1,96 s X m 1,96 s. Wege m p ud s p (1 p) gilt: p 1,96 p q X p 1,96 p q Durch eiige Umformuge lasse sich u die Wahrscheilichkeite, die i dem Vertrauesitervall liege, exakt bestimme. p 1,96 p q X p 1,96 p q p (1 p) p 1,96 X p (1 p) p 1,96 p (1 p) p 1,96 p (1 p) p 1,96 p (1 p) p 1,96 p 1,96 p (1 p) p (1 p) h p 1,96 p (1 p) h p 1,96 p (1 p) h p 1,96 p (1 p) h p 1,96 p (1 p 1,96 p) p (1 h p 1,96 p) Als Ugleichug geschrie- be ergibt sich: Aus der Formel wird ersichtlich, dass mit steigedem Stichprobeumfag das Kofidezitervall schmaler wird. p p 1,96 p 2 p h p 1,96 p 2 p h 1,96 p p 2 Der Ateil der Stichprobe ist X, daher muss durch dividert werde. X etspricht der relative Häufigkeit h. Im Zähler wird ausge- klammert. wird durch ersetzt, um kürze zu köe. kürze. Wurzelgesetz awede. Die Klammer uter der Wurzel ausmultipliziere. 191

16 3 Date beurteile Durch eisetze der Werte h X 50 0,5 ud lasse sich u die Wahrscheilichkeite, die ierhalb des 95 %-Vertrauesitervall liege, bereche. p p p 0,5 1,96 2 quadriere (p 0,5) 2 1,96 2 p p2 (p 0,5) 2 1,96 2 (p p 2 ) Biomische Formel ud quadriere. (p 2 p 0,25) 3,8416 (p p 2 ) ausmultipliziere p 2 p 25 3,8416p 3,8416 p 2 (3,8416 p 3,8416 p 2 ) 103,8416 p 2 103,8416 p ,8416 p 2 p 0, p-q-formel p 1/2 p 2 ± p 2 2 q 1 2 ± ,24075 p 1 0,5 0, ,4038 p 2 0,5 0, ,5962 p muss also Werte ierhalb des Itervalls [0,4038; 0,5962] aehme, damit die p p Bedigug p 0,5 1,96 2 erfüllt ist. Das Stichprobeergebis X 50 0,5 50 % ist mit Ateilswerte der Grudgesamtheit zwische 40,38% ud 59,62 % verträglich. Der wahre Ateil roter Eimer liegt mit eier Wahrscheilichkeit vo 95 % zwische 40,38 % ud 59,62 %. Das gleiche Ergebis erhält ma, we das Vertrauesitervall direkt berechet wird. 2 I c2 h c c2 h(1 h) 2 4h ; c 2 1 c 2 2 h c c2 4 c 2 1 h(1 h) 2 2 I 1,962 0,5 1,96 1,962 0,5 (1 0,5) 1, ,5 1,96 1,962 0,5 (1 0,5) 2 4 ; 1, , , ,96 0, , ,96 0, I ; 1, , I [0,4038; 0,5962] 192

17 3.3 Vertrauesitervalle zu kokrete Vertraueswahrscheilichkeite Rechergestützte Lösug Bestimmug exakter Vertrauesitervalle Exakte Vertrauesitervalle lasse sich mit dem GTR mit zwei uterschiedliche grafische Asätze löse. Dem eie Asatz liegt eie Parabel, dem adere eie Ellipse zu Grude. Daher werde diese Asätze häufig als Parabelasatz ud als Ellipseasatz bezeichet. Zur Erläuterug der beide Asätze wird auf die Date aus Situatio 1 vo S. 189 zurückgegriffe. Parabelasatz Dafür wird die auf Seite 191 hergeleitete Formel i eie quadratische Ugleichug umgeformt. p p p 0,5 1,96 2 quadriere (p 0,5) 2 1,96 2 p p2 (p 0,5) 2 1,96 2 (p p 2 ) 1,96 2 (p p 2 ) (p 0,5) 2 1,96 2 (p p 2 ) 0 Der Graph des Terms ist eie ach obe geöffete Parabel. Es werde die Fuktioswerte (Wahrscheilichkeite) gesucht, die kleier oder gleich ull sid. Zwische de Nullstelle sid die Fuktioswerte kleier als ull, da der Graph uterhalb der Abszisseachse verläuft. f (p) 1 VI = [p 1 ; p 2 ] p 1 0,4 p 1 0,6 p 1 f (p) = (p 0,5) 2 1,96 2 (p p 2 ) Daher bilde die beide Nullstelle des Graphe die like ud rechte Greze des Vertrauesitervalls. Die Nullstelle lasse sich u mithilfe des GTR bestimme. Zuächst wird der durch Umformug etstadee Term i de Y-Editor eigegebe. GTR 193

18 3 Date beurteile Aschließed lasse sich durch 2d [CALC] 2:zero die beide Nullstelle bereche. Cursor erst liks der Nullstelle setze, ENTER, da rechts der Nullstelle, ENTER, ENTER. Die zweite Nullstelle wird demetspreched bestimmt. Allgemei gilt: VI [p 1 ; p 2 ]mitp 1; 2 f (p) (p h) 2 c 2 (p p 2 ) 0 ud h X Vertrauesitervall mit Parabelasatz Wobei c für die jeweilige Breite der Sigma-Umgebug steht. Ellipseasatz Im Gegesatz zum Parabelasatz wird die auf Seite 191 hergeleitete Formel icht i eie quadratische Ugleichug umgeformt, soder der voragegagee Schritt p 1,96 p p 2 i zwei Teilgleichuge zerlegt: h p 1,96 p p2 h p 1,96 p p 2 h p 1,96 p p 2 I Situatio 1 auf Seite 189 lag der relative Ateil roter Eimer bei 50 %, daher ist h 50 %. Somit ergibt sich i diesem Fall: 0,5 p 1,96 p p 2 0,5 p 1,96 p p 2 Die Graphe des blaue ud rote Terms bilde da jeweils de obere oder utere Teil eier Ellipse. Die i der Stichprobe ermittelte relative Häufigkeit wird zusätzlich als waagerechte Gerade i das Koordiatesystem eigezeichet. Die Schittstelle dieser Gerade mit der Ellipse bilde die like ud die rechte Greze des Vertrauesitervalls. 194

19 3.3 Vertrauesitervalle zu kokrete Vertraueswahrscheilichkeite h h 1 (p) = p VI = [p 1 ; p 2 ] p p 2 h = 0,5 p 1 0,4 p 1 0,6 h 1 (p) = p 196 p p 2 1 p Die Itervallgreze lasse sich u mithilfe des GTR bestimme. Zuächst müsse die beide Terme p p p 1,96 2 ud p 1,96 p p2 sowie 0,5 i de Y-Editor eigegebe werde. GTR Aschließed lasse sich durch 2d [CALC] 5: itersect die beide Schittstelle bereche. Mit dem Cursor die obere Ellipsehälfte auswähle, ENTER, da die Gerade, ENTER, ENTER. Die zweite Schittstelle wird demetspreched bestimmt. Allgemei gilt: p p p 1 h p c VI [p 1 ; p 2 ]mit 2 ud h X p p p 2 h p c 2 Vertrauesitervall mit Ellipseasatz 195

20 3 Date beurteile Näherugsweise bestimmte Vertrauesitervalle Sowohl die Berechug der Wahrscheilichkeite, die ierhalb des Vertrauesitervalls liege, als auch die direkte Berechug des Vertrauesitervalls sid relativ aufwedig. Daher bediet ma sich bei große Stichprobe oder relative Häufigkeite die ahe vo 0,5 liege eier Näherug. Das Vertrauesitervall lässt sich da direkt agebe. VI h c h h 2 ; h c h h 2 äherugsweise bestimmtes Vertrauesitervall Die Näherug liefert für brauchbare Werte für Bei kleiere Stichprobe ist die Näherug ur geeiget, we 0,3 h 0,7 gilt. Situatio 2 Durch Marktaalyse ist bekat, dass eie Fast-Food-Kette i Hamburg Kude hat. Mit eier groß agelegte Werbekampage soll ei euer Burger eigeführt werde. Um die Produktiosmege zu bestimme, wurde daher im Vorfeld zufällig ausgewählte Kude eiem Kosumetetest uterzoge. 500 vo ihe gabe a, de eue Burger kaufe zu wolle. Ahad dieser Stichprobe soll festgelegt werde, wie viele Burger für Kude produziert werde müsse. Die Geschäftsführug möchte ur sehr uger kaufwillige Kude icht bediee köe ud plat mit eier Sicherheitswahrscheilichkeit vo 99 %. Bereche Sie exakt ud äherugsweise, wie viele Burger für Kude produziert werde sollte. Algebraische Lösug Gesucht ist das 99 %-Vertrauesitervall. Die dazugehörige Breite der Sigma- Umgebug ist 2,58. Der Stichprobeumfag beträgt Persoe. Das Stichprobeergebis ist X ,1. Durch Eisetze i die jeweilige Formel ergibt sich: Exakte Lösug Näherugs-Lösug p h 2,58 p p 2 p p 0,1 2,58 p (p 0,1) 2 6,6564(p p 2 ) 5 000p p 50 6,6564p 6,6564 p 2 VI h c h h 2 ; h c h h 2 0,1 VI 0,1 2,58 0,01 ; ,1 2,58 0,1 0, ,6564p ,6564p 50 0 VI [0,1 0,0109; 0,1 0,0109] p 1 0,0896 ud p 2 0,1115 VI [0,0896; 0,1115] VI [0,0891; 0,1109] 196

21 3.3 Vertrauesitervalle zu kokrete Vertraueswahrscheilichkeite I beide Fälle liegt der wahre Ateil mit eier Wahrscheilichkeit vo 99 % zwische ca. 9% ud ca. 11 %. Da die Azahl der Burger gesucht war, müsse diese Werte och mit der Azahl der Kude multipliziert werde. p 1 0, p 1 0, p 2 0, p 2 0, Das Uterehme sollte aufgrud Das Uterehme sollte aufgrud des Stichprobeergebisses des Stichprobeergebisses Burger produziere. Burger produziere. Die Abweichug beträgt i diesem Fall lediglich 30 Burger oder ca. 0,5 %. Rechergestützte Lösug Exakte Lösug GTR Zuächst wird der Term (p 0,1) 2 2,58 2 (p p2 ) beötigt ud i de Y-Editor eigegebe. Aschließed lasse sich durch 2d [CALC] 2:zero die beide Nullstelle bereche. Cursor erst liks der Nullstelle setze, ENTER da rechts der Nullstelle, ENTER, ENTER. Die zweite Nullstelle wird demetspreched bestimmt. Näherugsweise Lösug Die Formel zur äherugsweise Bestimmug des Vertraueitervalls ist bereits vorhade. Zuächst mit STAT [TESTS] A:1-PropZIt ENTER das Vertrauesitervall auswähle. 197

22 3 Date beurteile Aschließed die etsprechede Werte mit ENTER eigebe. Dabei steht x für das absolute Ergebis der Stichprobe, für de Stichprobeumfag ud C-Level für die Vertraueswahrscheilichkeit. ENTER liefert das Vertrauesitervall. Situatio 3 Ei Medikametehersteller hat zwei eue Schmerzmittel etwickelt, die uter de Name Abiol ud Brasiti vermarktet werde solle. Abiol ist bereits zugelasse, für Brasiti steht die Zulassug och aus. Im Rahme eier Studie soll die besoders schelle Wirksamkeit beider Medikamete belegt werde. Daher werde Schmerzpatiete mit de Medikamete therapiert. Zeit seit der Eiahme Abiol 15 mi 20 mi schmerzfrei icht schmerzfrei Zeit seit der Eiahme Brasiti 15 mi 20 mi schmerzfrei icht schmerzfrei a) Bestimme Sie mit dem GTR, wie viele vo jährlich 000 Patiete ach der Eiahme vo Abiol mit eier Wahrscheilichkeit vo 90 % ierhalb vo 20 Miute schmerzfrei sei werde. b) Bestimme Sie mit dem GTR, wie viel Prozet aller Patiete ach der Eiahme vo Brasiti mit eier Wahrscheilichkeit vo 95 % ierhalb eier Viertelstude schmerzfrei sei werde. GTR Rechergestützte Lösug Bei dem Medikamet Abiol beträgt der Stichprobeumfag 1500 Persoe. Daher ka mit der Näherug gerechet werde. Bei Brasiti ist der Umfag mit 50 Persoe zu gerig ud die relative Häufigkeit liegt icht im Bereich 0,3 h 0,7. 198

23 3.3 Vertrauesitervalle zu kokrete Vertraueswahrscheilichkeite a) Abiol b) Brasiti h Parabelasatz 1) gewählt: VI h c h 2 h ; h c h 2 (p h) 2 c 2 (p p 2 ) 0 h X 39 h X 50 0, ,898 95% c 1,96 Der GTR liefert: Der GTR liefert: VI [0,885; 0,911] Gesucht war die Azahl der Persoe. Daher müsse die Itervallgreze och mit der Azahl der Persoe multipliziert werde. 0, , Mit eier Wahrscheilichkeit vo 90 % werde zwische ud Persoe ach der Eiahme vo Abiol ierhalb vo 20 Miute schmerzfrei sei. VI [0,648; 0,872] Mit eier Wahrscheilichkeit vo 95 % werde zwische 64,8% ud 87,2 % aller Persoe ach der Eiahme vo Brasiti ierhalb vo 20 Miute schmerzfrei sei. 1) Vgl. S. 193 f. 199

24 3 Date beurteile Übugsaufgabe 1 Bereche Sie das 90 %-Vertrauesitervall, we eie Stichprobe uter 250 Hochschulabsolvete ergebe hat, dass 25 vo ihe arbeitslos sid. 2 Währed eier Kotrolle auf der Autobah wird die Geschwidigkeit vo Fahrzeuge gemesse. Vo ihe überschritte 140 die erlaubte Höchstgeschwidigkeit. Wie hoch ist mit eier Vertraueswahrscheilichkeit vo 95% der wahre Ateil der Geschwidigkeitsübertretuge? 3 Wie breit ist das 99 %-Vertrauesitervall, we i eiem Idustriebetrieb der Ausschussateil eier 75 Stück umfassede Stichprobe 7 % beträgt? 4 I eier Großbäckerei wird Mehl i Säcke mit eiem Sollgewicht vo 25 kg ageliefert. Bei der Eigagskotrolle wurde im vergagee Moat Säcke gewoge. Jeder zwazigste Sack etsprach icht dem Sollgewicht. Wie hoch ist mit eier Wahrscheilichkeit vo 95 % der wahre Ateil aller im Jahr agelieferte Mehlsäcke, bei dee das Gewicht vom Sollgewicht abweicht? 5 Um festzustelle, wie hoch der Ateil a Schwarzfahrer auf eier bestimmte Strecke ist, führt ei Bahbetreiber eie Woche lag sehr geaue Kotrolle durch. Der Zug hat pro Tag eie maximale Kapazität vo 500 Persoe. Tag Mo Di Mi Do Fr Sa So Auslastug 45 % 52 % 76 % 48% 75 % 84 % 68 % Schwarzfahrer Wie hoch ist mit eier Wahrscheilichkeit vo 95 % der wahre Ateil der Schwarzfahrer auf dieser Strecke? 6 Ei Lebesmittelkozem stellt jede Tag aus zwei Toe Obst Fruchtgrütze her. Die Qualitätskotrolle prüft 5 % jeder Fruchtsorte. Um zu Grütze verarbeitet werde zu köe, müsse diese midestes der HK II etspreche. Fruchtateile HKI HKII HKIII Erdbeere 60 % 30 % 10 % 50% 25% 15% Erdbeere Himbeere Brombeere Bire Himbeere 55 % 37% 8 % Brombeere 40 % 53 % 7 % Bire 70 % 26 % 4 % 10% Bereche Sie ahad der Date, wie hoch der Ausschussateil roter Früchte mit eier Vertraueswahrscheilichkeit vo 99 % ist. 200

25 3.4 Vertrauesitervalle zu beliebige Vertraueswahrscheilichkeite 3.4 Vertrauesitervalle zu beliebige Vertraueswahrscheilichkeite Bisher wurde Vertrauesitervalle ur zu de gegebee Vertraueswahrscheilichkeite 90 %, 95 % ud 99% berechet, da die dazugehörige Sigma-Umgebuge bekat ware. Mit der Stadardormalverteilug ist es jedoch auch möglich, ei Vertrauesitervall mit beliebiger Vertraueswahrscheilichkeit zu bereche. p h c p p 2 mit h X Wahrscheilichkeite ierhalb eies beliebige Vertrauesitervalls 1 2 p e 1 v(z) 2 z2 d z 1 0,40 v(z) 0,30 0,20 0, p e 1 2 z2 Die Fläche uter der Dichtefuktio der Stadardormalverteilug beträgt 1. Im Itervall [ 3; 3] liege bereits aäherd % aller Werte. Das % Vertrauesitervall ethält somit ahezu alle Wahrscheilichkeite, die die Ugleichug p p p h 3 2 erfülle z 1,96 1, p e α 2 1 v(z) 2 z2 d z 0,95 0,40 0,30 0,20 0,10 v (z) α 2 1 2p e 1 2 z2 Aus Abschitt ist bekat, dass i das 95% Vertrauesitervall alle Wahrscheilichkeite falle, die die Ugleichug p p p h 1,96 2 erfülle. 3 1, ,96 3 z Bei eier Vertraueswahrscheilichkeit vo 95 % beträgt die Irrtumswahrscheilichkeit a 5 % ud ist aufgrud der Symmetrie der Stadardormalverteilug i zwei Hälfte uterteilt. 201